CHỦ ĐỀ 1 :CÁC BÀI TOÁN LIÊN QUAN KSHS
Bài toán 1 :Viết PTTT với đồ thị ( C ) tại điểm M0(x0;y0) thuộc ( C )
@ PTTT có dạng (d) : y – y0 = f’(x0) (x – x0)
@ Tìm x0 , y0 , f’(x0) theo sơ đồ : x0 ⇒ y0 ⇒f’(x0)
f’(x0) ⇒ x0 ⇒ y0
@Thế vào tìm (d)
Bài toán 2 : Viết PTTT với đồ thị ( C ) đi qua điểm A(xA;yA)
@ Pt dường thẳng (d) đi qua điểmA và có hệ số góc k là : (d) : y – yA = k (x – xA)
@ (d) tiếp xúc với ( C ) {
⇔ == (đốivới hàmđathức)
thức) phân hàm với đối ( kép nghiệm
có (d) và ) C ( trình hoành độđiểm chung của phương
) x ( g ) x (
) x (' g ) x ('
@ Giải hệ tìm k ⇒ x0 ⇒ y0 ⇒ (d)
Bài toán 3 : Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi ( C ) : y = f (x) , đường thẳng (d) : y = g(x)
và các đường x = a , x = b
B1 : Ta có S = b (x) g(x).dx
a
B2 : Khử dấu GTTĐ ( bằng các cách sau :dựa vào đồ thị ; xét dấu biểu thức trong dấu GTTĐ ; đưa dấu GTTĐ ra khỏi dấu tích phân )
B3 : Tính
* Chú ý : Kết quả là số dương
Chưa đủ 4 đường thì tìm cho đủ bằng cách lập pt hoành độ điểm chung ( hoặc pt tung độ điểm chung )
Bài toán 4 : Tính diện tích hình tròn xoay
Hinh phẳng :
x O trục quanh Quay
b x
a x
có) phải c bắt buộ (
0 y : Ox
) x ( y : ) C (
=
=
=
=
Có thể tích là : V = π∫ ( )
b
a
2dx ) x (
Hinh phẳng :
: 0 ( bắt buộc phải có)
y a
y b quanh trục O y
C x f y
Oy x
Quay
=
=
=
Có thể tích là : V = π∫ ( )
b
a
2dy ) y (
* Bình phương hàm số f(x) rồi tính
Trang 2Bài toán 5 : Dựa vào đồ thị biện luận số nghiệm của phương trình g(x) = 0
B1 : Đưa phương trình g(x) = 0 về dạng f(x) = m ( hoặc f(x) = m + C ) (1)
với f(x) là đồ thị ( C ) của hàm số vừa khảo sát ở trên
B2 : (1) là pt hoành độ điểm chung của ( C ) và đường thẳng (d) :y = m (hoặc (d) :y = m + C ) Số nghiệm của (1) = số giao điểm của ( C ) và (d)
B3 : Dựa vào đồ thị ta có : 5 trường hợp ( sử dụng các giá trị yCT , y CĐ trong BBT )
* m < ?
* m = ?
* ? < m < ??
* m = ??
* m > ??
* Có thể chỉ hỏi 1 trường hợp ( VD : dựa vào đồ thị tìm các giá trị của m để pt trình có 4 nghiệm
phân biệt)
Bài toán 6 : Biện luận số giao điểm của hai đường y = f(x) và y = g(x)
B1 : PT hoành độ điểm chung : f(x) = g(x) (1) Thu gọn lại
B2 : Biện luận
*Nếu (1) là PT : ax + b = 0
Biện luận 2 trường hợp :
a = 0 :⇒ giá trị tham số m, thế vào PT,
kết luận nghiệm ⇒ số giao điểm
a≠ 0 :⇒ giá trị m ⇒ 1 ngiệm ⇒ 1 giao
điểm
*Nếu (1) là PT : ax2 + bx + c = 0 Biện luận 2 trường hợp :
a = 0 :⇒ giá trị tham số m, thế vào PT, kết luận nghiệm ⇒ số giao điểm
a≠ 0 :⇒ giá trị m ; tính ∆ ( hoặc ∆’) ; xét dấu
∆ ( hoặc ∆’) ⇒ số giao điểm
Bài toán 7 :Tìm m để hàm số tăng ( hoặc giảm ) trên R hay trên từng khoảng xác định
B1 : TXĐ
B2 : Tính y’
B3 : Để hàm số tăng hoặc giảm trên R
⇒
<
∆
⇒
≤
∆
⇔
<
>
≤
≥
⇔
m tìm BPT giải 0
m tìm BPT giải 0
lại còn hàm với đối ) 0 y' hoặc ( y'
ba bậc hàm với đối ) 0 y' hoặc ( ' y
Bài toán 8 : Xác định m để hàm số có cực trị ( hoặc có CĐ và CT )
B2 : y’
B3 : Để HS có cực trị thì PT y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇒∆ > 0 ( hoặc ∆’ > 0)
B4 : Giải BPT tìm m ( nếu bậc 1 thì chuyển vế , nếu bậc 2 thì xét dấu ∆ ( hoặc ∆’)
Trang 3Bài toán 9 : Xác định m để hàm số có cực trị ( hoặc có CĐ và CT )
B2 : y’
B3 : Để HS có cực trị thì PT y’ = 0 có 2 nghiệm phân biệt ⇒∆ > 0 ( hoặc ∆’ > 0)
B4 : Giải BPT tìm m ( nếu bậc 1 thì chuyển vế , nếu bậc 2 thì xét dấu ∆ ( hoặc ∆’)
Bài toán 10 : Tìm m để đồ thị ( Cm ) nhận điểm uốn có hoành độ là x0
B1 : TXĐ
B2 : Tính y’ , y’’
B3 : Để đồ thị có điểm uốn tại x0 thì y’’ (x0) = 0 : giải PT tìm m
B4 : (Thử lại) Thế m vào y’’ = 0 Nếu tại x0 đồ thị có điểm uốn thì nhận m
Bài toán 11 : Tìm m để đồ thị nhận điểm I(x0 ;y0) làm điểm uốn
B1 : TXĐ
B2 :y’ ; y’’
B3 : I(x0 ;y0) là điểm uốn
=
=
⇔
0 0
0
y ) x ( y
0 ) x (' '
y
Giải hệ tìm m
Bài toán 12 : Tìm m để đồ thị ( C ) :y = f(x) cắt đường thẳng d : y = g(x) tại 3 điểm phân biệt
(đối với Hàm bậc 3 )
B1 : PT hoành điểm điểm chung f(x) = g(x) Tìm 1 nghiệm đặc biệt x0
B2 : Chia đa thức đưa về dạng :(x – x0)( Ax2 + Bx + C ) = 0 (1)
⇔
= + +
=
−
(2) 0 C Bx Ax
0 x x
2 0
B3 : ( Cm ) cắt d tại 3 điểm phân biệt ⇔ (1) có 3 nghiệm pb
⇔ (2) có 2 nghiệm khác x0
>
∆
≠
≠ + +
⇔
0
0 A
0 C Bx
Bài toàn 13 : Tìm m để hàm trùng phương có 1 cực trị ( hoặc có 3 cực trị)
@ TXĐ @ Tính :y’
@ Để hs có 1 cực trị ( hoặc có 3 cực trị ) thì pt y’ = 0 có 1 nghiệm ( hoặc có 3 nghiệm pb)
@ Giài phương trình tìm m ( Phân tích pt bậc 3 thành tích của pt bậc 1 và pt bậc 2)
* Cách khác : Để hs có 1 cực trị thì a và b trái dấu ( a.b < 0)
Để hs có 3 cực trị thì a và b cùng dấu ( a.b > 0)
Trang 4Bài toán 14 : Tìm m để đồ thị ( Cm ) :y = f(x) cắt đường thẳng d : y = g(x) tại 4 điểm phân biệt
