chuyên đề toán đại số 12: hàm số pot

Hướng dẫn cách giải 1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị Phương pháp: Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì tiếp tuyến tại M0x0;y0  C: y = fx Cách 1: Phương pháp tìm

Thân gửi những học trò thương!

Năm học mới đã đến kèm theo đó là sự bận rộn của các bạn trong việc học chính tại trường và học thêm nâng cao nên đã không còn có thời gian đến học nhóm nữa Thầy đã thực sự không còn có thể giúp được các bạn nhiều trong việc học tập, tuy vậy thầy vẫn muốn theo sát quá trình học tập của các bạn tại lớp, tại trường Thời gian vừa qua thầy đã tìm kiếm được một

số vấn đề về khảo sát hàm số Rất muốn chia sẻ cùng các bạn Với mỗi chuyên đề sau này thầy cung cấp là những phương pháp giải không có trong SGK, SBT, các bài tập đều là những dạng đề thi ĐH các năm về trước Thầy nghĩ rằng việc học sát với các dạng đề thi sẽ giúp các bạn có thể nắm được dạng đề toán thi TN và ĐH Thầy rất mong ngoài kiến thức SGK; SBT và kiến thức các thầy cô giáo trên trường dạy, các bạn có thể tranh thủ làm những dạng bài của thầy để nâng cao thêm tầm kiến thức, và rất mong các bạn sẽ đón nhận chuyên đề này và những chuyên đề khác nữa Mong các bạn góp ý và bổ sung nhưng thiếu sót về mặt kiến thức cũng như phương pháp giải Trong quá trình học với từng chuyên đề, những phần các bạn không hiểu hay thắc mắc có thể liên hệ trực tiếp với thầy Nếu còn ngại thì viết tên bài/số trang và chuyển tới Hưng, thầy sẽ cố gắng hướng dẫn các bạn sớm nhất Cảm

CHUYÊN ĐỀ HÀM SỐ

CHUYÊN ĐỀ 1: CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ

A Tóm tắt lý thuyết

1 Điều kiện để hàm số tồn tại cực trị

Hàm số y = f(x) có cực trị  y = f(x) có cực đại và cực tiểu  f’(x) = 0 có nghiệm

Chú ý: * Nếu f'(x 0 ) = 0 và f"(x 0 ) = 0 thì ta không tìm được cực trị của hsố y = f(x) theo dấu hiệu II Khi đó ta phải tìm cực trị của hàm số theo dấu hiệu I chứ không được kết luận hàm số không có cựu trị

* Dấu hiệu II thường tìm cực trị những hàm số mà việc xét dấu đạo hàm cấp 1 quá phức tạp, chẳng hạn như hàm lượng giác

Bài 2: Tìm m để hàm số y = (m + 2)x3 + 3x2 + mx + 5 có cực đại và cực tiểu

Bài 3: Chứng minh rằng m, hàm số y = 2x3 - 3(2m + 1)x2 + 6m(m + 1)x + 1 luôn đạt cực trị tại x1; x2 với x1 - x2 không phụ thuộc m

thoả mãn điều kiện -1 <x1 < x2

Bài 6: Chứng minh rằng  m < n < p, hàm số y = (x - m)(x - n) x - p) đạt cực trị tại x1; x2

= -2 ( Điều kiện cần + điều kiện đủ)

Bài 9: Tìm m để f(x) = x3 - 3mx2 + 3(m2 - 1)x + m đạt cực tiểu tại x = 2

Bài 10: Tìm m để f(x) = x3 - 3mx2 + (m - 1)x + 2 đạt cực tiểu tại x = 2

Bài 11: Tìm m để f(x) = x3 + 3mx2 - (m - 1)x - 1 không có cực trị

CÁC DẠNG TOÁN LIÊN QUAN ĐẾN

KHẢO SÁT HÀM SỐ

Dạng 1: CÁC BÀI TOÁN VỀ TIẾP XÚC

Cho hàm số y  f x ,đồ thị là (C) Có ba loại phương trình tiếp tuyến như sau:

Loại 1: Tiếp tuyến của hàm số tại điểm M x 0 ;y0   C

 Tính đạo hàm và giá trị f ' x0

 Phương trình tiếp tuyến có dạng: y f ' x0 xx0y0

Chú ý: Tiếp tuyến tại điểm M x 0 ;y0   C có hệ số góc k f' x0

Loại 2: Biết hệ số góc của tiếp tuyến là k

 Giải phương trình: f ' x k, tìm nghiệm x0  y0

 Phương trình tiếp tuyến dạng: yk x x0y0

Chú ý: Cho đường thẳng  :AxByC 0, khi đó:

 Nếu d//   d :yaxb  hệ số góc k = a

 Nếu d    d :yaxb hệ số góc k 1

a

 

Loại 3: Tiếp tuyến của (C) đi qua điểm A x A;y A   C

 Gọi d là đường thẳng qua A và có hệ số góc là k, khi đó  d :yk x x Ay A

 Điều kiện tiếp xúc của  d và  C là hệ phương trình sau phải có nghiệm:

CHUYÊN ĐỀ TIẾP TUYẾN

A Hướng dẫn cách giải

1: Viết phương trình tiếp tuyến tại 1 điểm thuộc đồ thị

Phương pháp: Theo ý nghĩa hình học của đạo hàm thì tiếp tuyến tại M0(x0;y0)  (C): y = f(x)

Cách 1: Phương pháp tìm tiếp điểm

Giả sử tiếp tuyến có hệ số góc k tiếp xúc với (C): y = f(x) tại điểm có

hoành độ xi => f’(xi) = k => x = xi là nghiệm của phương trình f’(x) = k

Giải phương trình f’(xi) = k => nghiệm x  (x0; x1;x2; …xi…xn)

Phương trình tiếp tuyến tại xi là y = k(x- xi) + f(xi)

Cách 2: Phương pháp điều kiện nghiệm kép

Xét đường thẳng với hệ số góc k với phương trình y = kx + m (ẩn m) tiếp xúc với

(C): y = f(x)  phương trình kx + m = f(x) (*) có nghiệm kép Giải phương trình (*)

với  = o => các giá trị của m => phương trình tiếp tuyến

Chú ý: Vì điều kiện (C1): y = f(x) và (C2): y = g(x) tiếp xúc nhau là hệ điều kiện

f(x) = g(x) có nghiệm chứ không phải là điều kiện f(x) = g(x) có nghiệm

f’(x) = g’(x) kép nên cách 2 chỉ sử dụng được cho các hàm số mà phương trình tương giao kx + m = f(x) có thể biến đổi tương đương với 1 phương trình bậc 2

3 Các dạng biểu diễn của hệ số góc

c, Tiếp tuyến song song với đường thẳng y = ax + b => k = a

d, Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng y = ax + b => k =

,

15

4 Phương trình tiếp tuyến đi qua 1 điểm cho trước

Phương pháp tìm tiếp điểm:

Cách 1: Giả sử tiếp tuyến đi qua A(a;b) tiếp xúc với (C): y = f(x) tại tiếp điểm có hoành

độ xi suy ra phương trình tiếp tuyến có dạng (t) y = f’(xi)(x - xi) + f(xi) Do A  (t) nên b = f’(xi)(a- xi) + f(xi) x = xi là nghiệm của phương trình b = f’(xi)(a- xi) + f(xi) Giải phương trình tìm được nghiệm x  (x0; x1;x2; …xi…xn)

Phương trình tiếp tuyến tại x = xi là y = f’(xi)(x - xi) + f(xi)

Cách 2: Đường thẳng đi qua A(a;b) với hệ số góc k có phương trình y = k(x-a) + b tiếp xúc

với đồ thị (C): y = f(x)  Hệ phương trình

f(x) = k(x - a) + b có nghiệm => f(x) = f’(x) (x - a) + b Giải phương trình ta tìm f’(x) = k được x  (x0; x1;x2; …xi…xn)

Phương trình tiếp tuyến tại x = xi là y = f’(xi)(x - xi) + f(xi)

Phương pháp điều kiện nghiệm kép:

Cách 3: Đường thẳng đi qua A(a,b) với hệ số góc k có phương trình y = k(x - a) + b tiếp xúc

với (C) y = f(x)  k(x-a) + b = f(x) có nghiệm kép …  … Nói chung u(k)x2 + v(k)x + w(k) = 0 có nghiệm kép

