tổ hợp sát suất

Biến cố: a Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu: Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay một hành đọngmà: - Kết quả của nó không đoán trước được - Có thể xác định được tập hợp các kết

Tổng quát: Giả sử một công việc nào đó bao gồm k côngđoạn A1, A2, …, Ak Công đoạn A1 có thể thực hiện theo n1 cách,công đoạn A2 có thể thực hiện theo n2 cách, …, công đoạn Ak cóthể thực hiện theo nk cách Khi đó công việc có thể thực hiệntheo n1.n2…nk cách

Cho 1 tập hợp A gồm n phấn tử và số nguyên k với 0 < k <

n + 1 Khi lấy ra k phần tử của A và sắp sếp chúng theo 1 thứ tự,

ta được 1 chỉnh hợp k của n phần tử của A (gọi tắt là 1 chỉnh hợpchập k của A)

Định lí:

Số chỉnh hợp chập k của 1 tập hợp có n phần tử (0 < n + 1)là:

Ak

n = n(n + 1)(n + 2 )…(n – k + 1) (1)Chú ý:

- Với 0 < k < n thì ta có thể viết công thức (1) dướidạng

(n k)!

!n

Định lí:

Số các tổ hợp chập k của 1 tập hợp có n phần tử (0 < k , n+ 1) là

!k

1kn

2n1nn

!k

A C

k n k n

!n

n

k n

k 1 n

k n k n

n n

k k n k

na b C

0 (quy ước a0 = b0 = 1)

Phần 2: XÁC SUẤT – THỐNG KÊ

I Biến cố và xác suất của biến cố

1 Biến cố:

a) Phép thử ngẫu nhiên và không gian mẫu:

Phép thử ngẫu nhiên là một thí nghiệm hay một hành đọngmà:

- Kết quả của nó không đoán trước được

- Có thể xác định được tập hợp các kết quả có thể xảy

Biến cố A liên quan đến phép thử T là biến cố mà việc xảy

ra hay không xảy ra của A tùy thuộc vào kết quả của T

Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra được gọi làmột kết quả thuận lợi cho A

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A được kí hiệu là ΩA

2 Biến cố của xác suất:

a) Định nghĩa cổ điển của xác suất:

Giả sử phép thử T có không gian mẫu Ω là một tập hữuhạn và các kết quẩ của T là đồng khả năng Nếu A là một biến

cố liên quan với phép thử T và ΩA là tập hợp các kết quả thuậnlợi cho A thì xác suất của A là một số kí hiệu P(A) và được xácđịnh bởi công thức:

P(A) = Ω

Ω

A.Chú ý:

Từ định nghĩa ta suy ra:

- 0 ≤P(A) ≤1

- P(Ω) = 1 , P(φ) = 0.

b) Định nghĩa thống kê của xác suất:

Số lần xuất hiện của biến cố A được gọi là tần số của Atrong N lần thực hiện phép thử

Tỉ số tần số của A với N được gọi là tần suất của A trong Nlần thực hiện phép thử T

II Các quy tắc tính xác suất

1 Quy tắc cộng xác suất:

a) Biến cố hợp:

Cho hai biến cố A và B Biến cố “A hoặc B xảy ra” kí hiệu A

∪B được gọi là hợp của hai biến cố A và B.

Tổng quát:

Cho k biến cố A1, A2, …, Ak Biến cố “Có ít nhất một trongcác biến cố A1, A2, …, Ak xảy ra”, kí hiệu là A1∪A2∪ …∪Ak, đượcgọi là hợp của k biến cố đó

Cho k biến cố A1, A2, …, Ak Biến cố”Tất cả k biến cố A1, A2,

…, Ak đều xảy ra” kí hiệu Cho k biến cố A1 A2…Ak được gọi là giaocủa k biến cố

b) Biến cố độc lập:

Hai biến cố A và B được gọi là độc lập với nhau nếu việcxảy ra của biến cố này không làm ảnh hưởng tới xác suất xảy racủa biến cố kia

Tổng quát:

Cho k biến cố A1, A2, …, Ak , k biến cố này được gọi là độclập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của mỗi biến cốkhông làm ảnh hưởng tới xác suất xảy ra của các biến cố còn lại

c) Quy tắc nhân xác suất:

