Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng: - Giải tóan bằng phương pháp quy nạp.. Mở đầu: Trong nhiều bài tóan, đôi lúc ta thường gặp phải chứng minh những mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n∈¥.. Ph
Trang 1Ngày sọan: Chương III: DÃY SỐ - CẤP SỐ CỘNG – CẤP SỐ NHÂN
A Mục đích yêu cầu:
1 Kiến thức: Học sinh nắm vững:
- Thế nào là phương pháp quy nạp tóan học.
- Các bước tiến hành để giải bài tóan quy nạp
2 Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:
- Giải tóan bằng phương pháp quy nạp
B Lên lớp:
B1 Ổn định và điểm danh:
B2 Bài cũ:
B3 Bài mới: Trọng tâm: Cách giải các bài tóan bằng phương pháp quy nạp.
Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa
PHƯƠNG PHÁP QUY NẠP TÓAN HỌC
I Mở đầu:
Trong nhiều bài tóan, đôi lúc ta thường gặp phải chứng minh
những mệnh đề phụ thuộc vào số tự nhiên n∈¥
Để chứng minh những mệnh đề như thế, ta không thể thử trực
tiếp được mà dùng phương pháp chứng minh bằng quy nạp như
sau:
II Phương pháp chứng minh bằng quy nạp:
Để chứng minh một mệnh đề bằng phương pháp quy nạp tóan
học (hay phương pháp quy nạp), ta làm như sau:
III Một số ví dụ:
1 Ví dụ 1: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥1, ta có:
n n 1
2
+ + + + + =
Giải:
+ Khi n = 1, ta có:
VT 1
1 1 1 VP
2
⇒ +
= (1) đúng với n = 1
+ Giả sử (1) đúng với một số tự nhiên n = k≥1, tức là:
k k 1
2
+ + + + + =
Ta chứng minh (1) cũng đúng khi n = k+1, tức phải chứng minh:
+ GV giới thiệu phương pháp quy nạp tón học
+ Kiểm tra với n nào?
+ Cách kiểm tra?
+ Cách thiết lập giả thiết quy nạp?
Bước 1: Kiểm tra mệnh đề đúng với n = 0
Bước 2: Giả thiết mệnh đề đúng với một số tự nhiên bất kỳ
n = k≥0 (gọi là giả thiết quy nạp) Ta hãy chứng minh mệnh
đề cũng đúng với n = k+1
Kết luận: Mệnh đề đúng với mọi số tự nhiên n
Chú ý Nếu phải chứng minh mệnh đề đúng với mọi số tự
nhiện n≥p thì:
- Trong bước 1 ta phải thử với n = p.
- Trong bước 2, ta giả sử mệnh đề đúng với một số tự
nhiên n = k≥p.
Trang 2( ) (k 1 k 2) ( ) ( )
2
+ + + + + + =
Cm:
( ) ( ) k k 1( ) ( )
VT 1 2 3 k k 1 k 1
2
+
(k 1 ) k 1 (k 1 k 2) ( ) VP
Vậy (1) đúng với mọi số tự nhiên n≥1
2 Ví dụ 2: Chứng minh rằng với mọi số tự nhiên n≥2, ta có:
an−bn = −(a b a) ( n 1 − +an 2 − b ab+ + n 2 − +bn 1 − ) ( )2
Giải:
+ Khi n = 2:
2 2
2 2
VT a b
VP a b a b a b
= − + = − (2) đúng với n = 2
+ Giả sử (2) đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k≥2, tức là:
k k k 1 k 2 k 2 k 1
a −b = −a b a − +a − b ab+ + − +b− 2'
Ta chứng minh (2) cũng đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:
ak 1 + −bk 1 + = −(a b a) ( k+a b abk 1 − + + k 1 − +bk) ( )2"
Cm:
k 1 k 1 k 1 k k k 1 k k k
k k 1 k 1 k
a b a a b a b b a a b b a b
a a b b a b a a ab b
a b a a b ab b VP
Vậy (2) đúng với mọi số tự nhiên n≥2
IV Bài tập:
Chứng minh rằng với ∀ ∈n ¥ , ta có:*
2 2 3 2 n n 1 2n 1
1 2 3 n
6
Giải:
+ Khi n = 1, ta có:
VT 1
1 1 1 2 1
6
⇒
= = (*) đúng với n = 1
+ Giả sử (*) đúng với một số tự nhiên n = k > 0, tức là:
2 2 3 2 k k 1 2k 1
1 2 3 k
6
Ta chứng minh (*) cũng đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:
1 2 3 k k 1
6
Cm:
2 2 3 2
2
k k 1 2k 1
6
k 2k 1 6 k 1 2k 7k 6
k 1 k 2 2k 3
VP 6
B4 Củng cố: Phương pháp chứng minh bằng quy nạp?
