Giải pháp khắc phục một số khó khăn trong dạy học nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT

2.2.3 Biện pháp 3: Trực quan hóa các khái niệm trừu tượng trong dạy học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số bằng việc sử dụng các phần mềm hỗ trợ dạy học môn Toán .... 62 2.2.4

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

BÙI THỊ DUNG

ĐỀ TÀI GIẢI PHÁP KHẮC PHỤC MỘT SỐ KHÓ KHĂN TRONG DẠY HỌC NỘI

DUNG GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

Ở LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC

HÀ NỘI – 2017

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI

BÙI THỊ DUNG

ĐỀ TÀI GIẢI PHÁP KHẮC PHỤC MỘT SỐ KHÓ KHĂN TRONG DẠY HỌC NỘI

DUNG GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ

Ở LỚP 11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG

Chuyên ngành : LL và PPDH bộ môn Toán

Mã số : 60 14 01 11 LUẬN VĂN THẠC SĨ: TOÁN HỌC

Người hướng dẫn khoa học: TS Nguyễn Văn Dũng

HÀ NỘI – 2017

LỜI CAM ĐOAN 7

LỜI CẢM ƠN 8

DANH MỤC CÁC TỪ VIẾT TẮT 9

MỞ ĐẦU 1

1 Lí do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 3

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu 3

4 Giả thuyết khoa học và ý nghĩa của việc nghiên cứu 3

4.1 Giả thuyết khoa học 3

4.2 Ý nghĩa khoa học của việc nghiên cứu 3

5 Nhiệm vụ nghiên cứu 4

6 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu 4

7 Phương pháp nghiên cứu 5

8 Đóng góp của luận văn 6

9 Cấu trúc của luận văn 6

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN 7

1.1 Cơ sở lý luận 7

1.1.1 Định hướng đổi mới PPDH 7

1.1.2 Lý luận về dạy học định lý và dạy học khái niệm 8

1.2 Cơ sở thực tiễn 31

1.2.1 Nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số trong chương trình môn Giải tích ở trường ĐHSP 31

1.2.2 Nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số trong phân phối chương trình môn Toán ở trường THPT 33 1.2.3 Những điểm khác biệt cơ bản trong việc trình bày nội dung này ở phổ thông và đại học 34 1.2.4 Một số điều cần lưu ý trong dạy học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số 36 TÓM TẮT CHƯƠNG I 38

Chương 2 : GIẢI PHÁP KHẮC PHỤC MỘT SỐ KHÓ KHĂN TRONG DẠY

HỌC NỘI DUNG GIỚI HẠN VÀ TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ Ở LỚP

11 TRUNG HỌC PHỔ THÔNG 39 2.1 Khó khăn và sai lầm mà giáo viên và học sinh có thể gặp phải trong dạy

và học nội dung giới hạn và liên tục của hàm số ở lớp 11 trường THPT 40 2.1.1 Khó khăn mà giáo viên và học sinh gặp phải trong dạy và học nội dung giới hạn và liên tục 40 2.1.2 Một số sai lầm mà giáo viên và học sinh có thể mắc phải trong dạy

và học nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số 42 2.2 Một số biện pháp cụ thể nhằm khắc phục một số khó khăn và sai lầm trong dạy và học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số 54 2.2.1 Biện pháp 1: Tổ chức seminar “Bàn về dạy học chủ đề Giới hạn và tính liên tục của hàm số” trong tổ bộ môn Toán 54 2.2.2 Biện pháp 2: Tổ chức các hoạt động dự giờ hội giảng, giờ chuyên đề…, với mục đích hiện thực hóa những vấn đề đã thảo luận trong seminar 60

2.2.3 Biện pháp 3: Trực quan hóa các khái niệm trừu tượng trong dạy học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số bằng việc sử dụng các

phần mềm hỗ trợ dạy học môn Toán 62

2.2.4 Biện pháp 4: Tăng cường khai thác và sử dụng các phản ví dụ trong dạy học các khái niệm và định lí về giới hạn và tính liên tục của hàm số; với mục đích giúp HS tiếp nhận và củng cố nội hàm của mỗi khái niệm trừu tượng, ý nghĩa và điều kiện áp dụng mỗi định lí 70

2.2.5 Biện pháp 5: Xây dựng hệ thống bài tập có tính chất phân bậc cho mỗi nội dung cụ thể trong dạy học chuyên đề Giới hạn và tính liên tục của hàm số; với mục đích giúp HS dần dần tiếp nhận và củng cố các khái niệm trừu tượng 74

KẾT LUẬN CHƯƠNG 2 80

Chương 3 : THỰC NGHIỆM SƯ PHẠM 81

3.1 Mục đích thực nghiệm sư phạm 81

3.2 Nhiệm vụ thực nghiệm 81

3.3 Nội dung, cách thức tổ chức thực nghiệm sư phạm 82

3.3.1 Thực nghiệm sư phạm đợt 1 82

3.3.2 Thực nghiệm sư phạm đợt 2 84

3.4 Kết luận chung về thực nghiệm 91

KẾT LUẬN 93

PHỤ LỤC 95

Phụ lục số 1 : phiếu điều tra GV 95

Phụ lục số 2 : Phiếu thăm dò ý kiến GV 97

Phụ lục số 3 : Giáo án thực nghiệm 100 TÀI LIỆU THAM KHẢO 112

LỜI CAM ĐOAN

Tôi xin cam đoan luận văn này là một công trình nghiên cứu độc lập, những trích dẫn trong luận văn đều chính xác và trung thực.Các số liệu, kết quả nêu trong luận văn là trung thực và chưa từng được công bố trong bất kỳ công trình nào khác

1

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Thứ nhất: Xuất phát từ mục tiêu, yêu cầu của giáo dục phổ thông

Trong công cuộc đổi mới đất nước, Đảng và Nhà nước ta đã nhấn mạnh yếu

tố con người, phát triển con người toàn diện để đáp ứng yêu cầu của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước và thích nghi với xu thế toàn cầu Điều 2 mục 27 chương 2 luật GD 2005 quy định: “Mục tiêu của giáo dục THPT là nhằm giúp học sinh củng cố và phát triển những kết quả của THCS, hoàn thiện học vấn phổ thông, có hiểu biết thông thường về kỹ thuật và hướng nghiệp, có điều kiện lựa chọn hướng phát triển và phát huy năng lực cá nhân, tiếp tục học CĐ-ĐH, trung học chuyên nghiệp hoặc học nghề và đi vào cuộc sống lao động”

Nhu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học cho thấy việc dạy học không chỉ đơn giản là cung cấp tri thức có sẵn mà phải là giúp cho học sinh

có tư duy, khả năng sáng tạo, năng lực tổng hợp chuyển đổi và ứng dụng thông tin vào hoàn cảnh mới để giải quyết các vấn đề đặt ra, thích ứng với những thay đổi trong cuộc sống, có năng lực hợp tác và chuyển đổi năng lực

