Ôn Thi Học sinh giỏi Toán 9Dạng 1: Rút gọn biểu thức, tính tổng, tính giá trị của biểu thức.
Trang 1Ôn Thi Học sinh giỏi Toán 9
Dạng 1: Rút gọn biểu thức, tính tổng, tính giá trị của biểu thức.
1 Toán quy luật:
Bài 1: (Bài 104/99 – Phân loại PP giải toán THCS, lớp 8, tập 1)
Tính tổng:
100 99
1
4 3
1 3 2
1 2 1
1
S
Bài 2: (Bài 105/100 – Phân loại PP giải toán THCS, lớp 8, tập 1)
Tính tổng:
) 10 ).(
9 (
1
) 3 ).(
2 (
1 )
2 ).(
1 (
1 )
1 (
1 1
x x
x x
x x x
x S
Bài 3: (Bài 85/83 – Luyện tập đại số 8)
Rút gọn các biểu thức sau:
a)
9
1 7
1 5
1 3
1 1
1 3 7
1 5 5
1 7 3
1 9 1 1
A
b)
1 2
1
5
1 3
1 1
1 ).
1 2 (
1 3
).
3 2 (
1
) 5 2 (
5
1 )
3 2 (
3
1 )
1 2 (
1 1
n
n n
n n
n B
Bài 4: (Bài 1.90,1.91,ví dụ 31, 32/35,36,37 – Toán nâng cao đại số 8)
Tính các tổng:
a) S = 1+ 2 + 3 + … + n + n
b) S = 12 + 22 + 32 + … + n + n2
c) S = 13 + 23 + 33 + … + n + n3
Bài 5: (Bài 2.31/53 - Toán nâng cao đại số 8)
Cho n là số nguyên dơng, rút gọn các biểu thức:
a)
) 1 2 )(
1 2 (
1
7 5
1 5 3
1 3 1
1
n n
A
b)
) 1 3 )(
2 3 (
1
10 7
1 7 4
1 4 1
1
n n
B
c)
) 2 ).(
1 (
1
5 4 3
1 4 3 2
1 3 2 1
1
n n
n C
Bài 6: (Bài 2.37/54 - Toán nâng cao đại số 8)
Rút gọn biểu thức:
1 43
1 41
1 13
1 11 1 9
1 7 1 5
1 3
2
2 2
2 2
2 2
2
A
Bài 7: (Bài 21/15 – Sách NC&PT Toán 9)
Trang 2a) Rút gọn biểu thức: 2 2
) 1 (
1 1
1
a a
A với a > 0 b) Tính giá trị của tổng:
2 2 2
2 2
2 2
1 99
1 1
4
1 3
1 1 3
1 2
1 1 2
1 1
1
B
Lời giải:
2 2 2
2 2 2
2
) 1 (
) 1 ( ) 1 ( )
1 (
1 1
1
a a
a a
a a a
a A
2 2
2 2
4 2
2
2 2
2
) 1 (
) 1 ( ) 1 ( 2 )
1 (
) 1 ( ) 1 1 2 (
a a
a a
a a a
a
a a
a
a
=
2 2
2 2
2 2
) 1 (
1 )
1
(
) 1 (
a a
a a a
a
a
a
Do a > 0 nên A > 0 và A =
) 1 (
1
2
a a
a a
b) Từ câu a suy ra: 2 2
) 1 (
1 1
1
a
) 1 (
1
2
a a
a a
=
) 1 (
1 1
a
1 1 1
a a
100
1 99
1 1
4
1 3
1 1 3
1 2
1 1 2
1 1
1 1
B
100
1 99
1
4
1 3
1 3
1 2
1 2
1 1
1 (
99 , 99 100
1
Bài 8: (Ví dụ 11/16 - Sách NC&PT Toán 9)
Tính giá trị của biểu thức:
25 24 24 25
1
4 3 3 4
1 3
2 2 3
1 2
1 1 2
1
M
Lời giải:
Với mọi n N*, ta có:
) 1 (
1 )
1 ( ) 1 ( ) 1 (
1 )
1 ( 1 )
1
(
1
2 2
n n n n n
n n
n n n n n
n n n
1
1 1
n n
Do đó:
M =
25
1 24
1
4
1 3
1 3
1 2
1 2
1 1
1
5
4 5
1
Trang 3Bài 9: (Bài 28/17 - Sách NC&PT Toán 9)
Rút gọn biểu thức:
a)
n n
A
1
1
4 3
1 3
2
1 2 1
1
b)
n n
B
1
1
4 3
1 3
2
1 2
1
1
Hớng dẫn:
a) Trục căn thức ở mẫu
1 )
1 (
1
2 3
2 3 1 2
1 2
n n
n n A
b) Đáp số: 1 25 4
Bài 10: ( Bài 11/11 – Tuyển tập 250 bài toán BDHSGTC2, phần ĐS)
Cho số:
n = 1978(19799 + 19798 + + 19792 + 1980) +1
a) Rút gọn n
b) Tìm chữ số hàng đơn vị của n
Lời giải:
a) n = (1979-1)( 19799 + 19798 + + 19792 + 1979 + 1) +1
= 197910 + 19799 + 19798 + + 19792 + 1979 – 19799 – 19798 - … + n
- 19792 – 1979 – 1 + 1 = 197910
Vậy n = 197910
b) Ta có: n = 197910 = (19792)5
Vì 19792 có chữ số hàng đơn vị là 1 nên (19792)5 cũng có chữ số hàng
đơn vị là 1 Vậy n có chữ số hàng đơn vị là 1
Bài 11: (Bài 15/14 - Tuyển tập 250 bài toán BDHSGTC2, phần ĐS)
Rút gọn biểu thức:
A = 75(41993 + 41992+ … + n+ 42 + 5) + 25
Lời giải:
A = 25(4 – 1)( 41993 + 41992+ … + n+ 42 + 4 + 1) + 25
Vận dụng hằng đẳng thức:
aa – bn = (a – b)(an-1 + an-2b + an-3b2 + … + n + abn-2 +bn-1)
ta có:
A = 25.(41993 – 1) + 25 = 25 41994
Bài 12: (Bài 30/25 - Tuyển tập 250 bài toán BDHSGTC2, phần ĐS)
Tính tổng: S = 13 + 53 + 93 + … + n+ (4n + 1)3
Bài 13: (Đề 47, Bài 1.2/50 – Tuyển tập đề thi môn toán THCS)
Rút gọn biểu thức:
2005 2001
1
13 9
1 9
5
1 5
1
1
P