Chương 3 hàm liên tục một biến số

Chương 3 Hàm liên tục một biến số Khái niệm liên tục của hàm số là khái niệm rất cơ bản, đóng một vai trò rất quan trọng trong việc nghiên cứu hàm số cả về lý thuyết và ứng dụng.. 3.1 Đ

Giải tích toán học Tập 1 NXB Đại học quốc gia Hà Nội 2007 Từ khoá: Giải tích toán học, giải tích, Hàm liên tục, Điểm gián đoạn, liên tục, liên tục đều, hàm sơ cấp. Tài liệu trong Thư viện điện tử ĐH Khoa học Tự nhiên có thể được sử dụng cho mục đích học tập và nghiên cứu cá nhân Nghiêm cấm mọi hình thức sao chép, in ấn phục vụ các mục đích khác nếu không được sự chấp thuận của nhà xuất bản và tác giả Mục lục Chương 3 Hàm liên tục một biến số 3

3.1 Định nghĩa sự liên tục của hàm số tại một điểm 3

3.1.1 Các định nghĩa 3

3.1.2 Hàm liên tục một phía, liên tục trên một khoảng, một đoạn kín 4

3.1.3 Các định lý về những phép tính trên các hàm liên tục 5

3.1.4 Điểm gián đoạn của hàm số 7

3.2 Các tính chất của hàm liên tục 10

3.2.1 Tính chất bảo toàn dấu ở lân cận một điểm 10

3.2.2 Tính chất của một hàm số liên tục trên một đoạn 10

3.3 Điều kiện liên tục của hàm đơn điệu và của hàm số ngược 14

3.3.1 Điều kiện liên tục của hàm đơn điệu 14

3.3.2 Tính liên tục của hàm ngược 15

3.4 Khái niệm liên tục đều 16

Chương 3 Hàm liên tục một biến số

Lê Văn Trực

3.4.1 Mở đầu 16

3.4.2 Định nghĩa 16

3.4.3 Liên tục của các hàm số sơ cấp 18

3.5 Bài tập chương 3 19

Chương 3

Hàm liên tục một biến số

Khái niệm liên tục của hàm số là khái niệm rất cơ bản, đóng một vai trò rất quan trọng trong việc nghiên cứu hàm số cả về lý thuyết và ứng dụng Trước hết, ta hãy tìm hiểu về tính liên tục của hàm số

3.1 Định nghĩa sự liên tục của hàm số tại một điểm

Hàm f liên tục tại mọi điểm x∈A thì ta nói f liên tục trên A

Nếu f không liên tục tại x0, ta nói rằng f gián đoạn tại x0

Quay trở về định nghĩa giới hạn của hàm số ta có thể phát biểu sự liên tục của hàm f tại x0

Vậy hàm f x( ) | = x|liên tục tại mọi x∈ \.

Ví dụ 2: Dùng ngôn ngữ ( ε δ − ) hãy chứng minh 2

Ví dụ 3: Dùng ngôn ngữ ( ε δ − ) hãy chứng minh hàm số y = x2 liên tục tại mọi điểm Giả sử

x0 là tuỳ ý, cho ε > 0 và | x−x0| < δ Ta thấy

| y−y | < ε Vậy hàm số liên tục tại x0

Ví dụ 4: Xét hàm số f(x)=sinx Lấy x0 bất kì thuộc \ Ta thấy

(ta đã biết | si n |x < | x| với x≠ 0)

Cho trước ε>0 chọn δ ε = , khi | x−x0| < δ ta có | sinx− sinx0|<ε Vậy hàm f liên tục tại

Định lý 3.1.1 Điều kiện cần và đủ để hàm f liên tục tại điểm x0∈A là nó liên tục theo cả hai phía tại x0

Chứng minh:

Điều kiện cần là hiển nhiên

Ngược lại, nếu f liên tục theo cả hai phía tại x0, thì ∀ > 0 ε , ∃ δ1 > 0 sao cho

|f(x) −f(x0)|< ε

Vậy f liên tục tại x0

Định nghĩa 5 Cho hàm f xác định trên khoảng (a,b) Ta nói rằng hàm f liên tục trên khoảng

