Sức bền vật liệu - Chương 12

Ta có thể thấy rõ sự mất ổn định khác xảy ra của hệ đàn hồi trong các trờng hợp sau: Hình 3: Đầu công sôn có mặt cắt hình chữ nhật hẹp chịu uốn phẳng, khi P>Pth thì dầm bị mất ổn định,

Chơng 12

ổn định 12.1 Khái niệm cơ bản Trong thực tế có nhiều bài toán mà việc kiểm tra bền và cứng hoàn toàn bảo

đảm, song hệ vẫn bị phá huỷ, ngời ta gọi nguyên nhân đó là sự mất ổn định Sự mất ổn định của một thanh trong công trình, một chi tiết máy trong cơ cấu có thể dẫn đến sự phá hoại của cả công trình hay cơ cấu máy Để có khái niệm về sự mất ổn định của một hệ đàn hồi ta xét thí dụ sau:

Xét một thanh có chiều dài l, giả sử chiều dài l của thanh lớn hơn nhiều lần so với kích thớc mặt cắt ngang của nó Thanh bị ngàm ở một đầu còn đầu tự do chịu tác dụng bởi lực P dọc trục (thanh chịu nén đúng tâm)

* Khi lực P còn nhỏ P < Pth (Pth phụ thuộc bản chất vật liệu) thì thanh chịu nén

đúng tâm Nếu ta tác dụng vào thanh theo phơng ngang lực vô cùng bé R thì thanh sẽ bị lệch khỏi vị trí cân bằng, khi bỏ lực R thanh lại trở về vị trí ban đầu Trờng hợp này ta nói thanh ở trạng thái cân bằng ổn định

* Ta tăng dần lực P lên, khi P = Pth thì thanh vẫn thẳng song nếu tác dụng vào thanh lực ngang R thanh sẽ bị cong đi và khi bỏ lực R thanh không trở về vị trí ban đầu nữa, ta gọi đây là trờng hợp cân bằng không ổn định (cân bằng phiếm

định) ở trờng hợp này mặc dù vật liệu vẫn làm việc trong giai đoạn đàn hồi (Pth

< Pđh) nhng thanh đang ở trong trạng thái nguy hiểm

* Ta tiếp tục tăng lực P, khi P > Pth thì không cần tác dụng lực R mà thanh vẫn

bị cong đi, trờng hợp này ta gọi là sự mất ổn định

60

P

R

P < Pth

R

P = Pth P > Pth

Hình 10-1

Nh vậy hệ đàn hồi cũng có những trạng thái cân bằng khác nhau tơng tự vật rắn Để có sự so sánh giữa chúng ta xét một vật rắn có hình cầu và nặng nh hình vẽ: Khi vật đợc đặt ở vị trí thấp nhất của mặt lõm thì vật ở trạng thái cân bằng ổn

định, còn khi vật đợc đặt ở vị trí cao nhất của mặt lồi thì vật ở trạng thái cân

bằng không ổn định (cân bằng phiếm định)

Ta có thể thấy rõ sự mất ổn định khác xảy ra của hệ đàn hồi trong các trờng hợp sau:

Hình 3: Đầu công sôn có mặt cắt hình chữ nhật hẹp chịu uốn phẳng, khi P>Pth thì dầm bị mất ổn định, lúc này dầm chịu uốn + xoắn

Hình 4: ống tròn có chiều dày chịu áp lực p đều theo phơng hớng tâm từ ngoài vào, khi p > pth thì ống mất ổn định và bị méo, lúc này ống ngoài chịu nén còn chịu uốn

Khi mất ổn định (tải trọng lớn hơn tải trọng tới hạn), biến dạng của hệ tăng lên rất nhanh Ví dụ xét thanh chịu nén nh hình 5, ta thấy:

P = 1,010Pth thì f = 9%l

P = 1,015Pth thì f = 22%l

Ta thấy rằng khi bị mất ổn định thì công trình làm việc ở trạng thái không bính thờng và có thể bị phá hỏng Do vậy mà khi thiết kế ngoài việc đảm bảo an toàn về độ bền và độ cứng, cần phải kiểm tra sự ổn định của chi tiết máy hay công trình, có nghĩa là phải tính sao cho tải trọng tác động nhỏ hơn tải trọng tới hạn:

ôd k

P

Trong đó: kôđ là hệ số an toàn về mặt ổn định

Nh vậy ta thấy rằng việc giải bài toán ổn định cơ bản là tính đựơc tải trọng tới hạn Pth

