Chương 4. TÍCH PHÂN Gv Nguyễn Thị Minh Ngọc

Trên moi đoạn.

Trang 1

Chương 4 TÍCH PHÂN

1.1 Bài toán tính diện tích

Giả sử can tı́nh diện tı́ch của hı̀nh thang cong được giới hạn bởi các đường x = a, x = b,

y = 0 và = ( ) Ta chia đoạn [a, b] thành n phan bởi các điem chia

= < < < ⋯ < =

Trên moi đoạn thứ i, la y một điem tùy ý ∗ và diện tı́ch hı̀nh thang nhỏ thứ i được xa p

xı̉ bởi hı̀nh chữ nhật có đáy là Δx = − , chieu cao là ( ∗)

Vı̀ the , diện tı́ch của hı̀nh thang cong được xa p xı̉ bởi tong các hı̀nh chữ nhật

≈ ∑ ( ∗)Δ

Khi n dan ra vô cùng sao cho max{Δ } → 0 mà tong trên dan tới giới hạn hữ u hạn thı̀ giới hạn đó được xem là diện tı́ch của hı̀nh thang cong, tức là

{ }→ ∑ ( ∗)Δ

Ví dụ 1 Tı́nh diện tı́ch của mien S được giới hạn bởi

các đường

= 0, = 1, = 0 và = Lời giải Ta chia đoạn [0, 1] thành n phan ba ng nhau

bởi các điem chia = , = 0, 1, 2, … , Chọn ∗ là mút

bên phải của đoạn thứ i, tức là ∗ = , do đó ( ∗) =

Ta có Δ = ∀ = 1, 2, … ,

Khi đó

Vậy diện tı́ch của mien S ba ng

1.2 Định nghĩa tích phân xác định

Định nghĩa 1 Cho hàm ( ) xác định trên mien ≤ ≤ Chia đoạn [a, b] thành n phan

ba ng nhau có độ dài Δ = bởi các điem chia = < < ⋯ < = Trên moi đoạn

Trang 2

thứ i [ , ] la y một điem tùy ý ∗ roi lập tong = ∑ ( ∗)Δ (gọi là tong Riemann)

Ne u có giới hạn khi n → ∞ thı̀ giới hạn đó được gọi là tı́ch phân của hàm từ a đe n b,

∫ ( ) = lim → ∑ ( ∗)Δ

Ta còn nói "hàm f khả tích trên đoạn [a, b]"

Vı̀ the , công thức tı́nh diện tı́ch trong bài toán trên là ( ) = ∫ ( )

Định lý 1 Ne u hàm liên tục trên [a, b] (có the gián đoạn tại hữ u hạn điem) thı̀ khả tı́ch

trên [a, b], tức là ton tại ∫ ( )

Định lý 2 Ne u f khả tı́ch trên [a, b] thı̀ ∫ ( ) = lim → ∑ ( )Δ , trong đó

Δ = và = + Δ

Ví dụ 2 Tı́nh = ∫

Lời giải Với n là so tự nhiên, đặ t Δ = = , khi đó = và ( ) =

Ta có ∑ ( )Δ = ∑ = (1 + 2 + ⋯ + ) =

Vậy ∫ =

Một số tính chất cơ bản của tích phân xác định

(5) ∫ [ ( ) ± ( )] = ∫ ( ) ± ∫ ( ) (6) ∫ = ( − ), −

Một số tính chất so sánh của tích phân xác định

(7) Nếu f(x) ≥ 0 với a ≤ x ≤ b thì ∫ ( ) ≥ 0

(8) Nếu f(x) ≥ g(x) với a ≤ x ≤ b thì ∫ ( ) ≥ ∫ ( )

(9) Nếu ≤ ( ) ≤ với ≤ ≤ thì ( − ) ≤ ∫ ( ) ≤ ( − )

Trang 3

1.3 Định lý cơ bản của tích phân xác định

Định lý cơ bản Giả sử f liên tục trên [a, b]

1 Ne u ( ) = ∫ ( ) , ≤ ≤ thı̀ liên tục trên [a, b] và khả vi trên (a, b), đong thời ( ) = ( )

2 ∫ ( ) = ( ) − ( ) ≡ ( )|

trong đó ( ) là nguyên hàm của ( ), tức là ( ) = ( )

Ví dụ 1 Tı́nh ∫ cos

Lời giải Vı̀ (sin ) = cos

nên ∫ cos = sin | = 1

1.4 Tích phân bất định

Giả sử ( ) là nguyên hàm của ( ), khi đó ( ) + với là ha ng so tùy ý, cũ ng là nguyên hàm của ( ), và mọi nguyên hàm của ( ) đeu có dạng ( ) +

