LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI : Môn toán được coi là một môn học khó đối với đa số học sinh trường THPT Lang Chánh đặc biệt là phần hình học vì vậy các em thường có suy nghĩ “sợ” môn học này nên khô
Trang 1
PHẦN MỞ ĐẦU
1 LÍ DO CHỌN ĐỀ TÀI :
Môn toán được coi là một môn học khó đối với đa số học sinh trường THPT Lang Chánh đặc biệt là phần hình học vì vậy các em thường có suy nghĩ “sợ” môn học này nên không có hứng thú trong học tập
Trong SGK lớp 11 có trình bày phần “Phép dời hình” đây là phần kiến thức ít
có trong các đề thi tốt nghiệp THPT và các đề thi tuyển sinh vào ĐH và CĐ, nên khi học các em ít quan tâm và không có hứng thú Tuy nhiên đây lại là phần giúp các em rèn luyện tư duy toán học,khả năng tưởng tượng và đặc biệt là giúp các em giải được các bài toán thực tiễn có thể được áp dụng trong cuộc sống hằng ngày Xuất phát từ thực tế trên trong quá trình giảng dạy phần kiến thức này tôi đã nghiên cứu tìm cách giúp các em học sinh năm vững kiến thức đồng thời tạo sự húng thú say mê tìm tòi trong học tập
II PHẠM VI CỦA ĐỀ TÀI :
Phép dời hình
III PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU:
- Sưu tầm nghiên cứu các tài liệu liên quan đến đề tài
- Khảo sát tình hình học tập của học sinh
IV CẤU TRÚC ĐỀ TÀI:
Phần mở đầu.
1 Lý do chọn đề tài
2 Phạm vi của đề tài
3 Phương pháp nghiên cứu
4 Cấu trúc đề tài
Phần nội dung.
A Định nghĩa và các tính chất của phép dời hình
B Định nghĩa một số phép dời hình,
I Phép đối xứng trục
II Phép đối xứng tâm
III Phép tịnh tiến
IV Phép quay
C.Các dạng bài tập áp dụng
I.Dạng 1: Bài toán tìm quỹ tích,tìm điểm
II.Dạng 2: Bài toán chứng minh
III Dạng 3:Bài toán dựng hình
D Kết thúc
1
Trang 2
PHẦN NỘI DUNG :
A ĐỊNH NGHĨA VÀ CÁC TÍNH CHẤT CỦA PHÉP DỜI HÌNH:
I ĐỊNH NGHĨA:
Phép dời hình là một quy tắc để với mỗi điểm M có thể xác định được một điểm M' ( gọi là tương ứng với M )sao cho với hai điểm M', N' tương ứng với M,N thì : M'N' = MN
II TÍNH CHẤT :
1 Phép dời hình không làm thay đổi khoảng cách giữa hai điểm bất kỳ
2 Phép dời hình biến 3 điểm A,B,C thẳng hàng với B nằm giữa A,C thành 3 điểm A',B',C' thẳng hàng với B' nằm giữa A',C'
3 Phép dời hình biến một đường thẳng thành một đường thẳng, biến một tia thành một tia, biến một doạn thănghr thành một đoạn thẳng bằng nó
4 Phép dời hình biến một tam giác thành một tam giácbằng nó, biến một góc thành một góc bằng nó, biến một đường tròn thành mmột đường tròn bằng nó,với tâm đường tròn này biến thành tâm đường tròn kia
5 Tích của hai phép dời hình là một phép dời hình
Mở rộng:
Tích của n phép dời hình là một phép dời hình
B ĐỊNH NGHĨA MỘT SỐ PHÉP DỜI HÌNH :
I PHÉP ĐỐI XỨNG TRỤC:
1 Định nghĩa:
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M một điểm M' đối xứng M qua đường thẳng d gọi là phép đối xứng trục
d : trục đối xứng
Kí hiệu : Đd(M) = M'
2 Chú ý: cho Đd
