b Từ I vẽ đường vuụng gúc với EF tại H.Chứng tỏ rằng H thuộc đường trũn cố định và đường IH đi qua điểm cố định... Cho nửa đờng tròn tâm O , đờng kính BC .Điểm A thuộc nửa đờng tròn đó D
Trang 1H
I
F O
A
B E
Bài 1 Cho đường trũn tõm O bỏn kớnh R, hai điểm C và D thuộc đường trũn, B
là trung điểm của cung nhỏ CD Kẻ đường kớnh BA ; trờn tia đối của tia AB lấy điểm S, nối S với C cắt (O) tại M ; MD cắt AB tại K ; MB cắt AC tại H
a) Chứng minh BMD = BAC, từ đú => tứ giỏc AMHK nội tiếp
b) Chứng minh : HK // CD
c) Chứng minh : OK.OS = R 2
a) Ta có ằBC BD= ằ (GT) → BMD BACã = ã
(2 góc nội tiếp chắn 2 cung băng
nhau)
* Do BMD BACã = ã → A, M nhìn HK
d-ới 1 góc bằng nhau → MHKA nội
tiếp.
b) Do BC = BD (do ằBC BD= ằ ), OC =
OD (bán kính) → OB là đờng trung
trực của CD
→ CD⊥AB (1)
Xet MHKA: là tứ giác nội tiếp,
AMH = (góc nt chắn nửa đờng
tròn) → HKAã = 180 0 − 90 0 = 90 0 (đl)
→ HK⊥AB (2)
Từ 1,2 → HK // CD
B
O
S
Bài 2
Cho hỡnh vuụng ABCD cú tõm O , vẽ đường d quay quanh O cắt 2 cạnh AD và BC lần lượt ở E và F ( E,F khụng trựng cỏc đỉnh hỡnh vuụng).Từ E và F lần lượt vẽ cỏc đường thẳng song song với BD và AC cắt nhau ở I.
a) Tỡm quỹ tớch của điểm I.
b) Từ I vẽ đường vuụng gúc với EF tại H.Chứng tỏ rằng H thuộc đường trũn cố định
và đường IH đi qua điểm cố định.
Bài 4 : ( 3, 5 điểm)
a) Tỡm quỹ tớch
• Thuận:∆ AEI vuụng cõn => AE = AI ; ∆ AOE =
∆OCF
=>AI = CF => FI //AB=> I ∈ AB ( cố định)
* Giới hạn I ∈ AB và trừ 2 điểm A và B
* Đảo : Gọi I’ bất kỳ trờn AB ( ≠ A , ≠ B ) Gọi E’,
F’ là điểm đối xứng của I’ qua AC và BD
Trang 2K
F E
D
C B
A
=>OA là phõn giỏc của ẳ' 'I OE ; OB là tia phõn giỏc của ã ' I OF'
=> ẳE'OF' 180 = 0 => E’ ; O; F’ thẳng hàng
* Kết luận : I∈ AB ngoại trừ 2 điểm A và B
b)AEHI nội tiếp => ẳAHI = ẳAEI = 45 0 ⇒BIHF nội tiếp =>
BHI =IFB= ⇒AHB= ⇒ ∈H đường trũn đường kớnh AB => ẳKHA= 45 0 =>
K ở chớnh giữa cung ằAB ( cố định )
Bài 3.
Cho nửa đờng tròn tâm O , đờng kính BC Điểm A thuộc nửa đờng tròn
đó Dng hình vuông ABCD thuộc nửa mặt phẳng bờ AB, không chứa đỉnh
C Gọi Flà giao điểm của Aevà nửa đờng tròn (O) Gọi Klà giao điểm của CFvà ED
a chứng minh rằng 4 điểm E,B,F,K nằm trên một đờng tròn
b Tam giác BKC là tam giác gì ? Vì sao ?
a Ta có ∠KEB= 90 0
mặt khác ∠BFC= 90 0 ( góc nội tiếp chắn nữa đờng tròn)
do CF kéo dài cắt ED tại D
=> ∠BFK= 90 0 => E,F thuộc đờng tròn đờng kính BK
hay 4 điểm E,F,B,K thuộc đờng tròn đờng kính BK.
b ∠BCF= ∠BAF
Mà ∠ BAF= ∠BAE=45 0 => ∠ BCF= 45 0
Ta có ∠BKF= ∠ BEF
Mà ∠ BEF= ∠ BEA=45 0 (EA là đờng chéo của hình vuông ABED)=> ∠
BKF=45 0
Vì ∠ BKC= ∠ BCK= 45 0 => tam giác BCK vuông cân tại B
Trang 3Bài 4: Cho tam giác có các góc nhọn ABC nội tiếp đờng tròn tâm O H là
trực tâm của tam giác D là một điểm trên cung BC không chứa điểm A
a, Xác định vị trí của điẻm D để tứ giác BHCD là hình bình hành
b, Gọi P và Q lần lợt là các điểm đối xứng của điểm D qua các đờng
thẳng AB và AC Chứng minh rằng 3 điểm P; H; Q thẳng hàng
c, Tìm vị trí của điểm D để PQ có độ dài lớn nhất
a Giả sử đã tìm đợc điểm D trên cung BC sao cho tứ giác BHCD là hình
bình hành Khi đó: BD//HC; CD//HB vì H là trực tâm tam giác ABC
nên
CH ⊥ AB và BH⊥ AC => BD⊥ AB và CD⊥ AC.
