chuyên phân tích đa thức thành nhân tử (có giáo an minh họa)

Chuyên đề phân tích đa thức thành nhân tử (có giáo án minh họa) chỉ cần in ra báo cáo

Nội Dung Trang

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

2 Mục đích của đề tài

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

4 Phạm vi và đối tượng nghiên cứu

5 Phương pháp nghiên cứu

PHẦN II: NỘI DUNG Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Chương II : Các biện pháp (giải pháp) sư phạm nâng cao chất

lượng dạy học

1.Biện pháp 1: Điều tra thực nghiệm

2.Biện pháp 2: Đưa ra các giải pháp mới

3.Biện pháp 3: Hướng dẫn theo từng phương pháp phân tích đa thức

11222233

7

777

303030364042

PHẦN I: MỞ ĐẦU

1/ Lý do chọn đề tài:

Trước sự phát triển mạnh mẽ nền kinh tế tri thức khoa học, công nghệthông tin như hiện nay, một xã hội thông tin đang hình thành và phát triểntrong thời kỳ đổi mới như nước ta đã và đang đặt nền giáo dục và đào tạotrước những thời cơ, thách thức mới Để hòa nhập tiến độ phát triển đó thì

giáo dục và đào tạo luôn đảm nhận vai trò hết sức quan trọng trong việc “đào tạo nhân lực, nâng cao dân trí, bồi dưỡng nhân tài” mà Đảng, Nhà nước đã

đề ra, đó là “đổi mới giáo dục phổ thông theo Nghị quyết số 40/2000/QH10của Quốc hội”

Những năm gần đây, cùng với việc thay bộ sách giáo khoa mới và việc sửdụng phương pháp tích cực nhằm phát huy trí lực học sinh một cách chủđộng, sáng tạo, thực hiện cuộc vận động “Hai không” với bốn nội dung…, do

đó đòi hỏi mỗi thầy cô giáo cần phải ngày càng tự hoàn thiện mình để phùhợp với nhu cầu đổi mới

Nhằm đáp ứng được mục tiêu giáo dục toàn diện cho học sinh, con đườngduy nhất là nâng cao chất lượng học tập của học sinh ngay từ nhà trường phổthông Là giáo viên ai cũng mong muốn học sinh của mình tiến bộ, lĩnh hộikiến thức dễ dàng, phát huy tư duy sáng tạo, rèn tính tự học, thì môn toán làmôn học đáp ứng đầy đủ những yêu cầu đó

Việc học toán không phải chỉ là học như SGK, không chỉ làm những bàitập do Thầy, Cô ra mà phải nghiên cứu đào sâu suy nghĩ, tìm tòi vấn đề, tổngquát hoá vấn đề và rút ra được những điều gì bổ ích Dạng toán phân tích đathức thành nhân tử là một dạng toán rất quan trọng của môn đại số 8 đáp ứngyêu cầu này, là nền tảng, làm cơ sở để học sinh học tiếp các chương sau này,nhất là khi học về rút gọn phân thức đại số, quy đồng mẫu thức nhiều phânthức và việc giải phương trình, … Tuy nhiên, vì lý do sư phạm và khả năngnhận thức của học sinh đại trà mà chương trình chỉ đề cập đến bốn phươngpháp cơ bản của quá trình phân tích đa thức thành nhân tử thông qua các ví dụ

cụ thể, việc phân tích đó là không quá phức tạp và không quá ba nhân tử Vấn đề đặt ra là làm thế nào để học sinh giải bài toán phân tích đa thứcthành nhân tử một cách chính xác, nhanh chóng và đạt hiệu quả cao Để thựchiện tốt điều này, đòi hỏi giáo viên cần xây dựng cho học sinh những kĩ năngnhư quan sát, nhận xét, đánh giá bài toán, đặc biệt là kĩ năng giải toán, kĩnăng vận dụng bài toán, tuỳ theo từng đối tượng học sinh, mà ta xây dựngcách giải cho phù hợp trên cơ sở các phương pháp đã học và các cách giảikhác, để giúp học sinh học tập tốt bộ môn

Xuất phát từ những lý do trên, cùng với những đòi hỏi của xã hội, chấtlượng dạy và học ngày càng phải được nâng cao, và bằng những kinh nghiệm

dạy và học toán, tôi xin mạnh dạn lựa chọn đề tài “ Một số phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử” với hy vọng đóng góp một phần nhỏ bé

công sức của mình về việc dạy học theo phương pháp mới, giúp học sinhkhông bỡ ngỡ khi gặp các dạng toán phân tích đa thức thành nhân tử, giúphọc sinh học tốt hơn, hứng thú hơn với bộ môn toán nói chung và các bài toán

về phân tích đa thức thành nhân tử nói riêng

2/ Mục đích nghiên cứu:

Góp phần nâng cao chất lượng dạy học ở bậc Trung học cơ sở.