Ký hiệu ∫ ( ) là họ ta t cả các nguyên hàm của ( ), tức là ∫ ( ) = ( ) +

De dàng kiem chứng các công thức sau:

1 ∫ ( ) = ∫ ( ) 2 ∫ [ ( ) + ( )] = ∫ ( ) + ∫ ( )

12 ∫√ = arcsin + = − arccos +

13 ∫ = atan + = − acot +

1.5 Đổi biến trong tích phân

1.5.1 Đổi biến trong tích phân bất định

Định lý 1 Ne u đặ t = ( ) mà ( ) = ( ) và ∫ ( ) = ( ) + thı̀

Ví dụ 1 Tı́nh = ∫ sin cos

Ví dụ 2 Tı́nh = ∫√

Lời giải Đặ t = + √ + (đoi bie n Euler), = 1 +

√

Trang 4

= ∫ = ln + = ln + √ + + Định lý 2 Ne u đặ t = ( ) mà ( ) = ( ) và ∫ ( ) = ( ) + thı̀

∫ ( ) = ( ) + , với = ( ) là hàm ngược của = ( )

Ví dụ 3 Tı́nh ( ) = ∫ √ −

Lời giải Đặ t = cos Vı̀ hàm ngược = arccos xác định trên [− , ] và nhận giá

trị trên [0, ] nên ∈ [0, ] Khi đó √ − = √ sin (− sin ) = − sin

2 ∫ (cos 2 − 1) =

1 2

1

2sin 2 − +

Ta có sin 2 = sin cos = √1 − cos cos = 1 − = √ −

1.5.2 Đổi biến trong tích phân xác định

Định lý 3 Giả sử hàm φ(x) đơn điệu ngặ t và khả vi liên tục trong [a, b] Ne u đặ t

= ( ) thı̀ ( ) = ( ) với ( ) liên tục trên 〈 ( ), ( )〉 Khi đó ∫ ( ) =

∫ ( ) ( )

( )

Lời giải Hàm cos đơn điệu giảm và khả vi liên tục trên [0, /2] nên ta có the đặ t

= cos Khi đó = −

= − Hàm ( ) = −

liên tục trên [0, 1] nên

= ∫ / = − ∫ = ∫ = arctan | =

Lời giải Hàm cos đơn điệu giảm và khả vi liên tục trên [0, ] nên ta có the đặ t

= cos Khi đó

Hàm ( ) = −

liên tục trên [–1, 1] nên

= (2t − 2arctan )| = 4 − Định lý 4 Giả sử hàm φ(t) khả vi liên tục trong [α, β], nhận giá trị trong [a, b], φ(α) = a,

φ(β) = b Khi đó có the đoi bie n = ( ) và ∫ ( ) = ∫ ( ) ( )

Lời giải Đặ t = sin , t ∈ [0, π/2]

Trang 5

Lời giải Đặ t = cos , t ∈ [π, 3π/2]

Ta có √ − = |sin | = − sin , = − sin

Định nghĩa 1

1 Hàm được gọi là hàm cha n ne u (− ) = ( )

2 Hàm được gọi là hàm lẻ ne u (− ) = − ( )

Nhận tha y ra ng, với mọi hàm f ba t kỳ xác định trên mien đo i xứng [− , ], luôn bieu dien được dưới dạng tong của một hàm cha n với một hàm lẻ Thật vậy

( ) = [ ( ) − (− )] + [ ( ) + (− )] = ( ) + ( )

Rõ ràng ( ) = [ ( ) − (− )] là hàm lẻ và ( ) = [ ( ) + (− )] là hàm cha n Chúng ta xem xét tı́ch phân trên mien đo i xứng của các hàm cha n hoặ c lẻ

Giả sử f là hàm khả tı́ch trên [− , ] Với phép đoi bie n = − thı̀

= ∫ [ (− ) + ( )]

Ta có định lý ve tı́nh tı́ch phân của các hàm cha n hoặ c lẻ trên mien đo i xứng Định lý 5 (Tı́ch phân trên mien đo i xứng)