Thứ hai: Xuất phát từ thực tiễn

Một phần rất quan trọng của Toán học là Giải tích, Douglas(1986) đã viết:

“Giải tích là nền tảng của Toán học, Giải tích là con đường là trung tâm của Toán học, là cơ sở cho việc nghiên cứu của nhiều ngành khoa học và kỹ thuật khác” Đề cập đến vai trò của chủ đề Giới hạn SKG Đại số và Giải tích 11 (nâng cao) đã viết: “Giới hạn là một trong các vấn đề cơ bản của Giải tích

Có thể nói không có Giới hạn thì không có Giải tích, hầu hết các khái niệm của Giải tích đều liên quan đến Giới hạn” Khi HS tiếp thu các tri thức của

2

Giới hạn đã xảy ra quá trình biến đổi về chất trong nhận thức của HS (vì ta đã

biết Đại số đặc trưng bởi kiểu tư duy “hữu hạn”, “rời rạc”, “tĩnh tại” còn khi học về Giải tích kiểu tư duy chủ yếu được vận dụng liên quan đến “vô hạn”,

“liên tục”, “biến thiên”) Giới hạn là cơ sở cho việc nghiên cứu các vấn đề gắn liền với “vô hạn”, “liên tục”, “biến thiên” Chủ đề Giới hạn và tính liên

tục của hàm số có vai trò hết sức quan trọng trong toán học phổ thông bởi lẽ:

Khái niệm Giới hạn là cơ sở; hàm số liên tục là vật liệu để xây dựng các khái niệm đạo hàm, vi phân và tích phân Đó là những nội dung bao trùm chương trình Giải tích ở THPT

Đã có nhiều nghiên cứu chỉ ra rằng nhiều HS khi học về chủ đề Giới hạn và tính liên tục của hàm số, HS gặp phải khó khăn nghiêm trọng trong việc hiểu được bản chất của các khái niệm Ngay cả những GV có kinh nghiệm cũng gặp nhiều khó khăn trong việc truyền thụ tri thức này cho HS, khi dạy về chủ

đề Giới hạn và tính liên tục của hàm số Thông thường, các thầy chỉ dạy qua định nghĩa rồi đi thẳng vào luyện các bài tập Hậu quả là rất nhiều HS phổ thông sau khi tốt nghiệp vẫn không nắm và hiểu được bản chất, nội hàm của các khái niệm về Giới hạn và tính liên tục của hàm số Do đó, làm thế nào để khắc phục những khó khăn trong dạy học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số ? để có thể giúp HS hiểu rõ bản chất của mỗi khái niệm là một nhu cầu của thực tiễn!

Từ những lý do trên đây với mong muốn góp phần giúp cho học sinh và giáo

viên khắc phục khó khăn, nâng cao hiệu quả dạy và học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT, tôi chọn đề tài nghiên cứu : “Giải pháp khắc phục một số khó khăn trong dạy học nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 trung học phổ thông”

3

2 Mục đích nghiên cứu

Mục đích nghiên cứu của luận văn là nghiên cứu quá trình dạy học nội dung

Giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 trường THPT, từ đó đề xuất

một số biện pháp cụ thể nhằm khắc phục một số khó khăn mà giáo viên và học sinh gặp phải trong dạy và học nội dung này

3 Khách thể và đối tượng nghiên cứu

Quá trình dạy và học nội dung : “Giới hạn và tính liên tục của hàm số” ở lớp

11 trung học phổ thông

4 Giả thuyết khoa học và ý nghĩa của việc nghiên cứu

4.1 Giả thuyết khoa học

Nếu các biện pháp đề xuất trong luận văn được áp dụng một cách thường xuyên và hợp lý thì giáo viên và học sinh sẽ khắc phục được một số khó khăn

đang gặp phải trong dạy và học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số; từ đó nâng cao hiệu quả việc dạy và học nội dung này

4.2 Ý nghĩa khoa học của việc nghiên cứu

 Đề tài nghiên cứu đề cập đến vấn đề đang được nhiều giáo viên dạy môn Toán ở trường THPT quan tâm

 Nếu việc nghiên cứu thành công thì kết quả nghiên cứu có thể áp dụng cho việc dạy học các nội dung khác trong môn Toán ở trường THPT

 Kết quả nghiên cứu có thể được sử dụng như một tài liệu tham khảo cho đồng nghiệp

4

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

Để đạt được mục đích nghiên cứu trên luận văn có các nhiệm vụ sau:

 Tìm hiểu nhu cầu và định hướng đổi mới phương pháp dạy học

 Nghiên cứu lý luận về dạy học định lý, dạy học khái niệm

 Nghiên cứu nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số trong chương trình môn Toán ở trường THPT

 Khảo sát, điều tra thực trạng việc dạy và học nội dung Giới hạn và tính

liên tục của hàm số ở lớp 11 các trường THPT hiện nay

 Nghiên cứu nội dung giới Giới hạn và tính liên tục của hàm số trong chương trình môn Giải tích ở trường Đại học Sư phạm, để từ đó nhận ra mối liên hệ hữu cơ, nhận ra mức độ yêu cầu về mặt kiến thức đối với học sinh và sinh viên trong dạy học nội dung này và quan trọng hơn là

để GV khi dạy học nội dung này ở lớp 11 THPT tránh được những sai lầm có thể mắc phải

 Đề xuất một số biện pháp cụ thể nhằm khắc phục một số khó khăn mà giáo viên và học sinh gặp phải trong dạy và học nội dung này

 Tổ chức TNSP nhằm đánh giá hiệu quả và khả năng thực hiện một số biện pháp cụ thể đã đề xuất trong luận văn

 Viết luận văn và thông báo kết quả nghiên cứu trên các tạp chí khoa học về giáo dục (nếu có thể)

6 Giới hạn và phạm vi nghiên cứu

Luận văn chỉ hạn chế trong việc nghiên cứu việc dạy và học nội dung Giới

hạn và tính liên tục của hàm số trong Chương Giới hạn – Đại số và Giải tích

lớp 11 THPT; với mục đích đánh giá thực trạng, xác định khó khăn trong việc

5

dạy và học nội dung này làm căn cứ đề xuất “Giải pháp khắc phục một số khó khăn trong dạy học nội dung giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 trung học phổ thông”

