Sức bền vật liệu - Chương 8

Khi đó tải trọng được đặt chỉ nằm trên một mặt phẳng của hệ trục toạ độ: - Kéo nén đúng tâm: tải trọng được đặt quy đổi về lực đặt trên trục z.. Giá trị lớn thứ 2 trên giưã cạnh ngắn τ =

Chương 8 Thanh Chịu lực phức tạp

8.1 KHÁI NIỆM 8.1.1 Thanh chịu lực đơn giản:

Các dạng chịu lực của thanh mà ta nghiên cứu ở các chương trước như: kéo, nén đúng tâm, uốn thuần tuý, uốn ngang phẳng và xoắn thuần tuý là những trường hợp chịu lực đơn giản

Khi đó tải trọng được đặt chỉ nằm trên một mặt phẳng của hệ trục toạ độ:

- Kéo nén đúng tâm: tải trọng được đặt quy đổi về lực đặt trên trục z

- Uốn phẳng:

+ Trục thanh bị cong theo mặt phẳng thẳng đứng, tải trọng được đặt trong mặt phẳng yoz là mặt phẳng quán tính chính trung tâm, phát sinh nội lực Mx,

Qy.

+ Trục thanh bị cong theo mặt phẳng nằm ngang, tải trọng được đặt trong mặt phẳng xoz là mặt phẳng quán tính chính trung tâm, phát sinh nội lực My,

Qx.

- Xoắn: Tải trọng là mô men hoặc ngẫu lực nằm trong mặt phẳng xoy, phát sinh nội lực Mz

8.1.2 Thanh chịu lực phức tạp

Tổ hợp các trường hợp tải trọng ta được trường hợp chịu lực phức tạp, khi đó nội lực xuất hiện cả 6 thành phần: Mx , My , Nz , Mz , Qx ,Qy

Trong đó 3 thành phần đầu gây nên ứng suất pháp, 3 thành phần sau gây nên ứng suất tiếp

a.Ứng suất pháp:

Theo nguyên lí cộng tác dụng, các ứng suất pháp do các thành phần nội lực gây nên cùng phương cho nên ta có thể cộng đại số:

x y N z

z

M z

M z

σ = + +

Trong đó: M J y

x

x M

z

x =

σ là ứng suất pháp do mô men uốn Mx gây nên phân bố bậc nhất theo y

x

J

M

y

y

M

z

y =

σ là ứng suất pháp do mô men uốn My gây nên phân bố bậc nhất theo x

F

N z

N

z

z =

σ là ứng suất pháp do mô men uốn Nz gây nên phân bố đều trên mặt cắt ngang

Vậy:

F

N x J

M y J

y

y x

x

σ

b Ứng suất tiếp

Các thành phần ứng suất tiếp không cùng phương cho nên :

τ = τ r( )M z + τ r( )Q x + τ r ( )Q y

Trong đó: ( ) c

x

c x y Q

b J

S Q

y

=

τ là ứng suất tiếp do lực cắt Qy gây nên có phương chiều trùng với Qy

( ) c

y

c y x

Q J h

S Q

x

=

τ là ứng suất tiếp do lực cắt Qx gây nên có phương chiều trùng với Qx

Ứng suất tiếp do Mz gây nên tuỳ theo mặt cắt là hình tròn hay chữ nhật:

Mặt cắt tròn: τ( ) ρ

P

z M

J

M

z = ứng suất tiếp phân bố bậc nhất theo bán kính.

Mặt cắt chữ nhật: Phân bố theo hình hoa thị, có giá trị lớn nhất đạt giữa cạnh dài: max 2

ab

M z

α

τ = trong đó a là cạnh dài, b là cạnh ngắn

Giá trị lớn thứ 2 trên giưã cạnh ngắn τ =1 γτmax

8.2 UỐN XIÊN

8.2.1 Định nghĩa

Một thanh được gọi là chịu uốn xiên khi trên mọi mặt cắt ngang của thanh chỉ có 2 thành phần nội lực là mômen uốn Mx và My nằm trong các mặt phẳng quán tính chính trung tâm của mặt cắt

Ta có thể biểu diễn các mômen uốn Mx và My bằng các véctơ mômen Mx và

y

M nằm trên các trục toạ độ như hình vẽ, hợp các véctơ mômen này ta được

véctơ mômen tổng M, tức là hợp các mômen Mx và My ta được mômen tổng M nằm trong mặt phẳng V chứa trục z (mặt phẳng này không trùng với mặt phẳng quán tính chính trung tâm nào của mặt cắt) Mặt phẳng đó được gọi là mặt phẳng tải trọng, giao của mặt phẳng tải trọng với mặt cắt ngang được gọi là đường tải trọng

