SKKN TOÁN THPT GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ

Skkn Toán THPT Một số phương pháp giải phương trình vô tỉ cho học sinh giỏi và luyện thi thpt quốc gia. Giải phương trình vô tỉ cho học sinh thpt. Mỗi loại bài toán phương trình vô tỷ có những cách giải riêng phù hợp. Điều này có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sáng tạo. Bên cánh đó, các bài toán giải phương trình vô tỷ thường có mặt trong các kỳ thi học sinh giỏi Toán ở các cấp THCS, THPT. Đặc biệt kể từ khi kì thi Đại học được cải cách theo hướng 3 chung và mới đây là kì thi THPT Quốc Gia, trong đề thi môn toán năm nào củng có bài toán giải phương trình vô tỷ hoặc bất phương trình vô tỷ.

SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TỈNH ……

MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỈ CHO HỌC

SINH GIỎI VÀ LUYỆN THI THPT QUỐC GIA

TÁC GIẢ SÁNG KIẾN:

Họ và tên: ……… – GV Toán.

………., 2020

MỤC LỤC

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ ĐỀ XUẤT GIẢI PHÁP 1

1.1 Sự cần thiết hình thành giải pháp 1

1.2 Mục tiêu của giải pháp 1

1.3 Phương pháp thực hiện 2

1.4 Đối tượng và phạm vi áp dụng 2

CHƯƠNG 2: QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH GIẢI PHÁP 4

2.1 Thực trạng 4

2.1.1 Thuận lợi 4

2.1.2 Khó khăn 4

2.2 Mâu thuẫn 5

2.3 Giải pháp đề xuất 6

CHƯƠNG 3: NỘI DỤNG CỦA GIẢI PHÁP 7

3.1 Phương pháp biến đổi tương đương để giải phương trình 7

3.1.1 Phương pháp 7

3.1.2 Một số thí dụ 7

3.2 Phương pháp đặt ẩn phụ để giải phương trình vô tỷ 12

3.2.1 Phương pháp 12

3.2.2 Một số thí dụ 13

3.3 Phương pháp liên hợp để giải phương trình vô tỷ 19

3.3.1 Liên hợp bậc 1 20

3.3.2 Liên hợp bậc 2 26

3.4 Hiệu quả của giải pháp 36

Chương 4: KẾT LUẬN VÀ KIẾN NGHỊ 38

TÀI LIỆU THAM KHẢO 40

tỷ mãi mãi vẫn còn là đối tượng mà những người đam mê Toán học luôn tìmtòi học hỏi và phát triển tư duy Bởi lẽ nó có thể đã rất cũ với nhiều người songvẫn còn rất mới với đối tượng học sinh, những người trực tiếp hằng ngày phảiđau đầu, nhức óc với các bài toán mà trong đó phương trình vô tỷ là một trongnhững bài toán thuộc loại khó nhất.

Mỗi loại bài toán phương trình vô tỷ có những cách giải riêng phù hợp.Điều này có tác dụng rèn luyện tư duy toán học mềm dẻo, linh hoạt và sángtạo Bên cánh đó, các bài toán giải phương trình vô tỷ thường có mặt trong các

kỳ thi học sinh giỏi Toán ở các cấp THCS, THPT Đặc biệt kể từ khi kì thi Đạihọc được cải cách theo hướng 3 chung và mới đây là kì thi THPT Quốc Gia,trong đề thi môn toán năm nào củng có bài toán giải phương trình vô tỷ hoặcbất phương trình vô tỷ Chính vì thế, để giúp các em học sinh có được nhiềucách tiếp cận đối với một bài toán phương trình vô tỷ, tôi đã quyết tâm sưu tầmtài liệu, chọn lọc và đề xuất một số phương pháp chính để giải quyết bài toán

1.2 Mục tiêu của giải pháp

Mục tiêu của giải pháp là nâng cao trình độ chuyên môn cho bản thân,hướng đến nâng cao chất lượng giảng dạy của cá nhân, góp phần nâng cao tỷ lệhọc sinh đạt điểm cao trong môn Toán của nhà trường trong kỳ thi THPT QuốcGia sắp đến Trước thực tiễn bản thân được nhà trường tin tưởng và giao chogiảng dạy môn toán lớp 12a1, 2 (lớp gồm những học sinh có học lực tốt nhấtcủa khối 12) qua các năm học, các em lại có nguyện vọng đậu vào nhữngtrường Đại học hàng đầu thường có điểm thi phải cao, do đó đặt ra cho giáoviên phải có những phương pháp tối ưu để giúp các em đạt được ước mơ.Trong đề thi bài toán giải phương trình vô tỷ được vào loại câu khó nên điều đócàng thúc đẩy bản thân tìm tòi để hình thành giải pháp cho bản thân, đồng thờigóp phần nâng cao chất lượng giảng dạy cho tất cả giáo viên tổ Toán

