a Chứng tỏ phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.b Tìm m để phương trình có 2 nghiệm số trái dấu.. d Lập phương trình có các nghiệm là nghịch đảo các nghiệm của phương trình
Trang 1PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI
Bài 1: Cho phương trình (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 (1)
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm m để phương trình (1) có hai nghiệm cùng dấu
Bài 2: Cho phương trình (m + 3)x2 + 2(m – 1)x + m + 4 = 0 (2)
a) Tìm m để (2) có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó
b) Tìm m để (2) có hai nghiệm trái dấu
Bài 3: Cho phương trình (m – 1)x2 + 2(1 – m)x + 3m = 0 (3)
a) Tìm m để (3) có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó
b) Tìm m để (3) có nghiệm x1, x2 thỏa x12 + x22 4
Bài 4: Cho phương trình x2 – 4x + m + 1 = 0 (4)
a) Tìm m để (4) có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để (4) có nghiệm x1, x2 thỏa x12 + x22 = 26
c) Tìm m để (4) có nghiệm thỏa x1 – 3x2 = 0
Bài 5: Cho phương trình (m – 1)x2 + 2(m + 3)x + m + 5 = 0 (5)
a) Tìm m để (5) có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để (5) có hai nghiệm thỏa mãn
1 2
1
x x
Bài 6: Cho phương trình x2 – 2(m + 4)x + m2 – 8 = 0 (6)
a) Tìm m để phương trình (6) có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để (6) có hai nghiệm x1, x2 sao cho x1 + x2 – 3x1x2 có giá trị lớn nhất
Bài 7: Cho phương trình x2 – 6x – m2 + 3m – 5 = 0 (7)
a) Chứng minh (7) luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để (7) có hai nghiệm thỏa x12 + x22 = 7(x1 + x2)
Bài 8: Cho phương trình x2 – 10x + 3m + 1 = 0 (8)
a) Tìm m để (8) có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để (8) có hai nghiệm đều dương
c) Tìm m để (8) có hai nghiệm thỏa x1 x2 3 2
Bài 9: Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + m2 – 3m + 4 = 0 (9)
a) Tìm m để (9) có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để (9) có hai nghiệm thỏa x12 + x22 = 20
c) Tìm hệ thức giữa hai nghiệm độc lập với m
Bài 10: Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x – 3 + 2m = 0 (10)
a) Chứng minh (10) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Tìm m để (10) có hai nghiệm sao cho x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất Tìm giá trị nhỏ nhất đó
Bài 11: Cho phương trình x2 – 2x – m2 – 4 = 0 (11)
a) Chứng minh (11) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi m
b) Tìm m để (11) có hai nghiệm thỏa x12 + x22 = 20
Bài 12: Cho phương trình x2 – (m + 5)x – m + 6 = 0 (12)
Trang 2b) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -2 Tìm nghiệm còn lại.
c) Tìm m để (12) có hai nghiệm thỏa x12 + x22 = 13
Bài 13: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 5 = 0 (13)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đều dương
Bài 14: Cho phương trình (m + 1)x2 – 2(m + 2)x + m + 3 = 0 (14)
a) Tìm m để (14) có nghiệm
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa (4x1 + 1)(4x2 + 1) = 18
Bài 15: Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x +2m – 4 = 0 (15)
a) Chứng minh phương trình luôn có hai nghiệm phân biệt
b) Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 16: Cho phương trình x2 – 2mx – 6m – 9 = 0 (16)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm đều âm
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa x12 + x22 = 13
Bài 17: Cho phương trình (m – 1)x2 + 2mx + m – 2 = 0 (17)
a) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
b) Giải phương trình khi m = 1
Bài 18: phương trình x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 (18)
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm đối nhau
Bài 19: Cho phương trình x2 + (m + 1)x + 5 – m = 0 (19)
a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phương trình có 1 nghiệm x = -1 Tìm nghiệm còn lại
c) Giải phương trình khi m = - 6
d) Viết biểu thức giữa x1, x2 độc lập với m
Bài 20: Cho phương trình x2 – (2m – 3)x + m2 – 3m = 0 (20)
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi m
b) Tìm để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 21: Cho phương trình (m – 1)x2 – 2mx + m + 1 = 0 (21)
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m 1
b) Tìm m để phương trình có 1 nghiệm x = 5 Tìm nghiệm còn lại
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa 1 2
2 1
5 0 2
x x
x x
d) Tìm hệ thức giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài 22: Cho phương trình x2 + 2 mx – m2 + m – 1 = 0 (22)
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm sao cho x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 23: Cho phương trình x2 – (m – 1)x – m2 + m – 2 = 0 (23)
a) Chứng tỏ phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m
b) Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 24: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0 (24)
Trang 3a) Chứng tỏ phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m.