2

x

y z

Mx

My

x z

x M

§­êng t¶i träng

MÆt ph¼ng t¶i träng

V

α

Ta thấy rằng đường tải trọng luôn vuông góc với phương của véctơ mômen tổng Mu Do đó ta có một định nghĩa khác về uốn xiên như sau:

Một thanh được gọi là chịu uốn xiên khi trên mọi mặt cắt ngang của nó chỉ

có một thành phần nội lực là mômen uốn nằm trong mặt phẳng chứa trục z nhưng không trùng với bất cứ mặt phẳng quán tính chính trung tâm nào.

Định nghĩa này giúp ta có thể giải thích được tại sao các thanh có mặt cắt là hình tròn không chịu uốn xiên

8.2.2 ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Gọi là góc hợp bởi trục x và đường tải trọng và nếu biểu diễn mômen uốn Mx

và My là véctơ mômen thì ta có:







=

=

α

α

cos

sin

M M

M M

y

x

(7-1)

Ta thấy hệ số góc của đường tải trọng là:

y

x

M

M

tgα = (7-2)

Dấu của các mômen uốn Mx và My được quy ước như trường hợp thanh chịu uốn phẳng, tức là Mx và My được coi là dương khi nó làm căng thớ về phía chiều dương của trục y và x

Tại điểm k(x,y) bất kỳ, ta có:

Mx gây nên ứng suất pháp phân bố bậc nhất theo y và có giá trị: y

J

M

x

x M

z x =

σ

My gây nên ứng suất pháp phân bố bậc nhất theo x và có giá trị: x

J

M

y

y M

z

y = σ

Theo nguyên lý độc lập cộng tác dụng, ta có:

x J

M y J

M

y

y x

x

z = +

Khi sử dụng công thức này ta cần phải chú ý đến dấu của x, y và dấu của Mx,

My Do vậy trong thực tế tính toán để tránh phiền phức người ta dùng công thức

kỹ thuật sau:

x J

M y J

M

y

y x

x ±

±

=

Trong công thức này các giá trị đều lấy giá trị tuyệt đối, còn trước mỗi số hạng lấy dấu dương hay âm tuỳ thuộc vào tác dụng của mômen uốn Mx và My

gây nên ứng suất kéo hay nén ở điểm đang xét

8.2.3 Đường trung hoà và biểu đồ ứng suất

Đường thẳng mà mọi điểm trên đó có ứng suất bằng 0 gọi là đường trung hoà, phương trình của nó là:

0

= + x J

M y J

M

y

y x

x

(7-5) Hay là:

0

−

J

J M

M y

y

x x

y

(7-6) Đặt:

y

x x

y

J

J M

M

tgβ =− (7-7)

Từ (7-2) và (7-7) ta có:

y

x

J

J tg

α

β −= (7-8)

Góc β được coi là dương nếu chiều quay từ trục x đến đường trung hoà là thuận chiều kim đồng hồ, trong trường hợp ngược lại thì lấy dấu âm

x

y z

0

Từ công thức (7-8) ta có một số nhận xét sau:

- Đường trung hoà là đường thẳng đi qua trọng tâm của mặt cắt ngang

- Góc α và β luôn trái dấu nhau, cho nên dấu của tgα và dấu của tgβ luôn ngược dấu nhau (do Jx và Jy là những giá trị luôn dương) Do đó đường tải trọng

và đường trung hoà không bao giờ cùng nằm trong một góc phần tư

- Trong trường hợp tổng quát đường trung hoà và đường tải trọng không vuông góc với nhau Thực vậy, ta có:

y

x

J

J tg

tgα β =− (7-9)

Trong đó tỷ số ≠1

y

x

J

J

Nếu tỷ số =1

y

x

J

J

(tức là Jx = Jy thì đường trung hoà vuông góc với đường tải trọng và bất kỳ trục nào đi qua trọng tâm mặt cắt cũng

là trục quán tính chính Do vậy mặt phẳng tải trọng cũng là một mặt phẳng quán tính chính trung tâm, cho nên sự uốn của thanh không còn là uốn xiên nữa, mà

đó là uốn thuần tuý Đó là trường hợp thanh có mặt cắt ngang là hình tròn hoặc

đa giác đều, những thanh có mặt cắt ngang như vậy thì không bao giờ chịu uốn xiên

