Sức bền vật liệu - Chương 3

Trong chơng kéo nén, ta đã biết: Qua 1 điểm, nếu dùng mặt cắt ngang cắt qua điểm đó thì xuất hiện 1 thành phần ứng suất pháp, nếu dùng mặt cắt song song với trục thanh thì không có ứng s

Chơng 3Trạng thái ứng suất và thuyết bền

Bài 1 Bài 2 Bài 3 Bài 4 Bài5 Bài6 Bài 7

3.1 Khái niệm chung3.1.1 Khái niệm

Trong chơng kéo nén, ta đã biết: Qua 1 điểm, nếu dùng mặt cắt ngang cắt qua

điểm đó thì xuất hiện 1 thành phần ứng suất pháp, nếu dùng mặt cắt song song với trục thanh thì không có ứng suất, dùng mắt cắt xiên bất kỳ thì xuất hiện cả ứng suất pháp và tiếp Điều đó chứng tỏ, ứng suất tại 1 điểm phụ thuộc vào vị trí mặt cắt đi qua 1 điểm

Xét một vật thể chịu lực bất kỳ Dới tác dụng của ngoại lực, qua một điểm K bất

kỳ trên vật thể, nếu ta dùng các mặt cắt khác nhau đi qua điểm này thì ta sẽ thu

đợc các giá trị ứng suất pháp và tiếp khác nhau Điều đó chứng tỏ ứng suất không những phụ thuộc vào vị trí của một điểm mà còn phụ thuộc vào vị trí của mặt cắt ngang đi qua điểm đó Vậy ta có định nghĩa:

Trạng thái ứng suất tại một điểm là tập hợp tất cả các ứng suất pháp và ứng

suất tiếp trên các mặt cắt khác nhau đi qua điểm đó.

3.1 2 Trạng thái ứng suất của một phân tố.

Để nghiên cứu trạng thái ứng suất tại một điểm A nào đó bên trong vật thể,

ta tởng tợng xung quanh điểm A ta tách ra một phân tố hình hộp vô cùng bé có kích thớc là: dx, dy, dz Vì các cạnh của phân tố là vô cùng bé nên ta có thể coi phân tố là điểm đang xét và ứng suất trên các mặt của phân tố đợc xem nh ứng suất trên các mặt cắt đi qua điểm đó

Trong trờng hợp tổng quát, trên các mặt của phân tố sẽ có 3 thành phần ứng suất Vậy trên toàn bộ phân tố có 9 thành phần ứng suất (vì phân tố là vô cùng bé nên ứng suất pháp trên các mặt song song ta coi là nh nhau) Lý thuyết đàn hồi

đã chứng minh đợc rằng ứng suất tiếp trên hai mặt cắt vuông góc với nhau có cùng chỉ số thì có giá trị bằng nhau(τxy =τyx;τxz =τzx;τyz =τzy) Nh vậy chỉ có 6 thành phần ứng suất độc lập (3 thành phần ứng suất pháp và 3 thành phần ứng suất tiếp)

K

ứng suất pháp σ có kèm theo chỉ số x, y, z ở bên cạnh để chỉ phơng của ứng suất Nó mang dấu dơng (+) khi hớng ra ngoài mặt cắt và ngợc lại thì mang dấu

âm (-)

ứng suất tiếp τ có kèm theo 2 chỉ số, chỉ số thứ nhất chỉ pháp tuyến của mặt chứa ứng suất đó và chỉ số thứ hai chỉ phơng song song với nó Dấu của ứng suất tiếp đợc quy ớc nh sau: Nhìn theo chiều trục không chứa trong tên gọi (2 chỉ số) thấy pháp tuyến ngoài của mặt cắt quay 900 theo chiều kim đồng hồ

đến trùng chiều với nó thì mang dấu dơng (+) và ngợc lại

3.1.3.Phân tố chính

Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh đợc rằng tại một điểm bất kỳ trong vật thể

đàn hồi luôn tồn tại một phân tố mà trên các mặt của nó chỉ có ứng suất pháp mà không có ứng suất tiếp (τ = 0) Phân tố đó đợc gọi là phân tố chính, các mặt của phân tố chính đợc gọi là các mặt chính, phơng pháp tuyến của mặt chính đợc gọi

là phơng chính và các ứng suất pháp trên các mặt chính đợc gọi là ứng suất chính Ký hiệu của các ứng suất chính là σ1 , σ 2 , σ 3 Quy ớc tên gọi theo quy luật

nh sau: σ1 > σ 2 > σ 3 về mặt trị đại số (có kể cả dấu)

