Các quy tắc đại số đã biết trên tập số thực vẫn được áp dụng trên tập số phức... Các tính chất của acgumen : Nếu ϕ là một acgumen của z thì −ϕ là một acgumen của z... Tìm số phức nghịch
Trang 1
TÓM TẮT LÝ THUYẾT:
§1 SỐ PHỨC VÀ BIỂU DIỄN SỐ PHỨC :
Số phức là một biểu thức có dạng a bi + , trong đó a b , ∈ ¡ ; i2 = − 1
Số phức z a bi = + có alà phần thực, b là phần ảo.
Số phức z a bi = + được biểu diễn bởi điểm M a b ( ) ; hay bởi u r = ( ) a b ; trong mặt phẳng tọa độ Oxy
Hai số phức bằng nhau :
a c
a bi c di
b d
=
Modun của số phức z a bi = + chính là độ dài của OM uuuur
Vậy :
z = OM uuuur = a + b
Số phức liên hợp của số phức z a bi = + là số phức z = − a bi Chú ý rằng : các điểm biểu diễn z và z đối xứng nhau qua trục hoành Do đó z là số thực khi
và chỉ khi z = z, z là số ảo khi và chỉ khi z = − z
§2 CÁC PHÉP TOÁN TRÊN SỐ PHỨC :
a Phép cộng, trừ, nhân hai số phức :
( a bi + ) ( + + c di ) ( = a c + + + ) ( b d i ) ( a bi + ) ( − + c di ) ( = a c − + − ) ( b d i ) ( a bi c di + ) ( + ) ( = ac bd − ) ( + ad bc i + )
Chú ý :
Các phép toán : cộng, trừ, nhân hai số phức thực hiện như rút gọn biểu thức đại
số quen thuộc với chú ý rằng i2 = − 1 Các quy tắc đại số đã biết trên tập số thực vẫn được áp dụng trên tập số phức
1 , 2 1, 3 , 4 1
i = i i = − i = − i i = Tổng quát : i4n = 1, i4n+1 = i i , 4n+2 = − 1, i4n+3 = − i
( )2
1 + i = 2 i; ( )2
1 − i = − 2 i
b Phép chia hai số phức :
Chuyên đề :
Trang 2( ) ( ) ( ) ( ) ( 2 ) ( 2 )
a bi
Như vậy :
.
′ = ′
Chú ý :
1 1
i i i
+ =
c Các tính chất của số phức liên hợp và modun :
z = z; z z + = + ′ z z ′; zz ′ = z z ′; z z
=
÷
0
z ≥ với mọi z ∈ £, z = ⇔ = 0 z 0
z = z ; zz ′ = z z ′ ; z z
′
′
= ; z z + ≤ + ′ z z ′
§3 PHƯƠNG TRÌNH BẬC HAI :
a Căn bậc hai của số phức :
Định nghĩa : Số phức z là căn bậc hai của số phức nếu :
2
Như vậy để tìm Số phức z x yi = + ( x y , ∈ ¡ ) là căn bậc hai của số phức
w a bi = + ta giải hệ phương trình hai ẩn x, y thực sau :
2
xy b
Chú ý :
Số 0 có đúng một căn bậc hai là 0
Số thực a > 0 có đúng hai căn bậc hai là : ± a
Số thực a < 0 có hai căn bậc hai là ±i a = ± −i a Đặc biệt , số −1 có hai căn bậc hai là ± i
b Phương trình bậc hai :
Cho phương trình bậc hai az2 + + = bz c 0 (a b c , , ∈ £ , a ≠ 0)
• Nếu ∆ = 0, phương trình có một nghiệm kép
2
b z
a
• Nếu ∆ ≠ 0, phương trình có hai nghiệm phân biệt :
1,2
2
b z
a
δ
− ±
trong đó δ là một căn bậc hai của ∆
c Định lý Viet :
Trang 3Nếu phương trình bậc hai az2 + + = bz c 0 (a b c , , ∈ £ , a ≠ 0) có hai nghiệm z z1, 2 thì :
1 2
b
a
z z
a
d Định lý đảo của định lý Viet :
Nếu hai số z z1, 2 có tổng z1+ = z2 S và z z1 2 = P thì z z1, 2 là nghiệm của phương trình :
§4 DẠNG LƯỢNG GIÁC CỦA SỐ PHỨC :
a Dạng lượng giác của số phức :
Số phức z a bi = + ≠ 0 có dạng lượng giác là : z r = ( cos ϕ + i sin ϕ ) ; trong
đó : r = > z 0, cos a
r
r
ϕ = , ϕ = ( Ox OM , ) là một acgumen của z.