(a,b) nếu nó liên tục tại mọi điểm của khoảng đó

Bây giờ cho hàm f xác định trên đoạn [a,b] Nếu hàm f liên tục trên (a,b), liên tục bên phải tại điểm a và liên tục bên trái tại điểm b, thì ta nói rằng hàm f liên tục trên [a,b]

Ví dụ 5: Xét hàm số

1 ví i 0 2 ( ) 1 ví i 2 3

a) Tính liên tục của tổng hiệu tích và thương của hàm liên tục

Từ các định lý về giới hạn của tổng, hiệu, tích và thương của hai hàm số mà mỗi hàm đều

có giới hạn ta có thể chứng minh định lý sau

Định lý 3.1.2 Nếu hai hàm số f và g xác định trên cùng một tập A⊂ R và cả hai đều liên tục tại điểm x0∈A thì tại điểm đó các hàm c.f trong đó c là hằng số; f ±g f g; . và f

ii) Hàm mũ y=a x (a> 0,a≠ 0) liên tục trên toàn tập R

iii) Hàm lôgarit y = loga x (a>0, a≠0) liên tục trong khoảng (0,+∞)

iv) Hàm luỹ thừa y=x n n( ∈ ` ) liên tục trong khoảng (−∞ +∞ , )

v) Các hàm y = sinx, y = cosx liên tục trên tập \, các hàm t g sin , sec 1

b) Tính liên tục của hàm số hợp

Định lý 3.1.3 Giả sử hàm f : A→B A( ⊂ \ ,B⊂ \ ) liên tục tại điểm x0∈A còn hàm g:

→ \

B liên tục tại điểm y0 =f x( 0) ∈B

Khi đó hàm hợp g f0 :A→ \ liên tục tại x0

nx nx n

x x e y

e

Với x >0 ta có

+ +

=

2 2

e

e

nx nx n

x x e

x e Với x <0, khi chú ý là e nx → 0 khi n→ +∞ ta só

2

lim 1

nx nx n

x x e

x e

x x e e

→+∞

+Vậy

2

k hi 0 ( )

k hi 2 1

Vậy ∀a hàm số không thể liên tục tại x = 2

3.1.4 Điểm gián đoạn của hàm số

Hàm số f(x) được gọi là gián đoạn tại x0 nếu tại x = x0 hàm f(x) không liên tục Vậy x0 là điểm gián đoạn của hàm số f(x) nếu: hoặc x0 không thuộc tập xác định của f(x), hoặc x0 thuộc tập xác định của f(x) nhưng

Giả sử x0 là điểm gián đoạn của hàm số y = f(x) Nếu thỏa mãn đẳng thức

lim ( ) lim ( )

x x+ f x x x− f x

thì điểm gián đoạn x0 gọi là khử được Nếu ít nhất một trong các giới hạn một phía nói

trên bằng ∞ thì x0 gọi là điểm gián đoạn vô cùng

Ví dụ 11: Cho hàm số:

k hi 0 ( )

1

k hi 0 ( )

1 1

lim ( ) li m sin sin( 1) sin 1,

lim ( ) lim ar csin ar csin( 1)

l im ( ) lim ( cos ) cos1,

lim ( ) lim ar csin ar csin 1

là bước nhảy của hàm số tại x0

Định lý 3.1.4 Mọi điểm gián đoạn của hàm số đơn điệu xác định trên [a,b] đều là điểm gián

Bằng cách tương tự ta chứng minh được

0 0

3.2.1 Tính chất bảo toàn dấu ở lân cận một điểm

Định lý 3.2.1 Giả sử hàm số f(x) xác định trên tập A, liên tục tại điểm x0∈A Khi đó

i) Nếu f(x 0 )>α thì ∃ >δ 0 sao cho f(x) >α ∀ ∈x 0 (δ x0)∩ , A

trong đó

0 (δ x ) = { :|x x−x | <δ} (3.2.1) ii) Nếu f x( 0) <β thì tồn tại δ>0 sao cho

Ý nghĩa:

Hàm liên tục f(x) bảo toàn dấu của nó trong một lân cận của điểm x0

3.2.2 Tính chất của một hàm số liên tục trên một đoạn

Ta hãy chứng minh định lý bằng phản chứng Thật vậy, ta giả sử rằng hàm số không bị

chặn Khi đó với mỗi số tự nhiên n ta tìm được trên [a,b] giá trị x = xn sao cho:

k

n

x →x khi k→ +∞, trong đó hiển nhiên a≤x0≤b.

Vì hàm liên tục tại x0 nên ( ) ( 0)

Nếu hàm f : [ , ]a b → \ liên tục thì nó đạt cận trên đúng và cận dưới đúng trong [a,b], tức là

tồn tại c c1, 2∈ [ , ]a b sao cho

1 [ , ]

Theo định lý trên, do hàm liên tục nên nó bị chặn Ta có

Định lý không còn đúng đối với những khoảng không đóng, ví dụ hàm f(x) = 2x2 ánh xạ khoảng [0,1) lên khoảng [0,2), do đó sup ( )f x = 2 nhưng hàm f(x) không nhận giá trị 2 trong

khoảng [0,1)

ii) Nếu hàm f(x) khi biến thiên trên một khoảng X nào dó là bị chặn thì ta gọi dao động

của nó trong khoảng đó là hiệu ω =M −m giữa cận trên đúng và cận dưới đúng của nó Nói cách khác

Bây giờ ta lại chia đôi đoạn [a1,b1] Có thể xảy ra hai khả năng:

Hoặc là f(x) triệt tiêu tại trung điểm 1 1

Hoặc được một dãy vô hạn các đoạn chứa nhau Khi đó đối với đoạn thứ n, [an,bn] (n=1,2,3…) ta sẽ có f(an) <0, f(bn) >0 và độ dài của đoạn rõ ràng bằng bn − an=

Vậy f(c)=0, định lý được chứng minh

Định lý 3.2.5 (Định lý Bolzano - Cauchy thứ hai)

Giả sử hàm f(x) xác định và liên tục trên đoạn [a,b] và tại các đầu mút của đoạn đó hàm f(x) nhận các giá trị không bằng nhau f(a) = A, f(b) = B

Khi đó với số C bất kỳ nằm trung gian giữa A và B, ta có thể tìm được điểm c∈ ( , )a b sao

Khi đó theo định lý thứ nhất tồn tại một điểm c∈( , )a b sao cho g(c)=0, tức là f(a) – C

=0, hay f(c)=C, đó là điều phải chứng minh

Ta chú ý rằng điều kiện liên tục của hàm f(x) trên đoạn [a,b] là điều kiện không thể thiếu

2 3 1 3

1 2

3.3 Điều kiện liên tục của hàm đơn điệu và của hàm số ngược

3.3.1 Điều kiện liên tục của hàm đơn điệu

Định lý 3.3.1 Cho f(x) là hàm đơn điệu Điều kiện cần và đủ để hàm f(x) liên tục trên đoạn

[a,b] là tập giá trị của nó chính là đoạn với hai đầu mút f(a) và f(b)

Chứng minh:

Điều kiện cần: Giả sử f(x) là đơn điệu tăng và liên tục trên [a,b], ta phải chứng minh:

= ([ , ]) [ ( ), ( )]

f a b f a f b (3.3.1) Thật vậy, lấy bất kì λ∈f a b([ , ]), khi đó ∃ ∈x [ , ]a b sao cho λ= f x( ) Do f đơn điệu tăng,

Khi đó hoặc α < f x( 0), hoặc f x( 0) <β

Nếu α < f x( 0), thì f([a,b]) không chứa khoảng ( , (α f x0)) Nếu f(x0)< β thì f([a,b]) không chứa khoảng (f(x0), β ), điều này trái với giả thiết f([a,b])=[f(a),f(b)]

