b Dự đoán công thức số hạng tổng quát un và chứng minh công thức bằng quy nạp.. c Tính tổng n số hạng đầu của dãy số đã cho.. Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của các cấp số cộng un biết
Trang 1PHÂN LOẠI BÀI TẬP
PP quy nạp Bài 1 (SGK_82) CMR với n N*, ta có
đẳng thức:a) 2 5 8 3+ + + + − =n 1 n n(32+1)
n
6
n n n
Bài 2 (SGK_82) CMR với n N*, ta có:
a) n3 + 3n2 + 5n chia hết cho 3
b) 4n + 15n – 1 chia hết cho 9
c) n3 + 11n chia hết cho 6
Bài 3 (SGK_82) CMR với mọi số tự nhiên
n 2, ta có đẳng thức:
a) 3n > 3n +1
b) 2n + 1 > 2n + 3
Bài 4 (SGK_83) Cho
n
S
n n
a) Tính S1, S2, S3 b) Dự đoán công thức tính tổng Sn và chứng minh bằng quy nạp
Bài 1.1 (BT_94) Chứng minh các đẳng thức
sau (với n N*)
a) 2 5 8 3n – 1 ( ) (3 1)
2
n n+
b) 3 9 27 3 + + + + n = 12(3n+1−3).
Bài 1.5 (BT_95) Với giá trị nào của số tự
nhiên n ta có:
Bài 5 (SGK_83) CMR số đường chéo của
một đa giác lồi n cạnh là n n( 2−3)
Bài 1.2 (BT_94) Chứng minh các đẳng
thức sau (với n N*)
2
3
n n
4
n n
Bài 1.3 (BT_95) Chứng minh với mọi n
N*, ta có a) 11n +1 + 122n – 1 chia hết cho 133
b) 2n3 – 3n2 + n chia hết cho 6
Bài 1.4 (BT_95) Chứng ming các bất đẳng
thức sau (với n N*)
a) 2n + 2 > 2n + 5
b) sin2nα + cos2n α 1
Bài 1.7 (BT_95) Cho n số thực a1, a2, a3,
…, an thỏa mãn điều kiện – 1< ai 0 với 1,
(1 + a1)(1 + a2)…(1 + an) 1 + a1 + a2 + … + an
Bài 1.8 (BT_95) CMR với số thực thực a1,
a2, a3, …, an (với n N*), ta có
|a1 + a2 + + an| |a1| +|a2| + … +|an|
Bài 2(BT_122) Chứng minh các đẳng thức
Trang 2a) 2n > 2n + 1 b) 2n > n2 + 4n + 5.
c) 3n > 2n + 7n ?
Bài 5 (SGK_107) Chứng minh rằng với mọi
n ∈N*, ta có:
a) 13n – 1 chia hết cho 6
b) 3n3 + 15 chia hết cho 9
Bài 1(BT_121) CMR:
a) n5 – n chia hết cho 5 với mọi số tự nhiên n
b) Tổng các lập phương của ba số tự nhiên liên tiếp chia hết cho 9
Bài 3 (BT_122) Chứng minh các bất đẳng
thức a) 3n – 1 > n(n + 2) với n 4
b) 2n – 3 > 3n – 1 với n 8
sau với n N*
n n n
n n
n n
+
=
n n+
= + + + + +
6
n n+ n+
=
Dãy số Bài 1(SGK_92) Viết năm số hạng tổng quát
un cho bởi công thức
n
u =
n
u = −
+
n n
u
n
= + ÷
1
n
n u
n
= +
Bài 2(SGK_92) Cho dãy số (un), biết:
un = –1, un+1 = un + 3 với n≥3.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
= 3n – 4
Bài 4(SGK_92) Xét tính tăng, giảm của dãy
số (un) biết:
n
1
n
n u n
−
= +
Bài 3(SGK_92) Dãy số (un) cho bởi:
u1 = 3; un + 1 = 1+n n2, ≥1.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát un
và chứng minh công thức bằng quy nạp
Bài 5(SGK_92) Trong các dãy số (un) sau, dãy số nào bị chặn dưới, dãy số nào bị chặn trên
a) un = 2n2 – 1.b) u n ( 1 2)
n n
= +
1
n
u n
=
n
u = n+ n
Bài 2.2(BT_106) Cho dãy số (un) với un = n2 – 4n + 3
a) Viết công thức truy hồi của dãy số
Trang 3c) ( 1) (2 1)
n
u = − +
d)
n
n u n
+
= +
Bài 2.1(BT_106) Viết năm số hạng đầu và
khảo sát tính tăng, giảm của dãy số (un), biết
a) un = 101 – 2n b) un = 3n – 7
n
n
u
n
+
=
3 d)
2
n
n
u =
Bài 2.5 (SGK 106) Cho dãy số (u
n
) được
1
5
u
u + u n
=
a) Tìm công thức của số hạng tổng quát
b) Chứng minh dãy số tăng
Bài 6(SGK_107) Cho dãy số un, biết rằng u1
= 2, un+1 = 2un – 1 với n≥1.
a) Viết năm số hạng đầu của dãy
b) Chứng minh rằng un = 2n – 1 + 1 bằng
phương pháp quy nạp
b) Chứng minh dãy số bị chặn dưới
c) Tính tổng n số hạng đầu của dãy số đã cho
Bài 2.3(BT_106) Cho dãy số (un) với un = 1 + (n – 1)2n
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
b) Tìm công thức truy hồi
c) Chứng minh dãy số tăng và bị chặn dưới
Bài 2.4(BT_106) Dãy số (un) được xác
1
1
u
u + u n n
=
a) Tìm công thức của số hạng tổng quát b) Tính số hạng thứ 100 của dãy số
Bài 2.6(BT_107) Tìm công thức số hạng
tổng quát của các dãy số sau:
a)
1
1
2 1
n
n
u
u
+
=
1
2 1
u
u + u
=
1
1
1 2 3
u
u + u
=
Bài 2.7(BT_107) Dãy số (xn) được biểu diễn trên trục số bởi tập hợp các điểm, kí hiệu là A:
A = {A0, A1, A2, …, An, …}
Gọi B là một điểm nằm ngoài trục số Người ta dựng các tam giác đỉnh B và hai đỉnh còn lại thuộc tập hợp A
Đặt un là số các tam giác được tạo thành từ
B và n + 1 điểm A0, A1, A2, …An rồi lập dãy số (un)
a) Tính u1, u2, u3, u4
Trang 4b) CMR
2
u =C n+
và un+1 = un + n + 1
Bài 2.8(BT_107) Cho dãy số (un) thỏa mãn điều kiện ∀ ∈n N*thì 0 < un < 1 và
1
1 1 4
n
n
u
u
+ < −
Chứng minh dãy số đã cho là dãy số giảm
Bài 7(SGK_107) Xét tính tăng, giảm, bị
chặn của các dã số (un), biết:
( 1) sinn
u
n
−
= −
Cấp số
cộng
Bài 1(SGK_97) Trong các dãy số sau, dãy số
nào là cấp số cộng Tìm số hạng đầu và công sai của nó
n
u = −
n
u = −
Bài 2(SGK_97) Tìm số hạng đầu và công sai
của cấp số cộng sau, biết:
1 6
0 17
u u u
u u
− + =
+ =
7 3
2 7
8 75
u u
u u
− =
Bài 3(SGK_97) Trong các bài toán về cấp số
cộng, ta thường gặp năm đại lượng u1, d, n, un,
Sn a) Hãy viết các hệ thức liên hệ giữa các đại lượng đó Cần phải biết ít nhất mấy đại lượng
để có thể tìm được các đại lượng còn lại
b) Lập bảng theo mẫu sau và điền số thích hợp vào ô trống
Bài 4(SGK_98) Trên mặt sàn tầng một của
một ngôi nhà cao hơn mặt sân 0,5 m Cầu thang đi từ tầng một lên tầng hai gồm 21 bậc, mỗi bậc cao 18 cm
a) Viết công thức tìm độ cao của một bậc tùy ý so với mặt sân
b) Tính độ cao của mặt sàn tầng hai so với mặt đất
Bài 5(SGK_98) Từ 0 giờ đến 12 giờ trưa,
đồng hồ đánh bao nhiêu tiếng, nếu nó chỉ đanh chuông báo giờ và số tiếng rung bằng
số giờ
Bài 3(SGK_107) Cho hai cấp số cộng có
cùng số hạng Tổng các số hạng tương ứng của chúng có lập thành cấp số hạng không
Vì sao ? Cho một ví dụ minh họa
Bài 8(SGK_107) Tìm số hạng đầu u1 và công sai d của các cấp số cộng (un) biết:
Trang 5-2 55 20 530
Bài 1(SGK_107) Khi nào thì cấp số cộng là
một dãy số tăng, giảm, không tăng không giảm
4
14
u u S
=
7 15
2 2
60 1170
u u
u u
+ =
Bài 10(SGK_108) Cho tứ giác ABCD có
số đo (độ) của các góc lập thành một cấp số cộng theo thứ tự A, B, C, D Biết răng góc
C gấp năm lần góc A Tính các góc của tứ giác
Bài 13(SGK_108).CMR nếu các số a2, b2,
c2 lập thành một cấp số cộng (abc 0) thì các số b c c a a b+1 , +1 , 1+ cũng lập thành một
cấp số cộng
Bài 4(BT_122) Cho dãy số (un)
u u
u + u u − n
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
b) Lập dãy số (vn) với vn = un+1 – un , chứng minh dãy số vn là cấp số cộng
c) Tìm công thức tính un theo n
Bài 10(BT_123) Có thể có một tam giác
vuông mà số đo các cạnh của nó lập thành một cấp số cộng hay không ?
Bài 11(BT_123) Tính tổng
n−
b) 12 – 22 + 32 – 42 + … + (-1)n – 1n2
Bài 12(BT_123) Tìm m để phương trình x4
– (3m + 5)x2 + (m + 1)2 = 0 có 4 nghiệm lập thành một cấp số cộng
Cấp số
nhân
Bài 1(SGK_103) Chứng minh các dãy số Bài 5(SGK_104) Tỉ lệ tăng dân số của tỉnh
X là 1,4% Biết rắng số dân của tỉnh hiện
Trang 6.2
;
5
2n
÷
;
1 2
n
−
÷ ÷
÷
Bài 2(SGK_103) Cho cấp số nhân (un), với
công bội q
a) Biết u1 = 2, u6 = 486 Tìm q
b) Biết q=23, 4 8
21
c) Biết u1 = 3, q = -2
Hỏi số 192 là số hạng thứ mấy
Bài 3(SGK_103) Tìm các số hạng của cấp số
nhân (un) có năm số hạng, biết:
a) u1 = 3, u5 = 7
b) u4 – u2 = 25 và u3 – u1 = 50
Bài 4(SGK_104).Tìm cấp số nhân có 6 số
hạng, biết rằng tổng của năm số hạngđầu là
31 và tổng năm số hạng sau là 62
Bài 2(SGK_107) Cho cấp số nhân có u1 < 0
và công bội q Hỏi các số hạng khác nhau sẽ
mang dấu gì trong các trường hợp sau:
Bài 4(SGK_107) Cho hai cấp số nhân có
cùng số hạng Tích các số hạng tương ứng của
chúng có lập thành cấp số hạng không
Vì sao ? Cho một ví dụ minh họa
Bài 9(SGK_107) Tìm số hạng đầu u1 và
công bội q của các cấp số nhân (un) biết:
7
384
u
u
=
=
4 2
5 3
72 144
u u
u u
− =
+ =
6 3 5
10 20
u u u
u u u
+ − =
+ − =
Bài 4.1(BT_120).Các dãy số (un) sau đây, dãy
nay là 1,8 triều người Hỏi với mức tăng như vậy thì sau 5 năm, 10 năm thì số dân của tỉnh X là bao nhiêu
Bài 6(SGK_104) Cho hình vuông C1 có cạnh bằng 4 Người ta chia mỗi cạnh của hình vuông thành 4 phần băng nhau và nối liền các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuong C2 Từ hình vuông C2 lại làm tiếp để được C3,… Tiếp tục lặp lại quá trình trên, ta nhận được dãy hình vuông C1, C2,…
Cn Gọi an là số cạnh của hình vuông Cn Chứng minh rằng dãy số (an) là một cấp số nhân
Bài 11(SGK_108) Biết rằng ba số x, y, z
lập thành một cấp số nhân và ba số x, 2y, 3z lập thành một cấp số cộng Tìm công bội của cấp số nhân
