MỘT SỐ PHƯƠNG TRÌNH PHỨC
A, Tóm Tắt Lý Thuyết
- Dạng 1: + Phương trình trùng phương dạng:
az4 +bz2 +c= 0 ,a≠ 0 ;a,b,c∈C (1)
+ Phương pháp giải: Đặt t =z2, khi đó phương trình (1) trở thành
at2 +bt+c= 0
- Dạng 2: + Phương trình dạng:
az4 +bz3 +cz2 +bz+a= 0 ,a≠ 0 ;a,b,c∈C (2)
+ Phương pháp giải: Nhận thấy z= 0 không phải là nghiệm của phương trình Chia cả hai vế phương trình choz2 ta được :
2 12 1+ = 0
+ +
z z b z z a
Đặt
z z
t = +1 Khi dó phương trình (2) trở thành:
at2 +bt+c− 2a= 0
- Dạng 3: + Phương trình dạng:
az4 +bz3 +cz2 −bz+a= 0 ,a≠ 0 ;a,b,c∈C (3)
+ Phương pháp giải: Nhận thấy z= 0 không phải là nghiệm của phương trình Chia cả hai vế phương trình choz2 ta được :
2 12 1+ = 0
− +
z z b z z a
Đặt
z z
t= −1 Khi dó phương trình (3) trở thành:
at2 +bt+c+ 2a= 0
- Dạng 4: + Phương trình dạng:
a
e ; , , , , ; 0 ,
=
∈
≠
= + + + +
b
d C
e d c b a a e dz cz bz
+ Phương pháp giải: Nhận thấy z= 0 không phải là nghiệm của phương trình Chia cả hai vế phương trình choz2 ta được :
2 2 + = 0
+ +
z
d bz z
e az
Đặt t =z+bz d Khi dó phương trình (4) trở thành:
abt2 +b2t+cb − 2ad= 0
- Dạng 5: + Phương trình dạng: (z+a) 4 + (z+b) 4 =c ;a,b;c∈C (5) + Phương pháp giải:
Đặt t=z+a2+b
Khi dó phương trình (5) trở thành:
t a b t a b =c
− +
− +
4 2
2 4
2
2 2
12 2
Đặt u t u a b u a b =c
− +
− +
⇒
=
4 2
2 2
2
2 2
12 2
- Dạng 6: + Phương trình dạng: (z2 +a) 2 + (z+b) 2 = 0 ;a,b;c∈C (6)
Trang 2+ Phương pháp giải: Phương trình (6) tương đương với:
= + + +
=
− +
−
⇔
+
−=
+
+
= +
⇔ +
=
+
0
0 )
(
) ( )
( ) (
2
2 2
2 2 2 2 2
bi a iz z
bi a iz z b z i a z
b z i a z b z i a
- Dạng 7: + Phương trình dạng: ( ) ; , ; ;z -b
)
4 2
≠
∈
= +
+ c a b c C
b z
a z
(7) + Phương pháp giải: Phương trình (7) tương đương với:
⇔
+
= +
+
= +
⇔ +
=
2 2 2 2 4 4 4 2
) ( ) (
) ( ) ( ) ( ) (
b z a z
b z i a z b z i a z
= + + +
=
− +
−
= + + +
=
− +
−
0 0 0 0
2 2 2 2
b a z z
b a z z
bi a iz z
bi a iz z
- Dạng 8: + Phương trình dạng:
(z+a)(z+b)(z+c)(z+d) =e ;a,b,c.d,e∈C;a+b=c+d (8) + Phương pháp giải:
(z+a)(z+b)(z+c)(z+d) =e⇔
[z 2 + (a+b)z+ab][z2 + (c+d)z+cd]= 0
Đặt t=z2 + (a+b)z+ab Khi đó phương trình (8) trở thành:
t(t+cd−ab) = 0 ⇔t2 + (cd−ab)t−e= 0
B, Các Ví Dụ Mẫu
Ví dụ 1: Giải phương trình: z4 − ( 2 −i)z2 − 2i= 0 (1)
Giải : Đặt t =z2 , khi đó phương trình (1) trở thành
+
−
±
=
±
=
⇒
−
=
=
⇔
=
−
−
−
) 1 ( 2 2
2 2
0 2 ) 2(
2
i z
i z i t
t i t
Vậy phương trình có 4 nghiệm: ( 1 )
2
2
;
i
Ví dụ 2: Giải phương trình : 2z4 − 7z3 + 9z2 − 7z+ 2 = 0 (2)