Trường hợp x 0 = a hoặc x 0 = b chứng minh tương tự

α

Hình 3.3.1

3.3.2 Tính liên tục của hàm ngược

Định lý 3.3.2 Giả sử f(x) là hàm tăng thực sự và liên tục trên [a,b] Khi đó f(x) có hàm ngược f-–

1 xác định trên tập [f(a),f(b)], đồng thời f−1 cũng tăng thực sự và liên tục trên [f(a),f(b)]

Chứng minh:

Theo định lý trên f([a,b])=[f(a), f(b)], nên

[ ( ), ( )], [ , ]

y f a f b x a b

∀ ∈ ∃ ∈ sao cho y1= f x( 1) < f x( 2) = y2 f x( ) = y Phần tử x nói trên là

duy nhất Thật vậy, ta giả sử ∃ ,x′ x′′ ∈ [ , ],a b x′ <x′′ sao cho f x( ) ′ =f x( ′′ ) = y, điều này vô lí

Bây giờ ta hãy chứng minh f-–1 là hàm tăng thực sự

Thật vậy ∀y y1, 2∈ [ ( ), ( )], f a f b y1 < y2 khi đó ∃x x1, 2∈ [ , ]a b sao cho

− cũng đơn điệu tăng và liên tục

Hàm cos x: [0, π ] → [−1,1] đơn điệu giảm và liên tục , nên hàm arccos x: [−1,1] → [0,

π ] cũng đơn điệu giảm và liên tục

−∞ +∞ → − đơn điệu tăng và liên tục

vi) Tương tự hàm cotgx: (0, π ) → (−∞ +∞, ) đơn điệu giảm và liên tục nên hàm ngược

arccotg x: (−∞ +∞ →, ) (0, π ) đơn điệu giảm và liên tục

3.4 Khái niệm liên tục đều

số δ sao cho bất đẳng thức (3.4.1) được thoả mãn Ta thấy khi x0 biến thiên trên tập A, cho

dù ε cố định, số δ nói chung sẽ thay đổi Nói cách khác số δ không những chỉ phụ thuộc vào ε mà còn phụ thuộc vào x0

Như vậy, đối với hàm f(x) liên tục trên tập A, nảy ra vấn đề là: với ε > 0 cho trước, tồn tại hay không một số δ>0 phù hợp với mọi điểm x0∈A Ta có định nghĩa sau

| | | cos cos | 2| sin sin |

* 0

k f x k f x f x , suy ra lim | ( ) ( ) | 0

Chú ý rằng định lí không còn đúng nếu hàm f(x) chỉ liên tục đều trên khoảng (a,b)

3.4.3 Liên tục của các hàm số sơ cấp

Từ định lí về các phép tính của các hàm liên tục và định lí về tính liên tục của hàm hợp ta

α

αα

Nói riêng, nếu lấy 1 (n 1,2,3 )

l n(1 )

ββ

+ và

l n(1 α)

α

+ đều có giới hạn là 1 khi

3.3 Khảo sát liên tục của các hàm số sau:

k hi 0 ( )

Xét tính liên tục của hàm f( ( ))ϕ x tại điểm x = 0

3.11 Chứng minh rằng nếu hàm f(x), liên tục trên đoạn [a,b] và x x1, 2, ,x n∈ ( , )a b thì trong

khoảng (a,b) tìm được một số ξ sao cho:

1

1

n k k

3.12 Chứng minh rằng nếu hàm f(x) liên tục trong khoảng a≤ < +∞x và tồn tại giới hạn hữu hạn l im ( )

−∞ < < +∞ nhưng không liên tục đều trong khoảng đó

3.15 Chứng minh rằng hàm không bị chặn f(x)=x+sinx liên tục đều trên toàn trục số

e y

có ít nhất một nghiệm dương nhỏ hơn 1

3.20 Sử dụng công thức tương đương để tính gần đúng:

3.22 Xét tính liên tục của các hàm số sau: