ON TAP HKI LOP 11 COBAN

ĐẠI SỐ I.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC 1.Phương trình lượng giác cơ bản: a.Phương trình sin x a= 1 Phương pháp chung:Ta biện luận theo hai bướcsau: Bước 1: Nếu a >1 thì phương trình 1 vô ngh

Trang 1

Ôn Tập HKI

A ĐẠI SỐ

I.PHƯƠNG TRÌNH LƯỢNG GIÁC

1.Phương trình lượng giác cơ bản:

a.Phương trình sin x a= (1)

Phương pháp chung:Ta biện luận theo hai bướcsau:

Bước 1: Nếu a >1 thì phương trình (1) vô nghiệm

Bước 2 : Nếu a ≤1thì phương trình (1) có nghiệm

*Nếu a được biểu diễn qua sin của một góc đặt biệt giả sử :a=sinα .Khi đó:

0

α



*Nếu a không biểu diễn được qua sin của một góc đặc biệt thì :

π



*Nếu ta có u,v là các biểu thức chứa x thì :

0

π



*Lưu ý : + sinx= −sinα ⇔sinx=sin( )−α + sin cos sin sin

2

x= α ⇔ x= π −α

+ Trong cùng một công thức nghiệm không tồn tại hai đơn vị radian và độ

*Các kết quả đặt biệt:

x= ⇔ =x k k Zπ ∈ x= − ⇔ = − +x π k π k Z∈ x= ⇔ = +x π k π k Z∈

Giải các phương trình sau:

2

6

2

4

x−π =

sin(3x+15 ) sin(75= −x) g/ sin 3x+sinx=0 h/ sin 2x−cosx=0 i/ sinx+cos 2x=0

b.Phương trình cos x= (2)a

Phương pháp chung:Ta biện luận theo hai bướcsau:

Bước 1: Nếu a >1 thì phương trình (2) vô nghiệm

Bước 2 : Nếu a ≤1thì phương trình (2) có nghiệm

*Nếu a được biểu diễn qua cos của một góc đặt biệt giả sử :a=cosα .Khi đó:

0

α



*Nếu a không biểu diễn được qua cos của một góc đặc biệt thì :

cos

x a

π π



*Nếu ta có u,v là các biểu thức chứa x thì :

0 0

π π



*Lưu ý : + cosx= −cosα ⇔cosx=cos(π α− ) + cos sin cos cos

2

x= α ⇔ x= π −α

Trang 2

2

x= ⇔ = +x π k k Zπ ∈ x= − ⇔ = +x π k π k Z∈ x= ⇔ =x k π k Z∈

a/ cosx=- 3 b/cos 2 cos

3

2

4

x−π = −

cos(x+30 ) cos(60= −2 )x g/ cos 2 sin 0

6

p

c.Phương trình tan x a= :

Phương pháp chung: Ta biện luận theo các bước:

*Nếu a được biểu diễn qua tan của một góc đặt biệt giả sử:a=tanα thì:

π

0

( trong đó u,v là các biểu thức chứa x )

*Nếu a không biểu diễn được qua tan của một góc đặc biệt thì :

tanx a= ⇔ =x arctana k k Z+ π, ∈

x= ⇔ =x k k Zπ ∈ x= − ⇔ = − +x π k k Zπ ∈ x= ⇔ = +x π k k Zπ ∈

*Lưu ý : + tanx= −tanα ⇔ tanx=tan( )−α + tan cot tan tan

2

x= α ⇔ x= π −α

a/ tan tan

6

3

6

 − = −

6

x+π =

3

4.Phương trình cot x a= :

Phương pháp chung: Ta biện luận theo các bước:

*Nếu a được biểu diễn qua cot của một góc đặt biệt giả sử:a=cotα thì:

π

0

( trong đó u,v là các biểu thức chứa x )

*Nếu a không biểu diễn được qua cot của một góc đặc biệt thì :

cotx a= ⇔ =x arc cota k k Z+ π, ∈

x= ⇔ =x k k Zπ ∈ x= − ⇔ = − +x π k k Zπ ∈ x= ⇔ = +x π k k Zπ ∈

*Lưu ý : + cotx= −cotα ⇔cotx=cot( )−α + cot tan cot cot

2

x= α ⇔ x= π −α

a/ cot cot

3

Trang 3

e/ cot(2 ) 1

3

x+π =

f/cot(− +x 45 ) cot(30 )0 = 0 g/ cot( ) 2cos 0

2 Phương trình bậc nhất đối với một hàm số lượng giác:

a) Định nghĩa: là phương trình có dạng at b+ =0 1( ) , trong đó a, b là các hằng số (a≠0) và t là một trong các hàm số lượng giác:

b) Phương pháp giải: Chuyển vế rồi chia hai vế của pt (1) cho a để đưa về phương trình lương giác cơ bản.