Trang bị cho học sinh lớp 8 một cách có hệ thống các phương phápphân tích đa thức thành nhân tử, nhằm giúp cho học sinh có khả năng vậndụng tốt dạng toán này

Học sinh có khả năng phân tích thành thạo một đa thức thành nhân tửPhát huy khả năng suy luận, phán đoán và tính linh hoạt của học sinhThấy được vai trò của việc phân tích đa thức thành nhân tử trong giảitoán từ đó giáo dục ý thức tự học và tìm tòi sáng tạo trong quá trình học tậpcủa học sinh

Rèn luyện cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tính sáng tạo và linhhoạt, tự mình tìm ra kiến thức mới, không những tìm ra phương pháp làmtoán ở dạng cơ bản, các phương pháp thông thường mà còn phải dùng một sốphương pháp khó hơn

Rèn luyện cho học sinh với khả năng sáng tạo, ham thích học bộ môntoán và giải được các dạng bài tập mà cần phải thông qua phân tích đa thứcthành nhân tử , nâng cao chất lượng học tập, đạt kết quả tốt trong các kỳ thi

Đào tạo nguồn nhân lực có tri thức vững vàng, ứng dụng được tri thứcvào thực tiễn cuộc sống

3/ Nhiệm vụ nghiên cứu:

Tìm hiểu nội dung dạy học về các phương pháp phân tích đa thức thànhnhân tử

Tìm hiểu mạch kiến thức về phần đại số mà các em đã được học từ lớp 7 Điều tra thực trạng: Điều tra việc nắm kiến thức của học sinh về phầnphân tích đa thức thành nhân tử Thường xuyên kiểm tra đánh giá để nhận sựphản hồi của học sinh, qua đó thấy được những sai lầm mà các em hay mắcphải đối với bài toán phân tích đa thức thành nhân tử để tìm hướng khắc phục,tìm ra những phương pháp phù hợp giúp nâng cao chất lượng giảng dạy

4/ Phạm vi và đối tượng nghiên cứu:

Khi viết đề tài này tôi đã nghiên cứu tại trường THCS Đan Hà - Huyện

Hạ Hòa- Tỉnh Phú Thọ

Phạm vi là học sinh khối 8 của toàn trường

5/ Phương pháp nghiên cứu:

Phương pháp mà tôi sử dụng để nghiên cứu chủ yếu là phương phápthực nghiệm sư phạm.

PHẦN II: NỘI DUNG

Chương I: Cơ sở lý luận và thực tiễn

Trong bối cảnh đổi mới Giáo dục nói chung, Giáo dục THCS nói riêngthì đổi mới phương pháp dạy học là yêu cầu bắt buộc mang tính tất yếu kháchquan

Nghị quyết TW 2 (Khóa VIII) khẳng định: “ Phải đổi mới phương phápgiáo dục và đào tạo, khắc phục lối truyền thụ một chiều, rèn luyện thành nếp

tư duy sáng tạo của người học, từng bước áp dụng các phương pháp tiên tiến

và phương tiện hiện đại vào quá trình dạy học đảm bảo điều kiện thời gian tựhọc, tự nghiên cứu cho học sinh”

Luật giáo dục điều 28 khoản 2 đã chỉ rõ: “Phương pháp giáo dục phổthông phải phát huy tính tích cực, tự giác chủ động, sáng tạo của học sinh phùhợp với đặc điểm của từng lớp học, môn học, bồi dưỡng phương pháp tự họcrèn luyện kỹ năng vận dụng kiến thức vào thực tiễn, tác động đến tình cảmđem lại niềm vui, hứng thú học tập cho học sinh”

Trong qúa trình giảng dạy bộ môn Toán ở trường THCS đây là một trongnhững nội dung được nhiều giáo viên nghiên cứu ở những mức độ khác nhau

và họ cũng đã thu được những kết quả nhất định Song việc thực hiện đượckết quả như thế nào còn tùy thuộc vào nhiều yếu tố Trong việc dạy và học bộmôn Toán giáo viên cần phải rèn cho học sinh tính tư duy, tính độc lập, tínhsáng tạo và linh hoạt tự tìm tòi ra kiến thức mới, và không chỉ với các phươngpháp cơ bản, thông thường mà còn phải hình thành lên một số phương phápkhó hơn, phải có những thủ thuật riêng đặc trưng từ đó giúp các em có hứngthú học tập, ham mê học Toán và phát huy năng lực sáng tạo khi gặp các dạngToán khó Đây là một thuận lợi cho cả giáo viên và học sinh trong đổi mớicách dạy và học

Bản thân tôi không có tham vọng đi sâu và nghiên cứu tất cả cácphương pháp hay các dạng bài quá khó không phù hợp đối với học sinhTHCS.Trong thực tế giảng dạy Toán ở trường THCS việc làm cho học sinh

có kỹ năng giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử và các bàitoán liên quan là công việc rất quan trọng và không thể thiếu được Để làmđược điều này thì người thầy phải cung cấp cho học sinh một số kiến thức cơbản về các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

