Dạng 1: Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và một phương trình bậc 2, hai ẩn.. Thay vào 2 ta được một phương trình bậc hai một ẩn x hoặc y Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng hai ẩn x và y.. HỆ
Trang 1A Dạng 1: Hệ gồm 1 phương trình bậc nhất và một phương trình
bậc 2, hai ẩn
Định nghĩa: là hệ phương trình có dạng: ax by c 2 2 (1) (2)
Phương pháp giải Nếu a 0, từ (1) rút ra : x c by
a
(hoặc y c ax
b
, b ≠ 0) Thay vào (2) ta được một phương trình bậc hai một ẩn x (hoặc y)
Dạng 2: Hệ phương trình đối xứng hai ẩn x và y.
1 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI I.
Hệ phương trình mà khi thay x bởi y và y bởi x thì các phương trình trong hệ không thay đổi thì
ta có thể giải :
Phương pháp giải : Biến đổi hệ theo x + y và xy Đặt S = x + y , P = xy Khi đó ta được một hệ mới theo S, P Giải hệ này ta tìm S, P (lưu ý kiểm tra điều kiện S 2 4P P 0 ) Từ S, P
x ; y là nghiệm của phương trình X 2 – SX + P = 0 (*)
Chú ý : * Điều kiện để hệ có nghiệm là S 2 4P.P.
* x 2 + y 2 = (x + y) 2 – 2xy = S2 – 2P, x3 + y3 = S3 – 3P
* x4P + y4P = (x2 + y2)2 – 2x2y2 = (S2 – 2P)2 – 2P2 = S 4P. – 4P.S 2 P + 2P 2
2 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐỐI XỨNG LOẠI II.
Định nghĩa: Là hệ phương trình khi thay x bởi y và thay y bởi x thì phương trình này trở thành phương trình kia nhưng hệ không đổi
Phương pháp giải:
Trừ vế cho vế của hai phương trình cho nhau.
Đưa phương trình kết quả về dạng tích, trong đó có một thừa số là x y và một phương trinh theo hai biến x, y khác Khi đó ta xét từng trường hợp :
+ Trường hợp 1: x = y thay vào phương trình một trong hai phương trình ban đầu suy ra nghiệm x, y
+ Trường hợp 2: rút y theo x (hoặc x theo y ) thay vào phương trình một trong hai phương trình ban đầu suy ra nghiệm x, y.
+ Cứ như thế cho đến khi xét hết các trường hợp
3 HỆ PHƯƠNG TRÌNH ĐẲNG CẤP BẬC HAI ĐỐI VỚI x VÀ y
Là hệ có dạng : / / / /
Phương pháp giải:
Xét x = 0 thay vào hệ tìm y.
Khi x 0 đặt y = kx thế vào hệ để giải tìm k , rồi thế k vào hệ tìm x, y
Bài tập 3: Giải các hệ phương trình sau:
a)
20 xy
y
x
65 y
x
2 2
3
3
b)
28 ) y x ( 3 y x
11 xy y x
2
30 xy
y x
11 y x xy
2 2
d)
21 y x y
x
7 xy
y
x
2 2 4P
4P
2
2
e)
6 1 y 1 x 1 x y 1 y x
3 1 y 1 x
f)
35 y
x
30 xy
y x
3 3
2 2
Chủ đề Tự Chọn : Phương trình và hệ phương trình Trang: 1
Trang 2PHƯƠNG TRÌNH CHỨA CĂN Phương pháp giải:
f(x) a 0 f(x) a 2 ( với a là hằng số )
2
g(x) 0 f(x) g(x)
f(x) g(x)
f(x) g(x)
f(x) g(x)
a.f(x) b f(x) c 0 + Đặt f(x) t 0 f(x) = t 2
+ Thế vào phương trình trên ta có : at 2 + bt + c = 0
xn b a ax b n
+ Đặt u n ax b ta có : u n ax b u n b ax (1) và x n b au (2)
+ Từ (1) và (2) ta có hệ:
n n
u b ax
x b au
là hệ phương trình đối xứng loại II
CHÚ Ý: A B C A 3B 33AB A B ( )C 3 A 3B 33ABC C 3
CHÚ Ý: Phương trình dạng: a f x ( )b f x ( ) c 0
Đặt t f x ( ), t 0 f x ( )t 2
Thế vào phương trình trên ta có : at 2 + bt + c = 0
CHÚ Ý: Đặt t A B AB t 2 A 2 B 2
2
A
CHÚ Ý Phương trình dạng: x n b a ax b n
Đặt t n ax b t n ax b
Ta có hệ : n n
x b at
trừ vế theo vế, rút thừa số x – t.
Bài tập tương tự
Bài 1: Giải các phương trình sau :
Bài 2: Giải các phương trình sau :
Bài 3: Giải các phương trình sau :
c) x 2 x 4P x 2 x 6 18
Chủ đề Tự Chọn : Phương trình và hệ phương trình Trang: 2