7 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận

 Tìm hiểu nhu cầu và định hướng đổi mới PPDH hiện nay

 Nghiên cứu lý luận về dạy học định lý, dạy học khái niệm

 Nghiên cứu một số phương pháp dạy học không truyền thống

Phương pháp quan sát điều tra

Thông qua việc nghiên cứu phân bố chương trình nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT, thông qua việc dự giờ, thông qua việc

trao đổi phỏng vấn một số GV đã và đang dạy lớp 11 THPT, thông qua việc điều tra (bằng phiếu điều tra) học sinh đang học ở lớp 11 tại một số trường THPT; để có thể:

 Đánh giá được thực trạng việc dạy và học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 một số trường THPT hiện nay

 Tìm hiểu và xác định một số khó khăn mà GV và HS đang gặp phải trong việc dạy và học nội dung này

Phương pháp thực nghiệm sư phạm

Thực nghiệm sư phạm và dùng phương pháp thống kê toán học đánh giá kết quả thực nghiệm nhằm xác định tính hiệu quả và khả năng thực hiện trong thực tiễn các biện pháp nêu ra trong luận văn

6

8 Đóng góp của luận văn

Luận văn đã đạt được một số kết quả chính sau đây:

 Trình bày lại một cách có hệ thống những vấn đề có liên quan tới đề tài nghiên cứu như: định hướng đổi mới phương pháp dạy học, một vài vấn

đề về lí luận dạy học môn toán, nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số trong chương trình môn Giải tích ở Đại học Sư phạm và trong chương trình môn Đại số và Giải tích ở lớp 11 THPT

 Điều tra khảo sát và nghiên cứu để xác định những khó khăn mà GV và

HS đang gặp phải; tìm hiểu và nghiên cứu để có thể dự đoán những sai lầm mà HS và cả GV có thể mắc phải trong dạy và học nội dung Giới hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 THPT

 Đề xuất một giải pháp có tính chất tổng thể với một số biện pháp cụ thể dành cho GV và dành cho HS; với mục đích giúp cho GV và HS khắc phục khó khăn và tránh được sai lầm có thể mắc phải

9 Cấu trúc của luận văn

Ngoài phần mở đầu và kết luận, luận văn gồm 3 chương

Chương 1: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương 2: Giải pháp khắc phục một số khó khăn trong dạy học nội dung giới

hạn và tính liên tục của hàm số ở lớp 11 trung học phổ thông

Chương 3: Thực nghiệm sư phạm

7

Chương 1: CƠ SỞ LÍ LUẬN VÀ THỰC TIỄN

1.1 Cơ sở lý luận

1.1.1 Định hướng đổi mới PPDH

Đổi mới phương pháp dạy học theo định hướng phát triển năng lực cho học sinh là yêu cầu tất yếu và cấp bách của Giáo dục Để đáp ứng được những yêu cầu mới của sự nghiệp công nghiệp hóa, hiện đại hóa đất nước, sự thách thức trước nguy cơ tụt hậu trên con đường tiến vào thế kỷ XXI bằng cạnh tranh trí tuệ đang đòi hỏi phải đổi mới Giáo dục, trong đó có việc đổi mới căn bản về phương pháp dạy và học, sớm tiếp cận trình độ giáo dục Phổ thông ở các nước phát triển trong khu vực và trên Thế giới (đây không phải vấn đề riêng của nước ta, mà là vấn đề đang được quan tâm ở mọi quốc gia) nhằm nâng cao chất lượng giáo dục toàn diện thế hệ trẻ, phát triển nguồn nhân lực trong giai đoạn mới, phục vụ các yều cầu đa dạng của nền Kinh tế – Xã hội Sự phát triển với tốc độ mang tính bùng nổ của khoa học công nghệ thể hiện qua sự ra đời nhiều thànhtựu mới cũng như khả năng ứng dụng chúng vào thực tế cao, rộng và nhanh cũng đòi hỏi phải đổi mới Giáo dục Trong bối cảnh hội nhập giao lưu, học sinh được tiếp nhận nhiều nguồn thông tin đa dạng, phong phú,

từ nhiều mặt của cuộc sống, nên hiểu biết linh hoạt và thực tế hơn nhiều, so với các thế hệ cùng lứa trước đây mấy chục năm (đặc biệt là học sinh THPT)

Vì vậy, đòi hỏi Giáo dục - Đào tạo phải xác định lại mục tiêu, nội dung, phương pháp, phương tiện, tổ chức, cách đánh giá, theo định hướng đổi mới phương pháp dạy học đã được xác định trong các tài liệu sau:

 Nghị quyết Trung ương 4 khóa VII (1- 1993) đã đề ra nhiệm vụ ''đổi mới phương pháp dạy học ở tất cả các cấp học, bậc học"

8

 Luật Giáo dục, điều 28.2, đã ghi: ''Phương pháp Giáo dục - Phổ thông phải phát huy tính tích cực, tự giác, chủ động, sáng tạo của học sinh; phù hợp với đặc điểm từng lớp học, môn học; bồi dưỡng phương pháp

tự học, rèn luyện kỹ năng, vận dụng kiến thức vào thực tiễn; tác động đến tình cảm, đem lại niềm vui hứng thú cho học sinh' Như vậy, quan điểm chung về hướng đổi mới phương pháp dạy học hiện nay (và cũng

là một trong những xu thế dạy học hiện đại trên Thế giới), trong đó có phương pháp dạy học môn Toán đã được khẳng định, không còn là vấn

đề để tranh luận nữa là giúp cho học sinh học tập một cách tích cực, chủ động, chống lại thói quen học tập thụ động Đó là hướng tới học tập trong hoạt động và bằng hoạt động, tức là cho học sinh được suy nghĩ nhiều hơn, thảo luận nhiều hơn, hoạt động nhiều hơn, khi đứng trước một vấn đề của nội dung bài học hay một yêu cầu thực tiễn của cuộc sống Đây chính là tiêu chí, thước đo, đánh giá sự đổi mới phương pháp dạy học Trên tinh thần đó, việc dạy học không chỉ phải thực hiện nhiệm vụ trang bị cho học sinh, những kiến thức cần thiết về môn dạy,

mà điều có ý nghĩa to lớn còn ở chổ dần dần hình thành và rèn luyện cho học sinh tính tích cực, độc lập sáng tạo trong quá trình học tập, để học sinh có thể chủ động, tự lực, tự đào tạo, tự hoàn thiện tri thức trong hoạt động thực tiễn sau này

1.1.2 Lý luận về dạy học định lý và dạy học khái niệm

(phần này được viết dựa trên việc tham khảo tài liệu [3])

1.1.2.1 Dạy học khái niệm toán học

a Đại cương về định nghĩa khái niệm

Khái niệm

9

Khái niệm là hình thức tư duy phản ánh một lớp đối tượng do đó một khái niệm có thể được xem xét theo hai phương diện: bản thân lớp đối tượng xác định khái niệm được gọi là ngoại diên còn toàn bộ thuộc tính chung của lớp đối tượng này được gọi là nội hàm của khái niệm