Thực trạng: Qua thực tế giảng dạy giảng dạy bộ môn toán 8 kết hợp

với dự giờ các giáo viên trong và ngoài trường, đồng thời qua các đợt kiểmtra, các kì thi chất lượng bản thân tôi nhận thấy các em học sinh chưa có kỹnăng thành thạo khi làm các dạng bài tập như: Cộng trừ các phân thức không

cùng mẫu, tìm tập xác định, rút gọn phân thức, giải phương trình, quy đồngmẫu thức các phân thứ, tính giá trị lớn nhất, nhỏ nhất, biến đổi đồng nhất biểuthức hữu tỉ vì để giải được các dạng toán đó thì cần phải có kỹ năng phântích đa thức thành nhân tử.

Qua thực tế giảng dạy và kết hợp kiểm tra, dự giờ đồng nghiệp tôi nhậnthấy: Khi gặp các dạng bài tập như, rút gọn phân thức, cộng trừ phân thứckhông cùng mẫu, tìm tập xác định, giải phương trình tích các em gặp rấtnhiều lúng túng

Ví dụ 1: (Trong tiết 25: Luyện Tập (Toán 8 tập 1)) Khi giáo viên đưabài tập Yêu cầu học sinh rút gọn phân thức: x x xy xy x x y y

Nhiều học sinh thể hiện sự lúng túng khi gặp ví dụ trên, có rất ít họcsinh giơ tay phát biểu, chỉ có một vài học sinh khá, giỏi

GV đặt câu hỏi gợi ý: Để rút gọn phân thức trên ta làm như thế nào?

HS: Phân tích tử và mẫu thành nhân tử

Sau khi gợi ý, nhiều học sinh đã đưa ra lời giải tuy nhiên bên cạnh đóvẫn còn tồn tại nhiều lời giải như sau:

y x xy

x

y x xy

Nguyên nhân: do học sinh thiếu kỹ năng phân tích đa thức thành nhân tử (mặc

dù vừa được học xong các phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử)

Ví dụ 2: (Trong tiết 46 Đại số 8 )giáo viên đưa bài tập Giải các phươngtrình sau bằng cách phân tích vế trái thành nhân tử

a x(2x - 7) – 4x + 14 = 0

b x2 – 5x + 6 = 0

hay bài tập sau Tìm ĐKXĐ của phương trình:

3 4

Vì để giải được các bài toán trên học sinh cần có kỹ năng phân tích đathức thành nhân tử một cách thành thạo

Nhưng ngay đối với việc giải các bài toán về phân tích đa thức thànhnhân tử thông thường thì đa số các em cũng đã gặp rất nhiều khó khăn Docác em có thể quên kiến thức hoặc chưa biết vận dụng kiến thức một cách hợp

lý Các em mới chỉ biết vân dụng từng phương pháp riêng lẻ vào giải các bàitoán đơn giản với yêu cầu thấp, chưa biết kết hợp các phương pháp vào giảicác bài toán khó với yêu cầu cao hơn

Ví dụ: (trong tiết 11: Phân tích đa thức thành nhân tử bằng phươngpháp nhóm hạng tử) giáo viên đưa bài tập:

- Phân tích đa thức x2 – xy + x – y thành nhân tử Đa số học sinh thựchiện đư ợc, nhưng khi đưa bài tập sau: phân tích đa thức x2 – y2 + 4x – 4 thànhnhân tử, nhiều học sinh đưa ra lời giải như sau:

x2 – y2 + 4x – 4 = (x2 – y2)+ (4x – 4) = (x – y)(x + y) + 4(x - 1) đây làlời giải sai, hay bài toán sau: phân tích đa thức x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – ythành nhân tử nhiều học sinh đưa ra lời giải như sau:

Ví dụ: Phân tích đa thức sau thành nhân tử: (2x - 1)2 – (x + 3)2

Nhiều học sinh đưa ra lời giải như sau

(2x - 1)2 – (x + 3)2

= 4x2 – 4x – 1 – x2 – 6x – 9

= 3x2 – 10x – 10 (đây là lời giải sai)

Học sinh đã biết áp dụng hằng đẳng thức vào phân tích đa thức nhưngchưa đúng phương pháp: lời giải đúng

(2x - 1)2 – (x + 3)2 = [(2x – 1) – (x + 3)][(2x - 1) + (x + 3)]

= (2x – 1 – x - 3)(2x – 1 + x + 3) = (x - 4)(3x + 2)

Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Một số học sinhđưa ra lới giải sau

x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai)

= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên )

= (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết quả sai)

Phân tích đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y thành nhân tử Một số họcsinh đưa ra lới giải sau

(Lời giải sai): 15x2y2 – 9x3y + 3x2y

= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y

= 3x2y ( 5y - 3x + 0) (kết quả sai vì bỏ sót số 1)

Trong chương trình sgk Toán 8 giới thiệu ba phương pháp phân tích đathức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm cáchạng tử nhưng nếu chỉ với các phương pháp trên có những bài tập học sinh sẽgặp khó khăn trong quả trình giải Ví dụ bài 52,57 sgk tr 24,25 (Toán 8 tập 1)

Bài 52a phân tích đa thức x2 – 3x + 2 thành nhân tử

Với đa thức này ta không thể áp dụng ngay các phương pháp đã học để phântích SGK hướng dẫn tách hạng tử - 3x = - x – 2x hoặc tách 2 = - 4 + 6, từ đó

đa thức dễ dàng được phân tích tiếp Vậy với các đa thức khác, có dạng tương

tự ta làm như thế nào?