Nếu hai biến cố A và B độc lập với nhau thì

P(AB) = P(A)P(B)

Tổng quát:

Nếu k biến cố A1, A2, …, Ak độc lập với nhau thì

P( A1 A2 …,Ak) =P(A1)P( A2)…P( Ak)

III Biến cố ngẫu nhiên rời rạc

1 Khái niệm biến cố ngẫu nhiên rời rạc:

Đại lượng X được gọi là một biến cố ngẫu nhiên rời rạc nếu

nó nhận giá trị bằng số thuộc một tập hữu hạn nào đó và giá trị

ấy là ngẫu nhiên, không dự đoán trước được

2 Phân bố xác suất của biến ngẫu nhiên rời rạc:

Giả sử X là một biến ngẫu nhiên rời rạc nhận các giá trị {x1,

x2,…, xn} Để hiểu rõ hơn về X ta thường quan tâm đến xác xuất

Cho X là một biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị là {x1,

x2,…, xn} Kì vọng của X kí hiệu là E(X) là một số được tính theocông thức

Cho X là biến ngẫu nhiên rời rạc với tập giá trị {x1, x2,…,

xn} Phương sai của X kí hiệu là V(X) là một số được tính theocông thức

V(X) = ( x ) p ( x ) p ( xn ) pn

2 2

2 2

 Ta dùng các phép chỉnh hợp – hoán vị và cả tổ hợp (nếu các chữ số có lập lại)

 Nếu trong quá trình sắp xếp; nếu có các chữ số hoặc các số có điều kiện thì tachọn trước và các chữ số có tính chất bình đẳng thì ta chọn sau

 Sau đó vận dụng các quy tắc nhân – quy tắc cộng trong phép đếm để có kếtquả

BÀI TẬP MINH HỌA

Bài 1:

Cho tám chữ số 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 và 7 Từ tám chữ số trên có thể lập đượcbao nhiêu số, mỗi số gồm bốn chữ số đôi một khác nhau và không chia hết cho10

Giải :

Gọi A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} và số có bốn chữ số là n = a1a2a3a4

 Chọn a4 từ A \ {0} : có 7 cách chọn

 Chọn a từ A \ {0, a } : có 6 cách chọn

 Chọn hai vị trí còn lại a2, a3 từ A \ { a1, a4} : có A cách chọn.26

Vậy số các số nhận được thỏa điều kiện đề bài là : 7.6 A = 1260 số.26

Bài 2 :

Cho tập A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5} Hòi có thể lập được bao nhiêu số có ba chữ

số không chia hết cho 3 mà các chữ số trong mỗi số là khác nhau

Vậy số các số chia hết cho 3 là : 16 + 24 = 40 số

Kết luận : số các số thỏa yêu cầu đề bài là : 100 – 40 = 60 số

Bài 3 :

1) Có bao nhiêu số chẵn gồm sáu chữ số khác nhau đôi một trong đó chữ

số đầu tiên phải là số lẻ

2) Có bao nhiêu số gồm sáu chữ số khác nhau đôi một trong đó có đúng

ba chữ số lẻ và ba chữ số chẵn

Giải :

Gọi A = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} và số có sáu chữ số là n = a1a2a3a4a5a6 1)  Chọn a1 là số lẻ : có 5 cách chọn

 Chọn a6 là số chẵn : có 5 cách chọn

 Chọn bốn vị trí còn lại từ A \ { a1, a6} : có A cách chọn.84

Vậy các số nhận được thỏa yêu cầu đề bài là : 5.5.A = 42000 số.84

2) Trước tiên ta tìm số các dãy số gồm sáu chữ số khác nhau đôi một trong đó cóđúng ba chữ số lẻ và ba chữ số chẵn ( tức là kể cả a1 = 0).