B5 Dặn dò: BTVN trang 88
+ Phải chứng minh điều gì?
+ Dùng giả thiết quy nạp thay vào k số hạng đầu tiên
+ Kiểm tra với n = 2
+ Thành lập giả thiết quy nạp?
+ Mệnh đề phải chứng minh?
+ Hướng dẫn chứng minh
+ Kiểm tra (*) với n = 1
+ Thành lập giả thiết quy nạp?
+ Cách chứng minh?
+ Kết luận
Trang 3Ngày sọan:
C Mục đích yêu cầu:
1 Kiến thức: Học sinh nắm vững:
- Định nghĩa dãy số.
- Cách cho dãy số, biểu diễn hình học của dãy số
- Dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn
2 Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:
- Giải các bài tóan về dãy số như: Tính đơn điệu, tính bị chặn,
- Rèn luyện kỹ năng tính tóan
D Lên lớp:
B1 Ổn định và điểm danh:
B2 Bài cũ:
B3 Bài mới: Trọng tâm: Định nghĩa, dãy đơn điệu, dãy số bị chặn.
Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa
I Định nghĩa:
1 Định nghĩa 1: Cho tập hợp M = {0; 1; 2; …; m}
- Một hàm số u xác định trên M được gọi là một dãy số hữu hạn
- Tập giá trị của dãy này là {u(1); u(2);…; u(m)} Ký hiệu là:
u 1( ) =u ; u 21 ( )=u ; ; u m2 ( )=um
- Viết dãy số như sau:
1 2 m
u ; u ; ; u
• u1 là số hạng thứ nhất (số hạng đầu)
• u2 là sồ hạng thứ hai,…
• um là số hạng cuối (số hạng thứ m)
2 Định nghĩa 2: Một hàm số u xác định trên tập *¥ được gọi là
một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số)
- Tập giá trị của dãy số gồm vô số phần tử được ký hiệu là:
1 2 n
u ; u ; ; u ;
Dạng này được gọi là dạng khai triển của dãy số
- u1 là số hạng thứ nhất,…
- un là số hạng tổng quát (số hạng thứ n) của dãy số u
II Cách cho dãy số
1 Cho số hạng tổng quát bằng công thức:
Ví dụ: Cho dãy số (un), với ( )n
n 2
1 u n
−
=
Viết dưới dạng khai triển, ta có:
( )n 2
1 1;1; 1;1; ; ;
n
−
2 Cho một mệnh đề mô tả các số hạng liên tiếp của nó:
3 Cho bằng phương pháp truy hồi:
Cách cho:
Ví dụ: Cho dãy số
1 2
n n 2 n 1
u 1, u 2
u u − u − n 3
Ta có:
+ Giới thiệu định nghĩa
+ Ví dụ: Cho dãy số hữu hạn 2; 4; 6 ;8 ;10
Ta có:
- Dãy số có 5 số hạng
- Số hạng đầu: 2
- Số hạng cuối: 10
+ Ví dụ: Cho dãy số (un), với un 1
n
= , ta có dạng khai triển của nó là: 1; ; ; ; ; 1 1 1
2 3 n
+ Thay các giá trị của n vào
DÃY SỐ
- Cho một hay vài số hạng đầu của dãy
- Cho hệ thức truy hồi, tức là hệ thức biểu thị số hạng
thứ n qua số hạng (hay vài số hạng) trước nó
Trang 4+ Cho n vài giá trị để thấy dãy số dần tiến về điểm 0 (nhưng không bằng 0)
+ Suy ra: Để khảo sát tính đơn điệu của dãy số ta tính un+1 rồi xét hiệu un+1 – un ( n∀ ∈¥*) Nếu:
• un+1 – un < 0 thì dãy số giảm
• un+1 – un > >0 thì dãy số tăng
+ Cách chứng minh?
