SKKN toán THPT đa thức chebyshev

Chương 1: MỞ ĐẦUI/ Lý do chọn đề tài Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình giáo dục phổ thông là đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có đổi mới phương pháp dạy học Toá

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO …

TRƯỜNG THPT …

SÁNG KIẾN KINH NGHIỆM

ĐA THỨC CHEBYSHEV

Môn: Toán Tên tác giả: …

Giáo viên môn Toán

NĂM HỌC …

Chương 1: MỞ ĐẦU

I/ Lý do chọn đề tài

Một trong những vấn đề cơ bản của đổi mới chương trình giáo dục phổ thông là đổi mới phương pháp dạy học, trong đó có đổi mới phương pháp dạy học Toán Việc đổi mới phương pháp dạy học Toán hiện nay là nhằm phát huy tính tích cực của học sinh qua đó khai thác vận dụng những khả năng vốn có, và tự có, phát huy trí lực trong học sinh Trong quá trình giảng dạy ở trường phổ thông bản thân chúng tôi cũng đã dự rất nhiều tiết dạy của đồng nghiệp, đã trực tiếp bồi dưỡng học sinh khá giỏi, song chúng tôi nhận thấy rằng việc phát huy trí lực cho học sinh còn rất nhiều hạn chế Nhiều bài toán trong các kì thi như học sinh giỏi của cụm, thi vào các trường đại học, đặc biệt các bài tập trong sách giáo khoa không đến nổi khó, thế nhưng nhiều học sinh không làm được mặc dầu học sinh đã được làm quen các dạng toán qua bài giảng của thầy, qua sách vở Đại

đa số các em chỉ chú trọng vào việc tìm ra một lời giải của bài toán mà ít nghĩ tới lời giải đó được xuất phát từ đâu? Tại sao lại như thế ? Nguồn gốc, cội nguồn của bài toán đó là gì ? Đứng trước những vấn đề như vậy, làm thế nào để đáp ứng được nhu cầu đổi mới hiện nay, làm cho học sinh có hứng thú trong học tập, không bị động trước các bài toán khó Làm thế nào giúp học sinh tìm ra cội nguồn của những bài toán về hàm số xác định trên miền [-1;1] với miền giá trị là [-1;1] Tôi đã chọn và nghiên cứu đề tài “ Đa thức Chebyshev”

II/ Giả thiết khoa học

Tôi thấy rằng nếu dạy các bài toán về hàm số xác định trên miền [-1;1] với miền giá trị là [-1;1] với hệ thống lí thuyết đầy đủ của đa thức Chebyshev, bài tập được sắp xếp một cách hợp lí, khoa học sẽ góp phần rèn luyện khả năng vận dụng linh hoạt, khả năng sáng tạo, khả năng tư duy và các thao tác trí tuệ quan trọng trong giải toán của học sinh phổ thông

III/ Nhiêm vụ nghiên cứu

- Xuất phát từ lý do chọn đề tài, sáng kiến kinh nghiệm thực hiện nhiệm vụ: Giúp cho giáo viên thực hiện tốt nhiệm vụ và nâng cao chất lượng giáo dục, giúp học sinh hình thành tư duy logic kỹ năng phân tích để đi đến một hướng giải đúng và thích hợp khi gặp bài toán về hàm số xác định trên miền [-1;1] với miền giá trị là [-1;1] Muốn vậy người giáo viên phải hướng cho học sinh biết cách nhận dạng đa thức Chebyshev

- Yêu cầu của sáng kiến kinh nghiệm: Nội dung giải pháp rõ ràng, lôgíc, có sáng tạo đổi mới không rườm rà phù hợp với đội tượng học sinh khá giỏi của trường THPT Giới thiệu được các dạng đa thức Chebyshev điển hình

và một số ví dụ minh hoạ

- Đề tài được sử dụng để giảng dạy và bồi dưỡng cho các em học sinh Khá, Giỏi khối 10, 11 hệ THPT và làm tài liệu tham khảo cho các thầy cô giảng dạy môn Toán

IV/ Những vấn đề mới

- Xây dưng được một hệ thống lí thuyết và bài tập có tác dụng tốt trong việc phát triển và rèn luyện trí tuệ cho học sinh

- Các kết quả của đề tài thiết thục góp phần nâng cao chất lượng dạy học ở trường phổ thông

V/ Phương pháp nghiên cứu

Phối hợp các phương pháp nghiên cứu sau:

• Phương pháp nghiên cứu lí luận: Nghiên cứu một số giáo trình về

phương pháp dạy học toán, tuyển tập các đề thi dại học Việt Nam, các tài liệu trên mạng, các tạp trí về giáo dục và các tài liệu có liên quan

trực tiếp giảng dạy chuyên đề, qua trao đổi với các đồng nghiệp để từ đó xây dựng được một hệ thống lí thuyết , bài tập về đa thức Chebyshev nhằm rèn luyện các hoạt động trí tụê cho học sinh

cho đối tượng là các học sinh Khá, Giỏi của trường trung học phổ thông

để bước đầu kiểm nghiệm tính khả thi và tính hiệu quả của các nội dung được viết trong đề tài

VI/ Cáu trúc đề tài:

Đề tài bao gồm hai chương:

- Chương 1: Mở đầu

- Chương 2: Đa thức Chebyshev

Chương 2: ĐA THỨC CHEBYSHEV

I/ Các định nghĩa và tính chất:

Xét T x n( )=cosn , ϕ x c= os , ϕ ϕ∈[ ]0; , π n∈¥

Ta có T x0( )=cos0 1=

T x1( )=cosϕ= x

T x =c ϕ= c ϕ− = x −

3( ) os3 4 os 3 os = 4x 3

T x =c ϕ= c ϕ− = x − − = x − x +

…

1) Định nghĩa

Với x 1≤ , x c= osϕ thì T x n( )=cosn , ϕ ϕ∈[ ]0; , π n∈¥ là đa thức bậc n của x và được gọi là đa thức Chebyshev

2) Tính chất

Đa thức Chebyshev có nhiều tính chất hay, được sử dụng rất nhiều trong việc giải quyết các bài toán về đa thức Sau đây là một số tính chất quan trọng mà việc chứng minh chúng rất đơn giản:

Tính chất 1: T x n( )=cosn , ϕ x c= os , ϕ ϕ∈[ ]0; , π n∈¥ có tập xác định là 1

x ≤ , tập giá trị là T x n( ) 1.≤

Tính chất 2: T x n( )=cosn , ϕ x c= os , ϕ ϕ∈[ ]0; , π n∈¥ là đa thức bậc n với

hệ số của x là n 2n− 1

Tính chất 3: ( ) T x là hàm số chẵn khi bậc của ( ) n T x là bậc chẵn và là hàm số n

lẻ khi bậc của ( )T x là bậc lẻ n

Tính chất 4: ( ) T x n =cosnϕ=0có đúng n nghiệm phân biệt thuộc đoạn [-1;1]

Tính chất 5: T x n( ) 1= có n+1 nghiệm phân biệt trong đoạn [-1;1]

Các nghiệm có dạng là x c= osϕk với k k , k [ ]0; , n k

n

π

Thậtvậy:

2

n

π

Vì 0≤ ≤ϕ π nên 0 k 0 k n

nπ π

Chẳng hạn :

1( )

T x =1 có hai nghiệm phân biệt là x c= osϕk với ϕk =kπ, k∈[ ]0;1 ,k∈¢ hay x= ±1

2( )

T x =1 có ba nghiệm phân biệt là x c= osϕk với , [ ]0;2 ,

2

k

k

π

tức là có ba nghiệm x=0 hoặcx = ±1

3( )

T x =1 có bốn nghiệm phân biệt là x c= osϕk với , [ ]0;3 ,

3

k

k

π

tức là có bốn nghiệm 1

2

x= ± ;x= ±1

Tính chất 6: T x n( )=cosnϕ thỏa mãn hệ thức truy hồi:

1( ) 2 ( ) 1( )

T+ x = xT x −T− x

Thật vậy: Với ( )T x n =cosnϕ thì

( )

( )

1

1

( ) os n-1

( ) ( ) 2 osn os ( ) os n+1

n

n

ϕ

ϕ

−

+



Hay T n−1( )x +T n+1( ) 2 osnx = x c ϕ =2 ( )x T x n ⇒(đpcm)

Chẳng hạn: Ta cần tính T x Ta có: 5( )

II/ Các ứng dụng

Một trong những dấu hiệu để nhận biết bài toán đa thức có sử dụng tính chất của đa thức Chebyshev hay không đó là miền giá trị của đa thức Các bài toán trên miền [-1;1] đều gợi ra cách giải bằng phương pháp sử dụng tính chất của đa thức Chebyshev Sau đây ta xét lớp các bài toán về đa thức có sử dụng tính chất của đa thức Chebyshev

Bài 1: Cho hàm số y =4x3 + +(a 3) x2 +ax

Tìm a để y ≤1 khi x ≤1

Giải: Vì y ≤1 khi x ≤1 nên ta có :

( )

( )