 Chọn ra ba số chẵn : có C cách chọn.35

 Chọn ra ba số lẻ : có C cách chọn.35

 Sắp xếp thứ tự sáu số vừa được chọn, có 6! cách

Vậy số các dãy số nhận được: C 35 3

 Sắp xếp thứ tự năm số vừa được chọn, có 5! cách

Vậy số các dãy số nhận được: C 24 3

5

C 5! = 7200 dãy

Kết luận: số các số thỏa yêu cầu đề bài là : 72000 – 7200 = 64800 số

Bài 4 :

Có bao nhiêu số tự nhiên có sáu chữ số sao cho trong mỗi số đó có hai chữ

số đứng cạnh nhau không giống nhau

Theo đề bài, ta có tập A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} là tập lập số và mỗi cách chọn

ra năm phần tử từ A thì ta chỉ nhận được một số duy nhất thỏa mãn yêu cầu đềbài

 Chọn ba vị trí còn lại từ A \ { a1, 1, 6} : có A cách chọn.37 Vậy có 7.A 25 3

 Trường hợp số có sáu chữ số có chứa 16

Số được tạo thành trong trường hợp này tương ứng như là số có năm chữ số đôimột khác nhau a1a2a3a4a5 với tập lập số là {16, 0, 2, 3, 4, 5, 7, 8, 9}

Vậy có 8.A = 13440 số.84

 Trường hợp số có sáu chữ số có chứa 61

Tuông tự như trên, ta cũng có 13440 số

Vậy có 26880 số mà trong mỗi số có hai chữ số 1 và 6 đứng liền nhau

Kết luận : Có 46200 – 26880 = 19320 số thỏa đề bài

 Trường hợp 3: Chữ số a3 = 6 ( tương tự cho a3 = 4, a3 = 2)

 Chọn a3 = 6 : có 1 cách chọn

 Chọn a1 từ tập {1, 2, 3, 4, 5} : có 5 cách chọn (a1 < 7)  Chọn a2 từ A \ {6 , a1} : có 7 cách chọn

Vậy các số nhận được tương ứng a3 = 6 hoặc a3 = 4 hoặc a3 = 2 là 3.6 = 18số.

Kết luận : Có tổng số : 42 + 6 + 105 + 18 = 171 số thỏa đề bài

1) Vì tất cả các chữ số đều lớn hơn 5, nên ta có tập lập số là: A = {6, 7, 8, 9 }

Do đó số số có bốn chữ số n = a1a2a3a4 được thành lập từ A là số hoán vị của 4phần tử và bằng : 4! = 24 số

 Chọn ba chữ số còn lại từ A \ {a1} : có A cách chọn.39

Vậy có tất cả : 9 A = 4536 số thỏa yêu cầu đề bài.39

 Tính tổng của 4536 số vừa nhận được:

Tương tự ta có tổng của các chữ số hàng chục, hàng trăm và hàng ngàn đều là22680.

2 Dạng 2: Bài toán sắp xếp công việc.

- Bài toán có thể là phép chỉnh hợp – hoán vị: đặc điểm của loại toánnày là sắp theo thứ tự

- Bài toán có thể là phép toán tổ hợp: đặc điểm của loại toán này làkhông kể thứ tự

- Bài toán có thể là phép toán chỉnh hợp – hoán vị và tổ hợp: khi giảiquyết bài toán này cần phải phân biệt các công đoạn thực hiện, trong từng côngđoạn phải phân biệt được tính chất có thứ tự hoặc không cần phân biệt có thứ tự

Ta có thể thực hiện mỗi cách phân phối theo 3 bước sau đây:

Bước 1: Chọn 3 trong 8 đồ vật đặt vào hộp thứ nhất Có 3

Số cách phân phối thoả yêu cầu bài toán: C 83 3

Giải :

Ta xem 3 quyển sách của cùng một tác giả như một bộ sách gồm 3 tập Như vậy

có 28 quyển sách có tác giả khác nhau Ta có thể sắp chúng trên giá sách theo

28

P cách Ba quyển sách của cùng một tác giả có thể hoán vị theo P3 cách.

Vậy có P 3 P = 241920 cách sắp 30 quyển sách thoả mãn yêu cầu bài toán.28

Bài 3:

Một học sinh c ó 12 cuốn sách đôi một khác nhau trong đó có 2 sáchToán, 4 s ách Văn và 6 sách Anh Văn Có bao nhiêu cách sắp xếp lên kệ sách dàinếu các cuốn sách cùng loại xếp liền nhau

Vậy có 2( n- 2)! cách xếp hàng dọc trên cát mà hai vỏ bị khuyết nằm ở cuối dãy

b Chuỗi vòng khép kín nên vỏ sò thứ nhất coi như có một vị trí chọn Ta có n -1

- Có 5 cách chọn quà cho người đó.

- Có C cách chọn quà cho người sau.24

- Có 1 cách cho người cuối nhận 2 quà

- Có C cách chọn quà cho người đó.35

- Có C cách chọn quà cho người sau.12

- Có một cách người cuối nhận một quà

Một đội công nhân có 15 người, gồm 9 nam và 6 nữ

1 Có bao nhiêu cách thành lập tổ công tác gồm 4 nam và 2 nữ từ đội côngnhân trên

2 Trong đó có vợ chồng anh Thu và chị Chi vì có con nhỏ nên không thểtham dự một tổ được Hỏi có bao nhiêu cách thành lập tổ công tác như trên đểchiếu cố đến tình hình này?

ĐS: 450

Bài 9:

Có bao nhiêu cách bầu một ban chấp hành chi đoàn gồm 3 người, một bíthư, một phó bí thư và một uỷ viên, trong một chi đoàn có 20 đoàn viên?

Một trạm cảnh sát có 9 người Có bao nhiêu cách:

a) Phân công 6 người trực, 3 người nghỉ

b) Phân công 3 người giải quyết tại A, 2 người tại B và 4 người trực trạm.ĐS: a C69 b C C2.1

6

3 9

Bài 12: Nhóm 20 học sinh trong đó có 10 nữ Lập nhóm công tác 5 người, có baonhiêu cách lập mà:

a) Ít nhất một nữ

b) Tối đa một nữ

ĐS: a C520 −C105 b C105 +C104 C110

3 Dạng 3: Bài toán sắp xếp chỗ ngồi.

- Bài toán có thể là phép chỉnh hợp – hoán vị: đặc điểm của loại toánnày là sắp theo thứ tự

- Bài toán có thể là phép toán tổ hợp: đặc điểm của loại toán này làkhông kể thứ tự

- Bài toán có thể là phép toán chỉnh hợp – hoán vị và tổ hợp: khi giảiquyết bài toán này cần phải phân biệt các công đoạn thực hiện, trong từng côngđoạn phải phân biệt được tính chất có thứ tự hoặc không cần phân biệt có thứ tự

- Đối với những bài toán cần phân biệt vị trí thì cần lưu ý đối với ngồiquanh bàn tròn cần cử ra một người bất kì để làm chuần vì không thể phân biệtđược sự khác nhau của các chỗ ngồi trên bàn tròn

BÀI TẬP MINH HỌA

Vậy số cách sắp xếp n đại biểu ngồi quanh một bàn tròn là: ( n – 1)!

Bài 2:

Một nhóm gồm 10 học sinh trong đó có 7 nam 3 nữ Hỏi có bao nhiêucách sắp xếp 10 học sinh trên thành một hàng dọc sao cho 7 học sinh nam phảiđứng liền nhau

a Bất cứ 2 học sinh nào ngồi cạnh nhau hoặc đối diện nhau thì kháctrường nhau

b Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì khác trường với nhau

c Bất cứ 2 học sinh nào ngồi đối diện nhau thì cùng trường với nhau

Giải:

a Ta có 12 chỗ ngồi và 12 học sinh, để thỏa mãn yêu cầu của đề bài, số cáchchọn người vào vị trí lần lượt là các số ghi trong ô

Vậy số cách xếp là: S = 12.6.(5!)2 = 1036800

b S = 26*(6!)2 = 33177600

c Ngồi đối diện nhau thì cùng trường nhau

Ta thấy mỗi trường có 6 học sinh, do dó mỗi trường sẽ có 3 cặp học sinh ngồi đốidiện nhau

Với 12 chổ ngồi như trên ta có 6 cặp chỗ ngồi (mỗi cặp chỗ ngồi là 2 ghế ngồiđối diện nhau)

Trước tiên ta chọn 3 cặp chỗ ngồi cho học sinh trường A trong 6 cặp chỗ :

có C cách chọn.36

Sắp học sinh trường A vào 3 cặp chỗ ngồi đã chọn (6 chỗ ngồi) : có 6! cách sắp.Sắp học sinh trường B vào chỗ ngồi còn lại : có 6! cách sắp.Vậy có tổng số cách sắp là : C (6!)36 2 cách sắp

Bài 4:

Có bao nhiêu cách xếp 5 bạn nam và 5 bạn nữ vào 10 ghế được kê thànhhàng ngang sao cho:

1) Nam và nữ ngồi xen kẻ nhau?