3.1.4 Phân loại trạng thái ứng suất: Trong thực tế tuỳ theo lực tác dụng và dạng vật thể mà trên phân tố chính có thể có cả 3 hoặc 2 hoặc 1 ứng suất chính Tuỳ theo tồn tại số lợng các ứng suất chính mà ta phân 3 loại trạng thái ứng suất:

- Trạng thái ứng suất khối (không gian) là trạng thái ứng suất có đủ cả 3 ứng suất chính σ1 , σ 2 , σ 3

- Trạng thái ứng suất phẳng (ứng suất mặt) là trạng thái ứng suất chỉ tồn tại 2

z

y

Vấn đề chủ yếu ở đây là ta phải xác định đợc phơng chính (mặt chính) và ứng suất chính ở đây ta chỉ xét trạng thái ứng suất phẳng và từ đó ta có thể suy ra trạng thái ứng suất đơn Ngoài ra ta sẽ nghiên cứu một số trờng hợp đặc biệt của trạng thái ứng suất khối

3.2 Trạng thái ứng suất phẳng

3.2.1 ứng suất trên mặt cắt xiên

Xét phân tố có các ứng suất trên hình vẽ, phân tố này có các mặt song song với mặt phẳng toạ độ, trên mặt vuông góc với trục z không có ứng suất, còn trên các mặt còn lại tồn tại cả ứng suất pháp và tiếp

Trạng thái ứng suất mà ta biểu diễn trên hình vẽ là trạng thái ứng suất phẳng

Ta xét ứng suất trên một mặt cắt xiên có pháp tuyến tạo với trục x một góc α Tởng tợng dùng một mặt cắt xiên song song với trục z và có phơng pháp tuyến ngoài của mặt cắt tạo với chiều dơng của trục x một góc α để cắt phân tố Xét một phần ta thấy trên mặt cắt xiên xuất hiện ứng suất pháp và ứng suất tiếp

Để đơn giản ta biểu diễn trạng thái ứng suất phẳng bằng hình chiếu của nó (hình vẽ).

Để tìm ứng suất pháp trên mặt cắt xiên, ta chiếu các véc tơ lên phơng của σα(phơng v), ta có:

0cos.sin

sin.cos

sin.sin

cos.cos

=+

−

αατ

αα

ασ

σα

dF dF

dF dF

dF

yx xy

y x

Ta đã biết:

2

2cos1

cos

2

2cos1

sin

2

2

αα

αα

ασ

σσσ

2

y x y

=Tơng tự chiếu lên phơng của τα(phơng u) ta đợc:

0sinsincos

cos

cossinsin

cos

=+

−

−+

−

αατ

αατ

αασ

αασ

τα

.dF

.dF

.dF

.dF dF

yx xy

y x

uv

ασ

+

=

(*)'2

cos2

sin2

(*)2

sin2

cos2

2

xy y

x

xy y

x y x

ατ

ασ

στ

ατ

ασ

σσσσ

α α

Đây là công thức xác định ứng suất trên mặt cắt xiên

* Luật bất biến của ứng suất pháp và luật đối ứng ứng suất tiếp.

Ta khảo sát ứng suất trên mặt cắt vuông góc với mặt cắt xiên, khi đó góc xiên

là α + 900 Ta có:

ατ

ασ

σσσσ

22

y x y x

+

Ta thấy:

σα + σα+90 = σx + σy = const

Vậy ta có luật bất biến của ứng suất pháp: Tổng ứng suất pháp trên 2 mặt vuông

góc với nhau luôn là hằng số.

90 o

Ta có luật đối ứng của ứng suất tiếp: ứng suất tiếp trên 2 mặt vuông góc với

nhau thì có giá trị bằng nhau và có chiều cùng hớng vào cạnh chung hoặc cùng hớng ra xa cạnh chung.

Đối với trạng thái ứng suất đơn có σy = τ xy = 0 nên ta có:

α

στ

ασ

σ

α

α

2sin.2

cos 2

2 2

0 2 cos 2

sin 2

0 α σ

σ

τ α

α τ

α σ

−

=

Giải ra ta có:

2

0

π α

α = ±k

Trong đó k là một số nguyên dơng

Từ biểu thức trên ta thấy rằng α luôn có 2 nghiệm chênh nhau một góc 900

(ứng với k = 0 và k = 1), tức là ta luôn tìm đợc 2 phơng vuông góc với nhau, đó

là 2 phơng chính cần tìm Nh vậy, ta luôn tìm đợc 2 phơng chính của hai mặt chính vuông góc với nhau và với mặt chính không có ứng suất tạo nên 1 phân tố chính Thay các giá trị nghiệm α vào (*) ta sẽ tìm đợc giá trị của ứng suất chính

Ta cũng nhận thấy rằng ứng suất chính cũng chính là ứng suất pháp cực trị Thực vậy, ta đạo hàm bậc nhất σα trong công thức (*) theo α và cho bằng không

(= 0), ta sẽ tìm đợc góc của mặt có ứng suất cực trị cũng chính là góc phơng

chính

y x xy

xy y

x

tg d d

σ σ

τ α

α τ

α σ

σ α

0 2 cos 2

sin 2 2

Thay (**) vào (*) và chú ý một số biến đổi lợng giác:

α

αα

αα

21

12

cos

;21

22

min

y x y

3.2 3 ứng suất tiếp cực trị và phơng của mặt chứa nó

Đạo hàm bậc nhất của ứng suất tiếp τα trong công thức ( )*' theo α và cho bằng 0, ta có:

02

sin.2

cos.2

x d

d

Gọi α 1 là góc hợp bởi phơng của mặt có ứng suất tiếp cực trị với trục x Ta có:

4

2 cot 2

2

0 1

0 1

π α α

α τ

σ σ α

k

g tg

xy

y x

a Phơng trình và cách vẽ.

Mọi trạng thái ứng suất phẳng cũng nh trạng thái ứng suất khối đều có thể biểu diễn bằng đồ thị theo nhiều cách khác nhau, mà một trong những cách biểu diễn thuận tiện nhất và có nhiều ứng dụng trong kỹ thuật là cách biểu diễn bằng vòng tròn Mo Do vậy mà ta sẽ đi nghiên cứu cách biểu diễn trạng thái ứng suất phẳng bằng vòng tròn Mo

Ta đã có công thức xác định ứng suất trên mặt cắt xiên của phân tố là:

+

=

ατ

ασ

στ

ατ

ασ

σσσσ

α

α

2cos2

sin2

2sin2

cos2

2

xy y

x

xy y

x y x

Bình phơng 2 vế (sau khi đã biến đổi phơng trình đầu) ta có:

2 2

2cos2

sin2

2sin2

cos2

2

ατ

ασ

στ

ατ

ασ

σσ

σσ

α

α

xy y

x

xy y

x y

x

Cộng vế với vế 2 phơng trình trên có:

2 2

2

2

y x y

R= σ −σ  +τ Đó chính là vòng tròn Mo ứng suất Mỗi một điểm trên vòng tròn tơng ứng với một mặt cắt xiên và tọa độ của điểm đó chính là giá trị của ứng suất trên mặt cắt xiên đó

* Ta tiến hành dựng vòng tròn Mo nh sau:

- Lập hệ trục tọa độ σ - τ trong đó trục σ là trục hoành và trục τ là trục tung

- Trên trục hoành σ lấy điểm E(σx , 0) và điểm F(σ y , 0).

- Dựng các đoạn ED = τxy và FD'= τyx vuông góc với trục σ

- Nối DD'⇒đoạn DD' cắt trục σ tại C.

- Vẽ vòng tròn tâm C bán kính CD ta đợc vòng tròn Mo ứng suất

b Công dụng của vòng tròn Mo

Trên vòng tròn Mo ta xác định một điểm P(σy , τ xy ) gọi là điểm cực của

σ σ cos2α cos2α sin2α sin2α

ED R

CE R

τα

σσα

Vậy có:

α

σατ

ασ

σσσ

=

−

−+

α

τασ

σατ

αα

αα

=

−+

=

+

=

2sin2

2cos

2sin2cos2

cos2

y x xy

R R

Vậy ta có K(σα , τα) điều phải chứng minh

* Xác định ứng suất chính và ph ơng chính.

Vòng tròn Mo cắt trục σ tại 2 điểm A và B tơng ứng với giá trị ứng suất chính

và cũng chính là ứng suất cực trị Nh vậy 2 điểm A và B thể hiện ứng suất 2 mặt chính cần tìm Nối các tia PA và PB ta có 2 phơng chính Các ứng suất chính sẽ

là σ1 = σ B , σ 2 = σ A , σ 3 = 0.

* Xác định ứng suất tiếp cực trị và ph ơng của mặt chứa nó.

Qua tâm C của vòng tròn, kẻ một tia song song với trục τ cắt vòng tròn tại 2

điểm I và J Hai điểm này thể hiện các mặt cắt có ứng suất tiếp cực đại và cực tiểu Nối PI và PJ ta đợc phơng của mặt có ứng suất tiếp cực trị Rõ ràng là các mặt này nghiêng so với mặt chính một góc 450

Phân tố chính và ứng suất chính là duy nhất không phụ thuộc vào cách chọn

hệ trục tọa độ Tức là nếu ta xoay hệ trục tọa độ đi một góc 900, nghĩa là ta chọn trục σ // y và trục τ // x thì điểm cực P phải lấy tọa độ là (σy , τ yx ).

3.3 Một số trạng thái ứng suất đặc biệt3.3.1 Trạng thái ứng suất trợt thuần tuý

Nếu trên mặt cắt của phân tố chỉ tồn tại các ứng suất tiếp còn ứng suất pháp bằng 0 thì ta nói rằng trạng thái ứng suất thể hiện bởi phân tố đó là trạng thái ứng suất trợt thuần tuý

Đây là một trờng hợp đặc biệt của trạng thái ứng suất phẳng Khi nghiên cứu bài toán xoắn thuần tuý ta sẽ gặp bài toán này

Do ở trạng thái ứng suất trợt thuần tuý có σx = σ y = 0 cho nên vòng tròn Mo

ứng suất sẽ có tâm C trùng với gốc tọa độ 0 Vị trí của điểm P ở trên hay dới trục

σ sẽ tuỳ thuộc vào dấu của ứng suất tiếp τxy

Trên hình vẽ ta thấy các phơng chính tạo với trục x các góc 450 và 1350

= =

=

3.3.2 Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt

Trạng thái ứng suất phẳng đặc biệt là trạng thái ứng suất phẳng mà có một ứng suất pháp bằng không Chẳng hạn nh σx = 0, σ y = σ

min

3.4 Trạng thái ứng suất khối

Ta sẽ khảo sát những mặt cắt xiên có tính chất đặc biệt, tức là ta sẽ khảo sát các mặt cắt song song với một phơng chính thứ 3 ứng suất trên mặt cắt xiên này gồm có 2 thành phần là σα và τα trong đó thành phần τα nằm trong mặt phẳng vuông góc với phơng chính thứ 3

τ

σ

ττ

σy

Khi chiếu lên phơng σα và τα thì ứng suất chính σ3 sẽ triệt tiêu cho nên với mọi vị trí của mặt cắt ta không cần chú ý đến σ3 Do đó ta có thể tính σα và τα theo công thức:

+

=

ασ

στ

ασ

σσσσ

α

α

2sin2

2cos2

2(*)

2 1

2 1 2 1

Ta thấy τα đạt giá trị cực đại khi α = 450 nghĩa là mặt cắt xiên trùng với mặt chéo chính của phân tố Gọi trị số ứng suất tiếp cực đại là τ12

Ta có:

2

2 1

2

3 1

τ = − Vòng tròn Mo ứng suất sẽ đi qua các điểm có tọa độ là σ1 và σ3

C

τ13O

σ2

σ1

σ3

τ13

Việc khảo sát các mặt cắt xiên vuông góc với phơng chính thứ nhất cũng tơng

tự, tơng ứng với các mặt cắt xiên ta vẽ đợc các vòng tròn Mo ứng suất

Lý thuyết dàn hồi đã chứng minh rằng tọa độ của một điểm nằm trong vùng giới hạn của 3 vòng tròn sẽ cho ta giá trị ứng suất trên một mặt cắt xiên bất kỳ (mặt cắt xiên không song song với bất kỳ1 phơng chính nào)

Ta thấy rằng trị số ứng suất tiếp cực đại đối với một trạng thái ứng suất là:

2

3 1 13

3.5 Liên hệ giữa ứng suất và biến dạng.

3.5.1 Định luật Húc tổng quát (biến dạng dài).

Trong chơng kéo nén ta đã xây dựng công thức liên hệ biến dạng dọc tỷ

đối giữa phơng dọc và phơng ngang là:

E E

z z

y x

Gọi biến dạng theo phơng 1 do σ1 , σ 2 và σ3 gây ra tơng ứng là ε11 , ε 12 và ε13

Ta có:

E E

E

3 13

2 12

E

Trong đó ε1 , ε 2 và ε3 là biến dạng tỷ đối theo phơng 1, 2, 3 do cả 3 thành phần ứng suất gây ra

Các biểu thức liên hệ giữa ứng suất và biến dạng nh trên đợc gọi là biểu thức của định luật Húc tổng quát (viết cho phân tố chính).

Trong trờng hợp phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp bất kỳ (tồn tại cả ứng suất pháp và tiếp), thì biểu thức trên vẫn đúng bởi vì lý thuyết đàn hồi đã chứng minh đợc rằng ứng suất tiếp chỉ gây nên biến dạng góc, ảnh hởng không đáng kể

đến biến dạng dài Do vậy ta có thể viết:

àσ

S l

l

45cos

τ

aaγ

B'

Trong phần trợt thuần tuý ta đã có ứng suất theo phơng AC là σ1 = τ và theo

+

=3.5.3 Biến dạng thể tích tỷ đối ( Định luật Húc khối)

Khi phân tố bị biến dạng thể tích của nó cũng bị thay đổi, chủ yếu do biến dạng dài gây nên

Gọi dx, dy, dz là các cạnh của phân tố và V0 là thể tích ban đầu của phân tố, ta có: V0= dx.dy.dz

V V

σσσ

àε

εε

θ = − = + + =1−2 + +

0

0 1

.2

σσσσσσσ

σσ

6

21

σσσ

σ

σtb = + + vào biểu thức (*) ta đợc Utt còn thế năng biến đổi hình dáng Uhd đợc tính theo công thức: Uhd = U - U tt

3.7 Các thuyết bền 3.7.1 Khái niệm chung

Trong các biểu thức kiểm tra bền, muốn xác định đợc ứng suất cho phép ta phải xác định ứng suất nguy hiểm từ thực nghiệm, thờng là thí nghiệm kéo nén

đơn Trong chơng kéo nén, phân tố ở trạng thái ứng suất đơn, chỉ có một thành phần ứng suất chính Ta đã có điều kiện bền là σ = ≤[ ]σ

F

N z

z Trong đó [ ]σ =σn0

đợc xác định bằng các thí nghiệm kéo nén, phá hỏng mẫu

Trong trờng hợp chịu lực phức tạp, không phải chỉ có một thành phần ứng suất mà có 2, 3 thành phần ứng suất chính Ta không thể lấy bất cứ thành phần nào để so sánh với ứng suất cho phép vì thực tế cho thấy nhiều khi các thành phần ứng suất vuông góc với nó có thể làm tăng hoặc giảm độ bền

Nh vậy là ta phải chọn cả 3 thành phần ứng suất chính, nhng việc xác định ứng suất cho phép là rất khó khăn (vì sự phá huỷ vật liệu xảy ra dới tác dụng tổng hợp của các ứng suất theo mọi phơng) Ta phải làm thí nghiệm kéo nén theo

3 phơng với các tỷ lệ khác nhau Điều này không thể làm đợc trong điều kiện

thực tế

51

Do những lý do nêu trên, ta thấy để kiểm tra bền cho trạng thái ứng suất phẳng hoặc khối thì ta phải dựa vào các giả thuyết về sự phá hỏng để có thể chuyển trạng thái ứng suất phức tạp trở về trạng thái ứng suất đơn tơng đơng để

có thể sử dụng đợc kết quả của ứng suất cho phép khi kéo nén Vậy:

Thuyết bền là các giả thuyết về các nguyên nhân cơ bản về sự phá hỏng của vật liệu ở trạng thái ứng suất phức tạp, cho phép ta đánh giá đợc độ bền của phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp khi biết độ bền của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn.

Dựa vào thuyết bền ta có thể chuyển trạng thái ứng suất phức tạp về trạng thái ứng suất đơn tơng đơng Có nghĩa là độ bền của 2 phân tố ứng với 2 trạng thái ứng suất phức tạp và đơn là tơng đơng nhau Ta có định nghĩa trạng thái ứng suất tơng đơng:

đợc xây dựng trên các giả thuyết khác nhau về nguyên nhân phá hỏng của vật liệu Sau đây chúng ta sẽ đi nghiên cứu các thuyết bền thờng dùng

3.7.2 Thuyết bền ứng suất tiếp cực đại

Thuyết bền này do Culông đa ra năm 1773 Thuyết bền này cho rằng nguyên nhân phá hỏng vật liệu của phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp là do ứng suất tiếp lớn nhất của phân tố ở trạng thái ứng suất phức tạp đạt đến ứng suất tiếp nguy hiểm của phân tố ở trạng thái ứng suất đơn

Giả sử khi làm việc dới tác dụng của ngoại lực, ứng suất chính trong phân

tố là σ1 , σ 2 và σ3 Ta đã biết trong phần trạng thái ứng suất khối có:

2

'

' 1 max

σ σ