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm số trái dấu
c) Chứng minh biểu thức M = x1(1 – x2) + x2(1 – x1) không phụ thuộc vào m
d) Lập phương trình có các nghiệm là nghịch đảo các nghiệm của phương trình (24)
Bài 25: Cho phương trình x2 – x + m = 0 (25)
a) Giải phương trình với m = -12
b) Tìm m để phương trình có nghiệm kép, tính nghiệm kép đó
c) Với m = -12, không giải phương trình hãy tính
1 2
x x với x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình
Bài 26: Cho phương trình x2 – 2x – m – 3 = 0 (26)
a) Giải phương trình với m = 0
b) Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn 1 2
2 1
10 3
x x
x x
Bài 27: Cho phương trình x2 – 2x + m = 0 (27)
a) Tìm m sao cho phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa x12 + x22 = 8
Bài 28: Cho phương trình x2 + 2x + m = 0 (28)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Giải phương trình với m = - 8
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa x12 + x22 = 5
d) Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 29: Cho phương trình x2 – 4x + 2m + 1 = 0 (29)
a) Giải phương trình với m = 1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa x12 + x22 = 13
Bài 30: Cho phương trình x2 + 2(m + 1)x – m – 2 = 0 (30)
a) Giải phương trình khi m = 0
b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Tìm m để A = x12 + x22 – x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 31: Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + m – 5 = 0 (31)
a) Tìm m để phương trình có 1 nghiệm x = - 1, hãy tìm nghiệm còn lại
b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 32: Cho phương trình x2 + 2x – (m + 1) = 0 (32)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Giải phương trình với m = 7
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa (x1 – x2)2 = 10
d) Tìm m để x13x2 + x1x23 đạt giá trị lớn nhất
Bài 33: Cho phương trình x2 – 3x + 1 – m = 0 (33)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
Trang 4b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa (x1 – x2)2 = 1
Bài 34: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m – 4 = 0 (34)
a) Giải phương trình khi m = 1
b) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
c) Tìm m để A = x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 35: Cho phương trình x2 – 2x + m + 1 = 0 (35)
a) Định m để phương trình có nghiệm
b) Gọi x1, x2 là 2 nghiệm (nếu có) của phương trình Tính A = (x1 + x2)2 + 3x1x2 theo m
Bài 36: Cho phương trình x2 – 2mx + 2m - 1 = 0 (36)
a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm với mọi m
b) Tìm để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều dương
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa x12x2 + x1x22 = 12
d) Tìm hệ thức giữa 2 nghiệm không phụ thuộc m
e) Tìm m để phương trình có 1 nghiệm bằng 2, tìm nghiệm kia
f) Tìm m để x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 37: Cho phương trình (m – 1)x2 – 2mx + m – 4 = 0 (37)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Tìm hệ thức giữa 2 nghiệm không phụ thuộc m
c) Tìm các giá trị của m để phương trình có nghiệm duy nhất
Bài 38: Cho phương trình (m – 1)x2 – 2(m – 1)x – m = 0 (38)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép đó
b) Định m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm
Bài 39: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + m2 – 4m + 5 = 0 (39)
a) Tìm m để phương trình có nghiệm
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều dương
c) Tìm giá trị nhỏ nhất của T = x12 + x22
Bài 40: Tìm các hệ số p và q của phương trình x2 – px + q = 0 có 2 nghiệm thỏa mãn 1 2
3 3
1 2
5 35
x x
x x