1 Ne u (− ) = ( ) (hàm cha n) thı̀ ∫ ( ) = 2 ∫ ( )

2 Ne u (− ) = − ( ) (hàm lẻ) thı̀ ∫ ( ) = 0

1.6 Ứng dụng của tích phân xác định

1.6.1 Tính diện tích hình phẳng

(a) Trong tọa độ Descartes

Đe tı́nh diện tı́ch của mien S có dạng "hình thang

cong", nghı̃a là hai cạnh bên là nhữ ng đoạn tha ng, hai

đáy là hai đường cong, ta xây dựng hệ trục tọa độ sao

cho hai cạnh bên lan lượt có phương trı̀nh là x = a, x = b, còn hai đường cong có phương trı̀nh là = ( ) và = ( ) (như hı̀nh bên)

Theo mục 4.1, ta có ( ) = ∫ ( ) − ∫ ( ) = ∫ [ ( ) − ( )]

Đe đúng trong các trường hợp ( ) ≤ ( ) hoặ c đo

thị của chúng ca t nhau, ta sử dụng công thức tong quát

( ) = ∫ | ( ) − ( )|

Trường hợp đặ c biệt, ( ) = 0, ta nhận được công

thức

Trang 6

( ) = ∫ | ( )|

Ne u ( ) ≥ 0, ( ) = 0 ta có công thức ( ) = ∫ ( )

Ví dụ 1 Tı́nh diện tı́ch của mien được giới hạn bởi

các đường

= sin , = cos , = 0, = /2 Lời giải Diện tı́ch can tı́nh ba ng +

= ∫ (cos − sin )

= sin + cos | / = √2 − 1

= ∫ (sin − cos ) = − cos − sin | / / = −1 + √2 Vậy diện tı́ch can tı́nh ba ng 2√2 − 2

Ví dụ 2 Tı́nh diện tı́ch hı̀nh pha ng được giới hạn bởi các đường

1 + cos , = 0, = 0, = 2 Lời giải Nhı̀n vào đo thị, ta tha y diện tı́ch

can tı́nh ba ng hai lan diện tı́ch ứng với

0 ≤ ≤

Đoi bie n = cos , ta nhận được

= − 2 arctan | = −2 + = − 2 Trường hợp mien S được giới hạn bởi các đường

ta có công thức tı́nh diện tı́ch tương ứng

( ) = ∫ | ( ) − ( )|

Ví dụ 3 Tı́nh diện tı́ch được giới hạn bởi các đường

= − 1, = 2 + 6 Lời giải Hai đường trên có the được vie t lại dưới dạng

= + 1, = − 3

Đe tı̀m tọa độ các giao điem của hai đường này, ta giải

phương trı̀nh + 1 = − 3 hay − 2 − 8 = 0, nhận được

= −2, = 4

Tương ứng ta có = −1, = 5 Vậy các giao điem là

(−1, −2) và (5, 4)

Khi đó, diện tı́ch can tı̀m là

Trang 7

= ∫ + 1 − + 3

= ∫ − + + 4 = − + + 4 = 18 Ne u tı́ch phân dọc theo trục

x, ta phải chia thành hai mien

= {( , ) : − 3 ≤ ≤ −1, −√2 + 6 ≤ ≤ √2 + 6}

= {( , ): −1 ≤ ≤ 5, − 1 ≤ ≤ √2 + 6}

3 (2 + 6) =

16

3

Vậy A = A(A1) + A(A2) = + = = 18

(b) Phương trı̀nh tham so

Hı̀nh pha ng S được giới hạn bởi = ( ), = ( ), ≤ ≤

( ) = ∫ | ( ) ′( )|

(c) Tọa độ cực

Hı̀nh pha ng được giới hạn bởi = ( ), ≤ ≤

( ) = ∫ [ ( )]

1.6.2 Tính công

Giả sử can tı́nh công sinh ra bởi một lực ( ) đe di chuyen một vật dọc theo trục x từ a tới b Ta chia [a, b] thành n phan ba ng nhau, có độ dài Δ = bởi các điem chia

= < < ⋯ < = , = + Δ = + Δ , = 1, 2, … , Trên moi đoạn [ , ] la y một điem tùy ý ∗ và coi lực ba ng ( ∗) trên đoạn đó

Vı̀ vậy công trên moi đoạn đó xa p xı̉ ba ng = ( ∗)Δ , và công trên toàn đoạn [a, b]

xa p xı̉ ba ∑ng ( ∗)Δ

Chuyen qua giới hạn ta có công thức tı́nh công sinh ra trên toàn [a, b]:

Ví dụ 4 Một cha t điem chuyen động dọc theo trục x với lực tác động tại vị trı́ x là + 2 Tı́nh công sinh ra đe cha t điem đó di chuyen từ điem x = 1 đe n x = 3