- Nếu M ∈ d thì M' ≡ M
- Đd Hoàn toàn xác định khi biết trục đối xứng d
- Qua phép đối xứng Đd đường thắng a vuông góc với d sẽ biến thành chính nó
II PHÉP ĐỐI XỨNG TÂM:
1 Định nghĩa:
Phép đặt tương ứng mỗi điểm M một điểm M' đối xứng với M qua O được gọi
là Phép đối xứng tâm
O : Tâm đối xứng
KH : Đo(M) = M'
2 Chú ý: Cho Đo
Trang 3
- Nếu M ≡ O thì M' ≡ O
- Đo hoàn toàn xác định khi biết O
- Mọi đường thẳng qua O đều biến thành chính nó
III PHÉP TỊNH TIẾN:
1 Định nghĩa:
Phép đặt tương ứng với mỗi điểm M, mộtđiểm M' sao cho
MMuuuuur r' =v với vr r≠ 0 được gọi là phép tịnh tiến theo vectơ vr
KH: T M vr( ) =M'; vr
: được gọi là vectơ tịnh tiến
2 Chú ý :
- đường thẳng song song với véc tơ tịnh tiến sẽ biến thành chính nó
- T vr hoàn toàn xác định khi biết vr
IV PHÉP QUAY:
1 định nghĩa:
Cho hai đường thẳng a,b cắt nhau tại O Với mỗi điểm M ta xác định điểm M' như sau: Đa(M) = M1 ; Đb(M1) = M'.Phép đặt tương ứng với mỗi điểm M một điểm M' xác định như trên gọi là phép quay tâm O
Trong đó : O : Tâm phép quay
OM = OM' : Bán kính quay
^MOM' = α : Góc quay
Kí hiệu : QOα
2 Chú ý:
- QOα(O) = O
- Khi α = 180 o thì QOα≡ ĐO
- QOα xác định khi biết O và α
C.CÁC DẠNG BÀI TẬP ÁP DỤNG
I DẠNG 1: BÀI TOÁN TÌM QUỸ TÍCH, TÌM ĐIỂM.
Bài số 1: Cho 2 điểm phân biệt A,B cùng nằm trong nửa mặt phẳng bờ là
đường thẳng d cho trước Hãy tìm trên d một điểm M sao cho tổng AM + MB nhỏ nhất ?
Lời giải
Đd(A) =A' ; Mọi M ∈ d:
AM +MB = A'M + MB
Để AM + MB nhỏ nhất
thì A'M + MB nhỏ nhất
Điều đó xẩy ra khi A',M,B thẳng hàng
Vậy {M} = A'B ∩ d
Bài số 2:Cho góc nhọn xOy và điểm A thuộc miền trong góc này Tìm trên
3
M A'
B A
Trang 4
Ox một điểm B, trên Oy một điểm C sao cho ∆ABC có chu vi nhỏ nhất
Lời giải:
Đox(A) = M;Đoy(A) = N
MN ∩ Ox = {B}
MN ∩ Oy = {C}
→∆ABC có chu vi nhỏ nhất
Chứng minh:
CV ∆ABC = AB + BC +CA
=MB + BC + CN = MN
∀B’∈ Ox , C’∈ Oy ;B’≠ B , C’≠ C
CV ∆AB’C’ = MB’ + B’C’+ C’N > MN
Bài số 3:Cho 2 đường thẳng cắt nhau d và d' , 2điểm A,B không thuộc d,d'
Tìm M ∈d; M' ∈ d' sao cho ABMM' là hình bình hành ?
Lời giải:
Vì MM' = BA ⇒ T BAuuur: M → M'
Mà M ∈ d , nên M' ∈ d''
là ảnh của d qua T BAuuur
vậy {M'} = d' ∩ d''
Do đó ta có cách xác định M,M' :
BA
Tuuur: d → d'' ; d'' ∩ d' = {M'} ;
AB
Tuuur (M') = M ∈ d
Vậy M,M' là 2 diểm cần tìm thoả mãn điều kiện ABMM' là hbh
Bài số 4:
Cho (O;R) và điểm M ∈ (O) Cho đoạn AB trong đó A,B không nằm trên đường tròn cho trước Tìm tập hợp các điểm M' là đỉnh còn lại của hình bình hành ABMM' khi m thuộc đường tròn cho trước
Lời giải:
Vì ABMM' là hbh
nên MM' = BA →TuuurBA (M) = M'
Mà M ∈ (O) nên M' ∈ (O') là ảnh của (O) qua T BAuuur
Vậy {M'} là (O') với (O') là ảnh của (O) qua TuuurBA
Bài số 5:
Cho (O;R) và 2 điểm B,C cố định thuộc (O;R) một điểm A di động trên
x
N C B
M
A
M' M
A
B
d' d'' d
O'
O
M'
M B
A
H D
C
B A
Trang 5
đường tròn đó Tìm quỹ tích trực tâm H của tam giác ABC?