+ Lập hiệu un+1 – un ( n∀ ∈¥*)
+ Cách chứng minh dãy số bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?
u =1, u =1, u = +u u =2, u =u +u =3, u =u +u =5
Dãy số này được gọi là dãy Phibônaci
III Biểu diễn hình học của dãy số:
Người ta có thể biểu diễn hình học của dãy số trên trục số
Ví dụ: Biểu diễn hình học của dãy số 1
n
÷
trên trục số
4
u4 1 3
u3
1
u1?
1 2
u2
IV Dãy số tăng, dãy số giảm:
1 Các định nghĩa :
2 Ví dụ: Chứng minh dãy số (un) với un n 1
n
+
= giảm
Giải:
Với n∀ ∈¥*, ta có: ( )
n 1
n 1 1 n 2 u
n 1 n 1
+
+ + , do đó:
n 1 n
n 2n n 2n 1
+
Vậy dãy số đã cho giảm (đpcm)
V Dãy số bị chặn:
1 Các định nghĩa:
2 Ví dụ: Chứng minh rằng dãy số 1
n
÷
bị chặn.
Giải: Với n∀ ∈¥*, ta có:
1
n
< ≤ nên dãy số đã cho bị chặn trên bởi 1, bị chặn dưới bởi 0
Vậy dãy số đã cho bị chặn
B4 Củng cố: Các định nghĩa.
B5 Dặn dò: BTVN trang 94 – 95
a) ĐN1: ( )u là dãy số tăng2 ⇔ ∀ ∈n ¥*: un <un 1+
b) ĐN2: ( )u là dãy số giảm2 ⇔ ∀ ∈n ¥* : un >un 1+
c) ĐN3: Dãy số tăng và dãy số giảm được gọi chung là dãy
số đơn điệu
Chú ý:
( )un tăng n 1
n
u
u
+
( )un giảm n 1
n
u
u
+
a) ĐN1: ( )un bị chặn trên ⇔ ∃ ∈M ¡ : n∀ ∈¥*, un ≤M
b) ĐN2: ( )un bị chặn dưới⇔ ∃ ∈m ¡ : n∀ ∈¥*, un ≥m
c) ĐN3: ( )un bị chặn⇔ ∃m, M∈¡ : n∀ ∈¥*, m u≤ n≤M
Trang 5Ngày sọan:
E Mục đích yêu cầu:
1 Kiến thức: Học sinh nắm vững:
- Định nghĩa dãy số.
- Cách cho dãy số, biểu diễn hình học của dãy số
- Dãy số đơn điệu, dãy số bị chặn
2 Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:
- Giải các bài tóan về dãy số như: Tính đơn điệu, tính bị chặn,
- Rèn luyện kỹ năng tính tóan
F Lên lớp:
B1 Ổn định và điểm danh:
B2 Bài cũ:
B3 Bài mới: Trọng tâm: Định nghĩa, dãy đơn điệu, dãy số bị chặn.
Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa
u + 2u n 1 u + 10u 1 9n, n
=
Giải:
a) Ta có: 1 2 3 4 5
u ; u ; u ; u ; u
b) Ta có: u1= −1; u2 =4; u3 = −6; u4 =8; u5= −10
c) Ta có: u1 0; u2 1; u3 2; u4 1; u5 4
Giải:
+ +
Giải:
a) Ta có:
2 1
3 2
u 2u 2.3
u 2u 2.2.3
= = Dự đóan : un =3.2n 1− ( n∀ ∈¥*) (1)
………
+ Lần lượt cho n = 1; 2; 3; 4; 5 vào công thức đã cho, tính các giá trị tương ứng
+ Chú ý n chẵn, n lẻ để chọn dấu đúng
Bài tập: DÃY SỐ
Bài 1: Víết 5 số hạng đầu của các dãy số sau:
( )
n
n
1
2
1 neáu n chaün
n
c) u
n 1 neáu n leû
n
n
1 1 u
n
+ −
= Tính u7, u12, u2n, u2n+1
Bài 3: Tìm số hạng tổng quát của các dãy số sau:
u + 2u n 1 u + 10u 1 9n, n
=
+ Để tìm số hạng tổng quát của dãy, ta có thể làm như sau:
- Cho n vài giá trị đầu tiên
- Xem thử quy luật của un?