Bài tập chuyên đề tiếp tuyến 2

Bài 1: Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C) y = f(x) = x3 - 3x + 5 khi biết

a, Hoành độ của tiếp điểm là x1 = -1; x2 = 2 ; x3 = 3

b, Tung độ của các tiếp điểm là y1 = 5; y2 = 3 ; y3 = 7

Bài 2 Cho (C): y = f(x) = 2x3 - 3x2 + 9x - 4 Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại các giao điểm của (C) với các đồ thị sau:

Bài 4: Cho (C) y = x3 + + 3x2 + 3x + 5

a, CMR: không có 2 điểm nào thuộc (C) để 2 tiếp tuyến tại đó vuông góc với nhau

b, Tìm k để trên (C) luôn có ít nhất 1 điểm sao cho tiếp tuyến tại điểm này vuông góc với đường thẳng y = kx + m

Bài 5: Tìm các điểm trên đồ thị (C): y =

a, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này song song với y = 6x - 1

b, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến này vuông góc với y = 2

c, Viết phương trình tiếp tuyến với (C) biết tiếp tuyến tạo với y = 2x + 3 góc 450

Bài 8: Viết pt tiếp tuyến của (C) y = -x3 + 3x biết tiếp tuyến đó song song với y = -9x + 1

b, Viết pt tiếp tuyến của (C) y = x3 - 3x2 + 4 biết tiếp tuyến đó song song với y = 9x

Bài 9: Viết pt tiếp tuyến của (C) y = x3 - 3x2 +2 biết tiếp tuyến đó  5y - 3x + 4 = o

b, Viết pt tiếp tuyến của (C) y = x3 - 3x2 + 2 biết tiếp tuyến đó  y =

3

x

Bài 10: Cho đồ thị (C) y = 2x3 - 3x2 - 12x - 5

a, Viết phương trình tiếp tuyến song song với y = 6x - 4

b, Viết pt tiếp tuyến  y = 2

a, Viết pt tiếp tuyến tạo với chiều dương Ox góc 600

b, Viết pt tiếp tuyến tạo với đường thẳng y = 3

c, Viết pt tiếp tuyến biết tiếp tuyến song song với đt y = -x + 2

d, Viết pt tiếp tuyến biết tiếp tuyến vuông góc với y = 2x - 3

Bài 12: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A( ; 4 )

12

19 ( đến (C) y = 2x3 - 3x2 + 5

Bài 13: Cho (C) y = x3 - 12x + 12 Tìm trên đường thẳng y = - 4 các điểm có thể kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Bài 14: Viết pt tiếp tuyến đi qua A( ; 1

3

2

 ) đến y = x3 - 3x + 1 + Viết pt tiếp tuyến đi qua B(2; 0) đến y = x3 - x - 6

+ Viết pt tiếp tuyến đi qua C(3; 0) đến y = -x3 + 9x

+ Cho đồ thị (C) y = x3 + ax2 + bx + c Tìm các điểm M (C) để có thể kẻ được đúng 1 tiếp tuyến với đồ thị

+ Có bao nhiêu tiếp tuyến đi qua D(-2; 5) đến đồ thị (C) y = x3 - 9x2 + 17x + 2

Bài 15: Cho đồ thị (C) y = -x4 + 2x2 - 1 Tìm tất cả các điểm thuộc Oy kẻ được 3 tiếp tuyến đến đồ thị (C)

Bài 16: Viết phương trình tiếp tuyến đi qua A(5,

+ Viết pt tiếp tuyến đi qua A(1;1) đến đồ thị (C) y = x4 - x3 + 2x2 -1

Bài 17: Cho (C): y = 2x3 + 3x2 - 12x - 1 Tìm điểm M thuộc đồ thị (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M đi qua gốc toạ độ

Từ gốc toạ độ có thể kẻ được bao nhiêu tiếp tuyến đến (C); tìm toạ độ tiếp điểm

a, Qua A(0; 1) có thể kẻ được mấy tiếp tuyến với (C)? Hãy viết pt tiếp tuyến ấy

b, CMR không có tiếp tuyến nào khác của (C) song song với tiếp tuyến qua A của (C) nói trên

Bài 23: Cho (P) y = 2x2 + x - 3 Tìm những điểm trên trục tung Oy sao cho từ đó ta có thể vẽ được 2 tiếp tuyến đến (P) và 2 tiếp tuyến này hợp với nhau một góc 450