Lời giải:
Kẻ đường kính BD,
vì AH ⊥ BC , DC ⊥ BC → AH // DC (1)
Tương tự : CH ⊥ AB , DA ⊥ AB → CH // DA (2)
Từ (1), (2) → ABCD là hình bình hành
uuur uuur
mà DCuuur
là vectơ cố định ⇒T DCuuuur( )A =H
Mà A ∈(O;R) nên H∈(O';R) là ảnh của (O;R) qua TuuuurDC
Vậy quỹ tích trực tâm H của ∆ABC là (O';R)
Bài số 6 :Cho Mdi chuyển trên nửa đường tròn (O) đường kính AB dựng ra
ngoài ∆AMB một hình vuông MBCD
a) Tìm quỹ tích đỉnh C khi M vạch ra nửa đường tròn nói trên
b) Trên tia Bx vuông góc với AB tai B và nằm cùng phía với nửa đường tròn, lấy O' sao cho: BO' = BO ; C/M OM ⊥ O'C
Lời giải:
a) Ta có : QB-90(M) = C
mà M di chuyển
trên (O;
2
AB
) nên C
di chuyển trên (O1; ' '
2
A B
) (A'B' = AB) sao cho :
(O1) là ảnh của (O)
qua QB-90 (theo gt O1 ≡ O')
b) Vì QB-90 {O;M} = {O';C'} nên OM ⊥ O'C ,
(ta còn suy ra OM = O'C)
II.DẠNG 2: BÀI TOÁN CHỨNG MINH
Bài số 1:Cho ∆ABC trên AB, AC dựng ra phía ngoài các hình vuông ABMN
và ACPQ
a) C/M : NC ⊥ BQ ; BQ = NC
b) Gọi H là trung điểm của BC C/M : AH ⊥ QN
Lời giải:
a) Ta có:
QA90 (N) = B
QA90 (C) = Q
⇒ NC biến thành BQ
5
O'
O
D
C M
B
H
N
M
P Q
C B
A
Trang 6
Qua QA90
Vậy : NC ⊥ BQ
NC = BQ
b) ĐA(B) = (B1); QA90(C; B1) = (Q; N)
Do đó : CB1 ⊥ QN
Mà AH là đường trung bình của tam giác CBB1
nên AH // CB Do đó : AM ⊥ QN
Bài số 2:
Qua tâm G của ∆ABC đều , Kẻ đường thẳng a cắt BC tại M, cắt AB tại N , kẻ đường thẳng b cắt AC tại P và cắt AB tại Q, Đồng thời tạo với a một góc 600 C/M:
Tứ giác MPNQ là hình thang cân
Lời giải:
Ta có :
a ∩ CB = {M}
b ∩ BA = {Q}
mà : QG-120 biến
a thành b (1)
C thành B ; B thành A
⇒ CB → BA (2)
Từ (1), (2) ⇒ M → Q
⇒ GM = GQ
⇒∆GMQ cân
Tương tự: ∆GNP cân ⇒ MQ // NP và NQ = MP
Vậy MPNQ là hình thang cân
Bài số 3:
Cho ABCD là một tứ giác nội tiếp một đường tròn cho trước Từ M,N,P,Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA vẽ các đường thẳng vuông góc với cạnh đối diện tương ứng Chứng minh các đường thẳng này đồng quy
Lời giải:
Theo g/t: MQ // NP
MN // PQ → MNPQ
là hình bình hành
Gọi {I} = MP ∩ NQ
Ta có: ĐI(M) = P
Suy ra ĐI biến MO
thành đường thẳng đi qua P và song song với MO,
Đó chính là đường thẳng PP1 mà MO ⊥ AB ⇒ PP1 ⊥ AB
j
k
G
P Q
M
N
C B
A
c1
j
O
O' I Q
P
N M
D
C
B A
Trang 7
Tương tự :
ĐI : NO → QQ1 , PO → MM1 , QO → NN1
Mà MO,NO,PO,QO đồng quy tại O
Nên PP1, QQ1, MM1, NN1 đồng quy tại O' với ĐI(O) = O'
III.DẠNG 3: BÀI TOÁN DỰNG HÌNH
Bài số 1:
Cho góc nhọn xOy và đường thẳng d cắt Oy tại S Dựng đường thẳng m vuông góc với d, cắt Ox , Oy tại A,B sao cho A,B cách đều d ?