Giữa nội hàm và ngoại diên có mối quan hệ mang tính qui luật, nội hàm càng được mở rộng thì ngoại diên càng bị thu hẹp và ngược lại

Nếu ngoại diên của khái niệm A là một bộ phận của khái niệm B thì khái niệm A được gọi là khái niệm chủng của khái niệm B, còn khái niệm B được gọi là khái niệm loại của khái niệm A

Định nghĩa khái niệm

Định nghĩa một khái niệm là một thao tác logic nhằm phân biệt lớp đối tượng xác định khái niệm này với các đối tượng khác thường bằng cách vạch ra nội hàm của khái niệm đó

Các định nghĩa thường có cấu trúc sau:

Từ mới

(biểu thị khái niệm mới )

( Những ) từ chỉ miền đã biết (loại )

Tân từ

Ví dụ: “Hình vuông là một hình chữ nhật có hai cạnh liên tiếp bằng nhau”

Trong định nghĩa này, từ mới là hình vuông, loại hay miền đối tượng là hình chữ nhật còn sự khác biệt về chủng là hai cạnh liên tiếp bằng nhau

Miền đối tượng (loại) và các thuộc tính về chủng tạo thành đặc trưng của khái niệm Đặc trưng của khái niệm là điều kiện cần và đủ để xác định khái niệm đó Cố nhiều cách nêu đặc trưng của cùng 1 khái niệm tức là có thể định nghĩa cùng 1 khái niệm theo nhiều cách khác nhau Chẳng hạn, hình vuông

Khái niệm không định nghĩa

Định nghĩa một khái niệm mới thường dựa vào một hay nhiều khái niệm đã

biết.Ví dụ để định nghĩa hình vuông ta cần định nghĩa hình chữ nhật; để định nghĩa hình chữ nhật ta cần định nghĩa hình bình hành; để định nghĩa hình bình hành ta cần định nghĩa tứ giác… Tuy nhiên quá trình nay không thể kéo

dài vô hạn.Tức là phải có khái niệm không định nghĩa, được thừa nhận làm điểm xuất phát, gọi là những khái niệm nguyên thuỷ, chẳng hạn người ta thừa nhận điểm, đường thẳng, mặt phẳng là những khái niệm nguyên thuỷ

Đối với những khái niệm không định nghĩa ở trường phổ thông, cần mô tả giảo thích thông qua các ví dụ cụ thể để học sinh hình dung được những khái niệm này, hiểu được chúng 1 cách trực giác

b Vị trí của khái niệm và yêu cầu của dạy học khái niệm

Vị trí của dạy học khái niệm

Trong việc dạy học toán, cũng như việc dạy học bất cứ khoa học nào ở trường phổ thông, điều quan trọng bậc nhất là hình thành một cách vững chắc cho học sinh một hệ thống khái niệm Đó là cơ sở của toàn bộ kiến thức toán học cho học sinh, là tiền đề quan trọng để xây dựng cho họ khả năng vận dụng các kiến thức đã học

Yêu cầu của dạy học khái niệm

Việc dạy học khái niệm ở trường THPT phải làm cho học sinh dần đạt được những yêu cầu sau:

11

 “Nắm vững các đặc điểm đặc trưng cho một khái niệm

 Biết nhận dạng khái niệm, tức là biết phát hiện xem một đối tượng cho trước có thuộc phạm vi một khái niệm nào đó hay không, đồng thời biết thể hiện khái niệm, nghĩa là biết tạo ra một đối tượng thuộc phạm vi một khái niệm cho trước

 Biết phát biểu rõ ràng, chính xác định nghĩa của một số khái niệm

 Biết vận dụng khái niệm trong những tình huống cụ thể trong hoại động giải toán và ứng dụng vào thực tiễn

 Biết phân loại khái niệm và nắm được mối quan hệ của một khái niệm với những khái niệm khác trong một hệ thống khái niệm

Các yêu cầu trên đây có quan hệ chặt chẽ với nhau, song vì lí do sư phạm, các yêu cầu trên không phải lúc nào cũng được đặt ra với mức độ như nhau với mọi khái niệm” (Nguyễn Bá Kim- Vũ Dương Thụy, 1997, tr.180) Chẳng hạn, khái niệm về "hướng của vecto" không được nêu thành định nghĩa một cách tường minh mà chỉ được diễn tả một cách trực quan dựa vào kinh nghiệm sống của học sinh Nhưng với các khái niệm "hàm số", "hàm số chẵn", "hàm

số lẻ", thì lại yêu cầu học sinh phải phát biểu được định nghĩa một cách chính xác và vận dụng được khi giải toán

c Những con đường tiếp cận khái niệm

Con đường tiếp cận khái niệm được hiểu là quá trình hoạt động và tư duy dẫn tới một sự hiểu biết về khái niệm đó nhờ định nghĩa tường minh, nhờ mô tả, nhờ trực giác, ở mức độ nhận biết một đối tượng, một tình huống có thuộc về khái niệm đó hay không

Trong dạy học người ta phân biệt ba con đường tiếp cận khái niệm đó là:

 Con đường qui nạp

 Con đường suy diễn

12

 Con đường kiến thiết

Sau đây ta sẽ đi sâu vào từng con đường nói trên

 Con đường qui nạp

Theo con đường này, xuất phát từ một số đối tượng riêng lẻ (như vật thật, mô hình, hình vẽ,…) giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh, trừu tượng

hoá và khái quát hoá để tìm ra dấu hiệu đặc trưng của một khái niệm thể hiện

ở những trường hợp cụ thể này, từ đó đi đến một định nghĩa tường minh hay một sự hiểu biết trực giác về khái niệm đó tuỳ theo yêu cầu của chương trình Cần phải chọn lọc một số lượng thích hợp những hình ảnh, thí dụ cụ thể, trong đó dấu hiệu đặc trưng cho khái niệm được đọng lại nguyên vẹn, còn những thuộc tính khác của những đối tượng thì thay đổi

Qui trình tiếp cận 1 khái niệm theo con đường qui nạp:

 Giáo viên đưa ra những ví dụ cụ thể để học sinh thấy sự tồn tại hoặc tác dụng của một đối tượng nào đó

 Giáo viên dẫn dắt học sinh phân tích, so sánh và nêu bật những đặc điểm chung của các đối tượng đang được xem xét Có thể đưa ra đối chiếu một vài đối tượng không có đủ các đặc điểm đã nêu

 Giáo viên gợi mở để học sinh phát biểu một định nghĩa bằng cách nêu tên và đặc điểm đặc trưng của khái niệm