c) Bài tập:Giải các phương trình sau:

3

b/2cos(x+25 )0 + 2 0= c/ 3 tan(x+15 ) 1 00 + =

2

cos x+30 +2cos 15 =1

1 sin

x

x = − +

3 Phương trình bậc hai đối với 1 hs lượng giác:

a) Định nghĩa: là phương trình có dạng at2+ + =bt c 0 2( ) , trong đó a, b, c là các hằng số (a≠0) và t là một trong các hàm số lượng giác:

b) Phương pháp giải:

- Đặt hàm số lượng giác làm ẩn phụ t và đặt điều kiện cho t ( nếu có )

- Giải phương trình bậc hai theo t và kiểm tra điều kiện để chọn nghiệm t

- Giải phương trình lượng giác cơ bản theo mỗi nghiệm t nhận được

* Chú ý:

- Đặt t=sinx, điều kiện | | 1t ≤

- Đặt t=cosx, điều kiện | | 1t ≤

- Đặt t=tanx và t=cotx thì không cần điều kiện cho t

c) Phương trình đưa về phương trình bậc hai đối với một hàm số lượng giác:

cos x= −1 sin x

sin x= −1 cos x

+ acos 2x b+ cosx c+ =0 Đổi 2

cos 2x=2cos x−1 + acos 2x b+ sinx c+ =0 Đổi 2

cos 2x= −1 2sin x

d) Bài tập: Giải phương trình lượng giác sau:

1) 3cos2x−5cosx+ =2 0 2) 2 cos2x+sinx+ =1 0 3) 2sin2 ( 3 2 sin) 3 0

2cot x−3cotx+ =1 0 5) 2cos2 2 cos 2 0

2sin x+3cosx− =3 0

7) −4sin 22 x+2sin cosx x+ =5 0 8) tan2 x+ −(1 3 tan) x− 3 0= 9) 3cos2 x−2sinx+ =2 0

10) 2sin2x−5sinx− =3 0 11) 2 cos2 x+5sinx+ =1 0 12) 2 cos2x−5cosx− =3 0

13) 2

5sin x+3cosx+ =3 0 14) cos 2x+7 cosx− =8 0 15) 2 cos2x+3cosx+ =1 0

16) 2

3cot x−2 3 cotx+ =3 0 17) 3cos 62 x+8sin3 cos3x x− =4 0 18) cos2x− −(1 2 cos) x− 2 0=

Trang 4

4.Phương trình bậc hai đối với sin x và cos x : asin2x b+ sin cosx x+c cos2x d= (1)

Phương pháp:Ta cĩ thể chọn mợt trong hai cách sau:

Thực hiện theo các bước:

*Nếu a d= thì phương trình nhận

2

x= +π kπ

làm nghiệm.

2

x≠ +π kπ ⇔ x≠

,ta chia hai vế của phương trình cho cos x ,ta cĩ:2

(1)⇔atan x b+ tanx c d+ = (1 tan+ x).

*Đặt t=tanx ,phương trình cĩ dạng: (a d t− ) 2+ + − =bt c d 0.Giải phương trình theo t.

Bài tập 1:Giải các phương trình sau:

2

c/sin2x−2sin cosx x−3cos2x=0 d/6sin2x+sin cosx x−cos2x=2

e/2sin 22 x−3sin 2 cos 2x x+cos 22 x=2 f/sin2x−3sin cosx x+2 cos2 x=0

5 Phương trình bậc nhất đối với sin x và cos x :

a) Định nghĩa:

Phương trình bậc nhất đới với sin x và cos x là phương trình cĩ dạng: asinx b+ cosx c= (1)

Với , ,a b c R∈ ; a,b khơng đờng thời bằng 0 ( 2 2 )

0

a +b ≠

b) Cách giải:

- Tính a2+b2

- Chia 2 vế của phương trình (1) cho a2+b2 , ta được:

- Biến đởi cos 2a 2

α =

+ và sin 2b 2

a b

α =

+ Khi đĩ phương trình trở thành:

+

- Dùng cơng thức cợng sin(a b± =) sin cosa b±sin cosa b đưa về phương trình lượng giác cơ bản theo sin.