1.3 Phương pháp thực hiện

Trong quá trình hình thành giải pháp cá nhân đã kết hợp các phương pháp dưới đây:

Phương pháp phân tích: nghiên cứu thực trạng sử dụng các phương pháp giải

phương trình vô tỷ đã biết để áp dụng giải một bài toán cụ thể Trong thực tiễngiảng dạy

Phương pháp tổng hợp: sử dụng tài liệu tham khảo cùng với thực tế diễn ra

trên lớp, cùng với đóng góp của quý thầy cô

Phương pháp trao đổi và thảo luận: cùng nghiên cứu và cung cấp những kếtquả thảo luận với các thầy cô giáo trong tổ, với học sinh

Phương pháp phân tích, thống kê số liệu: điều tra, khảo sát và phỏng vấn

học sinh lớp thực nghiệm

1.4 Đối tượng và phạm vi áp dụng:

Nội dung của giải pháp này hướng đến đối tượng là học sinh khá, giỏicủa các lớp và trọng tâm là phục vụ cho các em học sinh dự thi kì thi THPTquốc gia Trong quá trình giảng dạy giáo viên và học sinh cùng trao đổi về lờigiải của một bài toán, phân tích để chọn được lời giải hay và lấy đó để tích luỹkình nghiệm cho bản thân Tuy nhiên chúng ta không khuôn mẫu cho tư duycủa học sinh, để tránh học sinh chỉ được tiếp thu theo một lối mòn có sẵn dẫnđến khi gặp các bài toán “lạ”, “chưa gặp dạng” thì học sinh không thể giảiquyết được Vì vậy khi thực hành giải pháp này giáo viên để cho học sinh thoảsức thể hiện lời giải theo suy nghỉ của mình, cuối cùng thảo luận giữa các họcsinh và giáo viên chốt lại và đưa ra những phân tích cho các cách giải của mỗihọc sinh

Tùy thuộc vào đặc điểm dạy học của từng trường, tùy vào phương pháplên lớp của mỗi giáo viên để đưa ra các cách thức khác nhau để thực hiện giảipháp này Theo cá nhân tác giả thấy rằng nếu chúng ta thực hiện theo giải phápnày thì học sinh không thụ động mà các em được là chủ trong vấn đề tiếp nhậnkiến thức, mặt khác các em cảm thấy tự tin hơn khi đứng trước một bài toángiải phương trình vô tỷ, đặc biệt là các em học sinh chuẩn bị cho kỳ thi THPTQuốc gia

CHƯƠNG 2QUÁ TRÌNH HÌNH THÀNH GIẢI PHÁP

Trường THPT Hòa hội là một trường vùng sâu, vùng xa của tỉnh, chấtlượng học tập của học sinh còn thấp so với mặt bằng chung của tỉnh BRVT,học sinh thuộc nông thôn , ở nhà các em còn phải phụ giúp gia đình các việcnhỏ, vừa sức nên các em chưa hẳn đã sử dụng toàn bộ thời gian cho việc học;Đây là trở ngại vô cùng lớn cho quá trình dạy học của giáo viên và học sinh.Tuy nhiên trong các kì thi (tốt nghiệp THPT trước đây và THPT Quốc gia hiệnnay), trường THPT AAAAA đều có những thành tích khá cao Đây là sự độngviên lớn lao cho giáo viên có thêm động lực để xây dựng các giải pháp, sángkiến áp dụng vào dạy học

2.1 Thực trạng

2.1.1 Thuận lợi

Nhìn chung phần lớn học sinh tại trường THPT AAAAA đều ngoan và

lễ phép, có ý thức kỹ luật trong học tập Đây chính là cơ sở quan trọng nhất đểgiáo viên có thể tiến hành được những giải pháp thúc đẩy quá trình dạy – học

Đội ngũ giáo viên có sự nhiệt tình và tận tụy với nghề nên có sự đầu tưlớn trong công tác bổi dưỡng học sinh giỏi và phụ đạo các học sinh trung bihfyếu

