Chuyên đề dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

Chuyên đề dãy số, cấp số cộng, cấp số nhân

17.10+ ⋯ +

1(3 − 2)(3 + 1) +

1(3 + 2)(3 + 4)

=

3 + 1 +

1(3 + 1)(3 + 4) =

- Dãy số dạng khai triển: u1, u2, u3, …, un,…

Trong đó un = u(n) hoặc viết tắt là số hạng đầu, un là số hạng thứ và là

số hạng tổng quát của dãy số

II Cách cho một dãy số:

1 Dãy số cho công thức của số hạng tổng quát:

VD: cho dãy số (Un) với un=

Có u1= = ; u2= ; u3=1; u4= ; u5=

2 Dãy số cho bằng phương pháp mô tả:

VD: cho số = 3,141592654

Tìm u1, u2, u3 lần lượt là số thập phân sau dấu phẩy

Có u1 = 3,1; u2 = 3,14; u3 = 3,141

3 Dãy số cho bằng phương pháp truy hồi:

VD: cho un mà =

= + với n ≥ 2 Tìm u1, u2, u3 (ĐS: u1 = 5; u2 = 13; u3 = 29)

III Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn:

1 Dãy số tăng, dãy số giảm

Định nghĩa 1:

 Dãy số (un) được gọi là dãy số tăng nếu ta có un+1> un ∀ ∈ *

 Dãy số (un) được gọi là dãy số giảm nếu ta có un+1> un ∀ ∈ *.

Chú ý:

Không phải mọi dãy số đều tăng hoặc đều giảm Chẳng hạn, dãy số (un) với un= (-3)n, tức là dãy -3, 9, -27, 81, không tăng và không giảm.

IV Các công thức cần nhớ

(u n ) là dãy số tăng ⟺ un+1 > un với ∀ N*

⟺ un+1 – un> 0 với ∀ N*⟺ > 1 với ∀ N* (un>0)

(u n ) là dãy số giảm ⟺ un+1 < un với ∀ N*

⟺un+1 – un< 0 với ∀ N*⟺ < 1 với ∀ N* (un>0)

2 Xác định số hạng tổng quát của dãy số cho bởi hệ thức truy hồi

Ta có: = = ( ) = − + Suy ra

Chứng minh ( ) < , ∀

= 1 < 4 Giả sử < , é = + < + =4 Vậy 0 < < 4 , ∀

C CẤP SỐ CỘNG

I Định nghĩa:

Cấp số cộng là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn) mà trong đó, kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước

2

III Số hạng tổng quát

Định lí 2: Nếu một cấp số cộng có số hạng đầu và công sai thì số hạng tổng quát của nó được xác định theo công thức sau:

= + ( − 1)

IV Tổng số hạng đầu tiên của một cấp số cộng

Định lí 3: Giả sử ( ) là một cấp số cộng Với mỗi số nguyên dương , gọi

2 Chứng minh một dãy số là cấp số cộng

Phương pháp:

 Để chứng minh ba số a, b, c theo thứ tự lập thành một cấp số cộng ta chứng minh + = 2

 Để chứng minh dãy số ( ) lập thành một cấp số cộng ta chứng minh − không đổi với mọi n=2, 3, …

VD 1: Cho dãy số ( ) như sau = 6 − 5, với mọi n=1,2, Chứng minh rằng dãy số đó là một cấp số cộng Hãy xác định số hạng thứ

2009 của dãy số đã cho và tìm

Giải

2 sin + 2 sin = 2.2 sin ⇒ sin + sin = 2 sin

Do đó sin , sin , sin lập thành cấp số cộng

3 Chứng minh hệ thức liên quan đến cấp cộng

4− 1

= 4.4

3 + 2 +

2 − 13.2

= ( ) = 372 c) = + + + ⋯ +

= ( + + ⋯ + ) − ( + + ) = −

= 30.4 + 30

. − 3.4 + 3 1 = 555 − 15 = 540 d) Gọi = 23 ( ≥ 1)

= 3 (nhận cả hai nghiệm) Vậy với x=2 hoặc x=3 thỏa mãn điều kiện đầu bài

b) = 5

= 2 + 5 ⟺

+ 8 = 5 ++ 12 = 2( + 5 ) + 5 ⟺

= 2

= 2 Suy ra = 4 [2 + (8 − 1) ] = 72

9

a) Tìm cấp số cộng mà tổng ba số hạng đầu bằng 27, và tổng các bình phương của ba số hạng đó bằng 275

b) Tổng số hạng đầu tiên của một cấp số cộng bằng = 3 + 4 Tìm cấp số cộng đó

Giải

a) Theo bài ra ta có hệ phương trình:

+ + = 27 + + = 275 Ngoài ra ( ). = 27 hay + = 18

Giải ra ta được = 9 Do đó:

+ = 18 + = 194 ⟺

= 5

= 13

⟺ − = − ⟺ 2 = +

Vậy ; ; lập thành một cấp số cộng

12 Cho phương trình: + 3 − (24 + ) − 26 − = 0 Tìm hệ thức liên hệ giữa m và n để 3 nghiệm phân biệt x x x1, 2, 3 lập thành một cấp số cộng?

13 (ĐH Thương mại – 2000) Chứng minh rằng nếu tam giác ABC có

cot , cot , cot theo thứ tự lập thành một cấp số cộng thì , , cũng lập thành một cấp số cộng

⇔ = +

⇔ 2( + − ) = + − + + − ⇔ 2 = + Vậy , , cũng lập thành một cấp số cộng

14 (ĐH Nông Nghiệp 1,1995) Tam giác ABC có ba cạnh , , lập thành

n n

n n

3 2

5 Cho tam giác ABC cân tại A, có cạnh đáy BC, đường cao AH, cạnh bên AB theo thứ tự đó lập thành một cấp số nhân Hãy tính công bội q của cấp số nhân đó?

1

2 − 11

2 − 1

= 1398120,333