và ớc lợng căn thức.
Trang 1Một số bài toán chọn lọc về bất đẳng thức:
BT1: cho các số dơng x,y,z Tìm GTNN của :
2 2
2
xy
y x z zx
x z y yz
z y
x
y y
x
+
≥ + 2
2
BT2: cho các số dơng x, y ; x+y =
4
5 Tìm GTNN của :
S = .
4
1
4
y
x + BT3:
Cho các số dơng x,y,z : x+ y+z ≤1 CMR :
2
2 2
2+ + + + + ≥
z
z y
y x
x
HD: Đặt ( ;1); ( ;1); ( ;1).
z z c y y b x x
|a | + | b | + | c | ≥ | a + b + c |
BT 4: cho các số dơng x, y,z sao cho 1 + 1 + 1 = 4
z y x
2
1 2
1 2
1
≤ + +
+ + +
+ + + y z y x z z x y
x
16
1
1
d c b a d
c b
+ +
+
BT 5: cho các số dơng x,y,z sao cho xyz =1 CMR
2 2 2
2 2
2
≥ + + + + + + +
+
xz
z x yz
z y xy
y x
HD : đánh giá đại diện:
1+ x2+y2 ≥ 3xy và ớc lợng căn thức
BT6 : cho các số dơng x,y CMR :
(1+ )(1+ 9)(1+ 9 )≥ 256
y x
x
HD : phân tích các nhân tử , áp dụng bđt cô si
Trang 24(1 7 )
2
11
2
x x
x
BT8 : cho các số dơng x,y sao cho : x+y≥ 4 Tìm GTNN của :
3 2
4
4
3
y
y
z x
HD : BĐT cô si
BT11: cho các số dơng x,y,z Tìm GTNN của ;
) (
2 ) (
4 )
( 4 )
(
x
z z
y y
x x
z z
y y
x
HD : đánh giá đai diện : 3 4 ( x3 + y3) ≥ x + y
BT10: cho các số dơng x,y,z sao cho x+y+z =1
Tìm GTNN của :
xyz z
y x
+ +
=
BT11: cho các số dơng x ,y: sao cho x2 + y2 = 1
Tìm GTNN của
( 1 )( 1 1 ) ( 1 )( 1 1 )
x
y y
x
HD : khai triển và áp dụng BĐT cô si
BT12: cho các số dơng x,y,z sao cho x+y+z =1 Tìm GTNN
S = x2y + y2z + z2x
HD : cô si
BT 13: cho các số x và y đều khác 0 thỏa mạn : (x+y)xy =x2+y2 − xy
Tìm GTLN :
13 13
y x
BT14 :cho x , y thỏa mạn đk : x ( 1 − x ) = y 4 − x2.
Tìm GTLN GTNN của :
y
x
BT 15:CMR :
Trang 32
; 0 (
; ) tan ( cos
)
sin
( 2 > > 2 ∀ x ∈ Π
x
x x
x
x
BT 16:cho c¸c sè d¬ng a,b,c sao cho ab+bc + ca =abc
CMR:
2 2
2 2
2 2
≥
+ +
+ +
+
ca
a c
bc
c b
ab
b a
BT 17: Cho c¸c sè d¬ng a,b,c CMR :
2
1 1
1
2 2
c b a ab c
ac b
bc
a
+ +
≤ +
+ +
+
+
Mét sè bµi to¸n khã( thi häc sinh giái )
ABT18 : cho c¸c sè d¬ng a,b,c sao cho abc =1
2
3 ) (
1 )
(
1 )
(
1
3 3
+
+ +
+ +c b c a c a b b
a
BT19: cho c¸c sè d¬ng a,b,c CMR :
.
1 8
8
+
+ +
+
c ac
b
b bc
a
a
BT20 : cho c¸c sè d¬ng xi> 0 sao cho :
1998
1 1998
1
1
1
1
= +
+ +
1
1 ≥
−
n
x x
n
n
BT21: cho c¸c sè d¬ng a,b,c,d sao cho :
1 1
1 1
1 1
1 1
1
4 4
4
+
+ +
+ +
+
CMR :
abcd≥3
BT22: cho c¸c sè d¬ng x, y sao cho : x2 + y2 = 1
CMR : |16 ( x5 + y5) − 20 ( x3 + y3) + 5 ( x + y ) | ≤ 2
BT 23: V¬i mäi sè thùc x,y,z >1 sao cho
2 1
1
z
y
Trang 41 1
−
≥ +
x
BT24: Cho c¸c sè d¬ng x,y,z chøng minh r»ng :
4
9 ) ) (
1 )
(
1 )
(
1 )(
+
+ +
+ +
+
+
x z z
y y
x z
y
x
DÊu b»ng xÈy ra khi nµo
BT 25: cho c¸c sè d¬ng a,b,c CM :
1 1
1
1
3 3
3 3 3
3 b abc b c abc c a abc abc
+ +
+ +
+
+ +
+
§¼ng thøc xÈy ra khi nµo ?
BT 26 : cho c¸c sè d¬ng a,b,c CMR:
.) )(
)(
( )
)(
BT 27 : cho c¸c sè d¬ng a,b,c,d sao cho a+b+c+d =1
CM:
8
1 ) (
) (
6 a3 + b3 + c3 + d3 ≥ a2 + b2 + c2 + d2 +
BT 28: : cho c¸c sè d¬ng a,b,c,d sao cho a+b+c+d =1
CMR :
Abc + bcd + cda + dab ≥ abcd
27
176 27
1
HD : pp dån biÕn
BT 29 : cho c¸c sè thùc d¬ng x,y,z tháa m¹n xyz =1.CMR ;
.
1 1
1 1
1 1
1
2 2
+ +
+ + +
+ +
x
BT 30 : cho c¸c sè thùc kh«ng ©m a,b,c,d CMR :
2 2 2 2 2
2 2
2 2
2 2
2 4
4 4