Giải : Nhận thấy z= 0 không phải là nghiệm của phương trình Chia cả hai vế phương trình choz2 ta được:
2 2 12 7 1+ 9 = 0
+
−
+
z
z z
z
Đặt
z z
t= +1 Khi dó phương trình (2) trở thành:
=
=
±
=
⇒
=
=
⇔
= +
−
2 1 2 2
3 1
2 5
1 0 5 7
2 2
z z
i z t
t t
t
Trang 3Vậy nghiệm của phương trình là:
2
3 1
; 2
1
;
Ví dụ 3: Giải phương trình:4z4 − ( 6 + 10i)z3 + ( 15i− 8 )z2 + ( 6 + 10i)z+ 4 = 0 (3)
Giải : Nhận thấy z= 0 không phải là nghiệm của phương trình
Chia cả hai vế phương trình choz2 ta được :
4 2 12 ( 6 10 ) 1+ 15 − 8 = 0
− +
−
z z i z
Đặt t =z−1z Khi dó phương trình (3) trở thành:
=
=
−=
=
⇒
=
=
⇔
= + +
−
i z
i z z z
i t
t i ti t
2 1 2 2 1 2
2 5 2
3 0 15 ) 10 6(
4 2
Vậy nghiệm của phương trình là: z z z i;z 2i
2
; 2
1
;
=
Ví dụ 4: Giải phương trình:z4 − ( 3 +i)z3 + ( 4 + 3i)z2 − 2 ( 3 +i)z+ 4 = 0 (4)
Giải : Nhận thấy z= 0 không phải là nghiệm của phương trình
Chia cả hai vế phương trình choz2ta được:
2 42 ( 3 ) 2 + 4 + 3 = 0
+ +
−
z z i z
z
Đặt t=z+2z Khi dó phương trình (4) trở thành:
=
−=
=
=
⇒
=
=
⇔
= + +
−
i z
i z z z
i t
t i ti t
2
2
1 3 0 3 ) 3(
2
Vậy nghiệm của phương trình là: z= 2 ;z= 1 ;z= −i;z= 2i
Ví dụ 5: Giải phương trình : (z+ 4 ) 4 + (z+ 6 ) 4 = 82 (5)
Giải : Đặt t=z+ 5 Khi dó phương trình (5) trở thành:
±
−
=
−
=
−
=
⇒
±
=
=
⇔
=
− +
10 5 7
3 10
4 0
40
2 2
4
i z z
z i
t
t t
t
Vậy nghiệm của phương trình là: z= − 3 ;z= − 7 ;z= − 5 ±i 10
Ví dụ 6: Giải phương trình: (z2 + 1 ) 2 + (z+ 3 ) 2 = 0 (6)
Giải : Phương trình (6) tương đương với:
+
−
=
−
=
−
−
= +
=
⇔
= + + +
=
− +
−
⇔
+
−
= +
+
= +
⇔ +
= +
i z
i z
i z
i z
i iz
z
i iz
z z
i z
z i z
z i z
2 1 1 1 2 1
0 3 1
0 3 1 )
3 ( 1
) 3 ( 1 )
3 ( ) 1 (
2 2 2
2 2
2 2 2
Vậy nghiệm của phương trình là:
z= 1 + 2i;z= − 1 −i;z= − 1 + 2i;z = 1 −i
Trang 4Ví dụ 7: Giải phương trình: ( ) 16
) 1 (
1 4
4 2
=
−
−
z
z
(7)
Giải : Phương trình (7) tương đương với:
+
−
=
−
−
=
−
+
−
=
−
−
=
−
⇔
−
=
−
−
=
−
⇔
−
=
−
2 2 1
2 2 1
2 2 1
2 2 1 )
1 ( 4 ) 1 (
) 1 ( 4 ) 1 ( ) 1 ( 16 ) 1 (
2 2 2 2
2 2
2
2 2 2 2 4 4
2
z z
z z
i iz z
i iz z
z z
z i z
z
−
=
+
−
=
−
=
±
=
⇔
=
− +
= +
−
=
−
− +
= +
−
−
⇔
3
1 2
1 2 1
0 3 2
0 1 2
0 2 1 2
0 2 1 2
2 2 2 2
z
i z
i z z
z z
z z
i iz
z
i iz
z
Vậy nghiệm của phương trình là:
z= 1 − 2i;z = − 1 + 2i;z = ± 1 ;z = − 3
Ví dụ 8: Giải phương trình: z(z+ 2 )(z− 1 )(z+ 3 ) = 10 (8)
Giải : Ta có:
z(z+ 2 )(z− 1 )(z+ 3 ) = 10 ⇔ (z2 + 2z)(z2 + 2z− 3 ) = 0
Đặt t=z2 + 2z Khi đó phương trình (8) trở thành:
±
−
=
±
−
=
⇒
=
−
=
⇔
=
−
−
6 1
1 5
2 0
10 3
2
z
i z t
t t
t
Vậy nghiệm của phương trình là : z= − 1 ±i;z= − 1 ± 6
Nguyễn Thị