Ta thấy rằng những điểm cùng nằm trên một đường thẳng song song với đường trung hoà thì có cùng giá trị ứng suất như nhau Trị số của ứng suất tỷ lệ với khoảng cách đến đường trung hoà Do vậy ta có thể biểu diễn sự phân bố ứng suất trên mặt cắt ngang bằng biểu đồ ứng suất Biểu đồ đó được thể hiện như hình vẽ

Biểu đồ ứng suất là một đường thẳng, miền có ứng suất kéo được đánh dấu dương và miền có ứng suất nén được đánh dấu âm Từ biểu đồ này ta có thể tìm

5

x

y

α

§­êng t¶i träng

§­êng trung hoµ

x 0

+

-C

σmax

σmin

N

σn

được các điểm nguy hiểm trong vùng chịu kéo và chịu nén, những điển này là những điểm nằm xa đường trung hoà nhất

8.2.4 Điều kiện bền của dầm chịu uốn xiên

Trên thanh chịu uốn xiên điểm nguy hiểm là những điểm có ứng suất pháp cực đại và cực tiểu Để thiết lập được điều kiện bền ta phải tìm được điểm nguy hiểm (thuộc mặt cắt nguy hiểm) và tính được ứng suất tại những điểm nguy hiểm đó Muốn vậy ta phải dựa vào biểu đồ Mx và My Vì trên mỗi mặt cắt thường thì Mx và My không cùng đạt đến giá trị cực trị nên việc tìm mặt cắt nguy hiểm là không dễ dàng Do vậy ta phải xác định trị số ứng suất cực trị trên từng mặt cắt và so sánh để tìm ứng suất cực trị

a Mặt cắt bất kỳ: Trên mặt cắt nguy hiểm, việc xác định điểm nguy hiểm rất khó khăn Thường người ta phải tìm được đường trung hoà chung, rồi xác định 2 điểm xa đường trung hoà nhất, đó là 2 điểm ứng suất đạt cực trị Chẳng hạn ta tìm được 2 điểm: K( xK,yK) đạt σ max và điểm N(xN,yN) đạt σmin Ta dễ dàng xác định được giá trị ứng suất cực trị trên toạ độ xoy:

K

y

y K

x

J

M y

J

M

+

=

max

N

y

y N

x

J

M y

J

M

−

−

=

min

Vì σ max ≠ σ min cho nên điều kiện bền viết theo

nguyên tắc chung:

- Đối với vật liệu dẻo: max{σmax,σmin}≤[ ]σ

- Đối với vật liệu dòn: Do [ ] [ ]σ ≠k σ nnên ta có

điều kiện bền:

[ ]k

σ

σ ≤max

σmin ≤[ ]σ n

b Mặt cắt có 2 trục đối xứng: Mặt cắt chữ nhật, chữ I…

Trên mặt cắt nguy hiểm, điểm ứng suất cực trị tại các góc.Ta thấy:

n

k y

ymax = max và xmaxk = xmaxn cho nên:

y

y x

x

W

M W

M

+

=

= min

max σ σ

Theo nguyên tắc chung ta thấy cả vật liệu dẻo và dòn, ta có điều kiện bền sau:

y

y x

x

W

M W

M

σ

x

y

0

+

-K

N

σmax

σmin

xn

yn

y k x k

Từ điều kiện bền trên ta có 3 bài toán tính bền như sau:

- Bài toán kiểm tra bền

- Bài toán xác định tải trọng cho phép

- Bài toán xác định tải trọng cho phép

Ta thấy rằng đối với bài toán xác định kích thước cho phép ta gặp 2 ẩn số là

Wx và Wy Để giải quyết bài toán này ta dùng phương pháp gần đúng bằng cách biến đổi công thức kiểm tra bền, ta có:

[ ]σ

≤













y

x x x

M W

W M W

1

(7-16)

Ta chọn trước tỷ số

y

x

W

W

(việc chọn trước tỷ số này sẽ đơn giản hơn là chọn riêng Wx hoặc Wy)

- Đối với hình chữ nhật chọn: W W b h

y

x = .

- Đối với mặt cắt chữ C chọn: =5÷7

y

x

W W

- Đối với mặt cắt chữ I chọn: =8÷10

y

x W W

c Mặt cắt tròn

Với mặt cắt ngang là hình tròn thì trục nào đi qua tâm mặt cắt cũng là trục quán tính chính trung tâm cho nên thanh có mặt cắt hình tròn không chịu uốn xiên.Vì điểm chịu kéo lớn nhất và chịu nén lơn nhất đều cách đương trung hoà D/2

Cho nên:

x

y x u

u

W

M M W

min max

+

=

=

= σ σ

Ta cũng có điều kiện bền: [ ]k

x

y x

W

M M

σ

2 2 max

8.2.5 Chuyển vị của dầm chịu uốn xiên

Gọi fx và fy là độ võng tại mặt cắt nào đó do Mx và My gây ra thì độ võng toàn phần f sẽ là tổng hình học của các độ võng fx và fy Do đó ta có:

2 2

y

x f f

Trong đó fx và fy được xác định như trong phần uốn ngang phẳng Từ công thức này ta có thể xác định được đường đàn hồi của dầm Nếu đường đàn hồi nằm trong một mặt phẳng thì có uốn xiên phẳng, nếu là đường cong không gian thì có uốn xiên không gian

8.3 UỐN XIÊN+ KÉO (NÉN) 8.3.1 Định nghĩa

Một thanh được gọi là chịu uốn xiên và kéo (nén) đồng thời là thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó có các thành phần nội lực là mômen uốn

Mx, My và lực dọc Nz

Ví dụ như cột điện vừa chịu nén do trọng lượng bản thân và vừa chịu uốn do tải trọng gió Cột chống của cầu treo khi chịu sức căng của dây cáp treo không vuông góc với cột thì thành phần lực dọc theo thân cột gây ra nén còn thành phần vuông góc với cột gây ra uốn

8.3.2 ứng suất pháp trên mặt cắt ngang

Giả sử trên mặt cắt ngang nào đó của thanh chịu uốn đồng thời với kéo (nén)

có thành phần nội lực là Mx, My, Nz và toạ độ của điểm K nào đó trên mặt cắt ngang là x, y ứng suất pháp tại điểm K được tính theo nguyên lý độc lập cộng tác dụng:

P

P1

P2

N x J

M y J

y

y x

x K

z = + +

Dấu của được quy ước như ở các trường hợp trên, để tránh phức tạp về dấu thì ta sử dụng công thức kỹ thuật sau:

F

N x J

M y J

y

y x

x K

z =± ± ±

Việc chọn dấu trong công thức này tương tự như uốn xiên, tức là việc lấy dấu dương (+) hay âm (-) trước mỗi số hạng phụ thuộc vào các thành phần nội lực gây ra kéo hay nén tại điểm đang xét

Trường hợp đặc biệt của bài toán uốn + kéo (nén) đúng tâm là bài toán kéo (nén) lệch tâm

Cho ứng suất bằng 0 ta xác định được đường trung hoà:

F

J M

N x J

J

M

M

x

z y

x

x

−

= Ta thấy đường trung hoà của uốn xiên + kéo ( nén)

song song với đường trung hoà của uốn xiên

8.3.3 Kéo (nén) lệch tâm

Định nghĩa

Một thanh chịu kéo nén lệch tâm là một thanh chịu lực sao cho trên mọi mặt cắt ngang của nó chỉ có một thành phần lực dọc không trùng với trục của thanh nhưng có phương song song với trục của thanh

Thực tế ta thường gặp trường hợp kéo nén lệch tâm như cột đỡ các dầm cầu chạy trong nhà xưởng, các bulông lệch tâm hay là cần trục cố định, các lực đặt lên cần trục là các lực song song với giá của cần trục, hợp của các lực đó là một lực nào đó cũng song song với giá (hình vẽ)

Khoảng cách e từ điểm đặt lực K đến trọng tâm mặt cắt được gọi là độ lệch tâm Tọa độ của điểm đặt lực K đối với hệ trục quán tính chính trung tâm là xk,

yk Bài toán kéo (nén) lệch tâm là một dạng riêng của bài toán uốn + kéo (nén) nên ta có thể hoàn toàn áp dụng công thức tính toán của uốn + kéo (nén) đồng thời Thực vậy, ta có thể dời lực N về trọng tâm của mặt cắt ta sẽ được một

y z

My

Mx

Nz

K

xk

yk

x

thành phần lực dọc Nz = N và 2 thành phần mômen uốn là Mx = N.yk và My = N.xk Thay các trị số vừa tính được vào biểu thức (7-17) ta được:

F

N x J

x N y J

y

y

k x

k

z = . + . + σ

Nếu ta đặt:

F

J

x2 = và

F

J

y2 = , thì ta có:

F

N x J

x N y J

y

y

k x

k

z = . + . +

σ









+ +

= 1 2. 2.

y

k x

k z

i

x x i

y y F

N

Trong đó ix và iy được gọi là bán kính quán tính Ta chú ý rằng khi sử dụng công thức (7-19) ta chỉ cần để ý đến dấu của N, còn dấu của các thành phần x, y,

xk và yk phụ thuộc vào chiều của hệ trục toạ độ đã chọn

8.3.4 Điều kiện bền

Trong trường hợp tổng quát ta phải xác định được vị trí của đường trung hòa để

từ đó xác định được vị trí của các điểm nguy hiểm, sau đó ta sẽ xác định các trị

số σmax và σmin theo (7-17)

Trong trường hợp trên mặt cắt ngang của thanh có lực cắt, nếu bỏ qua ảnh hưởng của ứng suất tiếp thì điều kiện bền nói chung đối với bài toán uốn + kéo (nén) là:

- Đối với vật liệu dẻo:

{σmax,σmin}≤[ ]σ

- Đối với vật liệu dòn:

[ ]σ k

σ ≤max (7-21)

[ ]n

σ

σmin ≤ (7-21')

x

2

P3

P4

y z

e 0

N

K

xk

yk

- Nếu thanh có dạng mặt cắt là hình chữ nhật, chữ I, chữ C ghép …thì các ứng suất σmax và σmin được tính theo công thức:

y

y x

x z

W

M W

M F

N

+ +

±

=

max

y

y x

x z

W

M W

M F

N

−

−

±

=

min

Trong các biểu thức trên, chúng lấy dấu (+) khi Nz gây ra kéo và lấy dấu (-) khi Nz gây ra nén

- Nếu mặt cắt của thanh có dạng tròn thì do thanh có mặt cắt tròn không chịu uốn xiên nên ta có công thức tính ứng suất như sau:

F

N W

M F

N W

M

z x

u

z x

u

±

−

=

±

=

min

max

σ

σ

(7-23)

Trong đó Mu được xác định theo công thức:

2 2

y x

8.4 UỐN XIÊN + XOẮN 8.4.1 Định nghĩa

Một thanh được gọi là chịu uốn và xoắn đồng thời khi trên mặt cắt ngang của thanh xuất hiện các thành phần nội lực là mômen uốn M x , M y và mômen xoắn M z

Trong thực tế ta thường rất hay gặp dạng bài toán này, còn những bài toán xoắn thuần tuý như chúng ta đã biết thường rất ít khi gặp, ví dụ như đối với một trục truyền chịu lực như hình vẽ, ngoài mômen xoắn, trục còn phải chịu mômen uốn gây ra do trọng lượng bản thân, trọng lượng puly và lực căng của các dây đai…

ở đây đối với bài toán uốn và xoắn đồng thời ta chỉ xét thanh có mặt cắt ngang là hình tròn và hình chữ nhật

8.4.2 Uốn và xoắn đối với thanh mặt cắt tròn

T

2T

Ta đã biết rằng, sự uốn đối với thanh tròn bao giờ cũng là uốn đơn, vì nếu trên mặt cắt có 2 thành phần mômen uốn Mx và My thì bao giờ ta cũng có thể biến đổi thành một thành phần Mu nằm trong mặt phẳng quán tính chính trung tâm, thực vậy: Nếu hợp 2 thành phần mômen uốn Mx và My ta sẽ được một thành phần mômen uốn toàn phần Mu:

2 2

y x

Mặt phẳng V cũng là mặt phẳng quán tính chính trung tâm của mặt cắt ngang Như vậy là thanh chỉ chịu uốn thuần tuý đơn và xoắn thuần tuý Các

điểm A và B (giao điểm giữa mặt phẳng tải trọng và chu vi mặt cắt) là điểm nằm cách xa đường trung hoà nhất, ứng suất tại các điểm này là:

u

u

W

M

=

= min

max σ

Trong đó Wu = Wx = Wy là mômen chống uốn của mặt cắt đối với đường trung hoà

Khi thanh chịu uốn và xoắn đồng thời thì ngoài ứng suất pháp do Mu gây ra còn có ứng suất tiếp do Mz gây ra trên mặt cắt ngang Những điểm nằm trên chu

vi của mặt cắt ngang là những điểm có ứng suất tiếp lớn nhất và có giá trị là:

x

z p

z

W

M W

M

2

max = =

z

x

Mx

My

Mz

y

§­êng trung hoµ

Mz

Mu v

§­êng t¶i träng

α

A

B