Vẽ đờng tròn A; AK.. Kẻ các tiếp tuyến BE; CD với đờng tròn E; D là các tiếp điểm khác K.. c DE tiếp xúc với đờng tròn đờng kính BC... Trên cạnh AC lấy điểm M vẽ đờng tròn đờng kính M
Trang 1
Bài 1 : Cho ∆ABC vuông tại A đờng cao AK Vẽ đờng tròn (A; AK)
Kẻ các tiếp
tuyến BE; CD với đờng tròn ( E; D là các tiếp điểm khác K)
CMR:
a) BC = BE + CD
b) Ba điểm D; A; E thẳng hàng.
c) DE tiếp xúc với đờng tròn đờng kính BC.
a, Chứng minh đợc:
BC là tiếp tuyến của (A; AK)
Ta có: CD CK BE BK==
⇒ BC = BE + CD
b, Theo tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau
ta có :
1 2
3 4
1 2 1 2
= =
= =
⇒ àà1 ảả2 ảà2 ãã
3 4 3
2.
2.
+ = =
Ta có: ãDAE = DAK KAEã + ã
⇒ ãDAE= ả ả à ả
2 2 3 4
A +A +A +A ⇒ ãDAE= 2 A(ả2 +àA3) = 2 90 0 = 180 0
Vậy ba điểm A, D, E thẳng hàng
c) Gọi M là trung điểm của BC
chứng minh đợc MA là đờng trung bình của hình thang BCDE (0,25đ) nên MA // BE do đó MA ⊥DE (1)
Trang 2chứng minh đợc MA = MB = MC= 1
2
BC M
(2) (0,25đ)
Từ (1) và (2) ⇒ DE là tiếp tuyến của đờng tròn ;
2
BC M
Bài 2 Cho tỏm giỏc ABC cõn tại A cú BC<AB nội tiếp đường trũn tõm O Tiếp tuyến
tại B và C của đường trũn tõm O lần lượt cắt AC, AB theo thứ tự ở D và E
2, t/g BCDE nội tiếp
3, BC//DE
Chứng minh:
a) Xét ∆ ABD và ∆ BCDcó
ãADB (chung)
(góc nội tiếp cùng chắn cung BC )
⇒ AD BD
⇒ BD 2 = AD CD ( Đcpcm)
b) Ta có: ã 1( ằ ẳ )
2
( Góc có đỉnh ở bên ngoài đờng tròn)
2
= − ( góc có đỉnh bên ngoài đờng tròn ) Mà theo
( gt) ta có AB = AC
⇒ E, D cùng nhìn BC dới hai góc bằng nhau
⇒ 2 điểm D; E thuộc quĩc tích cung chứa góc dựng trên đoạn thẳng
BC ⇒ Tứ giác BCDE nội tiếp.
c) Theo ( cmt ) tứ giác BCDE nội tiếp
(T/C về góc của tứ giác nội tiếp)
Lại có : ACB BCD 180 ã + ã = 0 ( Hai góc kề bù )
Mà ∆ ABC cân ( gt) ⇒ ACB ABCã = ã (2)
Từ (1) và (2) ⇒ BED ABCã = ã
⇒ BC // DE (vì có hai góc ở vị trí đồng vị bằng nhau)
Bài tập 3
Cho ba điểm A, O, B thẳng hàng theo thứ tự cú OA=a
O
D E
A
C B
S
Trang 3và OB = b.Kẻ Ax, By ⊥ AB; Trờn Ax lấy điểm C trờn By lấy
a) c/m∆AOCđồng dạng ∆BDO và tích AC.BD khụng đổi
b) S ABCD , ãCOA = 600
Chứng minh:
a) Xét ∆ AOC và ∆ BDO có:
A B 90 à = = à 0 (gt)
ACO BODã = ã (cùng phụ với ãAOC)
⇒ ∆AOCđồng dạng với ∆BDO (g.g)
⇒ AO = AC
BD BO ⇒ AO BO = AC BD
Do A, O, B cho trớc và cố định
⇒ AO.BO = R2 (không đổi)
b) - Xét ∆ vuông AOC có COA 60 ã = 0
⇒ theo tỉ số lợng giác của góc nhọn ta có :
AC = AO.tg 600 = a 3 ⇒ AC = a 3
- Xét ∆ vuông BOD có BOD 30 ã = 0
(cùng phụ với ãAOC)
⇒ Theo tỉ số lợng giác của góc nhọn ta có:
BD = OB tg 300 = a 3
3
Vậy diện tích hình thang ABCD là:
Trang 4⇒ S = = 4a 3(a + b)
6
3
a a b+
=
Bài tập4
cỏc đường cao hạ từ A và B của tam giỏc ABC cắt nhau tại H ( gúc
C khỏc 900) và cắt đường trũn ngoại tiếp tam giỏc ABC lần lượt tại
D và E
1, c/m CD = CE
2, c/m ∆ BHD cân
3, c/m CD = CH
4,Xỏc định tõm của đường trũn ngoại tiếp tam giỏc DEH
Chứng minh:
1)
Ta có: AH ⊥ BC; BH ⊥ AC (gt)
⇒ H là trực tâm của ∆ ABC
⇒ CH ⊥ AB
⇒ CD = CE (hai cung bằng nhau căng hai dây bằng nhau) (đcpcm) 2)
Theo cmt ta có CD CE ằ = ằ ⇒ CBD CBHã =ã
Mà BC ⊥ HD
⇒ ∆ BHDcó phân giác của ãHBD cũng là đờng cao
⇒ ∆ BHD cân tại B ( đcpcm )
c) Xét ∆ BCH và ∆ BCD có :
BH = BD ( vì ∆ BHD cân tại B )
BC (Cạnh chung )
⇒ ∆ CBH = ∆ CBD ( c.g.c)
⇒ CD = CH ( đcpcm )
Bài 5 Cho ∆ABCvuông tại A, có AB = 9 cm, AC = 12cm Trên cạnh AC lấy điểm M vẽ đờng tròn đờng kính MC Kẻ BM cắt đờng tròn tại D
Đờng thẳng DA cắt đờng tròn tại S
CMR: a) Tứ giác ABCD là một tứ giác nội tiếp.
b) ãACB ACS= ã .
C D
B
F
B’
C’ H A’
O
Trang 5c) Tính chu vi và diện tích hình tròn ngoại tiếp tứ giác ABCD Biết AB
=9 cm, AC=12cm
a) Gọi O là tâm đờng tròn đờng kính CM và I là trung điểm
của BC
Ta có: BAC 90 ã = 0 (gt) ⇒ Theo quỹ tích cung chứa góc ta có A ∈ BC ; 2 I ữ (1)
Lại có D ∈ (O;MC2 ) ⇒ CDM 90 ã = 0
ã 0 Hay CDB 90 = (góc nội tiếp chắn nửa đờng tròn (O)) ⇒ D ∈ BC ; 2 I ữ (2)
Từ (1) và (2) suy ra 4 điểm A ; D ; B ; C ∈ ;BC 2 I ữ
Hay tứ giác ABCD nội tiếp trong ( I ; BC2 )
b) Vì tứ giác ABCD nội tiếp trong ;BC 2 I ữ (cmt)
⇒ ADB ACBã = ã (3) ( Hai góc nội tiếp cùng chắn cung AB của BC ; 2 I ữ )
Mà tứ giác CMDS nội tiếp trong ;MC 2 O ữ (gt)
⇒ MDS MCS 180 ã + ã = 0 (tổng 2 góc đối của tứ giác nội tiếp)
Mặt khác : MDS ADB 180 ã + ã = 0 ( 2 góc kề bù)
⇒ ACS ADBã = ã (4)
Trang 6Từ (3) và (4) ⇒ ACS BCAã = ã (đpcm)
c) Xét ∆ABC vuông tại A Ta có BC2 = AB2 + AC2 ( định lí Pytago)
⇒ BC2 = 92 + 122 = 81 +144 = 225 ⇒ BC = 15 Trong đờng tròn tâm I có đờng kính BC = 15 cm ⇒ R(I) =7,5 cm +) Chu vi hình tròn ;BC
2
I
ngoại tiếp tứ giác ABCD là:
C= 2 πR≈ 2.3,14.7,5 47,1 = cm +) Diện tích hình tròn ;BC
2
I
ngoại tiếp tứ giác MCSD là:
2 ( )2
Bài 6
Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đờng tròn (O) Các
đ-ờng cao BD, CE của tam giác cắt nhau tại H và cắt đđ-ờng tròn (O)
tại điểm thứ hai theo thứ tự tại N, M
a/ Chứng minh các tứ giác AEHD, EBCD nội tiếp
b/ Chứng minh: MN//ED
c/ Chứng minh: OA ⊥ ED
H
O
C B
A
a/ BD
AC,CE AB
(gt) -* Tứ giác AEHD có ∠D =∠E = 900
nên: ∠D +∠E = 1800
hai gúc ∠D và ∠E ở vị trớ đối nhau
=> t/g AEHD nội tiếp
*∠BEC = ∠BDC = 900
Xột t/gBEDC
Trang 7Có 2 đỉnh D vµ E kề nhau cùng nhìn cạnh BC chứa 2 đỉnh còn lại dưới một góc vuông
=> Tø gi¸c BEDC néi tiÕp
b/ Tø gi¸c BEDC néi tiÕp =>∠EBD = ∠ECB (cïng ch¾n cung BE) hay ∠EDH = ∠HCB (1)
∠MNB = ∠MCB (cïng ch¾n cung MB) (2)
Tõ (1) vµ (2) suy ra ∠EDH = ∠MNB
Hai ∠EDH và∠MNB ë vÞ trÝ so le trong => MN//ED
c/ Tø gi¸c BEDC néi tiÕp => ∠EBD = ∠ECD( cïng ch¾n cung ED) hay∠ABN = ∠MCA
=> cungAN =cung AM (3)
AM = AN
OM = ON
O, A nằm trên đường trung trực của MN
OA là đường trung trực của MN
Tõ (3) => OA⊥MN
V× MN//DE => OA⊥DE