Vấn đề đặt ra ở đây là cách tách như trên là ngẫu nhiên hay có phươngpháp hoặc dựa trên quy luật nào, vấn đề này trong chương trình sách giáokhoa chưa đề cập đến và chưa đưa ra phương pháp giải tổng quát, nhưng thực

tế trong quá trình giải toán, học sinh lại gặp rất nhiều bài tập dạng này (như đã

đề cập ở ví dụ trên)

Qua khảo sát thực trạng của học sinh trường THCS Đàn Hà về bộ mônToán tôi đã tiếp xúc, trò chuyện với học sinh sau một số tiết dạy về “cácphương pháp phân tích đa thức thành nhân tử”

Câu 1: Em có thích học bộ môn Toán không? Chỉ có một số học sinhtrả lời là có, vì học Toán rất bổ ích và thú vị Bên cạch đó còn rất nhiều họcsinh trả lời không thích học Toán vì học Toán khó

Câu 2: Em có thích chuyên đề “phân tích đa thức thành nhân tử không”

?

Với câu hỏi này đa số học sinh trả lời là có Vì chuyên đề này rất thú vị có thể

áp dụng vào nhiều bài toán thực tiễn

Từ những thực trạng tôi vừa nêu trên theo tôi chủ yếu do các nguyênnhân sau

* Nguyên nhân khách quan:

Trường THCS Đan Hà là một trường đóng trên địa bàn là một xã miềnnúi, đời sống nhân dân vẫn còn khó khăn vì thế các gia đình chưa có sự đầu tư

và quan tâm đến việc học tập của con cái, phong trào học tập chưa sôi nổi.Phụ huynh học sinh chưa thật sự quan tâm đúng mức đến việc học tập củacon em mình như theo dõi, kiểm tra, đôn đốc nhắc nhở việc học tập ở nhà

* Nguyên nhân chủ quan :

Môn Toán là môn học khó, khô khan để học tốt bộ môn toán đòi hỏi họcsinh phải có tư duy nhạy bén, nỗ lực tự học, tự rèn luyện

Tồn tại nhiều học sinh yếu trong tính toán, thiếu kĩ năng quan sát nhận xét,biến đổi và thực hành giải toán, phần lớn do mất kiến thức căn bản ở các lớpdưới, nhất là chưa chủ động học tập ngay từ đầu chương trình lớp 8, do chaylười trong học tập, ỷ lại, trông chờ vào kết quả người khác, chưa nỗ lực tựhọc, tự rèn, ý thức học tập yếu kém

Đa số các em sử dụng các loại sách bài tập có đáp án để tham khảo, nên khigặp bài tập, các em thường lúng túng, chưa tìm được hướng giải thích hợp,

không biết áp dụng phương pháp nào trước, phương pháp nào sau, phươngpháp nào là phù hợp nhất, hướng giải nào là tốt nhất

Giáo viên chưa hình thành cho học sinh hệ thống các phương pháp

Chương II : Các biện pháp (giải pháp) sư phạm

nâng cao chất lượng dạy học

1 Biện pháp 1: Điều tra thực nghiệm

Tìm hiểu sự ham mê học toán của học sinh khối 8

Kiểm tra kiến thức và kỹ năng làm bài tập về phân tích đa thức thành nhântử

2 Biện pháp 2: Đưa ra các giải pháp mới

Sắp xếp bài toán theo các mức độ, những dạng toán cơ bản

Xây dựng các phương pháp giải cơ bản về phân tích đa thức thành nhân tử

* Đối với học sinh yếu, nhận thức chậm : Củng cố kiến thức cơ bản

+ Phương pháp Đặt nhân tử chung

+ Phương pháp Dùng hằng đẳng thức

+ Phương pháp Nhóm nhiều hạng tử

* Đối với học sinh đại trà: Vận dụng và phát triển kỹ năng

+ Phối hợp nhiều phương pháp (các phương pháp trên)

Chữa các sai lầm thường gặp của học sinh trong giải toán

Củng cố các phép biến đổi cơ bản và hoàn thiện các kĩ năng thực hành

Tìm tòi những cách giải hay, khai thác bài toán

Giới thiệu hai phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử (Nâng cao)

*Đối với học sinh khá, giỏi: Phát triển tư duy (giới thiệu 6 phương pháp)

+ Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử khác

+ Phương pháp thêm và bớt cùng một hạng tử

+ Phương pháp đặt ẩn phụ (đổi biến)

+ Phương pháp tìm nghiện của đa thức

+ Phương pháp hệ số bất định

+ Phương pháp xét giá trị riêng

Tuy nhiên trong khuôn khổ giới hạn của đề tài và cũng phụ thuộc vàotrình độ nhận thức của học sinh Tôi không có tham vọng đi sâu nghiên cứutất cả các phương pháp, mà chỉ tập chung vào các phương pháp cơ bản (Phương pháp Đặt nhân tử chung, Phương pháp Dùng hằng đẳng thức, Phươngpháp Nhóm nhiều hạng tử, Phối hợp nhiều phương pháp) và thêm hai phươngpháp nâng cao (Phương pháp tách một hạng tử thành nhiều hạng tử, Phương

pháp thêm và bớt cùng một hạng tử) Các phương pháp còn lại chỉ mang tínhchất giới thiệu.

3 Biện pháp 3: Hướng dẫn theo từng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử

3.1 Định nghĩa :Phân tích Đa thức thành nhân tử (hay thừa số) là biến đổi

Đa thức đó thành một tích của những đa thức

- Phân tích mỗi hạng tử thành tích các nhân tử chung và một nhân tử khác

- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗihạng tử vào trong dấu ngoặc ( kể cả dấu của chúng )

Nhằm đưa về dạng: A.B + A.C + A.D = A.(B + C + D)

* Phương pháp tìm nhân tử chung (với các Đa thức có hệ số nguyên):

- Hệ số của nhân tử chung là ƯCLN của các hệ số nguyên dương của cáchạng tử

- Lũy thừa bằng chữ của các nhân tử chung phải là lũy thừa có mặt trongtất cả các hạng tử của Đa thức, với số mũ nhỏ nhất của nó trong các hạngtử

- Ta thấy hệ số nguyên dương của các hạng tử trong ví dụ 1.1 là: 15; 9; 3

và ƯCLN(15, 9, 3) = 3 Vậy hệ số của nhân tử chung là: 3

- Lũy thừa bằng chữ của các hạng tử trong ví dụ 1 là: x2y2 ; x3y ; x2y3 Lũythừa bằng chữ có mặt trong tất cả các hạng tử là x và y, số mũ lớn nhất của x

là 2 và của y là 1 Vậy ta có lũy thừa bằng chữ của nhân tử chung là : x 2 y Vậy nhân từ chung của đa thức trong ví dụ 1 là: 3 x 2 y

Ví dụ 1.3: Phân tích đa thức 10x(x – y) – 8y(y – x) thành nhân tử

Với ví dụ này có thể lúc đầu học sinh sẽ gặp lúng túng trong cách xác địnhnhân tử chung Giái viên có thể đưa gợi ý:

? Tìm nhân tử chung của các hệ số 10 và 8 ? (Học sinh trả lời là: 2)

? Tìm nhân tử chung của x(x – y) và y(y – x) ?

(Học sinh có thể trả lời là: (x – y) hoặc (y – x) hoặc không xác địnhđược )

- GV gợi ý học sinh đổi dấu (x – y) thành (y - x) hoặc ngược lại để xuấthiện nhân tử chung.Ta có: (y – x) = - (x – y) Vậy ví dụ 2 được giải như sau:

Giải: 10x(x – y) – 8y(y – x) = 10x(x – y) – (- 8y(x – y))

= 10x(x – y) + 8y(x – y) = 2(x – y).5x + 2(x – y).4y = 2(x – y)(5x + 4y)

Ví dụ 1.4: Phân tích Đa thức 2x (y - z ) + 5y (z - y ) thành nhân tử

Giải: 2x (y - z ) + 5y (z - y )

= 2x(y -z ) - 5y(y -z ) = (y- z)(2x - 5y)

Chú ý: Nhiều khi để xuất hiện nhân tử chung chúng ta cần đổi dấu các

hạng tử (lưu ý tích chất: A = -(-A))

+ Một số lưu ý khi sử dụng phương pháp.

Ví dụ 1 : Phân tích đa thức 15x2y2 – 9x3y + 3x2y thành nhân tử

Lời giải sai: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y

= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y

= 3x2y ( 5y - 3x + 0) (kết quả sai vì bỏ sót số 1)

Sai lầm ở đây là cách viết các hạng tử còn lại trong ngoặc, Học sinh đã bỏsót số 1 (HS cho rằng ở bước thứ hai khi đặt nhân tử chung 3x2y thì hạng tửthứ 3 trong ngoặc còn lại là số 0)

Lời giải đúng: 15x2y2 – 9x3y + 3x2y

= 3x2y.5y - 3x2y.3x+ 3x2y.1

= 3x2y ( 5y - 3x + 1)

Ví dụ 2 : Phân tích đa thức 9x(x – y) – 10(y – x)2 thành nhân tử

Lời giải sai: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 (đổi dấu sai )