α

+ Đây là phương trình lượng giác cơ bản đã biết cách giải.

c) Bài tập: Giải phương trình lượng giác sau:

a) 3 sinx+cosx=1 b) sinx+ 3 cosx=1 c) 3 sin 2x−cos2x+ 2 0=

g) 3 sin 3x−cos3x= 2 h) cos3x−sin3x= 2 i) 3sinx+ 3 cosx= − 3

j) 3sin 3x−4 cos 3x=5 k) 3cos 2x−2sin 2x=3 l) 5sin 12cos 13

II CHƯƠNG II:

1 Quy tắc đếm

a) Quy tắc cộng:

Một công việc có thể thực hiện theo phương án A hoặc phương án B Có n cách thực hiện phương án A và B cách thực hiện theo phương án B Khi đó công việc có thể thực hiện bởi n+m cách

Chú ý: Quy tắc cộng có thể mở rộng cho nhiều hành động.

Trang 5

b) Quy tắc nhân:

Một công việc nào đó bao gồm hai công đoạn A và B Công đoạn A có thể làm theo n cách Với mỗi cách thực hiện công đoạn A thì công đoạn B có thể làm theo m cách Khi đó công việc có thể thực hiện theo n.m cách

Chú ý: Quy tắc nhân có thể mở rộng cho nhiều hành động liên tiếp

Số phần tử của biến cố A kí hiệu là: n A hoặc A( )

2 Hốn vị - chỉnh hợp – Tổ hợp:

Hốn vị Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥1).

Mỗi kết quả của sự sắp xếp thứ tự n phần tử của tập hợp A đgl một hoán vị của n phần tử đó.

! 1.2.3

n

chỉnh hợp

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥1).

Kết quả của việc lấy k phần tử khác nhau từ n phần tử của tập hợp A và xắp xếp chúng theo một thứ tự nào đó đgl một chỉnh hợp chập k của

n phần tử đã cho.

k n

( ! )! 1

k n

n

n k

−

Chú ý:

a) Qui ước 0! = 1

b) Hoán vị n phần tử n

n n

P =A

Tổ hợp

Cho tập hợp A gồm n phần tử (n≥1)

Mỗi tập hợp con gồm k phần tử của A đgl một

tổ hợp chập k của n phần tử đã cho.

Chú ý: Tổ hợp chập 0 của n phần tử là tập rỗng.

( ! ) (0 )

−

k n

n

k n k

0

k n k

n n

C =C − ≤ ≤k n

1

C −− +C − =C ≤ <k n

c) Bài tập:

Bài 1: Từ các sớ 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7 cĩ thể lập được bao nhiêu sớ tự nhiên gờm:

a) Cĩ 3 chữ sớ b) Cĩ 4 chữ sớ khác nhau c) Cĩ 4 chữ sớ chẵn

d) Cĩ 4 chữ sớ lẻ e) Cĩ 4 chữ sớ chẵn khác nhau f) Cĩ 4 chữ sớ lẻ khác nhau

Bài 2: Cĩ bao nhiêu sớ tự nhiên cĩ tính chất:

d) Cĩ 4 chữ sớ lẻ e) Cĩ 4 chữ sớ chẵn khác nhau f) Cĩ 4 chữ sớ lẻ khác nhau

Bài 3: Từ các sớ 1, 2, 3, 4, 5, 6 cĩ thể lập được bao nhiêu sớ tự nhiên gờm:

d) Cĩ 4 chữ sớ lẻ e) Cĩ 4 chữ sớ khác nhau khơng bắt đầu bằng 16

3 Nhị thức Niu – Tơn:

Dạng khai triển:

( )n n n k n k k n n

a b+ =C a +C a b− + +C a b− + +C b (1)

a b= = ta có =C +C + +C

a b= = − ta có C −C + + − C + + − C

Chú ý: - Sớ các hạng tử trong (1) là n+1

- Sớ mũ của a giảm dần , sớ mũ của b tăng dan dần từ trái sang phải nhung tong các sớ mũ bắng n

- Các hệ sớ của mỡi hạng tử cách đều 2 hạng tử đầu và cuới thì bằng nhau

- Sớ hạng thứ k+1 trong khai triển cĩ dạng: = k−1 n k− +1 k−1

k n

Bài tập:

Bài 1: Khai triển các biểu thức sau:

Bài 2: Tìm sớ hạng thứ 5 và hệ sớ của x6 trong khai triển:

Trang 6

a) ( )8

10 2 3 2

x

d)(x2−2)10

Bài 3: Tìm hệ số của x trong các khai triển sau :4

a)