- Dự đóan công thức un
- Chứng minh công thức dự đóan là đúng bằng phương pháp quy nạp
Trang 6+ Nhắc lại cách chứng minh bằng phương pháp quy nạp
+ Thử với n = 1?
+ Biểu thức của giả thiết quy nạp?
+ Biểu thức cần chứng minh?
+ Kết luận công thức cần tìm?
b) Hướng dẫn học sinh giải
+ Nhắc lại phương pháp xét tính đơn điệu của dãy số?
a) Tính un+1 =?
+ Xét hiệu un+1 – un = ? + Kết luận?
b) Tính un+1 =?
+ Xét hiệu un+1 – un = ? + Kết luận?
+ Nhắc lại phương pháp xét tính bị chặn của dãy số?
a) Vì sao un không bị chặn trên?
b) Phân tích như thế nào?
+ Chú ý rằng n n 1( 1 ) = −n n 11 1
và 1 1, 1 1, n *
n≤ n 1 2≤ ∀ ∈
d) Phân tích như thế nào?
Chứng minh:
+ Khi n = 1:
1
1 1
VT u 3
VP 3.2− 3
= = (1) đúng với n = 1.
+ Giả sử (1) đúng với một số tự nhiên n = k≥1, tức là:
k 1 k
u =3.2−
Ta chứng minh (1) cũng đúng với n = k+1, tức là phải chứng minh:
k
k 1
u + =3.2
Ta có:
k 1 k 1 k
k 1 k
u 2u 2.3.2− 3 2.2− 3.2 VP
Vậy công thức tổng quát của dãy số đã cho là:
n 1 n
u =3.2 − ( n∀ ∈¥*) b) Ta có: 10n + n , n∀ ∈¥
Bài 4: Xét tính đơn điệu của các dãy số sau:
n n
2
Giải:
2 2
2 2
a) u u
n 1 n 1 n 2n 2
n 1 1
n 1 n 2n 2
+
Vây dãy số đã cho giảm
b) Ta có:
n 1 n
n 1 n
2 1 2 2 1
+ +
Vây dãy số đã cho tăng
Bài 5: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:
n 2n 1
1 a) u 2n 1 b) u
n n 1 1
3
−
+
Giải:
a) Với ∀ ∈n ¥*: un =2n 1 1− ≥
Do đó dãy đã cho bị chặn dưới bởi 1
+
¥
Do đó dãy đã cho bị chặn dưới bởi 0, bị chặn trên bởi 1
2 nên bị chặn
c) Với ∀ ∈n ¥*: 3.22n 1− ≥6⇒un ≥6
Do đó dãy đã cho bị chặn dưới bởi 6
d) Với
n
n
¥
b4 Củng cố: Các dạng.
b5 Dặn dó: Bài mới
Trang 7Ngày sọan:
A Mục đích yêu cầu:
a Kiến thức: Học sinh nắm vững:
i Định nghĩa cấp số cộng
ii Số hạng tổng quát của cấp số cộng iii Tính chất của CSC, tổng n số hạng đầu của một CSC
b Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:
i Giải các bài tóan về cấp số cộng
ii Rèn luyện kỹ năng tính tóan
B Lên lớp:
B1 Ổn định và điểm danh:
B2 Bài cũ:
B3 Bài mới: Trọng tâm: Định nghĩa, các tính chất của CSC.
Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa
u + 2u n 1 u + 10u 1 9n, n
=
I Định nghĩa:
1 Định nghĩa:
(1)
Trong đó d là công sai của cấp số cộng Ta có: d = un+1 – un
Nếu d = 0 thì CSC có tất cả các số hạng bằng nhau
Ký hiệu CSC là ÷u ; u ; ; u ; 1 2 n
2 Ví dụ:
a) Xét dãy số tự nhiên lẻ:
1, 3, 5, 7, …, 2n + 1, …
là một CSC với số hạng đầu bằng 1, công sai d = 2
b) Gọi (un) là CSC có số hạng đầu u1= –1, công sai d = –2 Hãy viết
5 số hạng đầu của CSC này
Giải:
u1 = -1, u2 = u1 + d = –1 +(–2) = –3, u3 = –5, u4 = –7, u5 = –9
Vậy ta có cấp số cộng là:
÷ − − − − −1; 3; 5; 7; 9
II Số hạng tổng quát:
1 Định lý:
(2)
Chứng minh:
+ Khi n = 1: Rõ ràng (2) đúng
+ Giả sử (2) đúng với một số tự nhiên bất kỳ n = k≥1, tức là:
uk = + −u1 (k 1 d)
Ta chứng minh (2) cũng đúng khi n = k+1, tức là:
uk 1+ = +u1 k.d
Cm: Ta có:
VT u= k 1+ =uk+ = + −d u1 (k 1 d d u) + = +1 kd VP=
+ Học sinh nêu định nghĩa CSC
+ GV tóm tắt công thức của định nghĩa
+ Cách tìm công sai của CSC?
a) Tìm u1 =?, d = ?
b) Cách tìm?
+ Chứng minh bằng phương pháp quy nạp + Thử với n = 1
+ Thành lập mệnh đề quy nạp?
+ Phải chứng minh ?
CẤP SỐ CỘNG
(un) là CSC⇔un 1+ =un+d (n = 1, 2, …)
un = u1 + (n – 1).d
Trang 8( )
k 1 k 1
k
2
− + +
+ Tìm u1 và d như thế nào?
+ Công thức số hạng tổng quát của CSC?
+ HD: Áp dụng công thức (2) để biến đổi VP về theo VT
+ Học sinh tính uk–1 , uk+1 = ?
+ Cách giải?
+ Công thức (4) cho phép tính tổng n số hạng đầu của CSC theo u1 và d
+ Công thức (5) cho phép tính tổng n số hạng đầu của CSC theo u1 và un
2 Ví dụ: Tính số hạng tổng quát un của cấp số cộng:
1; 4;7;10; ÷
Giải:
Ta có u1 = 1, d = 3 Vậy số hạng tổng quát là:
un = u1 + (n – 1)d = 1 + (n – 1).3 = 3n – 2
III Tính chất các số hạng của cấp số cộng:
1 Định lý:
(3)
Chứng minh: Với k 2≥ , ta có:
k 1 1
k 1 1
k 1 k 1 1
u u k 2 d
u u kd
u u 2u 2kd 2d
u k 1 d u
−
+
− +
2 Ví dụ: Tìm x để các số sau lập thành một cấp số cộng theo thứ tự
đó: 2; x; 4
Giải: Để các số trên lập thành một CSC, ta phải có:
2 4
2
+
= = Vậy CSC là 2; 3; 4
IV Tổng n số hạng của một cấp số cộng:
1 Định lý:
Hoặc:
2 Ví dụ:
a) Tính tổng n số lẻ đầu tiên
b) Tính tổng n số chẵn đầu tiên
Giải:
a) Ta có:
l
n
S 1 3 5 2n 1 1 2n 1 n
2
b) Ta có:
n
S 2 4 6 2n 2 2n n n 1
2
B4 Củng cố: - Định nghĩa CSC?
- Số hạng tổng quát của CSC? Tính chất của CSC
- Công thức tính tổng các số hạng của CSC?
B5 Dặn dò: BTVN trang 99 – 100
k 1 k 1 k
2
− + +
n
S 2u n 1 d 2
n 1 n
n
2
Trang 9Ngày sọan:
C Mục đích yêu cầu:
a Kiến thức: Học sinh nắm vững:
i Định nghĩa cấp số cộng
ii Số hạng tổng quát của cấp số cộng iii Tính chất của CSC, tổng n số hạng đầu của một CSC
b Kỹ năng: Học sinh có kỹ năng:
i Giải các bài tóan về cấp số cộng
ii Rèn luyện kỹ năng tính tóan
D Lên lớp:
B1 Ổn định và điểm danh:
B2 Bài cũ:
B3 Bài mới: Trọng tâm: Định nghĩa, các tính chất của CSC.