Bài 24: Cho (C): y =

x

x

x2  3  2

Tìm trên đường thẳng x = 1 những điểm M sao cho từ M

kẻ được 2 tiếp tuyến đến (C) và 2 tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

Bài 25: Cho (C) y = x3 + 3x2 Tìm tất cả cá điểm trên trục hoành để từ đó vẽ được đúng 3 tiếp tuyến với đồ thị (C), trong đó có 2 tiếp tuyến vuông góc với nhau

Bài 26: Cho (C): y =

m x

x mx





 4

CMR: M là trung điểm của AB

CMR: Diện tích Tam giác IAB = const

c, Tìm M để Chu vi tam giác IAB nhỏ nhất

(gợi ý c: Chu vi = IA + IB + AB = IA + IB + 2 2

IB

IA  2 IA IB+ 2IA IB = 2(2+ 2) Dấu = sảy ra  IA = IB = 2 |m - 1| = 1 => m = o hoặc m =2.)

5 4

3 2

7 3

Viết pt tiếp tuyến của (C) biết

a, Tiếp tuyến song song với y =

2

1

x + 1

b, Tiếp tuyến vuông góc với đt y = - 4x

c, Tiếp tuyến tạo với đt y = -2x góc 450

Bài 32: Tìm trên đường thẳng y = 2x + 1 các điểm kẻ được đúng 1 tiếp tuyến đến (C):

4 3





x x

Bài 35: Viết pt tiếp tuyến đi qua A( -6; 5) đến (C): y =

Bài 36: CMR không có tiếp tuyến nào của đồ thị (C): y =

Bài 37: Viết phương trình tiếp tuyến từ O(0;0) đến (C): y =

2

) 1 ( 3





x x

Bài 38: Cho (C): y =

1

3 3

Chứng minh rằngDiện tích tam giác tạo bởi hai tiệm cận với

1 tiếp tuyến bất kì là không đổi

Bài 39: Cho (C): y =

2

3 3

Viết pt tiếp tuyến của (C) vuông góc với đt 3y - x + 6 = 0

Bài 40: Cho (C): y =

2

77

Viết pt tiếp tuyến của (C) song song với đt y = x + 4

Bài 41: Cho hàm số y x4 2x2

a khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số

b Viết phương trình tiếp tuyến  của (C):

i Tại điểm có hoành độ x  2

ii Tại điểm có tung độ y = 3

iii Tiếp tuyến song song với đường thẳng: d1: 24x y 2009  0

iv.Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng: d2:x 24y 2009  0

Bài 42: Cho hàm số

1

x x y

x



 có đồ thị là (C)

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C):

i Tại giao điểm của (C) với trục tung

ii Tại giao điểm của (C) với trụng hoành

iii Biết tiếp tuyến đi qua điểm A(1;1)

iv Biết hệ số góc của tiếp tuyến k = 13

Bài 43 :Cho hàm số

2

1 1

x x y

x



 có đồ thị (C)

a Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số trên

b Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm x = 0

c Viết phương trình tiếp tuyến của (C) tại điểm có tung độ y = 0

d Tìm tất cả các điểm trên trục tung mà từ đó kẻ được hai tiếp tuyến đến (C)

b Chứng minh rằng qua điểm M(3;1) kẻ được hai tiếp tuyến tới đồ thị (C) sao cho

hai tiếp tuyến đó vuông góc với nhau

Bài 45: Cho hàm số:

2

1

x y x



 có đồ thị (C)

a Khảo sát và vẽ đồ thị hàm số

b Tìm M (C) sao cho tiếp tuyến của (C) tại M vuông góc với đường thẳng đi qua M

và tâm đối xứng của (C)

Bài 46: Cho hàm số y = x3 + mx2 + 1 có đồ thị (C m ) Tìm m để (C m ) cắt d: y = – x + 1 tại ba điểm phân biệt A(0;1), B, C sao cho các tiếp tuyến của (C m ) tại B và C vuông góc với nhau

Bài 47 : Cho hàm số

2

1 2

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

b Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) biết tiếp tuyến đó vuông góc với tiệm cận

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (*) khi m=2

b Gọi M là điểm thuộc (C m ) có hoành độ bằng 1 Tìm m để tiếp tuyến của (C m ) tại M

song song với đường thẳng 5xy 0 ĐS: m=4

Bài 51 : Cho đồ thị hàm số  

2

4 :