3

2 1

2

x

  b) (1+x) (5+ −2 x )6 c) (1 2+ x)4+ +(1 x2)3+ −(1 2x )5

Bài 4: Cho khai triển (1 3+ x)n

a) Khi n=15.Tìm số hạng thứ 11 và hệ số của x trong khai triển 7

b) Biết số hệ số của x trong khai triển là 90 Tìm n 2

4 Phép thử và biến cố:

* Phép thử ngẫu nhiên: là phép thử ta ko đoán trước được kết quả , mặc dù đã biết tập hợp các kết quả có thể xảy

ra

* Không gian mẫu: tập hợp các kết quả có thể xảy ra của phép thử đgl không gian mẫu K/h: Ω

* Biến cố: biến cố là tập con của kgmẫu.

Tập Φ đgl biến cố không, Tập Ω đgl biến cố chắc chắn

Phép toán trên các biến cố: Ω\A đgl biến cố đối của biến cố A K/h : A

- A∪B đgl hợp của 2 biến cố

- A∩B đgl giao của 2 biến cố

- A∩B = Φ, A và B đgl là 2 biến cố xung khắc

Bài tập:

Bài 1: Gieo đồng tiền liên tiếp 3 lần Hãy mô tả không gian mẫu? Xác định các biến cố sau:

a) Mặt sấp xuât hiện ít nhất 1 lần

b) Lần đầu xuất hiện mặt ngữa

Bài 2: Gieo con súc sắc 2 lần Hãy mô tả không gian mẫu Xác định các biến cố:

c) Tổng số chấm trong 2 lần gieo là 8

d) Lần đầu xuất hiện mặt 5 chấm

e) Cả 2 lần gieo là như nhau

5 Xác suất của biến cố:

a) Định nghĩa: P(A) = ( )

( )

n A

n Ω P(A): xác suất của biến cố A

( )

n Ω : là số phần tử của không gian mẫu

n(A): số phần tử của biến cố A

b) Tính chất của xác suất:

( ) 0, ( ) 1

0≤P(A) ≤1, với biến cố A

Nếu A và B xung khắc thì P(A∪B) = P(A) + P(B)

c) Hệ quả: P ( A ) = 1 - P(A)

d) Biến cố độc lập công thức nhân xác suất:

- Nếu sự xảy ra của 1 biến cố không ảnh hưởng đến xác suất của 1 biến cố khác thì ta nói 2 biến cố đó độc lập

- A và B là 2 biến cố độc lập khi và chỉ khi:

P(A.B) = P(A).P(B)

Bài tập:

Bài 1: Gieo ngẫu nhiên con súc sắc 2 lần

a) Mô tả không gian mẫu

b) Tính xác suất của các biến cố sau:

A: “ Mặt 6 chấm xuất hiện đúng 1 lần ”

Trang 7

B: “ Tổng số chấm xuất hiện trong hai lần gieo là 7 ”

C: “ Mặt 5 chấm xuất hiện ít nhất 1 lần ”

Bài 2: Từ một hộp chứa 8 quả cầu đen và 4 quả cầu trắng, lấy ngẫu nhiên 4 quả Tính xác suất sao cho bốn quả lấy

ra : a) cùng màu

b) Có ít nhất một quả màu trắng

c) Có hai quả màu trắng

Bài 3: Một hộp chứa 12 viên bi gồm 5 bi trắng, 4 bi đỏ và 3 bi xanh Lấy ngẫu nhiên 4 viên bi

Tính xác suất của các biến cố sau:

A: “ Có 3 bi trắng ”

B: “ Có 1 bi trắng và 2 bi xanh ”

C: “ Có ít nhất 2 bi đỏ”

D: “ Có ít nhất 3 bi cùng màu”

Bài 4: Một tổ học sinh gồm 7 nam và 5 nữ Chon ngẫu nhiên 5 bạn tham dự trại hè cấp tỉnh.

Tính xác suất của các biến cố:

A: “ Có 3 bạn nữ ”

B: “ Có 3 bạn nam”

C: “ Có ít nhất 2 bạn nữ”

D: “ Có ít nhất 3 bạn nam”

CHƯƠNG III:

1 Cấp số cộng:

u u d n ( d gọi là công sai ).