1

2

a a

y

a a

y

− ≤





1 3

3

a

a



− ≤ ≤



⇔ − ≤ ≤ ⇔ = −



− ≤ ≤



Ngược lại, khi a=-3 thì y=4x3−3x Đặt x c= osϕ với ϕ∈[ ]0;π thì y c= os3ϕ

rõ ràng thỏa mãn y ≤1 khi x ≤1

Bình luận: Nếu chỉ xem lời giải và không hiểu rõ nguồn gốc, cội nguồn của bài

toán thì học sinh sẽ thấy lời giải mất tự nhiên ở việc là tại sao ta chỉ xét giá trị của hàm số tại các giá trị của x là 1; 1

2

± ± mà không phải là các giá trị khác

Thực chất của việc xét giá trị của hàm số tại các điểm 1; 1

2

± ± chính là xét giá trị của hàm số tại các nghiệm của đa thức Chebyshev bậc ba

Bài 2: Cho hàm số y =4x3 +mx

Tìm m để y ≤1 khi x ≤1

Giải: Vì y ≤1 khi x ≤1 nên ta có :

( )

( )

1

1 2

y

m

m

a m

y

− ≤



 − ÷≤ 

  



Ngược lại, khi m=-3 thì y=4x3−3x Đặt x c= osϕ với ϕ∈[ ]0;π thì os3

y c= ϕ rõ ràng thỏa mãn y ≤1 khi x ≤1

Bài 3: Tìm a, b, c để 4x3+ax2 + + ≤bx c 1, với mọi x thỏa mãn x ≤1

Giải: Cách 1:

Điều kiện cần: Vì y ≤1 khi x ≤1 nên ta có :

( )

( )

( )

( ) ( ) ( ) ( )

1

2

1

1 2

y

a b c y

a b c I

y

− ≤

 − ÷≤

  



Từ (1) và (2) ta có: 3 2 6 3 5( )

3

a b c

a b c

− + ≥

 + + ≤ −

Từ (3) và (4) ta có: 2 4 6 4 12 3 6( )

 − + ≤

Từ (5) và (6) ta được b=-3

Thế b=-3 vào hệ (I) ta có:

0

a c

a c

− ≤ + ≤







 ≤ + ≤



Điều kiện đủ: Khi a=c=0, b=-3 thì y=4x3−3x Đặt x c= osϕ với ϕ∈[ ]0;π

thì y c= os3ϕ rõ ràng thỏa mãn y ≤1 khi x ≤1

Cách 2: Giả sử tồn tại các số a, b, c thỏa mãn điều kiện bài toán

Đặt f x( ) 4= x3+ax2+ +bx c M, =x M∈ −[ax f(x) 1;1]

Ta có

,

1 1 1 1

M ≥ f + f − + f   + f −  ≥ f − − −f f  + f − 

8 2 6≥ − = Vậy M ≥1

f = f − = f   = f −  =M =

thời (1), ( 1), 1 , 1

f − − −f f   f − 

    đôi một có tích không âm Điều đó tương

đương với

1

1

2 4 2

1

1

2 4 2 1

1

2 4 2

a b c

a b c

a b

c

a b

a b c

a b c

a b

c

a b

c

  + + + =

  − + − =

 





− − − − =





 

 = − − = −  = − = −  + + + = −



− − − − = −





− + − + = −















0

3

0

b

a c

b

a c

+ =



 + =



⇒ + + − =− + − = ⇒ = =





Mặt khác, từ giả thiết thì M ≤1, do đó phải có M=1 và xảy ra dấu bằng trong bất đẳng thức trên tức a=c=0, b=-3

Ngược lại, khi a=c=0, b=-3 thì y=4x3−3x Đặt x c= osϕ với ϕ∈[ ]0;π thì os3

y c= ϕ rõ ràng thỏa mãn y ≤1 khi x ≤1

Bài 4: Tìm a, b để 8x4 +ax2 + ≤ ∀ ∈ −b 1, x [ 1;1]

Giải: Cách 1:

Điều kiện cần: Vì y ≤1 khi x ≤1 nên ta có :

( ) ( ) ( )

2 1 2

2 2

y y y



≤







≤











a b

b

+ ≤ −

 + ≥ −

a

− ≤ + ≤ − − ≤ ≤ −

Điều kiện đủ: Khi a=-8, b=1 thì y =8x4−8x2 +1 Đặt x c= osϕ với ϕ∈[ ]0;π

thì y c= os4ϕ rõ ràng thỏa mãn y ≤1 khi x ≤1

Cách 2: Giả sử tồn tại các số a, b thỏa mãn điều kiện bài toán

Đặt f x( ) 8= x4 +ax2 +b M, =x M∈ −[ax f(x)1;1] và theo giả thiết M ≤1.