Lời giải:
* phân tích : Giả sử đã
dựng được đường thẳng
m thoả mãn điều kiện
đề bài, Ta có:
Mà B ∈ Oy nên nằm trên
đường thẳng ảnh của Oy qua Đd: O'y'
Suy ra; {A} = O'y' ∩ Ox
* Cách xác định M:
Đd(O) = O' ; Đd(S) = S → Đd(Oy) =O'S → O'S ∩ Ox = {A}
Đd(A) = B m là đường thẳng qua AB
Bài số 2:
Cho hai đường tròn (Q),(Q') và một đường thẳng d Xác định hình vuông ABCD có A,C lần lượt nằm trên (Q), (Q'), còn B,D nằm trên d?
Lời giải:
* Phân tích: Giả sử ta đã dựng được hình vuông ABCD thoả mãn đề bài Suy ra:ĐBD(A) = C ; mà A ∈ (Q) nên C ∈ (Q1) là ảnh của (Q) qua ĐBD
⇒ {C} = (Q1) ∩ (Q')
Từ đó suy ra cách xác định hình vuông ABCD thoả mãn điều kiện đề bài như sau: Đd(Q) = (Q1)
→{C} = (Q1) ∩ (Q') ; Đd(C) = A
Giả sử AC ∩ d = {I} ; trên d lấy B,D sao cho IB = ID = IA =IC
Khi đó ta xác định được hình vuông ABCD
* Biện luận:
- Nếu (Q1)∩ (Q') {C; C'}→ Bài toán có 2 nghiệm
- Nếu (Q1) ∩ (Q') = {C}→ Bài toán có một nghiệm
- Nếu (Q1) ∩ (Q') =φ→ Bài toán vô nghiệm
7
B m
A
O
O' S
d
y x
Trang 8
Bài số 3:
Cho ∆ABC và một điểm P nằm trong tam giác Dựng ∆ cân đỉnh P có đáy song song với BC và có 2 đỉnh làn lượt thuộc AB,AC của ∆ABC
Lời giải:
* Phân tích: Giả sử đã
dựng được ∆PBC thoả mãn
điều kiện đề bài Thế thì :
với IB = IC ta có PI BC
Do đó: ĐPI(B1) = C1
Mà B1∈ AB nên C1∈ A'B'
là ảnh của AB qua ĐPI
Suy ra: {C1} = A'B'∩ AC
* Cách xác định:
Vì BC // B1C1 nên kẻ đường thẳng qua P, vuông với BC (giả sử đường thẳng
đó là d)
Đd(AB) = A'B' ; A'B' ∩ AC = {C1} ; Đd(C1) = B1
Khi đó ta có : ∆PB1C1 là tam giác cần tìm thoả mãn đề bài
Bài số 4:
Cho góc xOy và một điểm A thuộc miền trong góc đó Hãy xác định đường thẳng qua A cắt 0x tại B, cắt Oy tại C sao cho A là trung điểm của BC
Lời giải:
Vì A là trung điểm BC
nên ta có ĐA(B) =C
Vậy ta có cách xác định
đường thẳng qua A cắt
Ox, Oy lần lượt tại B,C
sao cho AB = AC :
ĐA(Ox) = x'
Khi đó x'∩ Oy = {C}
ĐA(C) = B ∈ Ox
Vậy đường thẳng cần tìm là BC
Bài số 5:Xác định hình bình hành ABCD , cho biết 2 đỉnh A,C, còn 2 đỉnh
B,D nằm trên (O;R) cho trước?
Lời giải:
* Phân tích:
vì ABCD là HBH nên
AC ∩ BD = {I} với I
là trung điểm mỗi đường
d
B'
A'
P
C B
A
B
C
A
y x' x
O
I B
O A
Trang 9
Từ đú :
→ B,D là ảnh của
nhau qua ĐI
→ B,D nằm trờn (O') là
ảnh của (O) qua ĐI
* Cỏch xỏc định:
Lỏy trung điểm I của AC , ĐI(O) =(O')
Khi đú: (O') ∩ (O) = {B,D}
Ta cú hỡnh bỡnh hành ABCD thoả món ĐK đề bài
* Biện luận:
- Nếu I thuộc miền trong (O) thỡ XĐ 1 hỡnh bỡnh hành ABCD
- Nếu I thuộc miền ngoài (O) thỡ bài toỏn vụ nghiệm
- Nếu I ∈ (O) thỡ B ≡ D ≡ I suy ra hbh suy biến thành đoạn thẳng AC
IV.BÀI TẬP ĐỀ NGHỊ
Bài số 1:
Cho 2 đường thẳng cắt nhau x,y và 2 điểm A,B khụng nằm trờn x,y Xỏc định
2 điểm C,D lần lượt nằm trờn 2 đường thẳng x,y sao cho tứ giỏc ABCD là hỡnh thang cõn cú AB là cạnh đỏy
Bài số 2:
Cho hai đường trũn đồng tõm O, cú bỏn kớnh lần lượt là R, r (R>r ) Hóy xỏc định đường thẳng qua điểm A nằm trờn (O;r), cắt đường trũn (O;r) tại B, cắt (O;R) tại C,D sao cho : CD = 3AB
Bài số 3:
Cho 2 đường thẳng a, b và (O;R) Xỏc định hỡnh vuụng ABCD sao cho
A∈(O); C ∈ b ; B,D ∈ a
Bài số 4 :
Cho ∆ABC Tỡm điểm M bờn cạnh AB và N bờn cạnh AC sao cho MN // BC
và AM = CN
Bài số 5:
Cho 2 đường thẳng a // b , với một điểm C khụng nằm trờn 2 đường thẳng
đú Tỡm trờn a,b lần lượt 2 điểm A,B sao cho ∆ABC đều
V PHẦN THAM KHẢO:
Mối quan hệ giữa phép đối xứng trục, phép tịnh tiến và phép quay
1 Tích của 2 phép đối xứng trục theo thứ tự có trục là ∆1 và ∆2 song song với nhau là một phép tịnh tiến theo một véc tơ v có phơng vuông góc với 2 trục, có h-ớng từ ∆1 đến ∆2 và có mô đun bằng hai lần khoẩng cách giửa hai trục đó.
2 Tích của 2 phép đối xứng trục theo thứ tự có 2 trục ∆1 , ∆ 2 cắt nhau ở một
điểm O là một phép quay tâm O , góc quay α 2(∆1,∆2).
3 Tích của một phép tịnh tiến và một phép quay góc α là một phép quay góc
9
Trang 10
α
4 Tích cua 2 phép quay có tâm khác nhau, nói chung là một phép quay với góc quay bằng tổng của 2 góc quay của 2 phép quay đã cho ( Đặc biệt đó sẽ là một phép tịnh tiến nếu 2 phép quay đã cho có các góc đối nhau.)
Trang 11
KẾT LUẬN:
Do điều kiện có hạn, nên đề tài này chỉ nhằm mục đích hệ thống hoá một số phép dời hình cơ bản.Đồng thời đưa ra một số dạng toán giải bằng cách sử dụng các phép dời hình nhằm củng cố kỹ năng vận dụng thực hành Qua đó đưa ra cho mỗi phần một số bài toán nhằm củng cố kỹ năng vận dụng, thực hành giúp các em học sinh hệ thống kiến thức
Cuối cùng rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến xây dựng của đồng nghiệp
11