Sức bền vật liệu - Chương 7

Chơng 7Xoắn thuần tuý thanh thẳng 7.1 Khái niệm cơ bản 7.1.1 Định nghĩa Một thanh chịu xoắn thuần tuý khi trên mọi mặt cắt ngang của nó chỉ có một thành phần nội lực là mô men xoắn MZ..

Chơng 7

Xoắn thuần tuý thanh thẳng

7.1 Khái niệm cơ bản 7.1.1 Định nghĩa

Một thanh chịu xoắn thuần tuý khi trên mọi mặt cắt ngang của nó chỉ có một thành phần nội lực là mô men xoắn MZ.

Ví dụ trong thực tế ta thờng gặp nhiều bộ phận của chi tiết máy hay công trình làm việc ở trạng thái chịu xoắn nh mũi khoan, trục truyền động, các thanh trong kết cấu không gian, dây lò xo

7.1.2 Mô men xoắn ngoại lực.

Ngoại lực làm cho thanh chịu xoắn có thể là những mômen tập trung hoặc mômen phân bố tác động trong những mặt phẳng vuông góc với trục của thanh

và nó thờng đợc cho ở 2 dạng:

* Ngoại lực xoắn phân bố (ví dụ nh mũi khoan khoan vào chi tiết)

* Ngoại lực xoắn tập trung thờng cho ở các dạng sau:

- Ngẫu lực.

- Dời các lực vòng ở các bánh răng, bánh đai .

- Công suất truyền của động cơ N(kw) và tốc độ vòng quay của trục n(vòng/phút) Khi đó mô men ngoại lực đợc xác định nh sau:

+ Điểm đặt các mô men tại các puli truyền lực.

+ Chiều mô men có chiều trùng với tốc độ vòng quay đối với puli chủ

động và ngợc với tốc độ vòng quay đối với puli bị động.

+ Giá trị mô men đợc xác định theo biểu thức:

( )

n

kwN9550M

vòng/phút

=

7.1.3.Mô men xoắn nội lực.

Nội lực khi xoắn thuần tuý là mô men xoắn Mz Mômen xoắn nội lực Mz có

đơn vị là N.m, N.cm… và đợc xác định bằng phơng pháp mặt cắt.

Dấu của Mz đợc quy ớc nh sau: Mang dấu dơng khi nhìn vào mặt cắt của phần

đang xét thấy Mz quay cùng chiều quay của kim đồng hồ Ngợc lại thì mang dấu

Hướng nhìn

Để vẽ đợc biểu đồ nội lực Mz ta cũng phải dùng phơng pháp mặt cắt Trình tự

vẽ biểu đồ mômen xoắn Mz cũng hoàn toàn tơng tự nh khi tiến hành vẽ biểu đồ của các thành phần nội lực khác.

Ví dụ: Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực Mz cho sơ đồ chịu lực sau:

Ta có phơng trình cân bằng:

M1 M– Z1 = 0

⇒ MZ1 = M1 = 200 N.m Nhìn vào mặt cắt ta thấy MZ1 quay ngợc chiều kim đồng hồ Vậy:

B

1

MZ(N.m)

-450200

350+

MZ1 = - 200 N.m + Xét đoạn AC: Dùng mặt cắt 2-2 cắt thanh và khảo sát phần bên trái Ta có ph-

MZ3 = +350 N.m

Biểu đồ MZ đợc biểu diễn trên hình vẽ.

* Nhận xét: Tại chỗ có mô men tập trung (điểm A, B, C, D) biểu đồ mô men xoắn

MZ có bớc nhảy Trị số bớc nhảy chính bằng trị số các mô men xoắn tập trung.

7.2 Xoắn thuần tuý thanh mặt cắt tròn 7.2.1 Thí nghiệm và giả thuyết.

D

M4

MZ3

3 3

A

2 2

B

Xét một mẫu thanh mặt cắt tròn, ta kẻ các đờng song song với trục của thanh

đặc trng cho thớ dọc và kẻ các đờng

vuông góc với trục của thanh đặc trng

cho mặt cắt ngang Các đờng này tạo

nên lới hình ô vuông (hình vẽ).

Tác dụng mô men xoắn M ta thấy

thanh vẫn vuông góc, các đờng song song với trục của thanh bị lệch xiên đi (hình vẽ) Nhng khoảng cách giữa các đờng vòng quanh chu vi, khoảng cách giữa các đ- ờng sinh, đờng kính d của mặt cắt và chiều dài l của thanh không thay đổi.

Qua nhiều lần thí nghiệm ngời ta đa ra các giả thuyết sau:

* Giả thuyết 1: Mặt cắt ngang trớc và sau biến dạng vẫn phẳng và vuông góc

với trục thanh, khoảng cách giữa các mặt cắt ngang không thay đổi.

* Giả thuyết 2: Trong quá trình biến dạng các thớ dọc không tác dụng lẫn

nhau và bán kính mặt cắt ngang vẫn thẳng và có độ dài không đổi

Ngoài ra ngời ta còn giả thiết: Vật liệu vẫn làm việc trong giai đoạn đàn hồi,

tức là tuân theo định luật Húc: τ =G.γ ; σ =Eε

7.2.2 ứng suất trên mặt cắt ngang.

Dựa vào các giả thuyết ta thấy:

- Theo giả thuyết 1 thì trên mặt cắt ngang không có thành phần ứng suất pháp vì khoảng cách giữa các mặt cắt ngang không thay đổi Nh vậy trên mặt cắt ngang chỉ có thành phần ứng suất tiếp.

MM

l

- Theo giả thuyết 2, do các thớ dọc

không tác dụng lẫn nhau nên trên mặt cắt

song song với trục của thanh không thể có

thành phần ứng suất pháp Vậy chứng tỏ

phân tố ở trạng thái ứng suất trợt thuần tuý.

Xét một thanh tròn chịu xoắn thuần tuý (hình vẽ).

Ta tởng tợng dùng 2 mặt cắt 1-1 và 2-2 cắt thanh và tách ra 1 phân tố vô cùng

bé có chiều dài là dz Tại điểm A trên mặt cắt, lấy xung quanh A một phân tố diện tích dF vô cùng bé đợc tạo bởi 2 tia hợp nhau 1 góc dα và 2 vòng tròn đồng tâm có bán kính là ρ và ρ - dρ Phân tố có bề dày là dz (hình vẽ).

Xét 1 điểm K trên phân tố vừa tách ra ta thấy sau khi chịu xoắn thì đờng sinh

IK bị xoay đi thành IK' một góc γ ρ và γρ đợc gọi là góc trợt tơng ứng với bán

kính ρ

Giả sử phơng của ứng suất tiếp τ là bất kỳ nên ta phân nó làm 2 thành phần, một thành phần vuông góc với bán kính và một thành phần song song với bán kính Ta thấy trên mặt cắt ngang chỉ có thành phần ứng suất tiếp vuông góc với bán kính còn thành phần hớng kính thì bằng không (vì theo giả thuyết 2 bán kính không thay đổi) Vậy ta chỉ có thành phần ứng suất tiếp vuông góc với bán kính Trên hình vẽ ta thấy vi phân nội lực tác dụng lên diện tích vô cùng bé dF là

dϕ

MZ

Kdz

τ1τ

τ2

d

2

dz

dGdF.dz

d.G

(**)GJ

Mdz

Đây là công thức xác định ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang.

7.2.3 Biểu đồ ứng suất tiếp và mặt cắt hợp lý.

a Biểu đồ ứng suất tiếp.

=

Dựa vào biểu thức xác định ứng suất tiếp: τρ ρ

z max P

z max

WMRJ

M

Biểu đồ ứng suất tiếp đợc biểu diễn trên hình vẽ.

* Mô men chống xoắn của một số hình đơn giản.

Dựa vào biểu đồ phân bố ứng suất tiếp ta thấy tại chu vi mặt cắt (ρ = ρmax) thì vật liệu làm việc nhiều nhất (do τ = τmax), càng

vào trong thì chịu lực càng ít dần Tới tâm (ρ =

0) thì không chịu lực.

Từ những nhận xét trên mà ngời ta có xu hớng chuyển phần vật liệu phía trong ra ngoài để tăng cờng khả năng chịu lực Đó là mặt cắt có dạng hình vành khăn nh hình vẽ.

⇒ WP = 0,2D 3 (1 -η4 ) Với

D

d

=η

τ

α

dF

σα

( α α)τ α α τ

2

2cos12

2cos1

Ta thấy với α = 0 ⇒ cos2α = 1 ⇒ τα = τmax = τ

Vậy mặt cắt ngang là mặt có ứng suất tiếp lớn nhất

= ϕθ

Trong đó θ là góc xoắn tỷ đối, đó là góc xoắn giữa 2 mặt cắt cách nhau 1 đơn

vị chiều dài.

Từ biểu thức trên có:

dzGJ

Md

P

z

=ϕ

Trong đó ϕ là góc xoắn tuyệt đối và GJP gọi là độ cứng chống xoắn.

Nếu trong một đoạn thanh có chiều dài l và có Mz = const, GJP = const thì:

Nếu trong thanh có nhiều đoạn chiều dài l và trong từng đoạn có Mz = const và

7.2.6 Dạng phá hỏng của thanh tròn chịu xoắn.

Khi xoắn thanh thẳng mặt cắt tròn trong thực tế thờng gặp hiện tợng sau:

- Đối với vật liệu dòn: Đờng phá hỏng là đờng xiên mà tiếp tuyến của nó hợp với trục thanh 1 góc 45 0

ατ

ϕ

- Đối với vật liệu dẻo: Đờng phá hỏng là đờng trùng với mặt cắt ngang.

Giải thích:

Khi xoắn ta thấy các phân tố ở mặt ngoài của thanh là phân tố nguy hiểm nhất Chúng ở trạng thái ứng suất trợt thuần tuý Bằng vòng tròn Mo ta tìm đợc phân tố chính nghiêng một góc 45 0 và góc 135 0 so với phân tố trợt thuần tuý (hình vẽ).

Ta có:

max min

bị phá hỏng do ứng suất kéo σmax=σ1 Đờng phá hỏng có phơng vuông góc với

ph-ơng của σmax tức là hợp với phơng ngang 1 góc 45 0

7.2.7 Điều kiện bền, điều kiện cứng.

Đối với thanh chịu xoắn thì điều kiện bền cũng quan trọng nh điều kiện cứng, cho nên khi tính toán ta phải tính sao cho thanh phải đảm bảo cả 2 điều kiện bền

τ

ττ

τmax ≤ [τ] ứng suất tiếp cho phép [τ] đợc xác định bằng ứng suất nguy hiểm τ0 chia cho

- Theo thuyết bền ứng suất tiếp lớn nhất có: [ ] [ ]τ = σ2

- Theo thuyết bền thế năng biến đổi hình dáng cực đại có: [ ] [ ]

Với điều kiện bền ta cũng có 3 bài toán tính bền (nh trong chơng kéo nén) nh sau: Bài toán kiểm tra bền, bài toán xác định tải trọng cho phép và bài toán xác

định kích thớc mặt cắt ngang.

b Điều kiện cứng.

Các thanh chịu xoắn phải có một độ cứng nhất định, nhất là các trục truyền trong các máy để có thể đảm bảo đợc khả năng làm việc bình thờng Điều kiện cứng đợc xác định trên cơ sở góc xoắn tỷ đối giữa 2 không đợc vợt quá giới hạn cho phép Thờng quy định theo góc xoắn tỷ đối cho phép [θ] Tức là:

θmax ≤ [θ] Trong đó:

+ θmax là góc xoắn tỷ đối lớn nhất (có đơn vị là Rad/m).

+ [θ] là góc xoắn tỷ đối cho phép (có đơn vị là Rad/m).

Góc xoắn tỷ đối cho phép [θ] đợc xác định theo yêu cầu kỹ thuật của chi tiết hoặc là dựa vào các bảng tra Còn góc xoắn tỷ đối lớn nhất θmax đợc xác định nh sau:

Trờng hợp thanh chỉ có một mô men xoắn ngoại lực và có tiết diện không đổi thì ta có:

[ ]θ

P

Z max GJM

Trờng hợp thanh có nhiều đoạn, mỗi đoạn có MZi và GJPi khác nhau thì ta phải tính

Pi

Zi i

GJM

7.2.8 Ví dụ về tính bền cứng cho thanh tròn chịu xoắn

Cho trục truyền chịu lực nh hình vẽ Trục truyền quay với tốc độ n=200v/ph Hãy kiểm tra bền và cứng cho trục truyền nếu cho:

[τ] = 2000 N/cm 2 ; [θ] = 0,35 0 /m ; d = 70 mm ; G = 8.10 N/cm 2

Biết: N1 = 6 kw ; N2 = 26 kw ; N3 = 12 kw ; N4 = 8kw Trong đó bánh 2 là bánh chủ động.

vòng/phút

Ta có:

m.N5,286200

6.9550n

N9550

200

26.9550n

N9550

m.N573200

12.9550n

N9550

m.N382

8.9550

N9550

382573

-* Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực.

Dùng các mặt cắt 1-1 , 2-2 và 3-3 Ta vẽ đợc biểu đồ mô men xoắn nội lực nh hình vẽ.

WM

Ta có:

2 3

2 3

max z P

max z

70,2

955.10d

0,2

MW

Ta có:

Rad/m10

.97,4Rad/cm4,97.10

.0,1.78.10

955.10d

.0,1G

MGJ

4 6

2

4

max z

P

max z max

đợc nữa.

7.3.1.ứng suất.

Bằng lý thuyết đàn hồi ngời ta nhận thấy rằng mặt cắt ngang của thanh chỉ có ứng suất tiếp Luật phân bố ứng suất tiếp đợc biểu diễn trên hình vẽ Đối với những điểm nằm trên các trục đối xứng thì điểm nào càng xa tâm, ứng suất càng lớn, nhng luật biến thiên không còn là đờng bậc nhất nh trong trờng hợp mặt cắt ngang là hình tròn mà nó là một đờng cong Lý thuyết đàn hồi đã chứng minh đ-

z

=

=

=τ ττ

τ1

τmax

2 3

2 2

E

Vậy ta có thể viết:

G u

2

.2

dF udz udv

Trong đó có: dv = dF.dz và v là thể tích của đoạn dz.

Ta đã có công thức tính ứng suất tiếp trên mặt cắt ngang là

G J

M u

p

2

z

G J

M dF

dz G J

M

dU 1

2

1

1 2

2

2 2

2

2

ρρ

0

2.21

Trờng hợp đặc biệt khi MZ và GJP là các hằng số đối với chiều dài l thì ta có công thức nh sau:

P z l

P

z

GJ

l M GJ

dz M U

2

i l

P

z

GJ

l M GJ

dz M U

21

7.5 Tính lò xo xoắn ốc hình trụ bớc ngắn.

Cho một lò xo xoắn ốc hình trụ chịu tác dụng của lực kéo đúng tâm (hình vẽ)

Ta có:

7.5.1.Các thông số xác định lò xo.

- D là đờng kính trung bình của ống lò xo hình trụ.

- d là đờng kính của dây lò xo.

- h là bớc của lò xo.

- α là góc nghiêng của vòng lò xo.

- n là số vòng dây làm việc của dây lò xo.

Ta chỉ nghiên cứu các lò xo hình trụ có bớc ngắn Lò xo đợc gọi là có bớc ngắn khi tỷ số

D

h

là rất bé.

7.5.2.Tính ứng suất trong lò xo.

a Nội lực trong lò xo.

Tởng tợng dùng một mặt phẳng cắt qua trục của ống lò xo tại một vị trí nào đó

và chia lò xo làm 2 phần Ta giữ lại một phần để khảo sát.

Vì lò xo có bớc ngắn nên góc nghiêng α nhỏ Do đó, một cách gần đúng ta có thể coi mặt cắt của dây lò xo là tròn.

Để phần khảo sát vẫn cân bằng ta có nội lực trên mặt cắt của lò xo là:

+ Lực cắt: Qy = P.

α

P

PD

hd

+ Mô men xoắn: Mxoắn =

2P.D

b ứng suất trong lò xo.

Ta thấy cả lực cắt Qy và mô men xoắn Mxoắn

đều gây nên ứng suất tiếp.

- Lực cắt Qy gây nên ứng suất tiếp trong lò xo, một cách gần đúng có thể coi

nh nó phân bố đều Tức là:

Q 2

d

P4F

PF

M

PD8d2

PD

ππ

P

QyD

Mxoắn

M max

τ

Hình vẽ là biểu đồ phân bố τQ và τM Qua hình vẽ ta thấy điểm A là điểm nguy hiểm vì tại đó ứng suất tiếp do lực cắt và mô men xoắn gây nên cùng chiều Khi

=

=

D2

d1d

PD8d

P4d

PD8

3 2

3 A

max

ππ

πττ

Ta có công thức chính xác:

Trong đó τmax có đơn vị là N/cm 2 , N/m 2 … và k đợc xác định bằng công thức thực nghiệm:

1dD

0,25d

Dk

−

+

=

7.5.3.Biến dạng của lò xo.

Gọi độ co, dãn của lò xo là λ Khi lò xo chịu kéo (nén) đúng tâm bởi một lực P

nó sẽ tích luỹ một năng lợng dới dạng thế năng biến dạng đàn hồi U.

Với một thanh tròn chịu xoắn nó sẽ tích luỹ một thế năng biến dạng đàn hồi là:

P

2 z

GJ2

l.M

U=

Dây lò xo, một cách gần đúng có thể coi nh một thanh tròn chịu xoắn có:

32

dJ

;Dnl

;2

PDM

4 P

Gd

nDP4

d

PD8k

π

τ =

Theo định luật bảo toàn năng lợng có: A = U

4

3 2

Gd

nDP42

τmax = 3 ≤

d

PD8.k

Từ điều kiện bền và cứng ta có 3 bài toán tính bền và cứng.

1 Kiểm tra bền (cứng).

2 Chọn tải trọng cho phép P theo điều liện bền (cứng).

3 Chọn tiết diện cho phép theo điều kiện bền (cứng).

7.6 Bài toán siêu tĩnh khi xoắn

4

3

Gd

nPD8

=λ

C

P

=λ

Tơng tự nh khi kéo nén, trong thực tế ta gặp phải trờng hợp, nếu chỉ với phơng trình cân bằng tĩnh học thì không đủ để giải Bài toán nh vậy đợc gọi là bài toán siêu tĩnh Để giải đợc bài toán siêu tĩnh, ta phải lập thêm phơng trình biến dạng dựa trên cơ sở chuyển vị tại một điểm nào đó mà theo kết cấu của nó, ta có thể xác định đợc.

Ta hãy xét ví dụ sau:

Ví dụ: Vẽ biểu đồ mô men xoắn nội lực cho thanh tròn chịu xoắn nh hình vẽ:

A

M = 10 KNmd

A

M d

MB

MA

4

6+

Hay:

0

CB AC

AB

B =ϕ =ϕ +ϕ =ϕ

GJ

a.3MMGJ

a.2M

P

B P

⇔

0M3M3M

Giải phơng trình (2) ta đợc:

KNm6M5

3

Thay vào (1) ta đợc:

KNm4

M5

2

Từ các giá trị phản lực đã xác định đợc ở trên ta vẽ đợc biểu đồ mô men xoắn nội lực nh hình vẽ