PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH 7.0 điểm Câu I.. 1,0 điểm Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều, tam giác SCD vuông cân tại S.. Chứng minh rằng SIJ
Trang 1SỞ GD & ĐT QUẢNG NINH
TRƯỜNG THPT TRẦN PHÚ
ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC NĂM HỌC 2010 - 2011
Môn: TOÁN - Khối A
Thời gian làm bài: 180 phút (không kể thời gian phát đề)
I PHẦN CHUNG CHO TẤT CẢ CÁC THÍ SINH (7.0 điểm)
Câu I (2,0 điểm) Cho hàm số y = x3 - 3x + 2 (1)
1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số (1)
2 Chứng minh rằng qua điểm 0
28
;0 27
kẻ được ba tiếp tuyến với (C) trong đó có hai tiếp tuyến
vuông góc với nhau
Câu II (2,0 điểm)
1. Giải phương trình : cot sinsin2cos 2sin( 2)
2
+
x x
x x
2. Giải phương trình: 2 7
3 6 3
3
x
x + x− = +
Câu III (1,0 điểm) Tính tích phân : ∫ +
+
x x
x I
1
2ln 3 ln 1
ln
Câu IV (1,0 điểm) Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình vuông cạnh a , tam giác SAB đều, tam
giác SCD vuông cân tại S Gọi I, J, K lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, CD, SA Chứng minh rằng (SIJ) (⊥ ABCD) Tính thể tích khối chóp K.IBCD
Câu V (1,0 điểm) Cho x, y, z là các số thực dương thỏa mãn: x + y + z = 3 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu
thức:
(2 ) (2 ) (2 )
P
II PHẦN RIÊNG (3 điểm) : Thí sinh chỉ được làm một trong hai phần (phần A hoặc B)
A Theo chương trình Chuẩn
Câu VIa (2,0 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho tam giác ABC có trung điểm cạnh BC là M(3;2), trọng
tâm và tâm đường tròn ngoai tiếp tam giác ABC lần lượt là G(2 2;
3 3), I(1;-2) Xác định tọa độ đỉnh C.
2 Trong không gian với hệ tọa độ Oxyz cho hai đường thẳng 1
:
−
2
:
−
d Chứng minh rằng d và 1 d chéo nhau Lập phương trình đường thẳng 2 ∆ song song với mặt phẳng (P): x y z+ + − =7 0 cắt d , 1 d tại hai điểm sao cho khoảng cách giữa hai điểm đó là 2
ngắn nhất
Câu VIIa (1,0 điểm) Gọi z z là các nghiệm phức của phương trình: 1, 2 2
4 5 0
z z Tính giá trị biểu thức: 2011 2011
( 1) ( 1)
B Theo chương trình Nâng cao
Câu VI.b (2 điểm)
1 Trong mặt phẳng với hệ toạ độ Oxy, cho hình thoi ABCD biết đường thẳng AC có phương trình :
3 0
x y− + = , đỉnh B(4; -1) Điểm M(0;1) nằm trên cạnh AB Xác định tọa độ các đỉnh còn lại của hình thoi
2 Trong không gian tọa độ Oxyz, cho điểm A(0; 0; −2) và đường thẳng : 2 2 3
x+ y− z+
Tính khoảng cách từ A đến ∆ Viết phương trình mặt cầu tâm A, cắt ∆ tại hai điểm B và C sao cho BC = 8.
Câu VIIb (1,0 điểm) Giải hệ phương trình: log (2 2 8) 6
8x 2 3x y 2.3x y
+
… Hết …
Thí sinh không được sử dụng tài liệu Cán bộ coi thi không giải thích gì thêm.
Họ và tên thí sinh: ………; Số báo danh: ………
Trang 2ĐÁP ÁN ĐỀ THI THỬ ĐẠI HỌC - NĂM: 2010 -2011 (Đề số 1)
I-1
(1
điểm)
1) Kháo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số
hàm số có dạng y x= 3−3x+2
* TXĐ: D = R
* Sự biến thiên: 2
' 3 3
y = x − , ' 0 1
1
x y
x
=
+ Dấu y’
x -∞ -1 1 +∞
y' + 0 - 0 +
+ Hàm số đồng biến trên mỗi khoảng (−∞ −; 1) và (1;+∞)
+ Hàm số nghịch biến trên khoảng (−1;1)
+ Hàm số đạt cực đại tại x = -1; yCĐ = y(-1) = 4
+ Hàm số đạt cực tiểu tại x = 1; yCT = 0
*Giới hạn: lim lim 3 1 32 13
→+∞ →+∞
3
3 1 lim lim 1
→−∞ →−∞
0,25
Bảng biến thiên:
x -∞ -1 1 +∞
y'
+ 0 - 0 +
y
4
-∞ 0
0,25
* Đồ thị:
+ Giao với trục Oy (0; 1)
I-2
(1
điểm)
2/ Phương trình đường thẳng ∆ qua điểm M 28;0
27
có hệ số góc k là:
28
y k x
27
Đường thẳng ∆ là tiếp tuyến của (C)
2
28
27
27
0,25
⇔ (x - 1)(18x2 - 10x - 10) = 0 ↔ x1 =1, 2 5 205 3 5 205
Vậy có ba tiếp điểm thuộc (C) với hoành độ tìm được → qua M ta kẻ được ba tiếp tuyến
với đồ thị
0,25
Giả sử (d1), (d2), (d3) là ba tiếp tuyến có hệ số góc tương ứng k1, k2 , k3
Khi x1 = 1→ k1 = 0 tiếp tuyến (d1) y = 0 (trục Ox) →(d2) và (d3) không thể vuông góc với
(d1)
k2 .k3 = ( 2 ) ( 2 ) 2 2 ( )2
3x −3 3x − =3 9 x x − x +x +2x x +1
0,25
=
10 10 10
18 18 18
Vậy (d2) và (d3) vuông góc nhau. 0,25
Điều kiện: sinx≠0,sinx+cosx≠0 0,25
Trang 3PT ⇔ 2cos 0
cos sin
cos sin 2 sin 2
+
x x
x x x
cos 2 cos
0 sin cos
2 sin
x
+
cos sin( ) sin 2 0
4
0,25
2 0
cosx= ⇔x=π +kπ k∈
+
=
+
=
⇔
+
−
−
=
+ +
=
⇔ +
n x
m x
n x
x
m x
x x
3
2 4
2 4 2
4 2
2 4
2 ) 4 sin(
2 sin
π π
π π
π
π π
π
π π
,
3
2
4+ ∈
=
0,25
Đối chiếu điều kiện ta có nghiệm của pt là x=π +kπ
2 ; 3 , , .
2
4 + ∈
0,25
II-2
(1
điểm)
x
Đặt
1 1 ( 1) 2 ( 0) 3
u x
= +
ta có hệ phương trình:
2
2
1 2 3 1 2 3
− =
− =
0,25
⇔
2
( )[3( ) 1] 0
3 6
3 6
u v
− =
hoặc 2
3( ) 1 0
3 6
u v
+ + =
0,25
1 73
(lo¹i)
6
u
u
=
+
+ 2
2
17
(lo¹i)
u v
u
+ + =
− +
0,25
+ Với 1 3 7 1 73 1 73 5
+ Với 1 69 1 69 1 69 7
III - 1
(1
điểm)
∫
+
1 2 e
1
xdx ln x 3 dx x ln 1 x
x ln
+) Tính =∫e + dx
x x
x I
1 1
ln 1
ln
Đặt t 1 lnx t2 1 ln ; 2x tdt 1dx
x
Khi x=1⇒t=1;x=e⇒t= 2
0,25
3
1
t
0,25
Trang 4+) TÝnh I x lnxdx
e 1
2
2 =∫ Đặt ln 2 3
3
dx du
v
=
=
⇒
e
1
+
0,25
= +
=I1 3I2
I
3
e 2 2 2
IV - 2
(1
điểm)
1)
Có: AB SI ( ) ( ) ( )
AB IJ
⊥
2
a
SI = , IJ a= ,
2 2
CD a
SJ = = + Có SI2 + SJ2 = IJ2⇒∆SIJ vuông tại S
+ Trong mp(SIJ) kẻ SH ⊥ IJ ⇒ SH ⊥ (ABCD)
+ Trong tam giác vuông SIJ có:
SH = SI +SJ = a +a = a ⇒ 3
4
a
0,25
0,25
+ Gọi h là khoảng cách từ K đến mặt phẳng (ABCD) Có 1 3
a
h= SH = +
2
IBCD
S = IB CD BC+ = +a a=
+
.
0,25 0,25
V
(1
điểm)
(2 ) (2 ) (2 )
P
+ Có
3
+ + Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z.
0,5
+ Tương tự
(2 ) 3 9
z x y
+
(2 ) 3 9
x y z
+
+ Cộng vế với vế các BĐT cùng chiều ta được:
3
x y z
P≥ + + =
Dấu “=” xảy ra ⇔ x = y = z = 1
0,25
VI.a -1
(1
điểm)
+ (2;4), 7 4;
3 3
= ÷
uuur uuur
+ Gọi A(xA; yA) Có uuurAG=2GMuuur⇒ A(-4; -2)
0,25
+ Đường thẳng BC đi qua M nhận vec tơ IMuuur làm vec tơ pháp tuyến nên có PT:
2(x - 3) + 4(y - 2) = 0 ⇔ x + 2y - 7 = 0 0,25 + Gọi C(x; y) Có C ∈ BC ⇒ x + 2y - 7 = 0
+ Mặt khác IC = IA ⇔ (x−1)2+ +(y 2)2 = 25⇔ −(x 1)2+ +(y 2)2 =25 0,25 + Tọa độ C là nghiệm của hệ phương trình: 2 2 7 0 2
( 1) ( 2) 25
0,25
Trang 5+ Giải hệ phương trình ta tìm được 5
1
x y
=
=
1 3
x y
=
=
+ Vậy có 2 điểm C thỏa mãn là C(5; 1) và C(1; 3)
VI.a -2
(1
điểm)
+ d1 có vec tơ chỉ phương uur1=(2;1; 1)− , d2 có vec tơ chỉ phương: uuur2 =(1;3; 2)−
+ mp(P) có vec tơ pháp tuyến (1;1;1)nr
+ d1 có phương trình tham số
1 1 1
1 2
2
y t
= +
=
= − −
, d2 có phương trình tham số:
2 2 2
1
2 3
2 2
= +
= − +
= −
+ Có uur uur1≠u2 và hệ phương trình
1 1 2
2 3
2 2 2
t t
+ = +
− + =
− = − −
vô nghiệm nên d1 và d2 chéo nhau
0,25
Lấy A(1 2 ; ; 2+ t t1 1 − − ∈t1) d1; B(1+ − +t2; 2 3 ;2 2 )t2 − t2 ∈d2
( 2 ;3 2; 2 4)
uuur
+ Gọi ∆ là đường thẳng đi qua A, B và song song với (P)
Có uuurAB⊥ ⇒nr uuur rAB n = ⇔ −0 t2 2t1+3t2− − −t1 2 2t2 + + = ⇔ = −t1 4 0 t2 t1 1
( 1) (2 5) ( 6) 6 30 62
0,25
AB nhỏ nhất khi 2
6t −30t +62 nhỏ nhất
+ Có
2 2
5 49 49
6 30 62 6
t − t + = t − + ≥
Dấu “=” xảy ra ⇔ 1
5 2
t = Khi đó 2 3
2
+ Với 1 5
2
t = , 2 3
2
t = có 6; ;5 9 , 7;0;7
A − AB= −
uuur
Đường thẳng ∆ đi qua A có một vec tơ chỉ phương ( 1;0;1)ur− nên có phương trình tham
số:
6 5 2 9 2
y
= −
=
= − +
0,25
VII.a
(1
điểm)
Ta có: ∆ = − = − =' 4 5 1 i2 1
2
2 2
= −
Khi đó: ( )2011 ( )2011 ( )2011 ( )2011
0,5
(1 ) (1 )i i 1 i (1 )i
1−i −2i + +1 i 2i
2 i(1 ) 2i i(1 ) 2i i(1 i 1 )i 2
V.b- 1
(1 điểm)
+ Đường thẳng BD đi qua B vuông góc với AC nhận vec tơ chỉ phương uur1(1;1) của AC
làm vec tơ pháp tuyến PT: 1.(x - 4) + 1 (y + 1) = 0 ⇔ x + y - 3 = 0 0,25 + Tọa độ giao điểm I của AC và BD là nghiệm của hệ phương trình:
⇒ I(0; 3).
+ Có I là trung điểm BD nên D có tọa độ D(-4; 7)
0,5
+ Đường thẳng AB đi qua B nhận BMuuur( 4;2)− làm vec tơ chỉ phương nên có vec tơ
pháp tuyến (1;2)nr PT: 1.(x− +4) 2(y+ = ⇔ +1) 0 x 2y− =2 0
0,25
Trang 6+ Tọa độ điểm A là nghiệm hpt:
5
3
x
x y
y
=
− + =
3 3
V.b-2
(1 điểm)
Đường thẳng ∆ đi qua điểm M(-2; 2; -3) có vec tơ chỉ phương: (2;3;2)ur
+ uuurAM( 2;2; 1)− − , [AM uuuur r, ] (7;2; 10)= −
+ ( , ) [ , ] 49 4 100 3
| | 4 9 4
AM u
d A
u
+ +
+ +
uuur r
0,5
+ Gọi r là bán kính mặt cầu (S) Có 2 ( )2 2 2
( , ) 4 3 5 2
BC
+ Phương trình mặt cầu (S): x2 + y2 + (z + 2)2 = 25 0,25
VI.b
(1 điểm)
Pt đầu ⇔y – 2x + 8 = ( )6
2 ⇔ =y 2x thế vào pt thứ hai ta được: 0,25
8x+2 3x x =2.3x ⇔ +8x 18x =2.27x 8 18 2
27 27
3
2
Đặt: t = 2
3
x
÷
, (đk t > 0 ) , ta có pt: t3+ − = ⇔ −t 2 0 (t 1) (t2+ + =t 2) 0 0,5
0 1
0
x t
y
=