Phân loại dạng và phương pháp giải nhanh nguyên hàm – tích phân – Nguyễn Vũ Minh (Tập 1)

TN18 THPT chuyên Nguyễn Trãi lần 2: Tính nguyên hàm 1 d... TN31 THPT chuyên Nguyễn Trãi lần 1: Hàm số ysinx là nguyên hàm của hàm nào trong các hàm sau?. TN32 THPT chuyên Nguyễn Trãi lầ

PHÂN LOẠI DẠNG VÀ

PHƯƠNG PHÁP GIẢI NHANH

BIÊN HOÀ – Ngày 27 tháng 11 năm 2017

Chuyên đề

TẬP 1

1) Định nghĩa : F(x) là nguyên hàm của hàm số f(x) trên (a; b) 

4) Cách tìmnguyên hàm : Biến đổi tích hoặc thương, tổng, bạ bậc, khai triển lũy thừy, chia đa

thức< Căn thức thành lũy thừa :

2

1 cos2u sin u

2 2

1

1 tan u cos u

1

1 cot u sin u

4 3sinu sin3u sin u

Bài Tập 1: Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau

x

3/

2

f(x)

x

f(x) x x4 x

5/ f(x)( x 1)(x  x 1) 6/

x x

2

e

sin x



♥ Giải :

Bài Tập 2 (SỞ GD ĐT HÀ TĨNH): Biết rằng   4

  3

f x x , giá trị của m là A 1

♥ Giải :

Bài Tập 3 : a/ Nguyên hàm của hàm số 2 1 ( ) 3 f x x x x    là: A 3 2 3 ln 3 2 x x x C    B 3 2 2 3 1 3 2 x x C x    C 3 2 3 ln x  x  x C D 3 2 3 ln 3 2 x x x C    b/ Họ nguyên hàm của f x( )x22x1là A 1 3 ( ) 2 3 F x  x   x C B F x( )2x 2 C C 1 3 2 ( ) 3 F x  x x  x C D 1 3 2 ( ) 2 3 F x  x  x  x C c/ Nguyên hàm của hàm số f x( ) 1 12 x x   là : A 2 lnxlnx C B lnx – 1 x + C C ln|x| + 1 x + C D ln x 1 C x   ♥ Giải :

Bài Tập 4 : Tìm nguyên hàm của các hàm số sau a/ x x x 2 e f(x) e (7 3e ) cos x      b/  x x 2x 1 f(x) 2 3 2  c/ x x f(x)e (5 3e )  ♥ Giải :

Bài Tập 5: Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau 1/ f(x) 2sinx 3cosx 7 x    2/ f(x)tan x 3cot x2  2 3/ f(x)(2tanx cotx) 2 4/ f(x) 2 1 2 sin x.cos x  5/  5 2  f(x) x 3x x 1 6/ f(x) 3sinx 7cosx  8/ 15 4 6 3 3x 7x 2x 8 10x f(x) x      7/ x 3 f(x)2 x3e 4sin x 8 / x 9/ f(x) 2 6 2 sin x.cos x  ♥ Giải :

Bài Tập 6: a/ Nguyên hàm của hàm số   x 1x 3 f x 4   là: A   x 4 3 F x 3 C 3 ln 4         B   x 3 4 F x C 3 ln 4         C   x F x C 2   D   x 3 4 F x 3 C 3 ln 4         b/ 2x x x 2 3 7 dx  là A x 84 C ln 84 B 2x x x 2 3 7 C ln 4.ln 3.ln 7 C x 84 C D x 84 ln 84 C ♥ Giải :

Bài Tập 6: Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau 1/ 3 2 f(x)x 3x 4x 3 ; 2/ 2 2 f(x)2x(x 3x) 3/ f(x) 4sinxcosx 2 2  4/ f(x)2sin x 3cos x 5e  x 5/ 2 f(x)tan x 3 6/ 1 2 f(x) (2 ) x   7/ 3 ( x 2) f(x) x   8/ f(x)22x 1.33x 2 9/ x 2 f(x)(3 2) ♥ Giải :

Bài Tập 7: Chứng minh F x( ) là một nguyên hàm của hàm số f x( ) trong các trường hợp sau: a/ F x( )5x34x27x120và 2 ( ) 15 8 7 f x  x  x b/ 2 ( ) ln( 3) F x  x x  và 2 1 ( ) 3 f x x   c/ ( ) (4 5) x F x  x e và f x( )(4x 1) e x Phương pháp: Đ F x( ) à t nguyên hà c a hà s f x( ), ta cần chứng minh: ♥ Giải :

Ví dụ 03: TÌM HỌ NGUYÊN HÀM CỦA CÁC HÀM SỐ SAU:

Bài tập 01 (THPT Hoàng Văn Thụ - Khánh Hòa): Tìm nguyên hàm của hàm số   2017 x

Bài tập 06: Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau 1/ f(x) sin 2 x.cos x 2/ f(x) sin 4 x.sin 6x 3 / f(x) cos 6 x.cos 2 x

♥ Giải : Lưu ý các công thức sử dụng cho phần này là : TÍCH THÀNH TỔNG

♥ Giải :

Bài tập 07: Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau 1 / 3 2 x 3x 6x 5 f(x) x 1      2/ 1 f(x) x 9 x    3/ 2 3x 6x 5 f(x) 2x 1     4/ 2 3 f(x) π cos 2x 4         5 /f(x) 6x 5 2x 5     6/ 4 4 f(x)cos x sin x ♥ Giải :

Bài tập 08: Tìm họ nguyên hàm các hàm số sau

1/ (ĐH Ngoại Thương – 1998- Khối A)

2

f(x)



 

2/ (ĐH Ngoại Thương – 1998- Khối D)

2

f(x)



 



2

x 1 f(x)

x 2



   

♥ Giải :

Bài tập 09 ( THPT chuyên Hưng Yên lần 2) : Tìm giá trị của m để hàm số

f x  x  x

A m2 B m1 C m 1 D m 1

♥ Giải :

Bài tập 10 ( THPT chuyên Thái Bình) : Tìm nguyên hàm của hàm số   2 2

Bài tập 12 (Cụm 1 HCM): Nguyên hàm của hàm số f x  x 2x là:

Bài tập minh họa cho phương pháp :

b/ I 23x 7 dx 2 1 dx 2 ln x 1 ln x 3 C

Bài tập 7 : Tính các nguyên hàm số sau ( sử dụng pp Xê Hắc E )

2











 



dx 

D

x x 1









 









♥ Giải :

Khẳng định nào sau đây là đúng?

TN4 : Cho F(x) là một nguyên hàm của f(x) = cos 2x

y x

x x

3320173

x x

x

x

C x

x

x

C x

x

f x  x  là:

C 2sinxdxsin 2x C D 2sinxdx 2 cosx C

TN16 (THPT chuyên Phan Bội Châu): Hàm số nào dưới đây là nguyên hàm của hàm số

  1

?1

Với C là một hằng số nào đó Khẳng định nào sau đây là đúng ?

TN18 (THPT chuyên Nguyễn Trãi lần 2): Tính nguyên hàm 1 d

g x dx  x C

ln 4 33

TN31 (THPT chuyên Nguyễn Trãi lần 1): Hàm số ysinx là nguyên hàm của hàm nào trong các

hàm sau ?

A ycosx B ytanx C ycotx D ysinx1

TN32 (THPT chuyên Nguyễn Trãi lần 1): Trong các mệnh đề sau, mệnh đề nào sai?

C cos 2 dx xsin 2x C D cos 2 dx x2sin 2x C





C x

C 1ln

x C

ln3

x

C x

TN52 : Cho  f x dx  F x C Khi đó, với a0, ta có f ax b dx   bằng

+ Nếu bậc tử  bậc mẫu ta xem tử có phải là đạo hà

CÁCH ĐỔI BIẾN SỐ CẦN NHỚ

PHƯƠNG PHÁP ĐỔI BIẾN SỐ

c a mẫu hay ko ? nếu có đặt t = mẫu số

+ Nếu ko có 2 trường hợp này ta sẽ làm theo dạngkhác sẽ trình bày ở phần khác

n dx

dxf(lnx)

cos x



2

dxf(cotx)

Bài tập 02 (THPT Thuận Thành 2): F x  là nguyên hàm của hàm số f x  2x1

♥ Giải :

Bài tập 07 : a/

1 x 2

edxx

1 x

e C B x

1 x

x

1Ce



Bài tập 08: Tính các nguyên hàm sau

Bài tập 09: Tính các nguyên hàm sau

x x

e dxG







♥ Giải :

Bài tập 10 (THPT An Lão lần 2): Tìm nguyên hàm 2 15

♥ Giải :

Bài tập 12 (THPT Hoàng Quốc Việt): Nguyên hàm 1 d

Bài tập 13 (TTGDTX Cam Ranh - Khánh Hòa): Biết F x  là một nguyên hàm của hàm số

2

( ) x

f x xe và   3

02

Bài tập 17: Tính các nguyên hàm sau 5

Bài tập 19: Tính các nguyên hàm sau

Bài tập 20: Tính các nguyên hàm sau A 10 x dx

Bài tập minh họa 01:

a/ Tìm một nguyên hàm của hàm số f(x)tan x2 , biết π

Bài 02 (THPTQG – 2017): Cho F x  là một nguyên hàm của hàm số f x  e x 2x thỏa mãn