= (x – y)[9x + 10(x – y)] (sai từ trên) = (x – y)(19x – 10y) (kết quả sai )

Sai lầm của học sinh ở đây là:

Thực hiện đổi dấu sai: (y – x)2 = - (x – y)2 nên dẫn đến :

9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) + 10(x – y)2 là sai

- Ta có: ( x – y )2 = (y – x )2 nên 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x –y)2

Lời giải đúng: 9x(x – y) – 10(y – x)2 = 9x(x – y) – 10(x – y)2

= (x – y)[9x – 10(x – y)]

= (x – y)(10y – x)

+ Chú ý: Bình phương của hai đa thức đối nhau thì bằng nhau: A 2 = (-A) 2

(Tổng quát: lũy thừa bậc chẵn của hai Đa thức đối nhau thì bằng nhau)

1 Chứng minh dằng : 57n + 1 – 57n chia hết cho 56 (với n là số tự nhiên)

2 Chứng minh dằng : n2(n + 1) + 2n(n + 1) luôn chia hết cho 6 với mọi

- Nếu gặp Đa thức có 3 hạng tử, trong đó có 2 hạng tử có dạng bìnhphương (A2 và B2) và hạng tử còn lại có thể phân tích được dưới dạng (2.A.B)hoặc (– 2.A.B ) thì tìm cách phân tích đưa về dạng hằng đẳng thức (1) hoặc(2) (Ví dụ 1; 2)

- Nếu gặp Đa thức có dạng một hiệu của hai hạng tử (hoặc hai biểu thức)

mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) đó có dạng hoặc có thể phân tích, đưađược về dạng hiệu hai bình phương (A2 – B2) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ(3) (Ví dụ 3)

- Nếu gặp Đa thức có 4 hạng tử, trong đó có 2 hạng tử có dạng (hoặc cóthể phân tích đưa về dạng) lập phương (A3 và B3 hoặc A3 và -B3 ) hai hạng tửcòn lại có thể phân tích đưa về dạng 3.A2.B + 3.A.B2 (hoặc - 3.A2.B +3.A.B2 ) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ (4) hoặc thứ (5) (Ví dụ 4; 5)

- Nếu gặp Đa thức có dạng một hiệu hoặc một tổng của hai hạng tử (hoặchai biểu thức) mà hai hạng tử (hoặc hai biểu thức) đó có thể phân tích, đưađược về dạng lập phương (A3 và B3) thì áp dụng hằng đẳng thức thứ (6) hoặc(7) (Ví dụ 6; 7)

+ Chú ý: Đôi khi cần phải đổi dấu các hạng tử mới áp dụng được hằng

đẳng thức

Ví dụ : Phân tích đa thức - x4y2 + 8x2y - 16 thành nhân tử:

Giải: - x4y2 - 8x2y - 16 = - (x4y2 - 8x2y + 16)

= - [(x2y)2 - 2.x2y.4 + 42] = - (x2y - 4)2

Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp đặt nhân tử chung:

Ví dụ 1: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a x2 – xy + x – y (Bài tập 47a)-SGK-tr22)

b xy - 5y + 2x – 10

c 2xy + z +2x +yz

Giải: a Cách 1: nhóm (x2 – xy) và (x – y)

x2 – xy + x – y = (x2 – xy) + (x – y)

= x(x – y) + 1.(x – y) = (x – y)(x + 1)

Cách 2: nhóm (x2 + x) và (– xy – y )

x2 – xy + x – y = (x2 + x) - ( xy + y )

= x(x + 1) - y(x + 1) = (x + 1)(x - y)

b xy - 5y + 2x - 10 = (xy - 5y) + (2x -10)

= y(x - 5) + 2(x - 5) = (x - 5)(y + 2)

c Cách 1: nếu nhóm (2xy + z) và (2x +yz)

Ta có 2xy + z +2x +yz = (2xy + z) +(2x +yz) (đa thức không thể phân tích được)

Cách 2: nếu nhóm (2xy + 2x) và (z + yz)

Ta có 2xy + z +2x +yz = (2xy + 2x) + (z + yz)

= 2x(y + 1) + z(y + 1) = (y + 1)(2x + z)

Nhóm nhằm xuất hiện phương pháp dùng hằng đẳng thức

Ví dụ 2: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

Nhóm nhằm sử dụng hai phương pháp trên:

Ví dụ 3: Phân tích các đa thức sau thành nhân tử

a x2 – 2x – 4y2 – 4y

b x3 – x + 3x2y + 3xy2 + y3 – y

Giải: a Cách 1: Nhóm (x2 – 2x) và (- 4y2 - 4y) ta có

x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 2x) – (4y2 + 4y)

= x(x - 2)–4y(y + 1)(Đa thức không phân tích tiếp được)

= x(x – 1)(x + 1) + 3xy(x + y) + y(y - 1)(y + 1)

