Vậy để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x = y... GV: Phan Văn HuynhBài 5... VẤN ĐỀ 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2 A.LÝ THUYẾT: 1.Khái niệm: Hệ phương trình hai ẩn x, y gọi
Trang 1CHUYÊN ĐỀ: II VẤN ĐỀ 1: HỆ ĐỐI XỨNG LOẠI 1
A.LÝ THUYẾT :
1.Khái niệm: Hệ đối xứng loại 1 là hệ khi ta thay x bởi y và y bởi x thì hệ
không thay đổi
2.Cách giải:
- Biểu diễn từng phương trình qua x+y và x.y
- Đặt S= x+y và P=x.y ta được hệ mới chứa S và P
- giải hệ tìm S,P
- Các số x, y là nghiệm của phương trình: t2 – St + P =0
*Chú ý: 1)Hệ có nghiệm khi và chỉ khi : S2 − 4P≥ 0
2)Nếu (x;y) là nghiệm của hệ thì (y;x) cũng là nghiệm của hệ Vậy để
hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x = y
B BÀI TẬP:
Bài 1:giải các hệ phương trình sau:
a) 2 2 5
5
x y xy
x y
b) 3 3
2 26
x y
x y
+ =
c)
30 35
x y xy
x y
ĐS: a) (1;2), (2;1) b) (-1;3), (3;-1) c) (2;3), (3;2)
Bài 2: giải các hệ phương trình sau:
a)
13 6 5
x y
y x
x y
+ =
+ =
b) 2 2 11
30
xy x y
x y xy
+ + =
c)
7 21
x y xy
x y x y
ĐS: a) (2;3), (3;2) b) (5;1), (1;5), (2;3), (3;2) c)(1;2), (2;1), (-2;-1), (-1;-2)
Bài 3: giải các hệ phương trình sau:
a)
5
x
x y
y x
x y
y
+ + =
b)
( )
2
12 6
x x
y y
xy xy
÷ ÷
c)
2 3 2
xy
x y
x y xy
+ + =
+ =
ĐS:a) 3 1;
2 2
, (2;1) b) (2;1), (-2;-1).
Bài 4 giải các hệ phương trình sau:
a) ( ) (3 2 3 2)
6
x y x y xy
x y
b)
4
x y xy
x y
30 35
x y y x
x x y y
ĐS: a) (8;64), (64;8) b) (4;4) c) (9;4), (4;9)
Trang 2GV: Phan Văn Huynh
Bài 5 giải các hệ phương trình sau:
a)
1 1
5
9
x y
x y
x y
x y
+ + + =
b)
2 2
1
1
x y
xy
x y
x y
HD:a) Đặt X= x 1
x
y
+ b) Nhân phân phối và đặt tương tự như câu a)
ĐS: a) 1;3 5 , 3 5;1
b)
Bài 6 Cho hệ phương trình: x y xy m2 2 1
x y xy m
Tìm m để hệ trên có một nghiệm thỏa mãn x>0; y>0
ĐS:
1 0
4 2
m
m
< ≤
Bài 7.Tìm m để hệ : 1 2 1
x y m m
ĐS:
6
3
2 2
m
m
≥
≤ ≤
Bài 8 Tìm m để hệ : x y2 24 2
x y m
+ =
có nghiệm.
ĐS: 2 2
2 2
m
m
≤ −
≥
Bài 9.Cho hệ phương trình:
1
x y m
x y xy
a) giải hệ khi m= 2 ĐS:(1;-1), (-1;1) (1;1)
b) Xác định m để hệ có nghiệm ĐS: m≥ 1
Bài 10 Tìm m để hệ phương trình sau có nghiệm: 1
1 3
x y
x x y y m
ĐS: 0 1
4
m
≤ ≤
Bài 11 Cho hệ phương trình: x y m
x y xy m
a) giải hệ khi m= 4 ĐS: (4;4)
Trang 3b) Tìm m để hệ có nghiệm ĐS: ≤ ≤1m=m0 4
Bài 12 Xác định m để hệ : 2 2 2
1
x y xy m
x y xy m
có nghiệm duy nhất.
ĐS: m= 1 hoặc m = 3
4
−
Bài 13 Xác định m để hệ : ( )
2
2 1 4
x y
có đúng hai nghiệm.
ĐS: m =0
Bài 14 Biết rằng (x;y) là nghiệm của hệ: 2 2 2
6
x y m
x y m
+ =
Hãy tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của biểu thức: F = xy + 2(x+y)
ĐS: maxF = 5 khi m= 2 ; minF= - 4 khi m = -1
Bài 15 Cho x, y là các số thỏa điều kiện : x + y =2.
Hẫy tìm GTNN của F = x3 + y3
ĐS: minF=2 khi x= y=1
VẤN ĐỀ 2: HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI 2
A.LÝ THUYẾT:
1.Khái niệm: Hệ phương trình hai ẩn x, y gọi là hệ đối xứng loại 2 nếu
trao đổi vai trò của x, y thì phương trình này trở thành phương trình kia
2.Cách giải :
- Trừ vế với vế các phương trình đã cho
- Phương trình trên sẽ đưa được về phương trình với đặc điểm là nó
có nghiệm x = y ( và cũng có thể có thêm nghiệm khác)
- Ứng với từng trường hợp xảy ra, kết hợp với 1 trong 2 phương trình của hệ để có 1 hệ con, giải hệ con này
*Chú ý: Nếu (x;y) là nghiệm của hệ thì (y;x) cũng là nghiệm của hệ Vì
vậy, để hệ có nghiệm duy nhất thì điều kiện cần là x = y
B.BÀI TẬP
Bài 1 giải các hệ phương trình sau:
a)
3
3
1 2
1 2
+ =
+ =
b)
2 2
x x y
y y x
= +
c)
x y x y
y x y x
ĐS: a) (1;1), 1 5; 1 5 , 1 5; 1 5
b) (0;0),(5;5),(2;-1),(-1;2) c)
Trang 4GV: Phan Văn Huynh
Bài 2 giải các hệ phương trình sau:
a)
2
2
x y
y x
b)
3 3
2 2
x x y
y y x
c)
2 2
3 3
x x y
y y x
= −
ĐS: a) 3 5 3; 5 , 3 5 3; 5
b) (0;0),(1;-1),(-1;1),( 3; 3 ,) (− 3; − 3)
c)(0;0), (2;2)
Bài 3 giải các hệ phương trình sau:
a)
2
2
3 2
3 2
x y
x
y x
y
+ =
+ =
b)
3
x y
x y
y x
− = −
c)
2
2
x
y x y
x y
+ =
+ =
ĐS: a) (1;1) b) (1;1), 1 5; 1 5 , 1 5; 1 5
c) (1;1),(-1;-1),( 2; − 2 ,) (− 2; 2)
Bài 4 giải các hệ phương trình sau:
a)
2 2 2 2
2 3
2 3
y y
x x x
y
=
b)
3 4.
3 4.
y
x y
x x
y x
y
− =
− =
c)
3 3
x x y
y y x
= +
ĐS: a) (1;1) b) (-2;-2) c) (0;0),(± 11; ± 11)
Bài 5.giải hệ phương trình:
3
2
x y x y
x y x y
ĐS: (1;1),
3 1
;
2 2
Bài 6.giải hệ phương trình:
x y x y
x y x y
Bài 7.giải hệ phương trình: 2 32 2 16
xy x y
x y x y
(− + 3 3; 2 − − 3 , 3) (− − 3; 2 − + 3)
Bài 8 giải và biện luận hệ phương trình:
2 2
1 1
x my
y mx
Trang 5Bài 9 Cho hệ phương trình: ( )
2 2
2 2
y x y m
x x y m
− + =
a) giải hệ khi m =0 ĐS: (0;0), (2;2)
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất ĐS: m = 1
2
−
VẤN ĐỀ 3: CÁC HỆ PHƯƠNG TRÌNH KHÁC
Bài 1 Giải hệ phương trình : ( ) ( )
x y x y
xy x y
HD: Đặt u = x(x+1), v = y(y+1)
ĐS: (1;2),(1;-3), (-2;2), (-2;-3), (2;1), (-3;1), (2;-2), (-3;-2)
Bài 2 Giải hệ phương trình: ( ) ( )
3 15
x y x y
x y x y
HD:Đặt u = x3 + y3 , v = xy(x+y)
ĐS: (1;2), (2;1)
Bài 3 Giải hệ phương trình :
1
2
x y x y x y
x y
x y
HD:Đặt u = 2x+ y, v = 2x –y
ĐS: 3 1; , 3 1;
Bài 4 Giải hệ phương trình: 3
3
9 5
x y
x y
ĐS: (1;64), (64;1)
Bài 5 Giải hệ phương trình:
1
3 3 1
x x y y
x y
y
+ + =
HD: Đặt u = x 1,v x y 3
y
ĐS:(3;1), (5;-1), (4 − 10;3 + 10 , 4) ( + 10;3 − 10).
Bài 6 Giải hệ phương trình:
2t anx+cosy osy t anx
HD:Đặt u = 9cosy , v = - 92tanx
Trang 6GV: Phan Văn Huynh
Bài 7 Giải hệ phương trình : 3 5
3 5
x y
y x
HD: Đặt u = x− 3,v= y− 3
ĐS: (4;4)
Bài 8 Giải hệ phương trình:
log
xy
xy
x y x y
HD: Đặt u = log3(xy)
ĐS: (3 − 6;3 + 6 , 3) ( + 6;3 − 6)
Bài 9 Giải hệ phương trình:
x x y x y x y y
x x y x y x y y
ĐS: (4;4)
Bài 10.Cho hệ phương trình: 5 2
a) Giải hệ khi m =49 ĐS: (11;11)
b) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất ĐS: m≥ 7
Bài 11 Giải và biện luận hệ phương trình: x y xy a
x y a
− =
Bài 12 Giải hệ phương trình:
7 1 78
x y
y x xy
x xy y xy
ĐS: (4;9), (9;4)
x m y m
x y m m
a) Tìm m để hệ có nghiệm duy nhất ĐS: m = -2
b) Tìm m để hệ có hai nghiệm phân biệt ĐS: m≠ − 2
Bài 14 Giải hệ phương trình: 2 2 4
128
x y x y
x y
ĐS: (8;8), (8;-8)
Bài 15.Tìm m để hệ sau có nghiệm: 1
1
x y m
y x m
HD: Đặt u = x− 1,v= y− 1