Con đường quy nạp có ưu điểm là thuận lợi cho việc huy động hoạt động tích cực của học sinh, góp phần phát triển năng lực trí tuệ chung và đào tạo cho họ nâng cao tính độc lập trong việc đưa ra định nghĩa Tuy nhiên con đường này đòi hỏi tốn nhiều thời gian nên không phải lúc nào cũng có điều kiện thực hiện

 Đã định hình được một số đối tượng thuộc ngoại diên của khái niệm cần hình thành, do đó đủ vật liệu để thực hiện phép quy nạp

Ví dụ, để hình thành khái niệm về phép biến hình theo con đường quy nạp, ta

Xét một ví dụ khác, trước khi phát biểu định nghĩa đường thẳng song song với mặt phẳng, có thể cho học sinh giải quyết bài toán sau: "Chứng minh rằng nếu đường thẳng d song song với một đường thẳng a nằm trong mặt phẳng (P)

và nếu d không nằm trong (P) thì đường thẳng d và mặt phẳng (P) không có điểm chung" Sau đó đi đến định nghĩa "Đường thẳng d song song với mp(P) nếu d song với một đường thẳng nằm trong (P) và d không nằm trong mặt phẳng (P) "

14

Quá trình hình thành khái niệm theo con đường quy nạp có tác dụng phát triển những năng lực trí tuệ như trừu tượng hóa, khái quá hóa, so sánh thuận lợi cho hoạt động tích cực của học sinh Tuy nhiên, con đường này đòi hỏi phải tốn nhiều thời gian và cần có các điều kiện đã nói trên

 Con đường suy diễn

Con đường thứ hai là con đường suy diễn, trong đó định nghĩa khái niệm mới

xuất phát từ định nghĩa của khái niệm mà học sinh đã biết

Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đường này thường diễn ra như sau:

Qui trình tiếp cận một khái niệm bằng con đương suy diễn:

 Xuất phát từ khái niệm đã biết, thêm vào nội hàm của khái niệm

đó một số đặc điểm mà ta quan tâm

 Phát biểu định nghĩa bằng cách nêu tên khái niệm mới và định nghĩa nó bằng một khái niệm tổng quát hơn cùng với những đặc điểm để hạn chế một bộ phận trong khái niệm tổng quát đó

 Đưa ra ví dụ minh hoạ cho khái niệm được định nghĩa

Con đường này nên thực hiện khi:

 Trình độ nhận thức của học sinh đã khá hơn

 vốn kiến thức đã nhiều lên

 phát hiện ra một khái niệm làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn

Ví dụ: Có thể hình thành khái niệm phép vị tự cho học sinh theo con đường suy diễn bằng cách dựa vào phép biến hình đã được học trước đó như sau:

"Cho một điểm O và số k ≠ 0, phép biến hình biến một điểm M bất kì thành điểm M' sao cho gọi là phép vị tự tâm O tỉ số k"

Con đường suy diễn có ưu điểm là tiết kiệm thời gian và thuận lợi cho việc tập luyện cho học sinh tự học những khái niệm toán học thông qua sách và tài liệu, hoặc nghe những báo cáo khoa học trên lĩnh vực toán học Tuy nhiên, con đường này hạn chế về mặt khuyến khích học sinh phát triển những năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, so sánh, trừu tượng hoá và khái quát hoá

Con đường thường được sử dụng khi phát hiện ra một khái niệm loại làm điểm xuất phát cho con đường suy diễn

 Con đường kiến thiết

Qui trình tiếp cận một khái niệm theo con đường kiến thiết:

Con đường này mang cả những yếu tố quy nạp lẫn yếu tố suy diễn Yếu tố suy diễn thể hiện ở chỗ xuất phát từ những yêu cầu tổng quát để xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần hình thành Yếu tố quy nạp thể hiện ở chỗ khái quát hoá quá trình xây dựng những đối tượng đại diện riêng lẻ, đi đến đặc điểm tổng quát đặc trưng cho khái niệm cần định nghĩa Quá trình tiếp cận một khái niệm theo con đường kiến thiết thường diễn ra như sau:

16

Bước 1 Xây dựng một hay nhiều đối tượng đại diện cho khái niệm cần được

hình thành, hướng vào những yêu cầu tổng quát nhất định, xuất phát từ nội bộ toán học hay từ thực tiễn

Bước 2 Khái quát hoá quá trình xây dựng những đối tượng đại diện, đi tới

những đặc điểm đặc trưng cho khái niệm cần hình thành

Bước 3 Phát biểu định nghĩa được gợi ý do kết quả từ bước 2

Ví dụ : Khái niệm cộng hai vectơ (Hình học 10)

Đây là một khái niệm mới mà ta không sử dụng con đường quy nạp để tiếp cận được, bởi chưa hình thành được ngoại diên khái niệm

Mặt khác, giáo viên cũng không sử dụng con đường suy diễn để tiếp cận khái niệm này, bởi chưa phát hiện được một khái niệm “ loại ” nào để xuất phát Vì vậy con đường kiến thiết là con đường thích hợp nhất để hình thành khái niệm này

Để hình thành khái niệm cộng hai vectơ, ta có thể tiến hành như sau:

Bước 1: Xét ba lực cùng đặt từ điểm A của một vật rắn có độ lớn bằng nhau,

và đôi một tạo với nhau cùng một góc bằng 0

120 Chúng được biểu diễn bởi các vectơ

một lực trùng với F3 Nghĩa là nếu F1F2  F4 , biểu thị bởi vectơ EA thì

Lập luận tương tự ta có tam giác EAC là tam giác đều, và từ đó suy ra ABEC

là hình bình hành Vậy F2 = AC BE Khi đó người ta nói rằng:

F F F

Bước 2: tổng quát tình huống trên : Cho hai véc tơ a b , bất kì, làm thế nào để

xác định tổng a  b Yêu cầu học sinh nhận xét dẫn tới : Đặt từ điểm A véc

tơ AB  a, tiếp đó đặt từ điểm B véc tơ BC  b Khi đó AC là tổng của hai véc tơ a và b và viết :

AC = a  b

Học sinh cần nhận xét a  b không phụ thuộc vào việc chọn điểm A

18

Bước 3: Từ những gợi ý ở bước 2, giáo viên yêu cầu học sinh phát biểu chính

xác định nghĩa tổng của hai véc tơ

Nhận xét : Con đường kiến thiết thuận lợi cho việc khơi hoạt động tự giác,

tích cực của học sinh và rèn luyện cho họ khả năng giải quyết vấn đề trong quá trình hình thành khái niệm Bởi con đường này mang cả những yếu tố quy nạp lẫn suy diễn nên quy luật biện chứng “ từ trực quan sinh động đến tư duy trừu tượng, từ tư duy trừu tượng đến thực tiễn: được tuân thủ triệt để Điều đó kích thích sự phát triển tư duy biện chứng cho học sinh

c Hoạt động củng cố khái niệm

Để củng cố khái niệm cho học sinh, giáo viên cần cho học sinh tập luyện những hoạt động: nhận dạng và thể hiện khái niệm, hoạt động ngôn ngữ, khái quát hóa và đặc biệt hóa, hệ thống hóa khái niệm, vận dụng khái niệm,