Bài 41: Cho phương trình x2 – 2mx + m2 – m + 1 = 0 (41)
a) Giải phương trình với m = 1
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt
c) Với điều kiện của câu b hãy tìm m để biểu thức A = x1x2 – x1 – x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 42: Cho phương trình x2 + (m – 2)x – (m + 2) = 0 (42)
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b) Tìm để phương trình có nghiệm x1 = - 1 Tính nghiệm còn lại
c) Tìm m để P = x1 + x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 43: Cho phương trình x2 + 2(1 – m)x + m – 3 = 0 (43)
a) Chứng minh phương trình luôn có nghiệm với mọi m
b) Tìm hệ thức giữa 2 nghiệm không phụ thuộc vào m
c) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa 1 22 1 2
1
40 0 2
x x x x
Trang 5Bài 44: Cho phương trình x2 – 5x – m2 = 0 (44)
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm trái dấu với mọi m 0
b) Chứng nghiệm của phương trình (44) là nghịch đảo các nghiệm của phương trình m2x2+5x–1 = 0 trong trường hợp m 0
c) Với giá trị nào của m thì phương trình nghiệm thỏa 3x1 + x2 = 3
Bài 45: Cho phương trình x2 + (2m – 1)x – m = 0 (45)
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa x1 – x2 = 1
c) Tìm m để T = x12 + x22 – 6x1x2 đạt giá trị nhỏ nhất
Bài 46: Cho phương trình x2 – 2(m + 1)x + 2m + 10 = 0 (46)
a) Giải và biện luận số nghiệm của phương trình trên
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm thỏa mãn 10x1x2 + x12 + x22 đạt giá trị nhỏ nhất
c) Tìm m để phương trình có nghiệm x = -2 Tìm nghiệm còn lại
Bài 47: Cho phương trình x2 – (m + 3)x + 2(m + 2) = 0 (47)
a) Giải phương trình khi m = -1
b) Tìm m để phương trình có nghiệm gấp đôi nghiệm kia
Bài 48: Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x + m – 3 = 0 (48)
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm phân biệt với mọi m
b) Tìm hệ thức giữa các nghiệm độc lập với m
c) Xác định m để phương trình có 2 nghiệm trái dấu và bằng nhau về giá trị tuyệt đối
Bài 49: Cho phương trình x2 + 2(m + 3)x – m – 1 = 0 (49) Gọi x1, x2 là 2 nghiệm của phương trình a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương
b) Tìm hệ thức giữa 2 nghiệm độc lập với m
c) Không giải phương trình tính P x x 1 2 x2 x1 theo m
Bài 50: Cho phương trình x2 – 2mx + 2m – 1 = 0 (5)
a) Chứng tỏ phương trình có nghiệm với mọi m
b) Giải phương trình khi m = -3
c) Tìm m để phương trình có nghiệm bằng - 1 Tìm nghiệm còn lại
d) Tính theo m giá trị của A = 2(x12 + x22) – 5x1x2
e) Tìm m sao cho A = 27
f) Tìm m để A đạt giá trị nhỏ nhất
g) Tìm hệ thức giữa 2 nghiệm độc lập với m
h) Tìm m để x1x2 – x12 – x22 đạt giá trị lớn nhất
i) Tìm m để phương trình có nghiệm này gấp đôi nghiệm kia
j) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm dương
k) Có giá trị nào của m để phương trình có 2 nghiệm âm hay không
Bài 51: Cho phương trình (m – 1)x2 + 2(m – 1)x – m = 0 (51)
a) Định m để phương trình có nghiệm kép Tính nghiệm kép này
b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt đều âm
Bài 52: Cho phương trình (m + 2)x2 – (2m – 1)x – 3 + m = 0 (52)
a) Chứng minh phương trình có nghiệm với mọi m
Trang 6b) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm phân biệt sao cho nghiệm này gấp đôi nghiệm kia.
Bài 53: Cho phương trình x2 – 2mx + m + 2 = 0 (53)
a) Tìm m để phương trình có 2 nghiệm không âm
b) Khi đó hãy tính giá trị biểu thức E x1 x2 theo m
c) Tìm hệ thức giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào m
Bài 54: Cho phương trình x2 – 2(m – 1)x – m = 0 (54)
a) Chứng minh phương trình luôn có 2 nghiệm với mọi m
b) Tìm hệ thức giữa 2 nghiệm không phụ thuộc m
c) Với m 0, lập phương trình ẩn y thỏa mãn: 1 1 2 2
,