Đặc biệt là sự quan tâm của nhà trường vào công tác bồi dưỡng học sinhgiỏi, ôn thi học sinh dự thi THPT Quốc gia, xác định đây là bộ mặt của nhàtrường nên đã có những ưu đã thoả đáng cho những giáo viên có học sinh giỏihoặc có học sinh đạt tỷ lệ cao trong các kỳ thi, điều này làm cho đội ngũ giáoviên an tâm, nhiệt tình hơn trong công việc

2.1.2 Khó khăn

Bề dày kinh nghiệm của một số giáo viên của trường chưa cao, việcthực hiện dự giờ thăm lớp đôi khi chỉ còn là hình thức; do bị động về thờigian, tình hình thiếu nhân sự của trường kéo dài nên các giáo viên phải dạynhiều tiết dẫn đến không còn quỹ thời gian để thực hiện nhiệm vụ dự giờ

Học sinh có những khác biệt về cách nhận thức, hoàn cảnh gia đình,kinh tế, lười học hoặc thiếu sự quan tâm của cha mẹ, Những điều này đã ảnhhưởng nhiều đến vấn đề học tập của học sinh, từ đó dẫn đến các em chán nảnviệc học, và hỏng kiến thức

Trong một lớp học do có nhiều đối tượng học sinh nên giáo viên khóquản lí và bao quát được từng loại học sinh, đặc biệt là phân loại kiến thức saocho phù hợp với từng cấp độ, năng lực đối tượng

Mặt khác, học sinh còn bị ảnh hưởng bởi cách truyền thụ trước đây, nên

ỷ lại, lười suy nghĩ, không chuẩn bị bài ở nhà, trong giờ học thì lơ là không tậptrung, làm giảm khả năng tư duy của học sinh

2.2 Mâu thuẫn

Nhìn chung, giáo viên chủ yếu là đội ngũ đang còn trẻ, có lòng nhiệttình và say mê với nghề Luôn có lòng mong muốn cống hiến Tuy nhiên,dokinh nghiệm còn non nên nhiều lúc chưa có sự định hướng rõ ràng về phươngpháp dạy Dẫn đến sự ngộ nhận về năng lực học sinh nên thường có những yêucầu quá cao kiến thức đối với học sinh, điều này làm cho học sinh có thể bị áplực đôi khi có thể học sinh rơi vào tình trạng “mất niềm tin” vào bản thân

Đối với học sinh, các em đều có tinh thần học tập, tuy nhiên, do chưa có

sự định hướng về cách học, một phần là các em đã thụ động tiếp thu kiến thứctrong một thời gan quá dài (cấp 1, 2) điều này dẫn đến một số học sinh bì hổngkiến thức dó đó khi gặp những vấn đề đòi hỏi phải có những lập luận cao thìhọc sinh dễ thất bại

Sau khi giải quyết một bài toán xong chúng ta thường hỏi “có cách nàokhác không các em?” điều này luôn đặt ra các em một thôi thúc là tìm kiếmlời giải khác Vì vậy việc hình thành một giải pháp là điều tất yếu

2.3 Giải pháp đề xuất

Trên cơ sở những vấn đề đã nói đến ở trên, để những học sinh có họclực khá, giỏi có động lực hơn với môn toán học thì thiết nghĩ rằng hình thứcbồi dưỡng học sinh giỏi là giải pháp cần phải áp dụng Tuy nhiên, để việc thựchiện giải pháp đạt hiệu quả cao điều quan trọng nằm ở tinh thần của giáo viênbên cạnh thái độ học của học sinh

Qua nhiều năm tôi tham gia giảng dạy học sinh giỏi cho học sinh tạitrường, tôi đều nhận thấy một điều hết sức quan trọng trong dạy học chính làthái độ và tình cảm của giáo viên Khi tình thương và trách nhiệm của giáoviên với học sinh càng cao thì chất lượng của công tác bồi dưỡng rất tốt vàngược lại

Để giải quyết bài toán nâng cao chất lượng học sinh chung của toàntrường, trong đó có đối tượng học sinh khá, giỏi; với mục tiêu nâng cao tỷ lệhọc sinh đạt điểm cao trong kỳ thi THPT Quốc gia, thì yếu tố cần thiết chính là

sự mạnh dạng của giáo viên trong việc thực hiện các giải pháp để nâng caotrình độ cho học sinh