Bài 03 (THPT Chuyên Nguyễn Bỉnh Khiêm – QN): Biết F x  là nguyên hàm của f x 4x và

♥ Giải :

Bài 06: Tìm một nguyên hàm của các hàm số sau f(x)cos x 2 3tan x   biết F(π) 1

♥ Giải :

Câu hỏi trắc nghiệm :

Câu 01 (THPT Chuyên Phan Bội Châu): Biết F x  là một nguyên hàm của hàm số   1

Câu 04 (THPT Hoàng Văn Thụ - Khánh Hòa): Cho   3 2

A x2cosx2sinx B 2 cos x2sinx

Câu 15: Nguyên hàm của hàm số: y = 2cos 2 2

2017 3

2

5x xe2017x C

C

2017 2

3

2017 2

x



Câu 26 (THPT Kim Liên – Hà Nội): Tìm nguyên hàm của hàm số   3 1

Câu 29: Một nguyên hàm của hàm số:

3 22





x y

s in22

f x dx x C

sin 44

Câu 38 (Cụm 4 – Tp.HCM): Hàm số F x 2sinx3cosx là một nguyên hàm của hàm số

Câu 39 (Sở GD – ĐT Hà Tĩnh lần 2): Biết F x( )sin xd ;x F(0) 1 khi đó

Câu 43 (TT Tân Hồng Phong): Tìm nguyên hàm của hàm số f x sin 2x

C

2sin

Câu 49: Nguyên hàm của hàm số:     4x 1

Câu 71: Một nguyên hàm của hàm số ysin 3x

Câu 74 (Cụm 6 Tp.HCM): Tìm nguyên hàm F x  của hàm số    2 

Định lý: Nếu hai hàm số uu x( ) và vv x( ) có đạo hàm và liên tục trên K thì

( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

I u x v x dx   u x v x u x v x dx   hay I  udvuvvdu 

Vận dụng giải toán:

Nhận dạng: Tích 2 hàm khác loại nhân nhau, chẳng hạn: mũ nhân lượng giác e x.sin x dx,

Đặt: Vi phân Nguyên ha m u du dx dv dx v                Suy ra: I udvuvvdu. Thứ tự ưu tiên chọn u: og – đa – ư ng – ũ và dv phần c n ại Nghĩa là nếu có ln hay loga x thì chọn uln hay log 1 ln ln a u x x a   và dv còn lại Nếu không có ln; log thì chọn u đa thức và dv còn lại Nếu không có log, đa thức, ta chọn u lượng giác,< Lưu ý: bậc của đa thức và bậc của ln tư ng ứng với số lần lấy nguyên hàm Bài tập : Tính các nguyên hàm sau: Câu 01: I xsinx dx  ĐS: I sinxcosx C ♥ Giải :

Câu 02: (1 2 ) x I   x e  dx ĐS: I  (3 2 )x e x C ♥ Giải :

TÍNH NGUYÊN HÀM BẰNG PHƯƠNG PHÁP TỪNG PHẦN

NGUYÊN HÀM TỪNG PHẦN

Câu 03: I e xcosx dx  ĐS: (sin cos ) 2 x e I  x x C ♥ Giải :

Câu 04: I (2x 1) lnx dx  ĐS: 2 2 ( ) ln 2 x I  x x x  x C ♥ Giải :

Câu 05: 3x I x e  dx ĐS: 3 3 3 9 x x xe e I   C ♥ Giải :

Câu 06: I lnx dx  ĐS: I xlnx x C ♥ Giải :

Câu 07: I (x 1) sin 2x dx  ĐS: 1cos 2 1sin 2 2 4 x I    x x C ♥ Giải :

I x e   dx ĐS: I    (1 x e) xC

♥ Giải :

Câu 09: I xcosx dx  ĐS: I xsinxcosx C ♥ Giải :

Câu 10: x I x e  dx ĐS: I xe x e x C ♥ Giải :

CÂU HỎI TRẮC NGHIỆM

Câu 01: Một nguyên hàm của hàm số ( ) x

f x xe là:

A e xC B e xx 1 C C e xx 1 C D

2 2

x

x

e C

Câu 02: Một nguyên hàm của hàm số f x( )(x22 ).x e x là:

Câu 04: Cho ( )f x xsinx Nguyên hàm của ( )f x là:

A xcosx C B xsinxcosx C C sinxxcosx C D xcosxsinx C

Câu 05: Nguyên hàm của hàm số f x( )xe x2 là hàm số:

Câu 09: Hàm số ( ) (f x  x 1)sinx có các nguyên hàm là:

A F x( ) (x 1) cosxsinx C B F x( )  (x 1) cosxsinx C

C F x( )  (x 1) cosxsinx C D F x( ) (x 1) cosxsinx C

C F x( )x(1 sin ) cos x  x C D. F x( )x(1 sin ) cos x  x C

Câu 12: Gọi hàm số ( )F x là một nguyên hàm của ( )f x xcos3x, biết (0) 1F  Vậy ( )F x là:

Câu 14: Tính xcosxdx, ta được kết quả là:

A F x xsinxcosx C B F x xsinxcosx C

C F x  xsinxcosx C D F x  xsinxcosx C

C F x( )x1ex1 D F x( )x1ex2

Câu 19: Kết quả nào sai trong các kết quả sau ?