P > Pth P < Pth

p

P > Pth f

l

12.2 Xác định lực tới hạn của thanh chịu nén đúng tâm

(bài toán ƠLE) Bây giờ ta sẽ đi nghiên cứu bài toán đơn giản nhất của lý thuyết ổn định, đó là bài toán xác định lực tới hạn của thanh chịu nén đúng tâm (bài toán Ơle) Đây cũng là trờng hợp mất ổn định thờng gặp đối với các bộ phận của công trình Xét một thanh thẳng liên kết khớp tại hai đầu, tại đầu có gối tựa di động đặt lực P, lực P gây nén đúng tâm Khi lực P đạt đến một giá trị tới hạn P = Pth thì thanh bị cong đi, ta giả sử thanh có dạng cong nào đó và nó vẫn còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi Ta nhận thấy rằng giả sử nếu hai đầu gối tựa là khớp cầu thì trục thanh sẽ cong đi

trong mặt phẳng có độ

cứng nhỏ nhất Vấn đề

đặt ra là ta phải xác

định đợc lực tới hạn đó

Xét vị trí tại mặt cắt cách gối trái một đoạn z, dầm có độ võng y, bỏ qua trọng lợng bản thân của thanh ta tính đợc mô men uốn tại mặt cắt đó là:

( )z P th y( )z

Theo giả thiết, khi mất ổn định vật liệu vẫn còn làm việc trong giai đoạn đàn hồi cho nên ta có thể sử dụng phơng trình vi phân gần đúng của đờng đàn hồi của dầm chịu uốn

( ) ( )

min

''

EJ

M

Thay (10-2) vào (10-3), ta có:

( ) ( )

min

''

EJ

y P

Hay:

( ) ( ) 0

''

min

=

EJ

P

Đặt:

min

2

EJ

P th

=

Từ (10-5) và (10-6), ta thấy phơng trình vi phân của đờng đàn hồi có dạng:

( ) ( ) 0 ''z + 2y z =

Giải phơng trình vi phân (10-7) này cho ta nghiệm tổng quát:

( ) C z C z

Ta nhận thấy khi bị mất ổn định, thanh bị uốn cong đi cho nên y(z) phải là hàm

62

l

f z

y(z)

z

y

Hình 10-6

khác không (y( )z ≠0), điều kiện này cho phép ta xác định đợc lực tới hạn Pth Trong biểu thức (10-8) C1 và C2 là các hằng số tích phân, chúng đợc xác định nhờ các điều kiện liên kết của thanh:

Khi z = 0 thì y=C1.0+C2.l=0 (10-9)

Khi z = l thì y=C1sinαl +C2cosαl =0 (10-10)

Từ điều kiện (10-9) ta có C2 = 0, do vậy phơng trình y có dạng:

z C

Từ điều kiện (10-10) ta có:

0 sin

Trong biểu thức trên ta thấy, nếu C1 = 0 thì thanh vẫn thẳng (y( )z =0) tức là thanh cha bị mất ổn định, do vậy trái với điều kiện ban đầu Do đó cần phải có:

π α

αl =0 ⇒ l =n

Từ đây suy ra:

l

nπ

Thay (10-12) vào (10-11) có:

l

n C

1

Ta thấy phơng trình đờng đàn hồi có dạng hình sin Thay(10-12) vào (10-6) ta

có lực tới hạn:

2 min 2 2

l

EJ n

Với những giá trị khác nhau của n (n = 1,2,3…), lực tới hạn trong biểu thức (10-14) có những giá trị khác nhau ứng với các dạng đờng đàn hồi (10-13) khác nhau Ta có dạng đờng đàn hồi nh hình vẽ:

Thực tế thì lực P bao giờ cũng tăng từ giá trị 0 đến những giá trị nhất định, do vậy mà khi n = 1 thì P đạt giá trị là nhỏ nhất thanh đã bị mất ổn định, do vậy ta

l

n = 1 P

l/2

n = 2 P

l/2

l/3

n = 3 P

l/3 l/3

Hình 10-7

chỉ cần xét trờng hợp này (n = 1) Vậy công thức xác định lực tới hạn (10-14) có thể viết lại nh sau:

2 min 2

l

EJ

Chú ý: Khi P có giá trị lớn hơn Pth tính theo (10-15) dầm có biến dạng rất lớn cho nên ta không thể dùng đợc phơng trình gần đúng của đờng đàn hồi nữa do vậy các nghiệm của phơng trình (10-7) ứng với n = 2, 3 là vô nghĩa và hằng số C1 trong (10-13) không xác định