Do đó: ∠ABD = 90 0 và ∠ACD = 90 0
Vậy AD là đờng kính của đờng tròn tâm O
Ngợc lại nếu D là đầu đờng kính AD
của đờng tròn tâm O thì
tứ giác BHCD là hình bình hành.
b) Vì P đối xứng với D qua AB nên ∠APB = ∠ADB
nhng ∠ADB =∠ACB nhng ∠ADB = ∠ACB
Do đó: ∠APB = ∠ACB Mặt khác:
∠AHB + ∠ACB = 180 0 => ∠APB + ∠AHB = 180 0
Tứ giác APBH nội tiếp đợc đờng tròn nên ∠PAB = ∠PHB
Mà ∠PAB = ∠DAB do đó: ∠PHB = ∠DAB
Chứng minh tơng tự ta có: ∠CHQ = ∠DAC
H
O
P
Q
D
C B
A
Trang 4N
M
O
C
B A
Vậy ∠PHQ = ∠PHB + ∠BHC +∠ CHQ = ∠BAC + ∠BHC = 180 0
Ba điểm P; H; Q thẳng hàng
c) Ta thấy ∆ APQ là tam giác cân đỉnh A
Có AP = AQ = AD và ∠PAQ = ∠2BAC không đổi nên cạnh đáy PQ
đạt giá trị lớn nhất AP và AQ là lớn nhất hay AD là lớn nhất
D là đầu đờng kính kẻ từ A của đờng tròn tâm O
Bài 5: Cho đờng tròn (O) đờng kính AB = 2R và C là một điểm thuộc đờng
tiếp xúc với đờng tròn (O), gọi M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC Tia
BC cắt Ax tại Q , tia AM cắt BC tại N
a) Chứng minh các tam giác BAN và MCN cân
b) Khi MB = MQ , tính BC theo R
Bài 4:
a) Xét ∆ABM và ∆NBM
Ta có: AB là đờng kính của đờng tròn (O)
M là điểm chính giữa của cung nhỏ AC
nên ABM = MBN => BAM = BNM
=> ∆BAN cân đỉnh B
Tứ giác AMCB nội tiếp
=> BAM = MCN ( cùng bù với góc MCB)
=> MCN = MNC ( cùng bằng góc BAM)
=> Tam giác MCN cân đỉnh M
MC = MN (theo cm trên MNC cân ) ; MB = MQ ( theo gt)
=> ∆ MCB = ∆ MNQ (c.g.c). => BC = NQ
=> 4R2 = BC( BC + 2R) => BC = ( 5 − 1 )R
Bài 6 : Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB và CD vuông góc với nhau, lấy điểm I bất kỳ trên đoan CD.
a) Tìm điểm M trên tia AD, điểm N trên tia AC sao cho I lag trung
điểm của MN.
b) Chứng minh tổng MA + NA không đổi.
c) Chứng minh rằng đờng tròn ngoại tiếp tam giác AMN đi qua hai điểm cố định.
HD a) Dựng (I, IA) cắt AD tại M cắt tia AC tại N
Do MâN = 90 0 nên MN là đờng kính
Vậy I là trung điểm của MN
Trang 5K O
N
M
I
D
C
B A
b) Kẻ MK // AC ta có : INC = IMK (g.c.g) Δ Δ
=> CN = MK = MD (vì MKD vuông cân) Δ
Vậy AM+AN=AM+CN+CA=AM+MD+CA
=> AM = AN = AD + AC không đổi
c) Ta có IA = IB = IM = IN
Vậy đờng tròn ngoại tiếp AMN đi qua hai điểm A, B cố định Δ
.Bài 7 Cho đờng tròn tâm O đờng kính AB bán kính R Tiếp tuyến tại điểm M bbất kỳ trên đờng tròn (O) cắt các tiếp tuyến tại A và B lần lợt tại C và D.
a.Chứng minh : AC BD = R 2
b.Tìm vị trí của điểm M để chu vi tam giác COD là nhỏ nhất
a.Ta có CA = CM; DB = DM Các tia OC và OD là phân giác của hai góc AOM và MOB nên OC ⊥ OD
Tam giác COD vuông đỉnh O, OM là đờng cao thuộc cạnh huyền CD nên :
MO 2 = CM MD
⇒R 2 = AC BD
b.Các tứ giác ACMO ; BDMO nội tiếp
MCO MAO MDO MBO
⇒ = =
( ).
⇒V : V (0,25đ)
Do đó :
1
.
Chu vi AMBV =MH
V (MH1 ⊥ AB)
Do MH1 ≤ OM nên
1 1
OM
MH ≥
⇒ Chu vi VCOD≥ chu vi VAMB
Dấu = xảy ra ⇔ MH1 = OM ⇔ M≡O ⇒ M là điểm chính giữa của cung
o h
d
c
m
b a