CHƯƠNG 3NỘI DUNG GIẢI PHÁP

Quy tắc chung nhất cho việc giải một phương trình vô tỷ là phương phápbiến đôi tương đương, bằng cách đặt điều kiện rồi luỹ thừa nhiều lần cho đếnkhi trong phương trình không còn biểu thức vô tỷ, dưới đây chúng ta sẽ đượctìm hiểu phương pháp này thông qua một vài thí dụ

3.1 PHƯƠNG PHÁP BIẾN ĐỔI TƯƠNG ĐƯƠNG ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH

3.1.1 PHƯƠNG PHÁP

Trong bài viết này chúng ta chỉ xét những phương trình chủ yếu là chứacăn bậc hai, các dạng thức khác có thể hiểu tương tự Khi sử dụng phương

pháp này chúng ta thường nâng bậc của phương trình đến khi phương trình

thành đa thức, lúc đó sử dụng máy tính để tách nhân tử chung:

Các dạng biến đổi tương đương thường gặp là

0

1

( ) ( ) ( ) g x( ) ( ) ( )

( ) ( )

B1: Lấy điều kiện có nghiệm cho phương trình

B2: Thực hiện phép biến đổi tương đương để giải phương trình

B3: Đối chiếu điều kiện để chọn nghiệm phương trình

3.1.2 MỘT SỐ THÍ DỤ

Thí dụ 1: Giải phương trình

x − x+ = x−

+ Nhận xét 2 vế của PT đều không âm

+ Phương trình tương đương với

+ Kết hợp điều kiện phương trình có 2 nghiệm x= − ± 1 6

Phương pháp trên được tác giả gọi là “Phương pháp Vi – et để giải phương trình đa thức”.

Qua lời giải trên chúng ta tham khảo thêm lời giải khác như sau:

2 2

136 8 2 4 9825

'( )

, : '( )

đây ta chứng minh được (**) vô nghiệm trên khoảng [8 233 5; )

+ Kết luận PT đã cho có 1 nghiệm x= 4

Lời giải của phương trình theo hướng trên ta thấy mình “khỏe vô cùng” Sau

đây chúng ta tham khảo thêm lời giải khác như sau:

Phương pháp để giải phương trình theo cách trên tác giải gọi là “PP liên hợp bậc 1”.

11 3 5 2

2 ,

* Đặt ẩn phụ mà vẫn còn ẩn chính, ta có thể tính ẩn này theo ẩn kia

* Đặt ẩn phụ để đưa phương trình về hệ hai phương trình với hai ẩn làhai ẩn phụ, cũng có thể hai ẩn gồm một ẩn chính và một ẩn phụ, thường khi đó

ta được một hệ đối xứng

* Đặt ẩn phụ để được phương trình có hai ẩn phụ, ta biến đổi về phươngtrình tích với vế phải bằng 0

+ PT trở thành

2

2

5 52

+ Từ đây ta tìm được nghiệm của phương trình là x = 2.

+ Đặt x t= với t ≥ 0 Khi đó phương trình đã cho trở thành

Chú ý: Cách giải phương trình hai ẩn y và z như trên tác giả gọi là phương pháp đẳng cấp.

biết được giá trị của a, b Với bài toán này ta tìm được 1; 1

2 0

3.3 PHƯƠNG PHÁP LIÊN HỢP ĐỂ GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ

Trong toàn bộ mục này chúng ta sẽ giải phương trình chứa biểu thức vô

tỷ bằng “phương pháp liên hợp” đây là nội dung chủ yếu của giải pháp này,

trong những năm trở lại đây ở các đề thi Đại học, THPT Quốc gia phương phápnày thương được hay sử dụng và tỏ ra hiệu quả nhất định, vì thế tác giả muốnhình thành cho học sinh một còn đường tư duy để học sinh giải quyết được bàitoán giải phương trình vô tỷ

Dưới đây là các biểu thức liên hợp thường gặp cần phải nhân vào trongtừng trường hợp:

BIỂU THỨC ĐANG CÓ LƯỢNG LIÊN HỢP PHẢI NHÂN

Thí dụ 1: Giải phương trình

2x− + 3 5x+ + 6 x+ = − 2 9 x

Bài giải:

+ ĐK: 32 ≤ ≤x 9

+ Nhận xét: Từ MTBT ta tìm được nghiệm x = 2 Từ đây ta thay 2x− 3 bởi

1, 5x+ 6 bởi 4 và x+2 bởi 2, ta có lời giải như sau

+ Phương trình tương đương với

+ ĐK: − ≤ ≤13 x 6

+ Nhận xét: Từ MTBT ta tìm được nghiệm x = 5 Từ đây ta thay 3x+ 1 bởi

4, − 6 −x bởi − 1, ta có lời giải như sau

+ Phương trình tương đương với

+ Nhận xét: Từ MTBT ta tìm được nghiệm x= 2 Ta có lời giải như sau

+ Phương trình tương đương với

Thí dụ 4: Giải phương trình

2

x− + − +x x+ x− = x

để chúng ta giải (*) bằng phương pháp đánh giá như sau

Thử thấy x= 2 thỏa (*) vậy (*) có duy nhất nghiệm x= 2

+ Kết luận phương trình đã cho có nghiệm x = 2

Nhận xét: Lời giải trên chưa thật sự tốt, vì sau khi tìm được nghiệm x= 2thường thì học sinh sẽ chứng minh (*) vô nghiệm, để khắc phục “sự cố” này

chúng ta sẽ đưa vào đây lời giải bằng “phương pháp tiếp tuyến” sẽ được tìm

hiểu ở giải pháp lần sau Nhưng trước hết ta tham khảo lời giải thứ 2 như sau:

+ Lời giải trên có thể bất ngờ đối với bạn phải không?

Chúng ta tiếp tục xem lời giải sau đây:

Lời giải 3: (Phương pháp tiếp tuyến)

+ Phương trình tương đương với

+ Nhận xét: Từ MTBT ta tìm được nghiệm x= 1 Ta có lời giải như sau

+ Phương trình tương đương với

+ Kết luận x= 1 là nghiệm duy nhất của phương trình

+ Nhận xét: Từ MTBT ta tìm được nghiệm x = 5 Ta có lời giải như sau

+ Phương trình tương đương với

(*)

x x

x

 + < + =

 + >

trên ( ;−2 223 ) do đó (*) có nhiều nhất một nghiệm, đồng thời ta thấy rằng x= −1thỏa (*), vậy (*) có duy nhất nghiệm x= − 1.

+ Kết luận phương trình có hai nghiệm x= − 1 ,x= 2

Bây giờ ta xét lời giải sau

+ Phương trình tương đương với

nhân tử g x x( ).( 2 − 3x+ 2 ) với g x( ) là một biểu thức hoặc một hằng

số Từ đây ta có lời giải 1

+ − vô nghiệm do điều kiện

2

3

x≥ , vậy phương trình có đúng hai nghiệm x=1,x=2.

• Hướng suy nghĩ thứ hai ta sẽ thay thế 3x−2 bởi biểu thức dạng

ax b+ , nghĩa là ta sẽ có đẳng thức 3x− = 2 ax b+ tại x= 1 ,x = 2.Thay lần lược x= 1 ,x = 2 vào đẳng thức này chúng ta có hệ phương

2 3 2 0

1 0

1 2

(x− )(x+ ) = hay x2 + − =x 2 0 do vậy ta phân tích đa thức theo nhân

tử g x x( ).( 2 + −x 2 ) với g x( ) là một biểu thức hoặc một hằng số

• Sau khi ta phân tích x2 + = 5 (x2 + − + −x 2 ) ( 7 x) ta tiếp tục tìm cáchthay thế x+ 3 bởi ax b+ , làm như trên ta có hệ sau

  Từ đây ta có lời giải

+ Phương trình tương đương với

− + − + + + +

− + − + + + +

x x

x x

• Trước hết ta lấy tổng và tích hai số trên ta được S = 2 ,P = − 1 khi đó ta

có hai số x= 2 4142 , ,x= − 0 4142 , là nghiệm của phương trình

x − x− =

• Sau khi ta phân tích x2 + = 1 (x2 − 2x− + 1 ) ( 2x+ 2 ) ta có lời giải

+ Phương trình tương đương với

2

2 2

nghiệm trên Phương pháp trên đây tác giả gọi là “kỹ năng Vi – et ” để giải

phương trình vô tỷ

Thí dụ 4: Giải phương trình

x − x+ = − x

• Trước hết ta lấy tổng và tích hai số trên ta được S = 1 ,P = − 1 khi đó ta

có hai số x= 1 618 , ,x= − 0 618 , là nghiệm của phương trình

3

2 2 2

< ≤ suy ra6

+ vậy (*) vô nghiệm.

+ Kết luận phương trình đã cho có hai nghiệm 1 5

• Trước hết ta lấy tổng và tích hai số trên ta được S = 4 ,P = − 1 khi đó ta

có hai số x = − 0 23606 , ,x= 4 23606 , là nghiệm của phương trình

2 2