Ta có

(0) , (1) 8 , 2 8.1

a

Do M =x M∈ −[ax f(x)1;1] nên

(0) (1) 2

2





≥



 ≥





 ≥





Từ đó

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khi (0) (1) 2 1

2

  , đồng thời

2 (0), (1),

2

  đôi một cùng dấu Điều đó tương đương với

2

1 2

2

a b

= −



⇔ 



Ngược lại: Khi a=-8, b=1 thì y=8x4 −8x2+1 Đặt x c= osϕ với ϕ∈[ ]0;π thì os4

y c= ϕ rõ ràng thỏa mãn y ≤1 khi x ≤1

Bình luận: Các giá trị của x mà ta xét ở trên chính là các nghiệm của đa thức

Chebyshev bậc bốn, đó là các nghiệm 0; 1; 2

2

Bài 5: Chứng minh rằng nếu với mọi x∈ −[ 1;1] ta có ax2+bx+c ≤h thì

4

a + + ≤b c h

Giải: Đặt f x( )=ax2 +bx+c, khi đó theo giả thiết ( )f x ≤h và ta có

(1)f = + +a b c, (1)f ≤h,

( 1)f − = − +a b c, ( 1)f − ≤h,

(0)f =c, (0)f ≤h

Từ đó ta có

(1) ( 1) (0), (1) ( 1), (0)

Vậy:

≤ + + + + + =

Như vậy ta có điều phải chứng minh là a + + ≤b c 4h

Bài6: Cho f x( )=ax2 +bx+c thỏa mãn điều kiện ( 1) 1, (0) 1, (1) 1

Chứng minh rằng ( ) 5 1

4

f x ≤ khi x ≤

Giải: Đặt A a b c B a b c= + + , = − + , thế thì ,

a= + −c b= − .

Theo giả thiết: (1)f = A ≤1, ( 1)f − = B ≤1, (0)f = ≤c 1

Ta có

( ) ax

= 1

a) Với 0≤ ≤x 1, ta có

2

=1+

x x

−

b) Với 1− ≤ ≤x 0, ta có

2

=1

x x

− −

Các kết quả trên chứng tỏ rằng với x ≤1 thì

2

f x ≤ + −x x =  x −  ≤

Bài 7: Cho đa thức hệ số thực f x( )=ax3 +bx2+ + >cx d 0 Biết rằng với mọi

[ 1;1]

x∈ − ta có ( )f x ≤α Tìm giá trị lớn nhất của , , , a b c d

Giải: Đặt

( 1) 1

1

(1) (0)

a b c

a b c

= − = − + − +



 = − ÷= − + − +

 









, thế thì

 = − + − +















 =



Theo giả thiết:

Ta có

4

Hay a ≤4α Tương tự b ≤2 , α c ≤3 , α d ≤α

Vậy

ax

α α α α



=







Bài 8: Cho f x( )=x2 +ax+b

Chứng minh rằng với mọi a, b trong ba số (0) , (1) , ( 1)f f f − có ít nhất một

số lớn hơn hoặc bằng 1

2. Lời giải tương tự như bài 6

KẾT LUẬN

Qua hệ thống lí thuyết và bài tập về đa thức Chebyshev ở trên cho ta thấy rằng không nên áp đặt học trò khi tìm lời giải của một bài toán Đơn giản bởi vì nếu

áp đặt như vậy có nghĩa là áp đặt tư duy của người thầy cho học sinh, dẫn đến học sinh khó có thể vượt được qua người thầy về mặt tư duy và như vậy hạn chế

đi sự phát triển trí tụê của học trò.Chúng ta nên kích thích sự sáng tạo, tìm tòi của học sinh thông qua các chuyên đề mà qua đó học trò tìm ra được nguồn gốc của các bài toán và trên cơ sở đó sáng tạo ra những bài toán khác

Trên đây là kinh nghiệm nhỏ của tôi mà tôi đã ghi nhận được trong quá trình giảng dạy, tôi rất mong nhận được sự đóng góp của các bạn đồng nghiệp để tôi

có thể dạy cho học sinh chuyên đề này có hiệu quả hơn Tôi xin chân thành cảm ơn

XÁC NHẬN CỦA

THỦ TRƯỞNG ĐƠN VỊ

…, ngày … tháng … năm …

Tôi xin cam đoan đây là SKKN của mình viết, không sao chép nội dung của người khác

…

Kết luận

Trong quá trình giảng dạy cho đối tượng là học sinh khá giỏi tôi đã đưa chuyên

đề nêu trên vào bài giảng của mình Tôi nhân thấy phần đa các em đều hiểu và thấy thích thú với những vấn đề mới mẻ đó, các em đã biết linh hoạt sử dụng phương pháp nêu trên để giải các bài tương tự, đồng thời còn sáng tạo ra các bài toán mới Trên đây là kinh nghiệm nhỏ của tôi trong quá trình giảng dạy mà tôi

đã ghi nhận được, tôi rất mong nhận được sự đóng góp của các bạn đồng nghiệp Tôi xin chân thành cảm ơn