 Hệ quả: Công sai d u= n+1−u n

 Số hạng tổng quát: u n = + −u1 (n 1)d ,n≥2

2

k

 Tổng n số hạng đầu tiên: ( 1 )

2

n n

2

n

n n

Bài tập:

Bài 1: Cho ( )u là cấp số cộng biết n u1 = −3; u11=37

Bài 2: Cho CSC ( )u : 21,17,13,9 n

a) Tìm tổng của 50 số hạng đầu của CSC b) Số hạng thứ 25 bằng bao nhiêu

c) Số -55 là số hạng thứ mấy? d) Số -529 là tổng của bao nhiêu số hạng đầu của CSC?

Bài 3: Cho CSC biết u1= −5; d=3

a) Tính số hạng thứ 11 và tổng của 100 số hạng đầu tiên

b) Tổng của n số hạng đầu tiên là 63 Tính n

c) Tính tổng của 15 số hạng từ số hạng thứ 86 đến số hạng thứ 100

Bài 4: Cho ( )u là cấp số cộng biết n u6 =13; S10 =125

a) Tìm số hạng đầu và công sai b) Tìm tổng của 50 số hạng đầu

2 Cấp số nhân:

 Định nghĩa: u n+1=u q n n , ∈¥∗ ( q gọi là công bội )

n

u q u

1 − , 2

n

 Tính chất: u k2 =u k−1.u k+1 ,k≥2

Trang 8

 Tổng n số hạng đầu tiên: 1(1 ) ( )

1 1

−

n n

q

Chú ý: Nếu q =1 thì ta có CSN là u u u1, , , , , 1 1 u1 Do đó ta có: S n =nu1

Bài tập:

Bài 1: Cho CSN ( )u có: n 1 5

51 102

u u

+ =



 + =

 a) Tìm số hạng đầu và công bội của CSn

b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên sẽ bằng 3069?

c) Số 12 288 là số hạng thứ mấy?

Bài 2: Cho CSN ( )u biết n u1=1,u9 =256

a) Tìm công bội b)Tìm tổng của 8 số hạng đầu của CSN

Bài 3: Cho CSN ( )u biết n 1

1 1, 3

u = q=

a) Số 1

2187 là số hạng thứ mấy? b)Tìm tổng của 7 số hạng đầu của CSN.

Bài 4: a) Viết 5 số xen giữa các số 1 và 729 để được CSN có bảy số hạng Tính tổng các số hạng của cấp số này.

b) Viết 6 số xen giữa các số -2 và 256 để được CSN có tám số hạng Nếu viết tiếp thì số hạng thứ 15 là bao nhiêu?

Bài 5: Tìm các số hạng của CSN, biết rằng CSN đó:

a) Có 5 số hạng mà số hạng đầu là 3 và số hạng cuối là 243

b) Có 6 số hạng mà số hạng đầu là 243 và số hạng cuối là 1

B Hình học:

I Chương I:

1 Phép tịnh tiến:

a Các kiến thức cần nhớ:

- M'=T M vr( ) ⇔MMuuuuur r'=v

- Trong mp Oxy cho điểm M x y v( ); ;r=( )a b; Gọi M'=T M vr( ) (= x y'; '), khi đó ta có: '

'

= +



 = +

b Các dạng bài tập:

Thay x; y vào phương trình đường thẳng d Khi đó phương trình theo x’, y’ chính là phương trình của đường thẳng d’

Dạng 2: Tìm ảnh của đường tròn ( )C qua phép tịnh tiến theo vr:

* Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ:

- Thay x; y vào phương trình đường thẳng d Khi đó phương trình theo x’, y’ chính là phương trình của đường thẳng ( )C '

* Cách 2:

- Tìm toạ độ tâm I và bán kính R Khi đó R R= '

- Tìm I’ là ảnh của I qua phép tịnh tiến theo vr.

'

x a− + −y b =R

Trang 9

c Bài tập:

Bài 1: Trong mp Oxy cho đường thẳng :2d x−3y− =5 0 và đường tròn ( )C x: 2+ −y2 2x+4y− =4 0

a) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vr = −( 2;1)

b) Viết phương trình đường tròn ( )C là ảnh của ' ( )C qua phép tịnh tiến theo vr= −( 2;5)

Bài 2: Trong mp Oxy cho đường thẳng :3d x−2y+ =3 0 và đường tròn ( ) ( ) (2 )2

a) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép tịnh tiến theo vr = −( 1;3)

b) Viết phương trình đường tròn ( )C là ảnh của ' ( )C qua phép tịnh tiến theo vr=( )2;1

2 Phép đối xứng trục:

- Cho đường thẳng d, với mỗi điểm M, gọi M0 là hình chiếu vuông góc của M trên d Khi đó:

M =Ñ M ⇔M Muuuuuur= −M Muuuuur.

