Ung dung tich phan - tinh dien tich

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂNDiện tích hình phẳng Giải Tích 12 – CHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN... Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và trục hoành Cho C : y = fx liên tục trên [a;b]... Diện

ỨNG DỤNG HÌNH HỌC CỦA TÍCH PHÂN

Diện tích hình phẳng

Giải Tích 12 – CHƯƠNG TRÌNH CƠ BẢN

HOẠT ĐỘNG 1 :

Hãy tắnh diện tắch hình thang vuông giới hạn bởi các

đường thẳng : y = Ờ 2x Ờ 1 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 5

S1=SABCD= (AD+BC) x AB/2 = 28

Ở Hđ1 bài 2 ta đã tắnh diện tắch S của hình thang

vuông giới hạn bởi các đường thẳng :

y = 2x + 1 ; y = 0 ; x = 1 ; x = 5.

y = Ờ 2

x Ờ 1

y = 2

x + 1

S

S1

Các em hãy so sánh diện tắch hai

hình S và S1, cho nhận xét. 

28 )

1 2

(

: viêt có

nên ta

28 2

30 )

1 2

(

: đó khi

trong

28 2

30 )

1 2

(

:

có

Ta

5

1 1

5 1 2

5

1

5 1 2

5

1

















































dx x

S S

x x

dx x

x x

dx x

S

1 Hình phẳng giới hạn bởi một đường cong và

trục hoành

Cho (C) : y = f(x) liên tục trên [a;b]

f(x)≥0 trên đoạn [a;b] Hình thang

cong giới hạn bởi đồ thị (C), trục

hoành và 2 đường thẳng x=a ; x=b

có diện tích S được tính theo công

thức :





b

a

dx x

f

Trường hợp f(x) ≤ 0 trên

đoạn [a;b] thì :

S = SaABb= SaA’B’b =  

b

a

dx x

[

Tổng quát

Cho (C) : y = f(x) liên tục trên

đoạn [a;b] Hình thang cong giới

hạn bởi đồ thị (C), trục hoành và

2 đường thẳng x=a ; x=b có diện

tích S được tính theo công thức :

dx x

f S

b

a



VD 1 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm

số y = x3 , trục hoành và 2 đường thẳng x=-1 ; x=2

Giải : Vì x 3 ≤ 0 trên đoạn [-1;0]

và x 3 ≥ 0 trên đoạn [0;2] nên:

4

17 4

x 4

x S

dx x )dx

x ( dx

x S

2

0

4 0

1 4

2

0

3 2

1

0

1

3 3



















Diện tích của hình phẳng giới hạn bởi hai

đuờng cong.

Cho hai hàm số y=f(x),y=g(x) liên tục trên [a;b]

Trong trường hợp f(x) ≥ g(x) x[a;b] Diện

tích hình phẳng giới hạn bởi các đường:

y=f(x), y=g(x), x=a, x=b là:

)]

( )

(

[

2

1 S f x g x dx

S

S

b

a

 







Trong trường hợp tổng quát ta có

công thức

dx x

g x

f S

b

a

dx x

g x

f S

b

a

Chú ý : Nếu x[;],f(x)–g(x)≠0 thì :

dx x

g x

f dx

x g x

f

S      









)]

( )

( [ )

( )

(

Do đó để tính diện tích S theo công thức trên ta cần khử

dấu trị tuyệt đối dưới tích phân bằng cách :

• Giải phương trình f(x) – g(x) = 0 , giả sử pt có các

nghiệm c , d (a < c < d < b)

• Trên từng đoạn [a;c], [c;d], [d;b] thì f(x) – g(x) không

đổi dấu

• Đưa dấu trị tuyệt đối ra khỏi tích phân trên từng đoạn

Vd 2 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai

đường thẳng : x = 0, x =  và đồ thị của 2 hàm số :

y = sinx , y = cosx

Giải : Pthđgđ : sinx = cosx

 x = /4  [0; ]

Vậy diện tích hình phẳng là :

2 2 )

sin (cos

) sin (cos

) cos (sin

) cos (sin

cos sin

cos sin

cos sin

4

4 0

4

4

0

4

4

0

0





























































x x

x x

S

dx x x

dx x x

S

dx x x

dx x x

S

dx x x

S

Vd 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường

cong : y = x 3 – x và y = x – x 2

Giải : Pthđgđ : x 3 – x = x – x 2

 x 3 + x 2 – 2x = 0

 x = -2 ; x = 0 ; x = 1

Vậy diện tích hình phẳng là :

3 4

3 4

) 2 (

) 2 (

2

1

0

2

3 4

0

2

2

3 4

1

0

2 3

0

2

2 3

1

2

2 3



































































x

x

x x

x

x

S

dx x x

x dx

x x

x S

dx x x

x

3 - x

y =

x – x

2

Củng cố: Cho (C) : y = f(x) ; các em hãy viết công thức tính

diện tích các hình phẳng sau (không còn dấu trị tuyệt đối)

f(x)dx [-f(x)]dx

f(x)dx [-f(x)]dx

S

)]

( [

) (

c b

b 2

2 a

a 0

5 1 2 5

1

1         





dx x f S

dx x f

S

Củng cố: Cho hai đường cong (C 1 ): y = f(x) và (C 2 ): y = g(x);

các em hãy viết công thức tính diện tích các hình phẳng sau

(không còn dấu trị tuyệt đối)

)

y =

)

)]

( )

( [ )]

( )

( [

)]

( )

(



b a

b

dx x

g x

f x

f x

g S

dx x

g x

f S