bt ham lien tuc

Các dạng toán toán về giới hạn hàmDạng 1: Giơi hạn dang o o Phương pháp: Thường tạo nhân tử chung để rút gon tôi đa nhân tử làm cho tư và mẫu triêt tiêu Dung các hằng đẳng thức đang nhớ

Các dạng toán toán về giới hạn hàm

Dạng 1:

Giơi hạn dang o

o

Phương pháp:

Thường tạo nhân tử chung để rút gon tôi đa nhân tử làm cho tư và mẫu triêt tiêu

Dung các hằng đẳng thức đang nhớ

Công thức:

an-bn=(a-b)(an− 1+an− 2b+ +ab n− 2 +b n− 1 )

Đặc biệt:

xn-1 =(x-1)(xn− 1 +x n− 2 + +x+ 1 )

các v dụ:

vd1:tính các giới hạn sau:

a)lim

4

2 3

2 −

−

−

x

x

3 9

4 2

2

2

− +

−

−

x

x

x→ 2 x→o

vd2: tính các giới hạn sau:

a)lim 11−−costanx x=? B)lim tancos(3 x x−+3πtan/6)x=?

x→∏/4 x→ π / 3

hướng dấn:lim cos x=cos xo; lim sin x=sin x

x→x o x→x o

lim tan x=sin xo; lim cot x=cotxo o;

x→x o x→x o

vd3: tìm các giới hạn sau:

L=limx x x x x x m x m n

n

− + + +

− + + + +

2

3 2

x→ 1

hướng dấn : phân tích theo nhân tử chung

x-1

vd4: tìm giới hạn sau:

L= lim (1+x)(1+2x)(1x+3x)(!+4x)−1

= ?

x→o

hướng dấn: tách tạo nhân tử chung là x

hoặc khai triển tử số

dạng 2:

phương pháp : đôi biến.

đổi cân giới hạn để đưa về dạng đơn giản hơn

vd1:cho n là số nguyên dương và a≠o

cmr:

l=lim

x

ax

n1 + − 1=n a(đây là công thức cần nắm)

x→o

hướng dấn: đăt t=n1 +ax và đổi cận của giới hạn

vd2:tìm ghạn sau

a)Lim

x

x

sin

1 sin 100

x→π

b) L=lim

x

x

2

x→o

c)L=lim

x

x x

2

x→o

hướng dấn:thêm bớt đưa về dạng ở vd1

dùng abc-1=abc-bc +bc-c +c-1=

bc(a-1) +c(b-1)+(c-1)

vd3; tìm giới hạn:

a)L =lim

x

x m

2

sin

1

x→o

b)L=lim

x

x x

2

sin

cos

x→ 0

hướng dấn: đặt cosx=ym n và đổi cận

Dạng 3:dùng ghạn lim sinx x =1

x→ 0

phương pháp ; biến đổi dưa về áp dụng ghạn trên

dùng cho ghạn có cả lượng giác và đai số

vd1 : cmr: 1) lim tantanbx ax=limsi iisinbx =1

x→o x→o

2)lim 2

cos 1

x

ax

−

=

2

2

a

x→o

hướng dấn :biến đổi về dạng trên

vd2: tìm các ghạn sau:

2 sin sin

2

x

x

x−

=?

x→ 0

sin tan

x

x

x−

=?

x→ 0

c)H=lim 2 sin 2 x x

cos

=?

x→ 0

hướng dẫn ; dùng ghạn cơ bản

vd3:tim ghạn sau:

1) L=lim1−sin2cos3x x=?

x→ π / 3

2)H=lim

x

x x

6 sin

2 sin 1 2 sin

x→ 0

Hướng dấn: nhân liên hợp

Tạo nhân tử chung

Vd 4: tìm giới hạn :

L=lim 2

3 cos 2 cos cos

1

x

x x x

−

=?

x→o

vd5:tìm lim

) sin(tan

) cos 2 cos(

x

x

π

=?

x→o

vd6:tìm các ghạn:1)L=lim

6 cos

9

2

x

x

π

−

=?

x→ 3

2)H= lim(4-x)tan π8x=?

x→ 4

3)T=Limsinsinqx px =?

x→ π

dạng 4: dạng ∞∞

pp : chia cho x có số mũ cao nhất

vd1:

L = Lim

x x

x

x x x

2 5 4 3

1 3 2

2

2

+ + +

− + +

=?

x→ ±∞

hướng dấn : chia ra hai trường hợp x→+∞ và x→−∞

dạng 5: dạng ∞ − ∞

PP: chuyển về dạng khác băng thuật thêm bớt

Chú ý :dùng liên hợp

Vd1: 1)L= Lim (3 x3 + 1 −x)=?

x→ +∞

2)k = Lim (4 x4 + 1 −x)=?

x→ −∞

hướng dấn : dùng liên hợp

vd2: 1) L= Lim (2x-1- 4x2 − 4x− 3 ) )

x→ +∞

2)Lim (3 x3 + 3x2 − x2 − 2x)=?

x→ +∞

HD: tách thành hai ghạn.

Dạng 6:giới hạn một phía;

PP: căn cứ vào cân gh để tìm hàm

Vd1: 1)Lim |3x x++26|=?

x→ 2 +

2)Lim

x x

x x

+

−

2

3

=?

x→o+

vd2: 1) L=Lim

3

2

−

−

x

x

=?

x→ 3 +

2

4

2

−

−

x

x→ 2 +

HD : căn cứ vào cận để xét dấu của hàm số

Vd3:

9 x− 2 với -3 ≤x≤ 3

F(x) = 1 với x=3s

x2 − 9 với x>3

Tìm Lim f(x) ;lim f(x);Lim f(x)

x→ 3 + x→ 3 − x→ 3

hd : chọn biểu thức thích hợp.

bài tập tự luyện

1)L=Lim

x

x x

x+ 1 − 2 + + 1=?

x→o

2)Lim

a x

a a x x

−

−

=?

x→a

3)lim

t

x t

x+ − =?

t→o

4)lim

2 3

2 4

2 3

2

2

+

−

−

−

−

−

x x

x x x

x→ 1

5) cho f(x) =

x

x |

|

tìm lim f(x)

x→ 0

6)lim n n

a x

a x

−

−

x→a

7)lim

1

2

−

− + + +

x

n x x

x→ 1

8) lim

x

nx x

1

x→ 0

9) lim ( )

1

3 1

1

2

x

x − −

−

x→ 1

10) lim ( 2 1 ) 3

) 3 1 )(

3 2 )(

1 (

+

+

−

−

x

x x

x

x→ +∞

11) a) Lim sin(2 ) 2sin(2 )

x

Sina x

a a

x→ 0

b) LIm ( x tan) x

π

x

2

π

→

12)a) lim

x

x x

tan

sin 1 sin

x→ 0

b)lim 1 sin 2 cos2

x

x x

+

x→ 0

c)Lim (cos x+ 1 − cos x)

x→ +∞

13) xét tính liên tục của các h/số sau:

1

6 5

2

−

− +

x

x x

nếu x≠ 1

a) f(x) =

7 nếu x=1

x

x

2 sin

nếu x≠ 0

b)f(x) =

2 nếu x=0

O nếu x<0

c)f(x)= x2 nếu 0≤x≤ 1

-x2 + 4x− 4 nếu x>1

x

1 − 2 − nếu x≠0

d) f(x) =

2 nếu x=0

14) cmr pt : x5 −x− 5 = 0 có nghiệm x0 ∈ ( 1 ; 2 )và thỏa mạn : x0 ≥ 9 8

15) cho ba số a,b,c cmr pt sau luôn có nghiệm:

a(x-b)(x-c) + b(x-a)(x-c)+ c(x-a)(x-b)=0

16) a) Lim

1

1

3

4

−

−

x x

x→ 1

b) Lim

1 2 1

4 + x−

x

x→ 0

c) Lim ( x2 +ax − x2 −ax)

x→−∞

Các dang toán về đạo hàm: (2 đến 3 buổi)

Tính đạo hàm bằng định nghĩa;

pp: +) cho x một số gia ∆xtính số gia ∆y tơng ứng.

+) tìm

x

y

∆

∆

+) tìm Lim

x

y

∆

∆

∆x→o

Thờng ứng dụng cho hàm cho bởi nhiều biểu thức

Và hàm cho bởi biểu thức chứa tri tuyệt đối và cho bởi tích nhiều nhân tử

ví dụ 1:

cho các hàm số :

x

x

1 sin nếu x≠o

f(x) =

1

|

|

2 +

x

x

và g(x) =

o nếu x=o

xét tính liên tục và sự tồn tại đao hàm của các hàm số khi x=o

hớng dân :

so sánh giới hạn và giastrij tại điểm đó

Sử dụng định nghĩa

ví vụ 2:

cho hàm số f(x) = |x-2|( |x|-4) +m xét sự tồn tại đạo hàm của hàm số tai x=0 và x=2

HD : dùng định nghĩa

ví dụ 3:

cho f(x) =|x-a|ϕ(x)trong đó hàm số ϕ(x)là hàm liên tục tại a hãy tìm f'(a) với a là một số cho trớc

HD: xét đạo ham trái và đạo hàm phải

ví dụ 4: 1) cho hàm số

x

x

cos

nếu x≠o

f(x) =

1 nếu x=o

Hàm số f(x) có đạo hàm tại x=o hay không.

2) cho

a x2 +bx+ 1 nếu x≥O

Hàm số f(x) =

A sinx+ b cosx nếu x<O

Tìm a vab để hàm số có đạo hàm tại x =O.

HD : tìm đạo hàm trái phải tại điểm đó.

Dạng 2: Các bài toán về phép tính đạo hàm

PP; dùng các công thức và quy tắc tính đạo hàm.

Bảng đao hàm cơ bản

đạo hàm của hàm số hợp

ví dụ 1: tính đạo hàm của các hàm số sau :

1) y = sin (cos2x) cos( sin 2 x).

1

1 1 1

1

2

2 2

2

+ +

− + +

− +

+ +

x x

x x x

x x

HD: sử dụng các quy tắc tính đạo hàm

ví vụ 2:

cho y= x sinx.chứng minh :

xy-2(y'-sinx)+xy'=O.

HD : biến đổi tơng đơng

ví dụ 3:

cho y = 2x+x2 chứng minh :

y3y'' + 1 =O.

HD : tính đạo hàm rồi thay vào

ví dụ 4 :

cho f(x) =(x-1) (x-2)(x-3) Cmr:

O f

f f

f

f

) 3 (

) 3 ( )

2

(

)

2

(

)

1

(

)

1

(

'

'' '

''

'

''

.

HD : tính dạo hàm rồi thay vào

ví dụ 5: cho f(x) =2x

2 cos 2

2 x

; g(x)=x-x2 sinx Giải phơng trình.

f'(x)=g(x).

HD ; tính đạo hàm rồi thay vào

ví du 6:

cho f(x) =2x2 + 12x3;g(x) =9x' + 72x hãy giải PT:

f'(x) + g' (x)=O.

HD : tính đạo hàm rồi thay vào

III)dạng 3 : Tìm đạo hàm bậc cao:

PP:dùng công thức:

f(n) = (f (n− 1 ) ) '.với n là số nguyên dơng

ví dụ 1:

tìm f(n)(x) của các hàm số sau:

1) y=sinx;2) y=cosx;3) y=sinax cosbx ;4) y=sin2x và y= cos3x.

HD : dự đoán công thức

ví dụ 2: tìm đạo hàm với caaos đã chỉ ra :

1) y= 2 ; ( 8 )

x

−

2 3

y x

HD : dự đoán công thức

ví dụ 3: cho hàm số y=

2 3

3 5

2 − +

−

x x

x

tìm y(n)

IV) dạng 4: ứng dụng của đạo hàm:

PP: pptt tại điểm xO của đồ thị hàm số y= f(x) :

Y = f'(xO)(x-xO) +f(xO).

Chuyện động có PT S= f(t).

Vt tức thời tai tolà v (to)=f' ( )

o

t .

ví dụ 1 : cho đờng cong y=x2-5x +6

viết pptt của nó biêt tt đó song song với đờng thẳng y=3x+4

HD : tìm hoành độ tiếp điểm.

Ví dụ 2: cho đờng cong y= x2-5x +6 viết PPTT biết tt đó đi qua

M (5;5).

Tìm hoành độ tiếp điểm.

ví dụ 3 ; cho đờng cong y= x3 −x2 + 7x− 1.cmr không có hai tiếp tuyến nào vuông góc với nhau.

HD : chứng minh bằng phẩn chứng.

ví dụ 4: 1) tính vi phân của hàm số f(x)=

1

+

x

x tại điểm x=1 ứng với ∆x=

0,02.

2) tính vi phân của hàm số f(x) =

x

x

cos 1

cos 1

−

+

tại điểm x=

3

Π

ứng với ∆x=

0,01.

HD: dùng công thức

ví dụ 5: vân tốc của chuyển động biểu thị bằng công thức v(t) = 8t +3t

2; t(s) ;v(mét).

1) tìm vận tốc của chất điểm tại thời điểm t=4 s

2) tìm gia tốc của chất điểm khi vận tốc bằng 11 mét.

HD: dùng ý nghĩa cơ học của đạo hàm.

Các bài toán tự luyện :

Bái 1 : cho hàm số f(x)= 3x-2x x .Tính :

f' ( 4 ) và f' (a2 ) với a ≠o.

Bài 2:

Cho hàm số f(x) =x3 − 2x2 +mx− 3.tìm m để :

a) f' (x) ≥o; ∀x;

b) f' (x), ∀x∈ (o; 2 ).

Bài 3: cho đờng cong y=x3 − 3x2 + 2x Viết pptt với đờng cong tại M

điểm nằm trên đơng cong có hoành độ bằng 2.

3

1 2

3

1x3−m x2 + viết pttt của đờng cong biết tt có hệ số góc bé nhất trong tất cả các tt của đờng cong đã cho.

Bài 5 : Gpt : f' (x) = 0.

f(x) = 3cox+ sinx− 2x− 5

Bài 6:

Cho f(x) =a cosx+2sinx-3x+1.

Tìm a để PT f' (x) = 0 có nghiệm