Sau đây ta sẽ đi sâu vào từng hoạt động

 Nhận dạng và thể hiện khái niệm

Một trong những biểu hiện của chủ nghĩa hình thức trong quá trình học môn toán là học sinh học thuộc cách phát biểu định nghĩa nhưng lại không nhận biết được một đối tượng cụ thể trong những tình huống khác nhau có thỏa mãn định nghĩa ấy hay không, không tự mình tạo ra được những đối tượng thỏa mãn định nghĩa Vì vậy, cần phải cho học sinh tiến hành những hoạt động "nhận dạng" và "thể hiện" để tránh và khắc phục tình trạng này

Ví dụ: Sau khi học sinh đã biết định nghĩa hai đường thẳng song song, hai đường thẳng chéo nhau thì nên cho họ tiến hành những hoạt động nhận dạng

và thể hiện như :

 Quan sát một tứ diện và có nhận xét gì về vị trí tương đối của sáu đường thẳng chứa sáu cạnh?

19

 Muốn tạo thêm những cặp đường thẳng chéo nhau, ta chỉ cần lấy trung điểm của hai cạnh đối diện nào đó rồi xét vị trí tương đối của đường thẳng đi qua hai trung điểm đó và các đường khác

 Cho trước hai đường thẳng chéo nhau a, b và xét hai đường thẳng phân biệt c, d cắt cả a lẫn b thì c và d không thể là hai đường thẳng song song

Việc nhận dạng và thể hiện khái niệm có thể dựa vào định nghĩa khái niệm cũng có thể dựa vào các điều kiện cần, điều kiện đủ khác

Ví dụ, để nhận dạng và thể hiện khái niệm "Hai đường thẳng song song trong không gian" thì ngoài định nghĩa "Trong không gian, hai đường thẳng song song với nhau nếu chúng không có điểm chung và cùng nằm trên một mặt phẳng nào đó" thì còn có thể sử dụng định lí "Hai đường thẳng phân biệt cùng vuông góc với một mặt phẳng thì song song với nhau" hoặc định lí "Một mp(P) cắt hai mặt phẳng phân biệt (Q) và (R) theo ba giao tuyến phân biệt thì

ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song"

 Hoạt động ngôn ngữ

Cho học sinh thực hiện những hoạt động ngôn ngữ vừa có tác dụng củng cố khái niệm vừa góp phần phát triển ngôn ngữ cho học sinh Đây là nhiệm vụ

mà tất cả các bộ môn trong nhà trường đều có trách nhiệm thực hiện:

 Phát biểu lại định nghĩa bằng lời lẽ của mình và biết cách thay đổi phát biểu, diễn đạt định nghĩa dưới những dạng ngôn ngữ khác nhau

 Phân tích, nêu bật những ý nghĩa quan trọng chứa đựng trong định nghĩa một cách tường minh hay ẩn tàng

 Khái quát hoá, đặc biệt hoá và hệ thống hoá

 Đặc biệt hoá, ví dụ đang xét một hình bình hành đặc biệt với một góc vuông để được hình chữ nhật

 Hệ thống hóa khái niệm, tức là biết nhận ra những mối quan hệ giữa những khái niệm, ví dụ như khái niệm tiếp tuyến của một đường tròn là một trường hợp riêng của khái niệm tiếp tuyến của một đường cong, khái niệm đạo hàm là một khái niệm khái quát của khái niệm vận tốc tức thời,

Rộng hơn nữa, việc vận dụng khái niệm để giải quyết những vấn đề nảy sinh trong Toán học và đời sống không những có tác dụng củng cố khái niệm mà còn là mục đích sâu xa của việc học khái niệm

 Vận dụng

Sau khi truyền thụ một khái niệm, cần tạo cơ hội cho học sinh vận dụng nó vào những bài toán, những hoạt động khác nhau, đặc biệt là những bài toán chứng minh Điều đó vừa có tác dụng củng cố, đào sâu khái niệm, lại vừa góp phần phát triển năng lực giải toán

Trong các hoạt động trên thì hoạt động "nhận dạng và thể hiện" khái niệm có vai trò đặc biệt quan trọng vì các hoạt động này có tác dụng tích cực không

21

chỉ trong giai đoạn củng cố khái niệm mà còn cả trong giai đoạn hình thành khái niệm và vận dụng khái niệm, hơn nữa chúng là biện pháp chủ yếu để chống và khắc phục chủ nghĩa hình thức trong học tập

d Trình tự truyền thụ một khái niệm mới

Trình tự truyền thụ một khái niệm mới thường bao gồm các hoạt động sau:

 Dẫn học sinh vào khái niệm: giúp học sinh tiếp cận khái niệm, có thể thực hiện được bằng cách thông qua một ví dụ hoặc một hiện tượng có trong thực tiễn,

 Hình thành khái niệm: giúp học sinh có được khái niệm, có thể thực hiện được bằng cách khái quát hoát,

 Củng cố khái niệm: thông qua các hoạt động nhận dạng, thể hiện, ngôn ngữ Khắc sâu kiến thức thông qua ví dụ và phản ví dụ

 Bước đầu vận dụng khái niệm trong bài tập đơn giản

 Vận dụng khái niệm trong bài tập tổng hợp

1.2.1.2 Dạy học định lý toán học

a Vị trí của định lý và yêu cầu dạy học định lý

Các định lý cùng với các khái niệm toán học tạo thành nội dung cơ bản của môn Toán, làm nền tảng cho việc rèn luyện kĩ năng bộ môn, đặc biệt là khả năng suy luận và chứng minh, phát triển năng lực trí tuệ chung, rèn luyện tư tưởng, phẩm chất và đạo đức

Việc dạy học các định lý toán học hằm đạt được các yêu cầu sau đây:

 Học sinh nắm được hệ thống định lý và những mối liên hệ giữa chúng,

từ đó có khả năng vận dụng chúng vào hoạt động giải toán cũng như giải quyết các vấn đề trong thực tiễn;

22

 Học sinh thấy được sự cần thiết phải chứng minh định lý, thấy được chứng minh định lý là yếu tố quan trọng trong phương pháp làm việc trên lĩnh vực Toán học;

 Học sinh hình thành và phát triển năng lực chứng minh toán học, từ chỗ hiểu chứng minh, trình bày lại được chứng minh, nâng lên đến mức độ biết cách suy nghĩ để tìm ra chứng minh, theo yêu cầu của chương trình phổ thông

b Hai con đường dạy định lý

Trong việc dạy học định lý toán học, người ta phân biệt hai con đường: con

có đường có khâu suy đoán và con đường suy diễn

Sự khác biệt căn bản giữa hai con đó là ở chỗ: theo con đường có khâu suy đoán thì việc dự đoán phát hiện trước việc chứng minh định lí, còn ở con đường có khâu suy diễn thì hai việc này nhập lại thành một bước

Hai con đường này được minh họa bằng sơ đồ sau:

23

 Con đường có khâu suy đoán bao gồm: tạo động cơ; phát hiện định lí;

chứng minh định lý; phát biểu định lý; vận dụng định lý

Các bước dạy học định lý theo con đường có khâu suy đoán:

 Gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ Toán học

 Dự đoán và phát biểu định lí dựa vào những phương pháp nhận thức mang tính suy đoán: quy nạp không hoàn toàn, lật ngược vấn đề, tương tự hóa, khái quát hóa một định lí đã biết, nghiên cứu trường hợp suy biến xét mối liên hệ và phụ thuộc

 Chứng minh định lí dựa vào việc gợi động cơ chứng minh và gợi cho học sinh thực hiện những hoạt động ăn khớp với những phương pháp suy luận, chứng minh thông dụng và những quy tắc

24

kết luận logic thường dùng Tùy theo yêu cầu của chương trình, trong những trường hợp nhất định, việc chứng minh một số định

lí có thể không đặt ra cho chương trình phổ thông

 Vận dụng định lí vừa tìm được để giải quyết, khép kín vấn đề đặt

ra khi gợi động cơ

 Học sinh có ý thức rõ ràng về sự phân biệt và mối liên hệ giữa suy đoán và chứng minh

 Khuyến khích phát triển năng lực trí tuệ chung như phân tích, tổng hợp, trừu tượng hóa, khái quát hóa

 Con đường này thường được sử dụng khi tồn tại một cách tìm tòi, phát hiện định lí mà học sinh có thể hiểu được và có thể tự mình thực hiện được tới mức độ nhất định Tuy nhiên, điều kiện

đó không phải bao giờ cũng được thỏa mãn

 Con đường suy diễn bao gồm: tạo động cơ; suy luận logic dẫn tới định lý;

phát biểu định lý; củng cố định lý

Các bước dạy học định lý theo con đường suy diễn:

 Gợi động cơ học tập định lí xuất phát từ một nhu cầu nảy sinh trong thực tiễn hoặc trong nội bộ Toán học

25

 Xuất phát từ những tri thức Toán học đã biết, dung suy diễn logic dẫn tới định lí

 Phát biểu định lí

 Vận dụng định lí vừa tìm được để giải quyết, khép kín vấn đề đặt

ra khi gợi động cơ

 Củng cố định lí

Tuy nhiên, con đường suy diễn có ưu điểm là ngắn gọn và tạo cơ hội cho học sinh tập dượt theo những sách báo Toán học Trong quá trình dạy học, nó thường được dùng khi chưa thiết kế được một cách dễ hiểu để học sinh có thể tìm tòi, phát hiện định lí, hoặc khi quá trình suy diễn tới định lí là ngắn gọn và đơn giản

Ví dụ minh họa:

Từ các công thức:

sin(a b) sin a cos b cosa sin b

sin(a b) sin a cos b cosa sin b

sin(a b).sin(a b) [sin a cos b cos a sin b][sin a cos b cos a sin b]

= sin a.cos b cos a.sin b sin a.(1 sin b) (1 sin a).sin b

sin a sin a.sin b sin b sin a.sin b sin a sin b

(1 cos a) (1 cos b) cos b cos a

26

thức, kĩ năng một cách có định hướng và có hệ thống có một ý nghĩa to lớn trong dạy học toán , nhiều khi củng cố giữ vai trò quyết định sự thành hay bại trong dạy học một nội dung cụ thể Củng cố cần được thực hiện đối với tất cả các thành phần của nhân cách đã được phát biểu thành mục tiêu trong chương trình, tức là không phải chỉ đối với tri thức mà còn đối với cả kĩ năng, kĩ xảo, thói quen và thái độ

Củng cố không chỉ giúp người học hiểu sâu tri thức mới mà còn giúp họ nắm vững các tri thức đó, đặc biệt là các tri thức phương pháp Củng cố còn giúp người học rèn luyện kĩ năng, kĩ xảo, phát triển tư duy, giúp người học có thể phát hiện và giải quyết những vấn đề liên quan đến những phương diện khác nhau của tri thức, bổ sung hoàn thiện và mở rộng tri thức Từ đó, thúc đẩy và rèn luyện khả năng vận dụng, liên kết những tri thức và kĩ năng mới với những tri thức và kĩ năng đã biết vào giải quyết những vấn đề mới trong nội

bộ Toán học cũng như trong thuc tiễn cuộc sống

Phương pháp dạy học cần tạo cơ hội cho người học học tập trong hoạt động

và bằng hoạt động tự giác, tích cực, chủ động và sáng tạo Vì vậy, để HS làm chủ được tri thức nên củng cố dưới các hoạt động và bằng hoạt động Đồng thời, củng cố phải được diễn ra thường xuyên để đảm bảo HS không bị hổng kiến thức Củng cố chỉ có thể thực hiện dựa vào các nội dung cụ thể và được diễn ra dưới các hình thức như: luyện tập, đào sâu, ứng dụng, hệ thống hóa và

ôn tập Củng cố định lí thường được thực hiện bằng các hoạt động sau:

 Hoạt động nhận dạng và thể hiện định lí

Nhận dạng và thể hiện định lí là hai dạng hoạt động theo chiều trái ngược nhau, có tác dụng củng cố định lí, tạo tiền đề cho việc vận dụng định lí

27

Nhận dạng một định lí là xem xét một tình huống cho trước có ăn khớp với định lí đó hay không, còn thể hiện một định lí là xây dựng một tình huống ăn khớp với định lí cho trước

VD: Khi dạy học tính chất của nguyên hàm (Giải tích 12)

Từ các câu hỏi sau:

- Cho f(x) = 2sinx cosx Trong các hàm số sau, hàm số nào là nguyên hàm của f (x)

 Hoạt động ngôn ngữ

28

Hoạt động ngôn ngữ là một trong những biện pháp dùng để củng cố định lí và

nó được tiến hành sau khi kết thúc việc dạy học một định lí Hoạt động ngôn ngữ tức là HS phát biểu lại định lí bằng lời lẽ của mình, biết thay đổi cách phát biểu, diễn đạt định lí dưới những dạng ngôn ngữ khác nhau của Toán học Ngôn ngữ Toán học bao gồm các kí hiệu, thuật ngữ (từ, cụm từ), biểu tượng

và các quy tắc kết hợp chúng dùng làm phương tiện để diễn chữ số, chữ cái, dấu các phép Toán, dấu quan hệ và các dấu ngoặc đợc dùng trong Toán học Biểu tượng gồm hình ảnh, hình vẽ, sơ đồ hoặc mô hình của đối tượng cụ thể Hiệu quả mà củng cố định lí thông qua hoạt động ngôn ngữ có thể mang lại: Các hình thức củng cố truyền thống như: Luyên tập, đào sâu, ứng dụng, hệ thống hóa và ôn tập cùng với các biện pháp củng cố khác nhau như nhận dạng

và thể hiện, kiểm tra, đánh giá giả thiết, đóng một vai trò hết sức quan trọng trong việc rèn luyện kĩ năng kĩ xảo và bồi dưỡng khả năng tư duy cho học sinh; giúp HS ghi nhớ, khắc sâu kiến thức cũng như các tri thức phương pháp vừa được học, từ đó có thể áp dụng vào thực tiễn Toán học và đời sống Ngoài những hiệu quả đó, hoạt động ngôn ngữ còn có thể mang lại những hoạt động sau:

 Khi HS phát biểu lại định lí bằng lời lẽ của mình sẽ giúp cho HS phát triển ngôn ngữ, tăng khả năng giao tiếp đồng thời góp phần phát triển

tư duy HS

 Khi HS chuyển định lí từ ngôn ngữ tự nhiên sang ngôn ngữ Toán học,

sử dụng các kí hiệu Toán học sẽ giúp HS hiểu rõ hơn công dụng, ý nghĩa của các kí hiệu Toán học, giúp HS linh hoạt trong việc sử dụng các kí hiệu Toán học

29

 Khi HS chuyển định lí từ ngôn ngữ tự nhiên sang các hình vẽ Dùng hình vẽ, biểu tượng để thể hiện nội dung định lí sẽ giúp HStăng khả năng tưởng tượng, khả năng đọc hình

Một số lưu ý khi sử dụng biện pháp hoạt động ngôn ngữ

Không phải tất cả định lí đều có thể phát biểu được dưới nhiều dạng khác nhau Do đó GV cần cân nhắc, xem xét kĩ lưỡng xem định lí đó có thể phát biểu được nhưng dạng nào

Tùy từng đối tượng HS mà ta áp dụng

VD: Định lí về điều kiện đủ để hàm số đạt cực trị (giải tích 12)

"Gia sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm xo và có đạo hàm trên các khoảng (a;xo) và (xo;b) Khi đó:

Nếu với f'(x) <0 mọi x thuộc ( a; xo) và f'(x) > 0 với mọi x thuộc (xo;b) thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm xo

Nếu với f'(x) <0 mọi x thuộc ( a; xo) và f'(x) < 0 với mọi x thuộc (xo;b) thì hàm số f đạt cực đại tại điểm xo"

Sau khi dạy học xong định lí này, GV có thể đặt ra câu hỏi sau: Dấu của f'(x) thay đổi như thế nào khi x đi qua điểm cực đại, cực tiểu của hàm số? Với câu hỏi này, HS suy nghĩ và có thể phát biểu lại định lí như sau:

Nếu f'(x) đổi dấu từ âm sang dương khi x đi qua điểm xo thì hàm số đạt cực tiểu tại điểm xo

Nếu f'(x) đổi dấu từ dương sang âm khi x đi qua điểm xo thì hàm số đạt cực đại tại điểm xo ."

30

Sau khi HS phát biểu lại định lí bằng lời, GV có thể đặt ra câu hỏi tiếp theo:

Em có thể phát biểu định lí này dưới dạng bảng biến thiên không? Với câu hỏi này học sinh khá, giỏi sẽ vẽ được bảng biến thiên thể hiện nội dung định lí Khái quát hóa, đặc biệt hóa, tượng tự hóa và hệ thống hóa những định lí Hoạt động khái quát hóa, đặc biệt hóa cho phép củng cố ban đầu định lí, vì nó cho phép hiểu rõ hơn các đặc trưng của định lí, mối quan hệ của định lí với các định lí đã học, với định lí mới mà ta công nhận hay sắp chứng minh và cả với những mệnh đề dự đoán mà ta mong muốn HS đi sâu nghiên cứu

 Khái quát hóa : tức là từ những kết quả cụ thể có thể đưa ra những kết

quả tổng quát hơn, từ những cá thể riêng lẻ đưa cái chung cho mọi cá thể Với biện pháp này sẽ giúp HS có tầm nhìn rộng hơn

VD: Khi dạy học về bất đẳng thức giữa trung bình cộng và trung bình nhân (Đại số 10 - Nâng cao)

Đối với hai số không âm a, b ta có : a b a.b

2

 

Đối với ba số không âm a, b, c ta có : a b c 3

a.b.c3

  

Vậy với n số không, liệu rằng còn tồn tại bất đẳng thức giữa trung bình cộng

và trung bình nhân hay không? Nếu còn thì bất đẳng thức đó là gì?

Với câu hỏi như thế này vừa có tác dụng gợi ý cho HS nghĩ đến kết quả tổng quát hơn, kết quả đúng với mọi số không âm đó là:

Với các số không âm a ,a , ,a ta có: 1 2 n

1 2 n

a a an

31

Đặc biệt hóa tức là từ kết quả đã tìm được ta áp dụng vào những trường hợp

đặc biệt để được kết quả mới

 Tương tự hóa : là thao tác tư duy dựa trên sự giống nhau về tính chất

và quan hệ của những đối tượng Toán học khác nhau Với sự tương tự hóa,

HS thấy được các thành phần của Toán học có mối liên hệ gần gũi với nhau

 Hệ thống hóa : là sắp xếp định lí mới vào hệ thống định lí đã học, nhận

biết mối quan hệ giữa các định lí khác nhau trong một hệ thống định lí Qua

đó, HS sẽ thấy được một định lí có thể là một trường hợp đặc biệt hay một sự

mở rộng của định lí khác hay từ một số định lí suy ra một định lí nào đó Việc vận dụng định lí để giải bài tập toán, kể cả những bài tập chứng minh, và giải quyết những vấn đề nảy sinh trong Toán học và trong đời sống không những có tác dụng củng cố định lí mà còn chính là mục tiêu sâu xa của việc học tập định lí

Trong các định nghĩa dưới đây, ta quy ước kí hiệu A là một khoảng hoặc một hợp của các khoảng trong R

a Giới hạn của hàm số