Các tính chất của acgumen :
Nếu ϕ là một acgumen của z thì −ϕ là một acgumen của z .
Nếu ϕ là một acgumen của z thì π ϕ + là một acgumen của − z
b Nhân, chia số phức dưới dạng lượng giác :
Nếu z r = ( cos ϕ + i sin ϕ ) và z ′ = r ′ ( cos ϕ ′ + i sin ϕ ′ ) thì :
cos sin
zz ′ = rr ′ ϕ ϕ + ′ + i ϕ ϕ + ′ ,
cos sin
i
c Lũy thừa số phức dưới dạng lượng giác :
Nếu z r = ( cos ϕ + i sin ϕ ) thì zn = rn( cos n ϕ + i sin n ϕ ) n ≥ 1 và n ∈ ¥
d Căn bậc hai của số phức dưới dạng lượng giác :
Nếu z r = ( cos ϕ + i sin ϕ ) thì các căn bậc hai của z là :
cos sin
BÀI TẬP
1 Tìm các số thực x y , , biết rằng :
( 3 x − 2 y + + + 1 ) ( x 2 y − 3 ) ( i = − + x 4 y + 15 ) ( + − − + 5 x y 6 ) i
2 Thực hiện các phép tính sau đây :
a ( 1 2 − i ) ( 3 5 + i ); b 3 2
3 4
i i
−
1
i
1 2 + i + − 3 i ; e ( )10
1 i + ; f
45
1 1
i i
+
Trang 4g ( )20
1 z −
3 Tìm modun của số phức z = + ( 2 3 1 i ) ( − i )
4 Tìm phần thực, phần ảo và modun của số phức sau :
3 4 2 1
5 Tìm số phức liên hợp của số phức sau đây : ( ) ( )2
2 3 1 + i + i
6 Chứng minh rằng số phức sau đây là một số thực :
( )
3
3 2
i
i i
− + + +
7 Chứng minh rằng số phức sau đây là một số ảo : ( ) (2 )
3 2 − i − − 5 6 i
8 Chứng minh rằng số sau đây là số thực :
1
zz
+
9 Cho số phức z = + 2 3 i Tìm phần thực, phần ảo của số phức 7
5
iz
+ +
10 Giải các phương trình sau :
a 3 x + − ( 3 2 i ) = + 6 7 i; b ( 5 2 + i x ) ( + − + = − 2 i ) 7 3 i
4 2 − − − i 1 i z = 0
11 Tìm số phức z, biết rằng :
c iz + 3 z = + 7 5 i; d 3 z + 2 z = + 5 2 i
12 Tìm số phức nghịch đảo của các số phức sau đây :
13 Tìm các căn bậc hai của mỗi số phức sau :
a 3 4i − ; b − − 5 12i
14 Giải các phương trình sau trên tập hợp số phức :
a x2 + = 9 0; b x2 + 4 x + = 5 0; c 2 x2 − 5 x + = 4 0;
d − 2 x2 + 3 z − = 5 0; e x4 + 5 x2 + = 4 0; f x3− 2 x2 + 10 x = 0;
g x3+ = 1 0; h ( x2 − 4 )( x2+ 2 x + = 5 ) 0
15 Giải các phương trình sau :
a z2 + + = iz 2 0; b z2 − + ( i 3 ) z + 2 ( i + = 1 ) 0
16 Tìm một acgumen của mỗi số phức sau :
a 2 2 3i − ; b 1 i+ ; c 3 i +
17 Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau :
Trang 518 Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau đây :
3 i + ; b 2 2
2 2 i
8 i 8
19 Viết dạng lượng giác của mỗi số phức sau :
a − 2 cos ( ϕ + i sin ϕ ) ; b − 3 cos ( ϕ − i sin ϕ )
20 Tìm dạng lượng giác của số phức : 1 cos sin
cos sin
12 12
a Viết dạng lượng giác của z.
b Tính z6
22 Cho số phức z = + 1 i
a Viết dạng lượng giác của z.
b Tìm các căn bậc hai của z.
2 2
a Viết dạng lượng giác của z.
b Tìm các căn bậc hai của z.
24 Cho số phức z r = ( cos ϕ + i sin ϕ ) ( r > 0 ) Hãy tìm một acgumen của mỗi số phức sau đây :
z
z .