(Đa thức không thể phân tích tiếp )

ta nhóm hạng tử 1 với 2 và 3 với 4 thì đa thức không thể phân tích được, đathức chỉ có thể phân tích được khi ta nhóm hạng tử thứ 1 với hạng tử thứ 2 vàthứ 3 với thứ 4 Tương tự như thế đối với các ví dụ còn lại

Như vậy đa thức chỉ có thể phân tích được tiếp sau khi nhóm một cáchhợp lý các hạng tử, Việc nhóm một cách hợp lý các hạng tử trong đa thứcthường không phụ thuộc vào quy tắc xác định nào, mà chỉ dựa vào kinhnghiệm trong quá trình giải toán và dựa vào các mối quan hệ sau:

- Quan hệ giữa các hệ số, giữa các biến của các hạng tử trong bài toán

- Thành lập nhóm dựa theo mối quan hệ đó, phải thoả mãn:

+ Mỗi nhóm đều phân tích được.

+ Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình phân tích thành nhân tử phải tiếp tục thực hiện được nữa

Chú ý: Trong quá trình nhóm các hạng tử, phải chú ý tới dấu của các hạng

tử sau khi nhóm

ở ví dụ 3a: Phân tích đa thức x2 – 2x – 4y2 – 4y thành nhân tử Họcsinh có thể đưa ra lời giải sau

Lời giải sai: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (đặt dấu sai)

= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x – 2y) (sai từ trên )

= (x – 2y)(x + 2y – 2) (kết quả dấu sai)

Sai lầm của học sinh là:

Nhóm x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x – 4y ) (chưa đổi dấu của hạng

tử ở ngoặc thứ hai sau khi nhóm)

Ta có: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) – (2x + 4y ) nên

Lời giải đúng: x2 – 2x – 4y2 – 4y = (x2 – 4y2 ) - (2x + 4y )

= (x + 2y)(x – 2y) – 2(x + 2y) = (x + 2y)(x – 2y – 2)

* Lưu ý: Sau khi phân tích đa thức thành nhân tử ở mỗi nhóm thì quá trình

phân tích thành nhân tử phải được tiếp tục nếu không thực hiện được nữa, thì cách nhóm đó đã sai hoặc có thể bị nhầm dấu trong quá trình nhóm, phải thực hiện lại (Ví dụ 1c Cách1 ; Ví dụ 2b cách 1; Ví dụ 3a cách 1)

3.2.1.4 Phương pháp 4: Phối hợp nhiều phương pháp

a Phương pháp:

Là sự kết hợp nhuần nhuyễn giữa các phương pháp nhóm nhiều hạng

tử, đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức Vì vậy học sinh cần nhận xét bài

toán một cách cụ thể, mối quan hệ của các hạng tử và tìm hướng giải thíchhợp

Khi phải phân tích một đa thức thành nhân tử nên theo các bước sau:

- Đặt nhân tử chung nếu tất cả các hạng tử có nhân tử chung

- Dùng hằng đẳng thức nếu có

- Nhóm nhiều hạng tử( thường mỗi nhóm có nhân tử chung, hoặc làhằng đẳng thức) nếu cần thiết phải đặt dấu “-” trước ngoặc và đổi dấu cáchạng tử

b Ví dụ: Phân tích các Đa thức sau thành nhân tử

Ví dụ 1 : 5xy2 - 20xy + 20x = 5x( y2 - 4y + 4) (Đặt nhân tử chung)

Ví dụ 5: 5x3y - 10x2y - 5xy3 - 10axy2 - 5a2xy +5xy

=5xy(x2 - 2x - y2 - 2ay - a2 + 1) (Đặt nhân tử chung)

= (x + y)3 + z3 + 3z(x + y)(x + y + z) – x3 –y3 – z3

= [(x + y)3 – x3 – y3 ] + 3z(x + y)(x + y + z) = 3xy(x + y) + 3(x + y)(xz + yz + z2 ) = 3(x + y)( xy + xz + yz + z2)

= 3(x + y)(y + z)(x + z)

Khai thác ví dụ :

Quan sát ví dụ 1; 2 ta thấy các hạng tử của đa thức có nhân tử chung

Ta sử dụng phương pháp đặt nhân tử chung trước, (sau khi đặt nhân tử chung

ta thấy các hạng tử còn lại trong ngoặc có dạng hằng đẳng thức) sau đó nhómcác hạng tử thích hợp, dùng hằng đẳng thức phân tích tiếp đa thức Ví dụ 3 tathấy các hạng tử không có nhân tử chung, chỉ có hạng tử thứ nhất và hạng tửthứ hai có nhân tử chung, 3 hạng tử còn lại có dạng hằng đẳng thức, vì vậychúng ta sử dụng phương pháp nhóm hạng tử trước, tiếp đó tiến hành phântích từng nhóm (bằng phương pháp đặt nhân tử chung và hằng đẳng thức)xuất hiện nhân tử chung, đa thức được phân tích tiếp Các ví dụ còn lại làmtương tự

Như vậy để phân tích đa thức thành nhân tử chúng ta có thể sử dụngphối hợp nhiều phương pháp nhưng không nhất thiết phải theo một trình tựnhất định nào Các phương pháp được sử một cách phù hợp trong từng trườnghợp, từng bài toán cụ thể

Lưu ý : Khi phân tích đa thức thành nhân tử, cần phải phân tích đa thức đó

một cách triệt để.