- Phép Ñ biến d M d∈ thành chính nó

- Trong mp Oxy cho điểm M x y M x y Khi đó ta có ( ); ; ' '; '( ) ' '

'

=



= ⇒  = −



ox

' '

'

= −





oy

b Bài tập:

Bài 1: Trong mp Oxy cho đường thẳng :2d x−3y− =5 0 và đường tròn ( )C x: 2+ −y2 2x+4y− =4 0.

a) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục ox

b) Viết phương trình đường tròn ( )C là ảnh của ' ( )C qua đối xứng trục oy

a) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng trục oy

b) Viết phương trình đường tròn ( )C là ảnh của ' ( )C qua phép đối xứng trục ox

3 Phép đối xứng tâm:

- M'=Ñ M I( ) ⇔IMuuur'= −IMuuur.

- Phép Ñ biến I thành I I

- Trong mp Oxy cho điểm M x y Gọi ( ); M'=Ñ M0( ) (= x y'; '), khi đó ta có: '

'

= −



 = −



' 2



 = −



• Dạng 2: Tìm ảnh của đường tròn ( )C qua phép đối xứng tâm O.

* Cách 1: Dùng biểu thức toạ độ:

* Cách 2: Tìm toạ độ tâm I và bán kính R Tìm I’ là ảnh của I qua phép đối xứng tâm O và viết phương trình đường tròn ( )C có tâm là I’ và bán kính là '' R =R

c Bài tập:

Bài 1: Trong mp Oxy cho đường thẳng :2d x−3y− =5 0 và đường tròn ( )C x: 2+ −y2 2x+4y− =4 0

a) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O

b) Viết phương trình đường tròn ( )C là ảnh của ' ( )C qua phép đối xứng tâm O

Trang 10

a) Viết phương trình đường thẳng d’ là ảnh của d qua phép đối xứng tâm O

b) Viết phương trình đường tròn ( )C là ảnh của ' ( )C qua phép đối xứng tâm O

II Chương II:

1 Đại cương về đường thẳng và mặt phẳng:

- Nếu điểm A thuộc mp ( )α thì ta kí hiệu: A∈( )α

- Nếu điểm A không thuộc mp ( )α thì ta kí hiệu: A∉( )α

- Nếu hai mp phân biệt có một điểm chung thì chúng sẽ có

• Dạng 1: Tìm giao tuyến của hai mp ( )α và ( )β :

• Phương pháp: Muốn tìm giao tuyến của hai mp, ta tìm hai điểm chung của chúng Khi đó đường thẳng đi

qua hai điểm chung đó là giao tuyến

• Dạng 2: Tìm giao điểm của đường thẳng d và mp ( )α :

* Phương pháp:

Cách 1: Ta tìm giao điểm của đường thẳng d với một đường thẳng d'⊂( )α

Cách 2: Ta tìm điểm chung của đường thẳng d và mp ( )α

2 Hai đường thẳng chéo nhau và hai đường thẳng song song:

- Cho hai đường thẳng a và b trong không gian Khi đó có các khả năng sau: a b M∩ = , //a b , a b≡ và a chéo với b

- Nếu ba mp phân biệt đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến đó hoặc đồng quy hoặc đôi một song song với nhau

-

( ) ( )

;

d







- Hai mp phân biệt cùng song song với đt thứ ba thì song song với nhau

b Bài tập:

Bài 1: Cho hình chóp tứ giác S.ABCD Gọi AB DC E AC BD F ∩ = ; ∩ =

a) Tìm (SAD) (∩ SBC) (; SAC) (∩ SBD) b) Tìm AD∩(SEF)

Bài 2: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành Gọi M là trung điểm của SC.

a) Tìm (SAD) (∩ SBC).

b) Tìm giao điểm I của AM vơi (SBD Chứng minh ) 2

3

IA= AM c) Tìm (SCD) (∩ AMB)

d) Tìm giao điểm F của SD với (AMB Chứng minh F là trung điểm của SD.)

Bài 3: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang đáy lớn AB Gọi M,N là trung điểm của SB và SC.

a) Tìm (SAD) (∩ SBC);(SAB) (∩ SCD và ) (SAC) (∩ SBD)

b) Tìm giao điểm của SD vơi (AMN )

c) Tìm (MCD) (∩ SAB , suy ra giao điểm của SA với (MCD))

Định dạng
Số trang	11
Dung lượng	776,5 KB