Phương pháp: Vấn đáp – Minh họa
u + 2u n 1 u + 10u 1 9n, n
=
Dạng 1: Tìm các yếu tố của một CSC
Áp dụng:
Bài 1: Trong các cấp số cộng sau, hãy tính số hạng un đã chỉ ra:
a) 1;5;9; u÷ =? b)÷ 2 1; 2;3+ − 2; u =?
Giải:
a) Ta có:
n 1 ( ) ( )
17 1
u u n 1 d
u 1 17 1 4 65
u 1,d 4, n 17
b) Ta có:
n 1
1
10
u u n 1 d
u 2 1,d 1 2, n 10
u 2 1 10 1 1 2 10 8 2
Bài 2: Tìm công sai d của CSC hữu hạn, biết số hạng đầu u1 = 1, và
số hạng cuối u15 = 43
Giải:
Ta có:
n 1 ( )
1 n 15
u u n 1 d
43 1 14d d 3
u 1, u u 43, n 15
Bài 3: Trong các dãy số (un) dưới đây, dãy số nào là CSC, khi đó
cho biết số hạng đầu và công sai của nó:
2
3n 2
5
+
Giải:
a) Ta có:
k 1 k 1
k
3 k 1 7 3 k 1 7
3k 7 u
Vậy dãy số đã cho là một CSC với u= –4, u = –1⇒d = 3
+ Nhắc lại các công thức về CSC?
a) Công thức tổng quát của CSC?
+ Tìm u1, d, n = ?
b) Tìm u1, d, n = ?
+ Công thức áp dụng?
+ Tìm u1, un, n = ?
+ Áp dụng tính chất của CSC Học sinh phát biểu tính chất của CSC?
+ Cách tính u1, d ?
Bài tập: CẤP SỐ CỘNG
+ Các yếu tố của một CSC gồm: Công sai, số hạng tổng quát,
tổng n số hạng đầu,…
+ Để làm được các dạng tóan này cần phải thuộc, vận dụng tốt
các công thức (1), (2), (4) và (5) của CSC
Trang 10b) Ta có:
k 1 k 1
k
3 k 1 2 3 k 1 2
u
− +
+
Vậy dãy số đã cho là một CSC với u1 = 1, u2 = 8
5 ⇒ d 3
5
=
c) Ta có:
2
k 1 k 1
k
k 1 k 1
− + + = − + + = + = + ≠
Vậy dãy số đã cho không phải là một cấp số cộng
Bài 4: Xác định số hạng đầu và công sai của CSC, biết:
7 3 2 3 5
Giải:
7 3
u 6d u 2d 8
a)
u 17 u 3
u u 75 u d u 6d 75
2 3 5
1
u d u 2d u 4d 10
u u u 10
b)
u 3d 10 u 1
2u 5d 17 d 3
⇔
Bài 5: Tính tổng 10 số hạng đầu của mỗi CSC sau, biết:
1 1
Giải:
a) Ta có:
10
1 n 10
n
S 5 50 275 2
2
n 10, u 5, u u 50
1
10 1 2
=
Dạng 2: Xác định các số hạng của một CSC:
c) Vì sao dãy số đã cho không phải là CSC?
+ Cách giải?
+ Áp dụng công thức: un = u1 + (n – 1).d
a) Áp dụng công thức?
n = ?, u1 = ?, u10 = ?
b) Áp dụng công thức?
d = ?
Xác định một CSC (hay tìm các số hạng của nó) ta làm như
sau:
*Nếu CSC có số số hạng lẻ thì ta cần đặt số hạng ở giữa là α
và công sai là d = r
Khi đó, giả sử CSC có 3 số hạng thì có dạng:
α - r; α ; α + r
*Nếu CSC có số số hạng chẵn thì ta cần đặt hai số hạng ở giữa
là α - r và α + r và công sai là d = 2r
Khi đó, giả sử CSC có 4 số hạng thì có dạng:
α -3 r; α - r; α + r; α - 3r
* Ngòai ra, để xác định các số hạng của một CSC, ta có thể
dùng tính chất của CSC.