1.6.3 Tính thể tích vật thể

Giả sử can tı́nh the tı́ch của vật the S Ký hiệu

( ) vừa là tên, vừa là so đo diện tı́ch của thie t diện

của vật the S bị ca t bởi , là mặ t pha ng vuông góc

với trục x tại điem x ∈ [a, b]

Trang 8

Chúng ta có the xem ra ng vật the S được sinh ra bởi thie t diện ( ) di chuyen khi x

Ta chia đoạn [a, b] thành n phan ba ng nhau bởi các điem , I = 0, 1, 2, …, n:

Với moi i = 1, 2, …, n ký hiệu là phan của S ứng với đoạn [ , ] và a y một điem tùy ý ∗ ∈ [ , ], khi đó the tı́ch của xa p xı̉ với ( ∗)Δ Vı̀ vậy, ≈ ∑ ( ∗)Δ

Khi n → ∞ mà tong trên ton tại giới hạn thı̀ giới hạn đó được gọi là the tı́ch của S

= lim → ∑ ( ∗)Δ = ∫ ( )

Ví dụ 4 Tı́nh the tı́ch của hı̀nh cau bán kı́nh

Lời giải Xây dựng hệ tọa độ có go c tọa độ trùng với tâm

hı̀nh cau Khi đó phương trı̀nh mặ t cau là + + =

De tha y thie t diện ( ) là hı̀nh tròn có phương trı̀nh

Vı̀ vậy, the tı́ch của hı̀nh cau là

4 3

Ví dụ 5 Tı́nh the tı́ch của ellipsoid có các bán trục tương ứng là a, b và c

Lời giải Phương trı̀nh của ellipsoid là + + = 1

Với moi ∈ [− , ] thı̀ ( ) là ellipse có phương trı̀nh

1 −

+

1 −

= 1

Ta có ( ) = 1 − nên the tı́ch của ellipsoid là

Vật thể tròn xoay

Vật the tròn xoay được sinh ra ba ng cách quay một mien pha ng quanh một trục nào

đa y

Ne u xoay quanh trục x: ( ) = ( ) ⇒ = ∫ ( )

Trang 9

Ne u xoay quanh trục y: ( ) = ( ) ⇒ = ∫ ( )

Ví dụ 6 Tı́nh the tı́ch của hı̀nh xuye n như hı̀nh bên

Lời giải Có the xem hı̀nh xuye n được sinh ra khi quay

đường tròn + ( − ) = quanh trục x

Gọi và lan lượt là the tı́ch của các vật the được sinh ra khi quay các cung và quanh trục x

Với thı̀ ( ) = + √ − nên

Với thı̀ ( ) = − √ − nên

Vı̀ vậy, = − = 8 ∫ √ −

Đặ t = cos , ∈ 〈 /2,0〉 ta có

Vậy the tı́ch hı̀nh xuye n là = 8 = 2 = ( )(2 )

Nghı̃a là, the tı́ch hı̀nh xuye n ba ng the tı́ch hı̀nh trụ có cùng bán kı́nh và chieu dài

2

Với vật the tròn xoay nhận được khi quay một mien pha ng quanh trục y, ta có the tı́nh theo cách khác như sau

Giả sử mien pha ng được giới hạn bởi các đường = ( ), = , = , = 0

Ta chia đoạn [a, b] thành n phan cùng ba ng Δ = bởi các điem chia

= < < ⋯ < = , = + Δ = + Δ , = 1, 2, … , Với moi i = 1, 2, …, n, ta la y trung điem ̅ của đoạn [ , ] Ne u quay hı̀nh chữ nhật có đáy là đoạn [ , ] và chieu cao ( ̅ ) quanh trục y thı̀ nhận được một hı̀nh trụ có trung bı̀nh các bán kı́nh là ̅ , chieu cao là ( ̅ ) và độ dày là Δx Vı̀ vậy the tı́ch của được tı́nh theo công thức = (2 ̅ ) ( ̅ )Δ Vı̀ vậy the tı́ch V xa p xı̉ vởi tong các :

Trang 10

≈ ∑ = ∑ 2 ̅ ( ̅ )Δ Chuyen qua giới hạn, ta nhận được công thức = 2 ∫ ( )

Ví dụ 7 Tı́nh the tı́ch hı̀nh xuye n được cho trong Vı́ dụ 6

Lời giải Có the xem hı̀nh xuye n được sinh ra khi quay

hı̀nh tròn có phương trı̀nh ( − ) + = quanh trục y

Do tı́nh đo i xứng, ta tı́nh the tı́ch ứng với nửa trên roi nhân đôi

Vı̀ = − ( − ) nên the tı́ch hı̀nh xuye n là

Đoi bie n − = cos , hay = + cos , ∈ 〈 , 0〉 Khi đó

= 2 ∫ ( + cos − cos 2 − cos cos 2 )

