ASử dụng cách đổi biến thông thờng : Nếu hàm dới dấu tích phân chứa một căn thức, ta thờng đặt một biến mới cho căn thức đó.
Trang 1ASử dụng cách đổi biến thông thờng :
Nếu hàm dới dấu tích phân chứa một căn thức, ta thờng đặt một biến mới cho căn thức đó
Bài 1:
a I =
1
dx
x+
∫
: * Đặt t= x ; Đ S : 2-4ln
3 2
b
2 3
2
dx
I
x x
=
+
∫
*Đặt t = x2+4 Dẫn tới ( ) ( ) ( )
2
1
4
I
−
Đ S : I
ln
≈ 0.1277
c
2
3
1 1
dx
I
=
+
∫
* Đặt t=t = 1+x3; Dẫn tới
3
2
3
ln
t
−
∫
Đ S :
− − ≈
ữ ữữ
+
d
4
2
dx
∫
* Đặt t = x2+9; Dẫn tới:
2
dt
Đ S :
ln
Bài 2:
a
1
xdx
x+
1 3 1
2
2
t dt
Đ S : 5 2ln 2
3 −
b
7
3
0
2
1
x
dx
x
+
+
∫ * Đặt t= 3 x+ 1; Dẫn tới I= 2( 4 )
1
3 t∫ +t dt
Đ S : 3 31 3 23.1
Trang 2c
2
1 1 1
x
dx x
∫ * §Æt t = x− 1 ; § S : 11 4ln 2
3 −
d
7
3
0
1
x
x
+
=
+
∫ *§Ætt = 3 3x+ 1;t3 = 3x+ 1;3t dt2 = 3dx
§ S : 46
15
Bµi 3:
a I=
ln 3
0 x 1
dx
∫ * §Æt t = e x+ 1 § S : ln3( 2 12 1)
+
−
b
ln 5 2
ln 2 1
x
x
e
e
=
−
∫ * §Æt t= e x− 1 § S : 20
3
c I =
ln 2 2
x
x
e
dx
2 2
3
t
∫
§ S : 2 2
3
d
ln8
2
ln 3
1.
I = ∫ e + e dx; * §Æt t= e x+ 1; DÉn tíi: 3( ) 5 3
4 2 2
3
2
∫ § S: 284
15
Bµi 4:
a I =
7 3
3 2
0 1
x dx
x
+
∫ * §Æt t = 3 2
1 x+ ; DÉn tíi I = 2( 4 ) 5 2
1
2
1
∫ § S : 141
20
b I =
4
5
2
1
−
−
+
−
1
x x
+
2ln 2 1 ln
− −
c I =
1 2
3
x dx
x
1
x + ; § S: 23 2 1 2ln− − 2+3 2÷÷
Trang 3d I =
7
3
0
2
1
x
dx x
+
+
∫ * §Æt t = 3 x+ 1;t3 = +x 1;3t dt dx2 = DÉn tíi I= 2( 4 )
1
3 t∫ +t dt § S : 3 31 3 23.1
Bµi 5:
a I =
9
3
1
1
∫ * §Æt t =31 x− ; DÉn tíi: 0( ) 4 7
3 6 2
0
2
−
§ S : 468
7
−
b
3
0
1
I = ∫ x +x dx * §Æt t = 1+x2; DÉn tíi: 2( ) 5 3
4 2 1
2 1
∫
§ S : 58
15
c I =
1
3
0
1
∫ *§Æt t = 3 x− 1;t3 = −x 1;3t dt dx2 =
§ S : 9
28
−
d
1
0
1
I =∫x −x dx * §Æt t = 2
1 −x ; § S : 2
15
e
1
0
1
I =∫x −x dx *§Æt t = 1 −x2 ; DÉn tíi 1( 4 2 ) 2
0
∫ § S : 8
105
f
3
0
1.
I = ∫ x + x dx *§Æt t= x2 + 1; § S : 848
105
Bµi 6:
a I =
1
3
0
1
∫ *§Æt t = 3 x− 1;t3 = −x 1;3t dt dx2 =
§ S : 9
28
−
Trang 4b I = 1 x dx
x
+
Đ S : 2 1 ln 1 1
x
x
+ −
+ +
c I = 2
0
sin 2 sin
1 3cos
dx x
π
+ +
Đ S : 34
27
d
1
ln
ln 1
e
x
=
+
ln 1; ln 1; 2
x
1
2 2
1
∫
Đ S : 16
15
B Một vài cách đổi biến khác:
Bài 7:
a
3
1
3
x
−
−
=
+ + +
Đ S : -8+6ln3
b I =
2
2
dx
x + +x
∫ *Viết lại I =
2
2
dx x
+ +
*Đặt t =
2
+ + + +
Dẫn tới : I =
5 7 2
3 3 2
5 7
5 2 7 2
3 2
dt
t t
+
+
+
∫
Trang 5c I = ( ) ( )
1
dx
1
dx x
+ −
∫
*§Æt t =
+ + + −
DÉn tíi : I =
11
3 2 2
9 2 2 2
11
3 2
11 6 2 2
2 2 2
dt
t t
+
+
+
+
∫
d I =
1
2
0
1
∫ *§Æt t =x+ x2 + 1; DÉn tíi : I = ( 2 )2
1
.