A

2.cossin

2

B Số nghiệm của phư ng trình f x 0 bằng số điểm cực trị của hàm số f x .

C Nếu f x  đổi dấu từ âm sang dư ng khi qua x0 thì hàm số đạt cực đại tại x0.

Câu 04 : Cho hàm số y f x  xác định, liên tục trên và có đồ thị

như hình bên Tìm số điểm cực trị của hàm số y f x 

song với đường thẳng y  x 1.

Khẳng định nào sau đây sai?

D Phư ng trình f x  5 0 có hai nghiệm thực

Câu 11 : Đường cong ở hình bên là đồ thị của một trong bốn hàm

số được cho dưới đây Hỏi hàm số đó là hàm số nào?

x y x

x y x

A Đồ thị hàm số y f x  có hai đường tiệm cận ngang là x2 và x 2.

C Đồ thị hàm số y f x  có hai đường tiệm cận ngang là y2 và y 2

D Đồ thị hàm số y f x  không có đường tiệm cận ngang

Câu 15 : Tìm số đường tiệm cận của đồ thị hàm số 22 7

1

x y x

Câu 17 : ( Trích câu 15, đề tham khảo Bộ GD&ĐT) Hàm số    2 

O

Câu 25 : ba số thực dư ng , , .a b c Đồ thị các hàm số yx a, yx b, yx c được cho như hình vẽ

bên Khẳng định nào sau đây đúng?

A 1  a b c

B c b 1; a0

C 1  c b 0; a0

D b c 1; a0

Câu 26 : Có bao nhiêu giá trị nguyên của tham số k để

phư ng trình log32x log32x 1 2k 1 0 có nghiệm thuộc 3

 

    đối xứng nhau qua Oy

(II): Đồ thị hàm số yloga x và log1

40 81

1 81

x

x

A f x   1 x x2 log 3. 7

5 8x x 500

Bước 1: Điều kiện: x0 Phư ng trình tư ng đư ng với

1 1

(thỏa mãn điều kiện)

Vậy phư ng trình đã cho có hai nghiệm: x3, xlog 25

Hỏi bài giải bạn Hùng đúng hay sai? Nếu sai thì sai bắt đầu từ bước nào?

Câu 36 : Mỗi hình sau gồm một số hữu hạn đa giác phẳng (kể cả các điểm trong của nó), tìm số

hình đa diện lồi

Câu 38 : Một khúc gỗ có dạng với độ dài các

cạnh được cho như hình vẽ bên Tính thể tích

khối đa diện tư ng ứng

.3

Câu 39 : Cho hình chóp S ABCD , có đáy là hình bình hành Gọi G là trọng tâm tam giác SBD

Mặt phẳng  P chứa AG và song song với BD, cắt SB SC SD, , lần lượt tại ',B C', D' Tính tỉ số thể tích giữa khối S AB C D' ' ' và khối S ABCD

A

3

2

.6

a

V 

Câu 42 : Bạn Lan có một miếng bìa cứng hình tròn có bán kính bằng 2 Bạn

30

miếng bìa còn lại tạo thành mặt xung quanh của một hình nón  N Tính

diện tích xung quanh S xq của hình nón  N

Câu 43 : Cho hình lăng trụ đứng ABC A B C    có đáy là tam giác đều cạnh a, biết tứ giác BCC B  là

hình vuông Tính thể tích V của khối lăng trụ ABC A B C   

A

3

3

.6

a

V 

Câu 44 : Cho hình bình hành ABCD có 0

ADa AB a BAD (như hình bên) Tính thể tích

2

30 0

O

B A

V  

Câu 45 : Để chuẩn bị cho Tết Nguyên Đán 2017, ban dự án đường hoa Nguyễn Huệ, quận 1,

Thành phố Hồ Chí Minh dự định xây dựng một khối cầu có bán kính bằng 2 m để trưng bày hoa

tư i xung quanh, để tiết kiệm diện tích Ban quản lý xây một hình trụ nội tiếp mặt cầu Tính bán

kính đáy r của hình trụ sao cho khối trụ có thể tích lớn nhất

Câu 46 : Nếu góc ở đỉnh của hình nón  N bằng 0