Ví dụ: Phân tích đa thức x4 – 9x3 + x2 – 9x thành nhân tử

Học sinh có thể đưa ra các lời giải sau:

1) x4 – 9x3 + x2 – 9x = x(x3 – 9x2 + x – 9) (phân tích chưa triệt để)

2) x4 – 9x3 + x2 – 9x = (x4 – 9x3 ) + (x2 – 9x)

= x3(x – 9) + x(x – 9) = (x – 9)(x3 + x) (phân tích chưa triệt để)

Cả hai lời giải trên đên chưa hoàn chỉnh

1) (5n + 2)2 – 4 chia hết cho 5 với mọi số nguyên n.

2) n3 – n chia hết cho 6 với mọi số nguyên n

+ Khai thác ví dụ 6: Từ ví dụ 6 ta có thể mở rộng cho các bài tập sau:

1) Chứng minh rằng A chia hết cho 6 với mọi x, y, z nguyên

2) Cho x + y + z = 0 Chứng minh x3 + y3 + z3 = 3xyz (Bài tập 38-SBT-tr7)

Trong chương trình sách giáo khoa Toán 8 hiện hành chỉ giới thiệu bốn

phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử đó là: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử, phối hợp nhiều phương pháp Tuy

nhiên trong phần bài tập lại có những bài không thể áp dụng ngay bốn phương

pháp trên để giải, (Chẳng hạn như bài tập 53, 57 sgk/tr 24-25) Sách giáo khoa có gợi ý cách “ tách ” một hạng tử thành hai hạng tử khác hoặc “ thêm

và bớt cùng một hạng tử ” thích hợp rồi áp dụng các phương pháp trên để

giải Xin giới thiệu thêm về hai phương pháp này, để học sinh vận dụng rộngrãi trong thực hành giải toán

3.2.2 Các phương pháp khác (nâng cao)

3.2.2.1 Phương pháp 5: Phương pháp tách hạng tử (áp dụng đối với đa

thức bậc hai ax2 + bx + c)

a Phương pháp:

- Tách một trong các hạng tử của đa thức thành hai hạng tử để đa thức

xuất hiện dạng nhân tử chung hoặc có dạng hằng đẳng thức

b Ví dụ:

Ví dụ 1: Phân tích đa thức x2 - 6x + 8 thành nhân tử

Quan sát Đa thức trên ta thấy các hạng tử không có nhân tử chung, cũngkhông có dạng của một hằng đẳng thức đáng nhớ nào và cũng không thểnhóm các hạng tử Như vậy để phân tích đa thức trên thành nhân tử chung tacần phải có cách biến đổi khác Ta biến đổi đa thức ấy thành đa thức có nhiềuhạng tử hơn bằng cách tách một trong các hạng tử của đa thức thành 2 haynhiều hạng tử.

Ví dụ 2: Phân tích đa thức f(x) = 3x2 – 8x + 4 thành nhân tử

Gợi ý ba cách phân tích (chú ý có nhiều cách phân tích)

- Làm xuất hiện các hệ số ở mỗi hạng tử tỷ lệ với nhau, nhờ đó làm xuất

hiện nhân tử chung x – 2 (ví dụ 3 cách 2)

- Làm xuất hiện hằng đẳng thức và nhân tử chung (ví dụ 2 cách 3)

Vì vậy, việc tách hạng tử thành nhiều hạng tử khác là nhằm làm xuất hiện các phương pháp đã học như: Đặt nhân tử chung, dùng hằng đẳng thức, nhóm nhiều hạng tử là việc làm hết sức cần thiết đối với học sinh trong giải toán.

Khai thác cách giải tách hạng tử bậc nhất:

Nhận xét: Trong các cách giải trên, ở cả hai ví dụ ta thấy cách 2 là đơn

giản và dễ làm nhất Ở đây ta đã tách hạng tử bậc nhất - 8x (ví dụ 2) thành 2hạng tử - 6x và - 2x Trong đa thức 3x2 – 6x – 2x + 4 ta thấy hệ số ở các số

hạng là: 3, – 6, –2, 4 các hệ số thứ 2 và thứ 4 đều gấp - 2 lần hệ số liền trước

Phân tích: - Trong đa thức 3x 2 – 8x + 4 có a = 3, b = – 8, c = 4

Tính tích a.c và phân tích a.c = b1.b2 sao cho b1 + b2 = b

Vậy ta tách hạng tử: 7x = 4x + 3x

Khi đó ta có lời giải: – 6x2 + 7x – 2 = – 6x2 + 4x + 3x – 2