“Từ sự vất vả của bố mẹ , anh chị em và sự kì vọng của gia đình , mỗi các em luôn cố gắng học tập để đỗ đại học mai này giúp đỡ gia đình và mang lại niềm vinh quang hãnh diện cho bố mẹ,
Trang 1
Bài tập lớp 11a1 làm - Giải tam giác
Lơng Tài, ngày 01 tháng 05 năm 2010
Họ tên học sinh:……… “Từ sự vất vả của bố mẹ , anh chị em và sự kì vọng của gia đình , mỗi các em luôn cố gắng học tập để đỗ đại học mai này giúp đỡ gia đình và mang lại niềm vinh quang hãnh diện cho bố mẹ, thầy cô giáo Hãy cố gắng và kiên trì đừng để bố mẹ , gia đình và …
thày cô thất vọng Các em chỉ còn hơn một năm nữa thôi…”.
Tất cả vì tơng lai tơi sáng cũa các em.
I- Cho tam giác ABC có
1 a)A=600, b=6, c=5 Tính a, R và các góc B, C b)a= 6,b 2,c= = 3 1+ Tính các góc A,B,C,R
2 a)a 2 3,b 2 2,c= = = 6− 2 Tính A,B,C và R b)Cho tam giác ABC : 2h a= +h b h cCMR:2 a= +1 1 b c ,
2 1 1
sin A sin B sin C= +
3 a)Cho ∆ABC có: 2 2
1 cos B 2a c
− CMR∆giác cân b)∆ABC:a.cos B b.cos A a.sin A b.sin B− = − CMR
∆cân hoặc vuông
4 a) ∆ABC thỏa mãn: S 1 (a b c)(a b c)
4
= + − − + CMR∆vuông.b)Cho tam giác ABC CMR: 2 2 2
4S tan A
a c b
= + −
, cot C p(p c)
2 S
−
=
c)CMR nếu: a(cot C tan A) b(tan B cot ) C
2− = − 2 thì tam giác cân.d) CMR tam giác ABC thỏa mãn:
e)CMR ∆ABC thỏa mãn: 2 2
sin B tgB sin C tgC= thì ∆cân hoặc vuông.g) CMR∆ABC thỏa mãn:
3 3 3
2
a 2.b.cos C
a
b c a
=
thì ∆ đều
5 a) CMR ∆ABC thỏa mãn: cos B cosC b + c =sin B.sinC a thì ∆ vuông.b)CMR∆ABC: 1 cot A a
sin A+ =c b
− với
b c≠ thì ∆ vuông
6 a)CMR∆ABC thỏa mãn: 1 cot A b c
+ + = thì ∆vuông.b)CMR ∆ABC thỏa mãn:
sin B sinC
sin A.cos B.cos C
1 1
cos B cosC
+ thì ∆vuông
7 CMR:a)c 2 (a b) 2 4.S. 1 cos C
sin C
−
3
4
+ + = + + c) cot cot cot 2 2 2
4.
S
+ +
8 Cho tam giác ABC có l a là phân giác trong góc A CMR: a 2 2
l (b c) bc
(b c) a
+
= + −
Hệ thức l ợng trong tam giác Bài 1: Cho tam giác ABC chứng minh rằng:
1 sin +sin +sin =4 cos cos cos
cos2A cos2B cos2C 1 4 cos cos cosA B C
Trang 2
3 tgA tgB tgC tgA tgB tgC+ + =
4 cotgA.cotgB +cotgB.cotgC+cotgC.cotgA=1
6 cot +cot +cot = cot cot cot
Bµi 2: Cho tam gi¸c ABC chøng minh r»ng:
1 cos A cos B cos C 1 2cos.Acos B.cos C 2 + 2 + 2 = −
2 cos 2A cos 2B cos 2C 1 2cos 2A.cos 2B.cos 2C 2 + 2 + 2 = +
3 sin3Acos(B C− ) sin+ 3Bcos(C A− +) sin3Ccos(A B− ) 3sin .sin sin= A B C
4 sin3 Asin(B C− ) sin+ 3 Bsin(C A− ) sin+ 3Csin(A B− ) 0=
5
A
p sin 2 a
cos cos
= 6
2 2 a
(b c)
+
= + −
2
7 (b c)+ 2 −2(a 2 +2l )(b c) a 2 + 2 +a (a 2 2 +4h ) 0 a 2 =
=
+ 10
3
4
10
a.sin sin
r
A cos 2
= 12 A B C
r p.tg tg tg
=
13
p R
4.cos cos cos
sin sin sin
15 r
R
+ = + + 16 2pr
a.cos A b.cos B c.cosC
9 2.(r R) a.cot gA b.cot gB c.cot gC+ = + +
10
−
− = 22 r a + + =r b r c 4R r+ 23
2 a
A
r r 4R sin
2
− = 24 r a +r b− =r c 4 cosR C r−
Trang 3
abc
tg tg
−
+
28
2 cos 2 cos 2 cos ) 2 ( 4 sin ) ( sin ) ( sin )
r R r C c
p B b
p A a
29 2p = +(a b)cosC+ +(b c)cosA+ +(c a) cosB
30 3 ( )cos2 ( )cos2 ( )cos2
31 2 cos2 cos2 cos2
.sin 2 sin 2 4
ABC
33 (b2 −c2)cotgA+(c2 −a2)cotgB+(a2 −b2)cotgC =0
36 a.sin(B C− )+b.sin(C A− )+c.sin)(A B− ) 0=
37 (b c p a− )( − )cosA+ −(c a p b)( − )cosB+ −(a b p c)( − )cosC =0
38
+ +
39 2 ( )2 4
2
C
c = −a b + S tg 40 ( )( )
tg
p p a
=
−
41
4
S
+ +
cot cot cot
43
44.sin sin sin
cot cot
45 sin sin sin
tg tg tg tg tg tg
Trang 4
Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn sau ®©y lµ c¸c tam gi¸c c©n.
40.cossin A sincosB 12(tgA tgB)
+
41
(sin A sin B)cot g
sin cos = sin cos
2 2 2 2
= cotg
43.2tgA +tgC = tg A.tgC 2 2 2 2 A + B
tg A +tg B = 2tg
2
a.tgA b.tgB (a b).cot g
2
+ = + a.sin(B C) b.sin(C A) 0− + − =
45.1 cos B 2a c 2 2
−
a sin 2B b sin 2A c cot g
2
46.sin C 2sin A 2sin B 2sin C.(sin A sin B) 4 + 4 + 4 = 2 2 + 2
47.Chøng minh r»ng tam gi¸c ABC vu«ng c©n khi vµ chØ khi: 1 2 2
4
2
= 2 C
cos A.cos B sin
2
=
tgA tgB 2cot g
2
+ = r : r : R 2 : 6 : 5 a = sinC
2cos B sin A =
50.Tam gi¸c ABC cã tÝnh chÊt g× nÕu ba gãc tháa m·n: 1
sin 2x sin x cos x
2
Chøng minh tam gi¸c vu«ng
51.sin A sin B sinC 1 cos A cos B cosC+ + = − + + sin 2A sin 2B 4 sin A.sin B+ =
52 cos2A+cos2B+cos2C+1=0
53.3(cos B 2sinC) 4(sin B 2cosC) 15+ + + =
54
sin B sinC
sin A.cos B.cosC
cos B cosC
+
55
sin A cos B
tgA sin B cos A
+
tgB sin A sin(B C)
− −
1 cot g2C (cot gC cot gB)
2
sin
−
= B a c
cos
+
=
tg
−
=
+
( a b b c a a c b) ( ) ( )
cos B
2abc
=
Trang 5
59
a (p a) b (p b) c (p c) sin B cos B
abc
2bc cos B C
a
− = B = a c+
cot g
cos B cosC+ = sin B.sinC 1 a
cot gA
−
cot gA
+ + = 1 2
4
=
63.r a = + +r b r c r r a + + + = + +r b r c r a b c
64 r a r
5r 2R
=
=
r(sin A sin B) 2.c.sin cos
−
cos B cosC
a
+
Chứng minh tam giác đều
sin 3A sin 3B sin 3C 0
C cos A.cos B sin
2
1 cos B.cos C
4
a
a b c
=
2
3 sin B.sinC
4
a
b c a
=
sin B sinC 2sin A
tgB tgC 2tgA
bc 3 R 2(b c) a= [ + − ]
68.a.cos A b.cos B c.cosC 1
+ +
2sinC(cos(A B) 1) 2sin A(cos(B C) 1) 2sin B(cos(C A) 1) 0
sin A sin B sinC
2
70.P = 3 cos B 3 cos A cosC+ ( + ) đạt Max
1 cos A cos B cosC
2
72.tgA tgB tgC 3 3 tam giác ABC nhọn+ + ³
73.cotgA+ cotgB+ cotgC³ 3 2 A 2 B 2C 9
4
4
75.tg A tg B tg C2 + 2 + 2 ³ 9 với tam giác ABC nhọn
Trang 6
79.sin sin sinA B C 3 3
8
£
80.cos cos cosA B C 1
8
£ A B C 1
sin sin sin
cos cos cos
2 2 2 £ 2 A B C
m m m a b c .cos cos cos
.cos
84.m a + m b + m c ³ p( p a- + p b- + p c- )
85.m m m a .b c ³ p S
l l l a b c .cos cos cos
l
b c
2
.cos 2
= +
87.l a+ l b + l c £ p( p a- + p b- + p c- )
88.l l l a b c £ p S
89 (l b l a) (l a l c) (l c l b)
3 3
ç
sin sin sin cos cos cos
£
víi tam gi¸c ABC nhän
94.sinA+ sinB+ sinC=sin 2A+ sin 2B+ sin 2C
Trang 7
³
cot cot cot
ỗ
ỗ
99
2 3 sin + sin + sin ³
100
2 3 sin 2 + sin 2 + sin 2 ³
ỗ
106 CMR mọi tam giác ABC có:
107
108 Tam giác ABC không vuông có:
cot gA cot gB cot gC tgA.tgB.tgC
cot gA cot gB cot gC
thì ∆ABC đều
Bài toán về cấp số
Trang 8
114.Cho ∆ABC cã c¸c c¹nh a,b,c lËp thµnh cÊp sè céng CMR: 2 B
sin A.sinC 3.sin
2
=
115.Cho∆ABC cã A, B, C lËp thµnh CSC vµ 3
sin A.sin B.sinC
4
= TÝnh c¸c gãc A, B, C
cot g ,cot g ,cot g
2 2 2 lËp thµnh CSC th×:
cot g cot g 3
cot g ,cot g ,cot g
2 2 2 lËp thµnh CSC th×: a
2; b2; c2 còng lËp thµnh CSC 118.Cho tam gi¸c ABC cã c¸c c¹nh a, b, c lËp thµnh cÊp sè céng CMR A C
cot g cot g 3
119.Cho∆ABC cã A B C
t g ,t g ,t g
2 2 2 lËp thµnh CSC CMR cosA, cosB, cosC còng lËp thµnh
CSC