Bài 4.7(BT_121) Cho dãy số (un)
1
1
0
4
n n
n
u
u
u
+
=
a) Lập dãy số (xn) với
1 3
n n n
u x u
−
= +
b) Tìn công thức tính xn và un theo n
Bài 4.8(BT_121) Ba số khác nhau có tổng
bằng 114 có thể coi là ba số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc coi là các số hạng thứ nhất, thứ tư và thứ 25 của một cấp
Trang 7số nào là cấp số nhân
a) un = (- 5)2n + 1 b) un = (-1)n33n + 1
c)
1
2
1
2
u
u + u
=
d)
1
1
1 2 5
u
u + u u
=
Bài 4.2(BT_120) Cấp số nhân (un) có
1 5
2 6
51
102
u u
u u
+ =
+ =
a) Tìm số hạng đầu và công bội của cấp số
nhân
b) Hỏi tổng của bao nhiêu số hạng đầu tiên sẽ
bằng 3069 ?
c) Số 12288 là số hạng thứ mấy ?
Bài 4.3(BT_120) Tìm số các số hạng của cấp
số nhân (u
n
), biết
a) q = 2, un = 96, Sn = 189
b) u
1
= 1, u
n
= 1/8, S
n
= 31/8
Bài 4.4(BT_120) Tìm số hạng đầu và công
bội của cấp số nhân (un), biết
5 1
4 2
15
)
6
u u
a
u u
− =
− =
2 4 5
3 5 6
10 )
20
u u u b
u u u
− + =
− + =
Bài 4.5(BT_121) Bốn số hạng lập thành một
cấp số cộng lần lượt trừ mỗi số ấy cho 2, 6, 7,
2 ta nhận được một cấp số nhân Tìm các số
đó
Bài 4.6(BT_121) Viết bốn số xen giữa các số
số cộng Tìm các số đó
Bài 4.9(BT_121) Cho cấp số nhân a, b, c,
d CMR
a)
a +b +c = + +
b) (ab + bc + cd)
2
= (a
2
+ b
2
+ c
2
)(b
2
+ c
2
+ d
2
)
Bài 4.10(BT_121) Một cấp số cộng và một
cấp số nhân có các số hạng đều dương Biết rằng các số hạng thứ nhất và thứ hai của chúng trùng nhau Chứng minh mọi số hạng của cấp số cộng không lớn hơn số hạng tương ứng của cấp số nhân
Bài 5(BT_122) Cho dãy số (u
n
)
1
1
1 3
3
n n
u
n u
n
+
=
a) Viết năm số hạng đầu của dãy số
b) Lập dãy số (v
n
) với
n
u n
=
Chứng minh dãy số (vn) là cấp số nhân
c) Tìm công thức tính un theo n
Bài 6(BT_122) Ba số có tổng là 217 có thể
coi là các số hạng liên tiếp của một cấp số nhân, hoặc các số hạng thứ hai, thứ 9 và thứ
44 của một cấp số cộng Hỏi phải lấy bao
Trang 85 và 160 để được một cấp số nhân nhiêu số hạng đầu của cấp số cộng để tổng
của chúng là 820
Bài 7(BT_123) Một cấp số cộng và một
cấp số nhân có số hạng thứ nhất bằng 5, số hạng thứ hai của cấp số cộng lớn hơn số hạng thứ hai của cấp số nhân là 10 còn các
số hạng thứ ba bằng nhau Tìm các số ấy
Bài 8(BT_123) CMR nếu ba số lập thành
một cấp số nhân, đồng thời lập thành cấp số cộng thì ba số ấy bằng nhau
Bài 9(BT_123) Cho cấp số nhân (un)
có công bội là q và số các số hạng là chẵn Gọi S
c
là tổng các số hạng có chỉ số chẵn và
Sl là tổng các số hạng có chỉ số lẻ.
CMR
C l
S q S
=