 Tìm tập hợp các điểm trên trục hoành sao cho từ

đó kẻ được một tiếp tuyến đến (C)

Bài 52 : Cho đồ thị hàm số   4 2

C y  x  x  Tìm các điểm M nằm trên Oy sao cho từ M

kẻ được 3 tiếp tuyến đến (C)

Bài 53 : Cho đồ thị hàm số   3

C y  x  x Tìm các điểm trên đường thẳng y = 4 sao

cho từ đó có thể kẻ được 3 tiếp tuyến với (C)

Bài 54: Cho hàm số y = 4x3 – 6x2 + 1 (1) (ĐH KhốiB 2008)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số (1)

b Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số (1), biết rằng tiếp tuyến đó đi qua

điểm M(–1;–9)

 Để hàm số y f x có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục hoành  y CĐ.y CT  0

 Để hàm số y f x có hai cực trị nằm về 2 phía đối với trục tung  x CĐ.x CT 0

 Để hàm số y f x có hai cực trị nằm phía trên trục hoành 0

 Để hàm số y f x có cực trị tiếp xúc với trục hoành  y CĐ.y CT  0

Cách viết phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị

MỘT SỐ BÀI TẬP

1 Chứng minh rằng hàm số y =x2 m m 2 1x m4 1

x m

 luôn có có cực trị với mọi m Tìm

m sao cho hai cực trị nằm trên đường thẳng y=2x

yx  mx  x m Định m để đồ thị hàm số có cực đại cực tiểu, viết

phương trình đường thẳng đi qua hai điểm cực trị ấy

 Chứng minh rằng đồ thị hàm số luôn có cực đại,

cực tiểu với mọi m Hãy định m để hai cực trị nằm về hai phía đối với trục hoành

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1

b Tìm m để hàm số (1) có cực đại và cực tiểu, đồng thời các điểm cực trị của đồ thị cùng với gốc tọa độ O tạo thành tam giác vuông tại O

ĐS: m   4 2 6

11 Cho hàm số 3 2  2  2

y x  x  m  x m  (1), m là tham số (ĐH KhoiB/2007)

a Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của đồ thị hàm (1) số khi m=1

b Tìm m để hàm số (1) có cực đại, cực tiểu và các điểm cực trị của đồ thị hàm số (1)

Dạng 3: CÁC BÀI TOÁN VỀ ĐỒNG BIẾNNGHỊCH BIẾN

Cho hàm sô y  f x có tập xác định là miền D

 f(x) đồng biến trên D  f' x 0,xD

 f(x) nghịch biến trên D  f' x  0 , xD

(chỉ xét trường hợp f(x) = 0 tại một số hữu hạn điểm trên miền D)

Thường dùng các kiến thức về xét dấu tam thức bậc hai:   2

  và f(x) luôn cùng dấu với a khi

2

b x a

a Hàm số luôn đồng biến trên R

b Hàm số luôn đồng biến trên khoảng 2; 

3 Cho hàm số 3   2  

yx  m x  m x

a Định m để hàm số đồng biến trên khoảng 2; 

b Định m để hàm số nghịch biến trên khoảng   ; 1

Khoảng cách giữa hai điểm (độ dài đoạn thẳng): AB x B x A2 y B  y A2

Khoảng cách từ một điểm đến một đường thẳng: Cho đường thẳng  :AxByC 0 và

Từ hàm số y f x m ,  ta đưa về dạng F x y , mG x y ,  Khi đó tọa độ điểm cố định nếu

có là nghiệm của hệ phương trình  

 Chứng minh rằng đồ thị C m luôn đi qua một

điểm cố định khi m thay đổi

Dạng 6: ĐỒ THỊ CHỨA DẤU GIÁ TRỊ TUYỆT ĐỐI

y = f(x) có đồ thị (C) y f x  có đồ thị (C’) y f x có đồ thị (C “)

  0,

y f x   x D Do đó ta phải giữ nguyên phần phía trên

trục Ox và lấy đối xứng phần phía dưới trục Ox lên trên

 

y f x có fx f x ,

x D

  nên đây là hàm số chẵn do đó có đồ thị đối

xứng qua trục tung Oy