1.6.4 Tính độ dài cung phẳng

Từ công thức vi phân cung = + ta nhận được

các công thức tı́nh độ dài cung sau đây

(a) Với phương trı̀nh tham so

Mô tả cung: = {( , )| = ( ), = ( ), ≤ ≤ }

Độ dài cung: = ∫ [ ′( )] + [ ′( )]

(b) Phương trı̀nh trong tọa độ Descartes

Mô tả cung: = {( , )| = ( ), ≤ ≤ }

Độ dài cung: = ∫ 1 + [ ′( )]

(c) Phương trı̀nh trong tọa độ cực

Mô tả cung: = {( , )| = ( ), ≤ ≤ }

Độ dài cung: = ∫ [ ( )] + [ ′( )]

Ví dụ 8 Tı́nh độ dài đường tròn bán kı́nh a

Lời giải La y hệ trục tọa độ Descartes với go c tọa độ trùng với tâm đường tròn Do tı́nh

đo i xứng, ta chı̉ tı́nh độ dài của 1/4 đường tròn thuộc góc phan tư thứ nha t roi nhân với 4 (a) Phương trı̀nh tham so : = cos , = sin , 0 ≤ ≤ /2

= 4 ∫ / (− sin ) + ( cos ) = 4 ∫ / = 2

(b) Phương trı̀nh trong tọa độ Descartes: = √ − , 0 ≤ ≤

Trang 11

= 4 ∫

(c) Phương trı̀nh trong tọa độ cực: = , 0 ≤ ≤ /2

1.6.5 Tính diện tích mặt tròn xoay

Xét mặ t tròn xoay được sinh bởi đo thị = ( ) > 0, ≤ ≤ quay quanh trục x Chia [a, b] thành n phan ba ng nhau với độ dài Δ = bởi các điem chia

= < < ⋯ < = , = + Δ = + Δ , = 1,2, … , Đặ t = ( ) và = ( , ) Khi đó diện tı́ch mảnh thứ i ứng với đoạn [ , ] xa p xı̉ ba ng 2 | |

Ta lại có | | = Δ + Δ = 1 + Δ ≈ 1 + [ ′( ∗)] Δ

Vı̀ vậy diện tı́ch mặ t tròn xoay xa p xı̉ với ∑ 2 ( ∗) 1 + [ ′( ∗)] Δ , vı̀ vậy nó được tı́nh theo công thức

= 2 ( ) 1 + [ ′( )]

Tong quát, công thức tı́nh diện tı́ch mặ t tròn xoay là

= 2 | ( )| 1 + [ ′( )]

Ne u mặ t được sinh ra khi quay đường cong = ( ) quanh trục y thı̀ công thức là

= 2 | ( )| 1 + [ ′( )]

Ví dụ 9 Tı́nh diện tı́ch mặ t xuye n trong Vı́ dụ 6

Lời giải Ta xét hệ trục tọa độ như trong Vı́ dụ 6

Gọi và là diện tı́ch tương ứng với các cung và

Đạo hàm hai ve của + ( − ) = theo x

Trang 12

= 4 ∫ + √ −

√

1.7 Kỹ thuật tính tích phân

1.7.1 Tích phân từng phần

Với ( ) và ( ) là các hàm khả vi theo x, ta có công thức tı́ch phân từng phan

∫ ( ) ( ) = ( ) ( )| − ∫ ( ) ( ) Công thức này ra t hiệu quả khi hàm dưới da u tı́ch phân có dạng

Ví dụ 2 = ∫ cos 2 = ∫ (sin 2 ) = sin 2 − ∫ sin 2

= sin 2 + cos 2 + = sin 2 + cos 2 +

Ví dụ 3 = ∫ sin 2 = − ∫ (cos 2 ) = − [ cos 2 − 2∫ cos 2 ]

= − cos 2 + sin 2 + cos 2 +

Đặ t √1 − = ⇒ = 1 − ⇒ ( ) = −2

∫

= 1

1

3(1 − ) − 1 = −1

3( + 2) 1 −

Đặ t = ∫ sin 2 = ∫ sin 2 ( ) = [ sin 2 − 2 ∫ cos 2 ]

= [ sin 2 − 2 ]

Định dạng
Số trang	18
Dung lượng	719,2 KB