Xét về lý thuyết, nếu thanh bị mất ổn định và đờng đàn hồi có dạng n nửa bớc sóng hình sin thì lực tới hạn Pth tăng n2 lần so với giá trị lực tới hạn nhỏ nhất min

th

P

Do vậy thực tế để tăng tính ổn định của thanh chịu nén đúng tâm (tăng Pth) thì

ta đặt thêm gối tựa tại các điểm uốn của đờng đàn hồi, tất nhiên là số lợng gối tựa và vị trí của nó phải không

ảnh hởng đến điều kiện làm việc

bình thờng của công trình Ví dụ

đối với thanh chịu nén đúng tâm

đợc đặt lên 2 gối tựa, nếu ta đặt

thêm một gối tựa tại giữa nhịp thì

lực tới hạn tăng lên gấp 4 lần và

nếu ta đặt thêm 2 gối vào những

điểm ở vào 1/3 nhịp thì lực tới

hạn tăng lên gấp 9 lần…(hình vẽ)

Công thức (10-15) đợc gọi là công thức tính lực giới hạn Pth của Ơle (Bài toán

Ơle đợc ông giải năm 1774)

Công thức trên sử dụng để tính lực tới hạn của các thanh có 2 đầu liên kết khớp Với những thanh có 2 đầu liên kết khác nhau ta cũng có thể xác định đợc lực tới hạn bằng cách tính toán tơng tự Các kết quả tìm đợc cho thấy công thức xác định lực tới hạn cho các loại thanh có liên kết khác nhau có thể viết dới dạng chung nh sau:

2 min

2 2

l

EJ m

Hay:

( )2 min 2

l

EJ

P th

à

π

Trong đó

à

1

=

m là hệ số phụ thuộc vào loại liên kết ở hai đầu thanh Ta nhận thấy m chính là bằng số nửa bớc sóng hình sin của đờng đàn hồi khi thanh bị mất

ổn định Hình vẽ sau (Hình 10 - 9) giới thiệu một số thanh có các liên kết khác nhau thờng gặp và các trị số của m và à tơng ứng:

64

Hình10- 8

l/2

P

l/2

l/3

P

l/3 l/3

P

l

m =1/2

à = 2

P

l/4

m =2

à = 1/2

l/4 l/4 l/4

P

l/2

m =2

à = 1/2

l/2

P

m =1.43

à = 0.7

0.7l

P

m =1/2

à = 2

l

Hình 10 - 9

12.3 ứng suất tới hạn và giới hạn áp dụng công thức ƠLE Sau khi đã tính đợc lực tới hạn Pth ta có thể tính đợc ứng suất tới hạn σth của thanh chịu nén Ta biết rằng khi P đạt đến giá trị tới hạn P = Pth thì thanh vẫn có dạng thẳng nh ban đầu nên nó vẫn chịu nén thuần tuý và do vậy ứng suất tới hạn

đợc tính theo công thức:

( )l F

EJ F

P th th

2 min 2

à

π

Hay:

( )2

2 min 2

l

i E th

à

π

Với:

F

J

F

J

min = , đợc gọi là bán kính quán tính cực tiểu của mặt cắt ngang

Đặt:

min

i

l

à

λ = (10-20) và đợc gọi là độ mảnh của thanh, ta có công thức tính ứng suất tới hạn:

2

2

λ

π

Ta thấy độ mảnh λ phụ thuộc vào hình dáng mặt cắt ngang, độ dài thanh và

điều kiện liên kết ở hai đầu của thanh Trị số λ càng lớn thì thanh càng dễ mất ổn

định (chính vì vậy mà ngời ta gọi λ là độ mảnh của thanh) Nh ta đã biết các công thức Ơle để tính lực tới hạn và ứng suất tới hạn đợc thành lập trên cơ sở giả thiết vật liệu tuân theo định luật Húc Do vậy mà chúng chỉ đúng trong trờng hợp ứng suất trong thanh nhỏ hơn giới hạn tỉ lệ, tức là vật liệu vẫn làm việc trong giai

đoạn đàn hồi Dựa vào biểu thức (10-21) ta thấy σth là một hàm số hypebol đối với λ (hình vẽ), song ta không sử đợc toàn bộ đờng cong này vì nếu λ càng nhỏ thì σth càng lớn và nó sẽ vợt qua giới hạn đàn hồi, mà bài toán Ơle chỉ giải đợc trong trờng hợp σ ≤th σtl

Ta có điều kiện áp dụng của công thức Ơle là:

tl

E

σ λ

2

2

(10-22) Hay:

tl

E

σ

π

Đặt:

tl

E

σ

π

Vậy điều kiện để áp dụng công thức Ơle là:

0

λ

Nghĩa là đờng hypebol Ơle chỉ đúng khi λ ≥λ0 Trong đó λ đợc tính theo (10-23) và λ0 đợc tính theo (10-24) Ta chú ý rằng độ mảnh λ0 hoàn toàn chỉ phụ thuộc vào vật liệu Ví dụ nh đối với thép CT3 có E = 2,1.107N/cm2 và

2

tl =

σ thì λ0 ≈100, ngời ta đã tính đợc đối với gỗ thông có λ0 ≈75 và

đối với gang có λ0 ≈80

Những thanh có λ >λ0 đợc gọi là những thanh có độ mảnh lớn, còn những thanh có λ <λ0 đợc gọi là những thanh có độ mảnh vừa và nhỏ Đối với những thanh có độ mảnh vừa và nhỏ thì ta không thể dùng các công thức Ơle để tính ổn

định đợc Hình vẽ trên (Hình 10-10) biểu diễn mối quan hệ giữa σth và λ, đó là một đờng hypebol Ơle, khi λ <λ0 thì quan hệ này không còn đúng nữa (đờng nét đứt)

Đối với những thanh có độ mảnh vừa và nhỏ (λ <λ0) thì khi thanh bị mất ổn

định vật liệu làm việc ngoài giới hạn đàn hồi tức là vật liệu đã qua giới hạn tỷ lệ

và đi vào miền dẻo, miền này ứng với λ >λ1 và λ <λ0 Trong miền này ta sử dụng công thức thực nghiệm của Iasinski, bằng một loạt thí nghiệm Iasinski cho rằng ứng suất tới hạn trong miền dẻo σth phụ thuộc λ theo đờng thẳng sau (Hình

66

λ

0

σth

σtl

λ0

Đ ờng hypebol Ơle

Hình 10 - 10

σth =a−bλ (10-26) Với a, b là các hằng số phụ thuộc tính chất của vật liệu và đợc xác định bằng thực nghiệm

Khi λ <λ1 (thanh có độ mảnh nhỏ) thì đờng Iasinski không còn đúng nữa, lúc này theo đồ thị hình vẽ ta chọn

ch

σ = đối với vật liệu dẻo, còn đối với

vật liệu dòn ta chọn σ =th σb

Khi biết trị số của a, b và σch ta dễ dàng tính đợc λ1 qua liên hệ (10-26) nh sau:

ch

Hay ta có:

b

λ1 = −

Chú ý để nắm vững các quan niệm về độ mảnh của thanh ta có quy ớc:

+ Thanh có λ ≥λ0 là những thanh có độ mảnh lớn

+ Thanh có λ1 <λ<λ0 là thanh có độ mảnh trung bình

+ Thanh có 0<λ ≤λ1 là thanh có độ mảnh nhỏ

12.4 điều kiện ổn định của thanh Để xác định đợc điều kiện ổn định của thanh chịu nén thì bài toán ổn định có thể giải quyết theo hai hớng sau đây:

12.4.1 Tính theo hệ số an toàn về ổn định kôđ

Khi bị mất ổn định thanh vẫn chịu nén đúng tâm, mà điều kiện bền của một thanh chịu nén đúng tâm bởi lực P đặt ở đầu của thanh là:

[ ]n F

P

σ

Trong đó ứng suất cho phép khi nén đợc xác định bằng tỷ số:

λ

0

σth

σtl

λ0

Đ ờng hypebol Ơle

Hình 10 - 11

Đ ờng Iasinski

λ1

σch

[ ]

n n

0

σ

Với σ0 và n là ứng suất nguy hiểm và hệ số an toàn theo điều kiện bền.

Mặt khác thanh còn phải thanh phải thoả mãn điều kiện ổn định, tức là thoả mãn điều kiện sau:

[ ] d F

P

ô

σ

Trong đó ứng suất cho phép về ổn định [ ]σ d đợc xác định bằng tỷ số giữa ứng suất tới hạn σth và hệ số an toàn theo điều kiện ổn định kôđ:

[ ]

ôd

ôd k th

σ

Trong biểu thức trên thì hệ số an toàn về ổn định kôđ thờng chọn lớn hơn hệ số

an toàn về bền n, còn ứng suất tới hạn σth tính theo công thức nào ta phải tuỳ thuộc vào độ mảnh λ của bài toán, cụ thể:

+ Khi λ ≥λ0 thì σth đợc tính theo Euler.

+ Khi λ1 <λ<λ0 thì σth đợc tính theo Iasinski.