(đối với Hàm bậc 4)
@ PT hoành điểm điểm chung f(x) = g(x) Đưa về PT trùng phương (1)
@ Đặt t = x2 (t ≥ 0) PT trở thành at2 + bt + c = 0 (2)
@ ( Cm ) cắt đường thẳng d tại 4 điểm phân biệt ⇔ (1) có 4 nghiệm pb
⇔ (2) có 2 nghiệm dương pb
⇔ 0 < t1< t2
⇔
>
−
=
>
=
>
∆
0 a
b S
0 a
c P 0
B4 : Giải hệ 3 BPT tìm m
Bài toán 15 : Tìm tát cả các điểm trên đồ thị có toạ độ nguyên (x, y là số nguyên) ( đối với hàm phân thức)
@ Chia tử cho mẫu để được dạng :y = Ax +
@ Để x, y là số nguyên thì phải là số nguyên ⇒ (cx + d) là ước của B ⇒ x ⇒ y ⇒ điểm
M(x ; y) VD : x4−1 là số nguyên ⇒ (x – 1) là ước của 4 ⇒
⇒
⇒
−
=
−
⇒
⇒
=
−
⇒
⇒
−
−
−
⇒
⇒
=
−
⇒
⇒
−
=
−
⇒
⇒
=
−
y x 4 1 x
y x 4 1 x
y x 2 1 x
y x 2 1 x
y x 1 1 x
y x 1 1 x
Bài toán16 :Tìm tập hợp điểm
@ Tìm toạ độ điểm M cần tìm
=
⇒
=
=
=
⇒
=
=
=
⇒
=
=
0 y) F(x, : đường là M điểm các hợp tập , m Khử )
m ( g y
) m ( x M
c y thẳng đường là M điểm các hợp Tập c
y
) m ( x M
c x thẳng đường là M điểm các hợp Tập )
m ( y
c x M
Trang 5B1 : TXĐ
B2 : y’
B3 : Để HS có cực trị ( hoặc có CĐ và CT ) tại M thì : 0
'( ) 0 ( )
y x
=
B4 : Giải hệ PT tìm m
B5 : Thử lại (thế m vào pt y’ = 0 ⇒ x ; Vẽ BBT nếu tại M hàm số thoả yêu cầu đề thì nhận m)
Bài toán 18 : Xác định m để (Cm) luôn lồi ( hoặc lõm) :( đối với hàm trùng phương)
@ TXĐ
@ Tính :y’ ; y’’
@ Để đồ thị hs lồi (hoặc lõm) thì : y’’≤ 0 , ∀x ( hoặc y’’≥ 0 , ∀x )
⇒∆≤ 0 ( hoặc ∆≥ 0) ; ∆ của y’’
@ Giải bpt tìm m
Bài toàn 19 : Tìm m để hàm trùng phương có 1 cực trị ( hoặc có 3 cực trị)
@ TXĐ @ Tính :y’
@ Để hs có 1 cực trị ( hoặc có 3 cực trị ) thì pt y’ = 0 có 1 nghiệm ( hoặc có 3 nghiệm pb)
@ Giài phương trình tìm m ( Phân tích pt bậc 3 thành tích của pt bậc 1 và pt bậc 2)
* Cách khác : Để hs có 1 cực trị thì a và b trái dấu ( a.b < 0)
Để hs có 3 cực trị thì a và b cùng dấu ( a.b > 0)
Bài toán 20 : Chứng minh rằng từ điểm M (a ; b) bất kỳ trên đồ thị (C) có tích các khoảng
cách từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) bằng 1 hằng số ( không phụ thuộc vào M) :
+ Viết pt các đường tiệm cận dưới dạng tổng quát : Ax + By + C = 0
+ Aùp dung công thức tính khoảng cách từ điểm M đến đt ∆ : d (M, ∆) = M 2 M2
B A
C y B x A
+
+ +
tính khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận
+ Tính tích : d1.d2 ( là 2 khoảng cách trên)
+ Vì M ∈ (C) ⇒ b = f( a) ( thế toạ độ điểm M vào hàm số )
+ Thay vào tích : d1.d2 rút gọn thành hằng số
* Mở rộng bài toán : Chứng minh rằng tổng các khoảng cách từ M đến 2 đường tiệm cận của (C) đạt giá trị lớn nhất :
+ Làm như trên
+ Thêm 1 bước : Aùp dụng BĐT Côsi cho 2 số d1 và d2 : 1 2
1 2
2
Vì d1.d2 là hằng số nên (d1 + d2 ) đạt giá trị mlớm nhất = 2 d d1 2