t
§ S : I =3 2 28 12ln 1( 2) (2 3 2 21 )
e I =
1
2
dx
1
ln 1 2
dt I
t
+
f I =
1
2
1 1 1
dx
−∫ + + + * §Æt t =x+ 2
1
2
2 1 2
2 1
1 1
t t
+
−
+ +
2 2
1
2 1
2 1
+
−
+
∫
Trang 6Bµi 8:
1
0
1
1 n n1 n dx
1
1 n;
x
DÉn tíi I 12( )1 1 ( )
1
1
1 t n d 1 t n
−
§ S : 1
2
n
b I =
1
2 1
3
2
dx
t
t = t DÉn tíi:I=2
3
6
3 2 6
π
π
π π
=
∫
§ S :
3
π
c I =
2
2
dx
2
+
d I =
4
3 2
3 2
4
x
dx x
−
sin 2t t 4
π
< ≤ ; DÉn tíi I =
6 2 4
cos 2tdt
π
π
§ S : 3
24 16 π −
Bµi 9:
0
a
I =∫x a −x dx * §Æt x = asint DÉn tíi I = 4 2 2 ( )
1 cos 4 4
a
§ S : 4
16
b 1 ( 2)3
0
1
1 1 cos 4
t
+
§ S : 3
16
π
Trang 7c =
2
0
cos
7 cos 2
x dx x
π
+
2 sin
8 1
2
x
−
*Đặt sin ; 1cos
x
1
π
⇔
I =
1 2
2 0
2 ∫ 1−t dt * Lại đặt t =cosu Dẫn tới I=
3
2
sin 2
udu u
π π
−
∫ Đ S : 2
12
π
d I =
2
2 2
3
1
dx
1
x − ; Dẫn tới I=
4
6 12
dt
π
π
π
=
∫
Bài 10.
a I =
1
2 ln
2
e
x dx x
+
3
1 2 2
1
2∫t dt Đ S : 1( )
3 3 2 2
b I =
3
4
cos sin
3 sin 2
dx x
π
π
+ +
∫ Lu ý 3+sin2x=22-(sinx-cosx)2 =
2
2 sin cos
2 1
2
−
* Đặt t =sin cos ; 1(cos sin )
3 1 4
2 0
2
2 1
dt t
−
−
∫
Đ S : 1ln3 3 0.185
−
Trang 8Bµi 11:
a I =
1
5 0
1
1
x dx x
− +
1
2 0
.
x
dx
−
1
x x
− +
DÉn tíi: I=
2
1 1 .
0
t
b
3
2
3
2
9 2x
dx x
+
2
2
*§Æt x = 3 tan ; [0; / 2]
2 t t∈ π DÉn tíi :
1
1
du
+ −
−
§ S : I 2ln3 2 2 2 2 2
+
c I =
2
3
2
2
0 1
x dx
x
−
0
cos
(1 cos ) cos cos
3
t
§ S :8 5 2
12
−
d
2
3
0
1
x
x
+
=
+
∫ * §Æt t = 3 3x+ 2; DÉn tíi: ( )
3
2 4 2
1 3
§ S :
3 3
= − + ÷÷
Bµi 12:
a I =
1
0
1
∫ ; * §Æt t = 1 x− § S : 4
15
x
=
∫ * §Æt t= x+ 1; § S : 16 11 2
3
−
c
1
ln
ln 1
e
x
=
+
∫ * §Æt t= lnx+ 1; § S :16
15
Trang 9d 2 6 3 5
0
1 cos sin cos
π
* §Æt t= 6 1 cos ; − 3x DÉn tíi: 1 ( 6) 5 1( 6 12)
§ S :12
91
Bµi 13:
a I =
2
3
4
a b
a b
dx
x a x b
+
∫ Víi 0<a<b; * §Æt x = a+(b-a)sin2t, t∈ 0;
2
π
DÉn tíi I =( )2
4 1
sin 4
6
b a
π
−
§ S : ( )2
3
3
5
1 2
I = ∫ x− −x dx *§Æt x=1+sin2t; dx = sin2tdt DÉn tíi I = 4( )
6
1
1 cos 4
π
π
−
∫
§ S :1 3
8 12 8
π
+
c I =
3
2
dx
−
−∫ − − − ViÕt l¹i I =
3
2
dx x
−
−∫ − + * §Æt x+2 =sint; DÉn tíi I= 6
0 dt 6
π
π
=
∫
2
dx
∫ *§Æt t = x+ + 1 x+ 2 DÉn tíi
2 3
1 2
2 dt
I
t
+ +
§ S : 2ln2 3
+ +
3
dx
−
−∫ + + *§Æt t = − + + − +(x 1) (x 2) DÉn tíi I =
1 2
2 3
2 dt
t
+ +
§ S :I = 2ln2 3
+ +