+ Khi 0<λ ≤λ1 thì lấy σth = σch đối với vật liệu dẻo và lấy σth = σb đối với vật liệu dòn

12.4.2 Tính theo hệ số giảm ứng suất ϕ

Để tránh phiền phức khi tính bài toán ổn định ngời ta đa ra một phơng pháp thực hành tính ổn định bằng cách lập tỷ số ϕ nh sau:

[ ] [ ] ôd

ôd

k

n th n

0

σ

σ σ

σ

ở đây ϕ luôn luôn nhỏ hơn hoặc bằng đơn vị (ϕ≤ 1) và đợc gọi là hệ số giảm ứng suất, nó đợc thiết lập thành bảng phụ thuộc vào độ mảnh λ, vật liệu và hệ số

an toàn về bền và ổn định Do vậy mà thay việc tìm ứng suất tới hạn σth bằng cách tính độ mảnh λ rồi đa ra loại vật liệu và tra bảng ta sẽ tìm đợc ϕ Từ (10-31)

ta có:

[ ]σ =ôd ϕ[ ]σ n (10-32)

Từ (10-29) và (10-32) ta có công thức kiểm tra về ổn định trong tính toán và thực hành:

[ ]n F

P

σ ϕ

Từ 2 biểu thức (10-27) và (10-33) ta thấy vì ϕ≤1 nên nếu điều kiện ổn định

mà thoả mãn thì điều kiện bền cũng đợc thoả mãn Do vậy mà khi thanh chịu nén thì chỉ cần kiểm tra điều kiện ổn định là đợc Tuy nhiên nếu trên mặt cắt ngang của thanh bị suy giảm cục bộ (mặt cắt ngang bị khoét để bặt bulông hoặc

đinh tán) thì sự suy giảm đó chỉ ảnh hởng đến độ bền còn ảnh hởng không đáng

68

kể đến độ ổn định, do vậy mà ta phải kiểm tra điều kiện bền theo mặt cắt thực còn điều kiện ổn định chỉ cần kiểm tra với mặt cắt nguyên là đợc

Trong các phần ta đã trình bày, ta chỉ xét trờng hợp liên kết của thanh là nh nhau trong 2 mặt phẳng quán tính chính trung tâm của mặt cắt Ví dụ nh nếu là liên kết ngàm thì theo 2 phơng phải ngàm chặt, còn nếu là liên kết khớp thì phải

là khớp cầu Do vậy mà khi bị mất ổn định thanh sẽ bị cong đi trong mặt phẳng

có độ cứng nhỏ nhất, trong các công thức tính toán ta sử dụng trị số mômen quán tính cực tiểu Jmin và bán kính quán tính cực tiểu imin Ngợc lại, nếu liên kết theo 2 phơng không nh nhau (chẳng hạn nh trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất là liên kết ngàm còn trong mặt phẳng có độ cứng lớn nhất là liên kết khớp thì khi bị mất ổn định thanh cha chắc đã cong trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất Cho nên trong quá trình tính toán ta phải chú ý tính độ mảnh λ theo 2 phơng, phơng nào có độ mảnh λ thì phơng đó sẽ bị mất ổn định Trong các công thức tính toán

ổn định ta phải dùng độ mảnh có độ cứng lớn hơn để tính

Từ điều kiện ổn định ta có 3 bài toán tính ổn định đó là:

+ Bài toán kiểm tra độ ổn định

+ Bài toán xác định tải trọng cho phép theo điều kiện ổn định

+ Bài toán xác định kích thớc mặt cắt ngang cho phép của thanh

12.4.3 Trình tự giải bài toán ổn định

* Tính độ mảnh λ theo công thức(10-20):

F J

l i

l

min min

à à

* Nếu bài toán cho hệ số kôđ thì ta phải so sánh λ với λ0 và λ1 để tìm công thức tính ứng suất tới hạn σth rồi viết điều kiện ổn định.

* Nếu bài toán cho [σ]n hoặc cho σ0 và hệ số an toàn n thì từ giá trị của độ mảnh λ ta tra bảng sẽ có đợc hệ số giảm ứng suất ϕ và tính đợc σôđ theo (10-32) rồi sau đó ta viết điều kiện ổn định cho thanh

12.4.4 Các ví dụ

Ví dụ 1: Cho một thanh thép dài 10m, thanh có mặt cắt ngang là hình chữ

nhật kích thớc 6x12cm Trong mặt phẳng có độ cứng nhỏ nhất 2 đầu là liên kết ngàm, còn trong mặt phẳng có độ cứng lớn nhất 2 đầu là liên kết khớp (Hình vẽ) Xác định lực tới hạn và ứng suất tới hạn của thanh, cho E = 2.107N/cm2

P

6cm

P

l

12cm