2) Các bạn nam ngồi kề nhau?

Giải :

Để xác định, các ghế được đánh số thứ tự từ 1 đến 10 tính từ trái sang phải

1 Nếu các bạn nam ngồi ở các ghế ghi số lẻ thì các bạn nữ ngồi ở các ghếcòn lại Có 5! Cách xếp bạn nam, 5! Cách xếp bạn nữ tất cả có (5!)2 cách xếpNếu các bạn nam ngồi ở các ghế ghi số chẵn thì các bạn nữ ngồi ở các ghếcòn lại thì có (5!)2 cách xếp nam và nữ

Vậy có: 2 (5!)2 cách xếp nam và nữ ngồi xen kẻ nhau

2 Các bạn nam được bố trí ngồi ở các ghế từ k đến k + 4, k = 1, 2, 3, 4, 5, 6.Trong mỗi trường hợp có (5!)2 cách xếp nam và nữ vậy có: 6.(5!)2 cách xếp màcác bạn nam ngồi cạnh nhau

Bài 5:

Có bao nhiêu cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn, trong đó có An và Bình vào

10 ghế kê thành hàng ngang, sao cho:

1) Hai bạn An và Bình ngồi cạnh nhau?

2) Hai bạn An và Bình ngồi không cạnh nhau?

Giải :

1 Có 2.9 = 18 cách xếp chỗ ngồi cho An và Bình ngồi cạnh nhau, 8 bạn kiađược xếp vào 8 chỗ còn lại Vậy có 8! Cách xếp 8 bạn còn lại và do đó có 18.8!cách xếp sao cho An, Bình ngồi cạnh nhau.

2 Có 10! Cách xếp chỗ ngồi cho 10 bạn Từ đó có 10! – 18.8! = 72.8! cáchxếp chỗ ngồi cho 10 bạn mà An và Bình không ngồi cạnh nhau

Bài 6:

Bốn người đàn ông, 2 người đàn bà và một đứa trẻ được xếp ngồi vào 7cái ghế đặt quanh một bàn tròn Hỏi có bao nhiêu cách xếp sao cho:

1) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà?

2) Đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn ông?

Giải :

1 Xếp hai người đàn bà ngồi cạnh nhau, có 2 cách xếp Sau đó xếp đứa trẻngồi vào giữa, có 1 cách Xếp 4 người đàn ông vào 4 ghế còn lại, có 4! Cách

Vậy có: 2.1.4! = 48 cách xếp đứa trẻ ngồi giữa hai người đàn bà

2 Đầu tiên chọn hai người đàn ông, có C cách Xếp 2 người đó ngồi cạnh24nhau, có 2 cách Sau đó xếp đứa trẻ vào giữa, có 1 cách Xếp 4 người còn lại vào

4 ghế còn lại, có 4! Cách

Vậy có: C 2.4! = 288 cách.24

Bài 7:

Có bao nhiêu cách xếp chỗ cho 4 bạn nữ và 6 bạn nam ngồi vào 10 ghế

mà không có hai bạn nữ nào ngồi cạnh nhau, nếu :

2 Xếp 6 ghế quanh bàn tròn rồi xếp nam vào ngồi, có 5! Cách Giữa hai nam

có khoảng trống Xếp 4 nữ vào 4 trong 6 khoảng trống đó, có A cách.46

vậy có: 4 120 = 480 cách.

c Ba nam ngồi kề nhau, hai nữ ngồi kề nhau, giữa hai nhóm này có ít nhất mộtghế trống:

Việc sắp xếp chỗ ngồi gồm hai giai đoạn.

TH2: Giữa hai nhóm có hai ghế trống:

Hai nữ có thể ngồi vào các ghế 1- 2 hoặc 2 - 3: có hai cách

TH3: Giữa hai nhóm có ba ghế trống:

Hai nữ có thể ngồi các ghế 1- 2: có 1 cách

Vậy có 3+ 2+ 1 = 6 cách xếp nữ ngồi số nhỏ

Tương tự có 6 cách xếp nữ ngồi số ghế lớn

Tóm lại ở giai đoạn 1, có 12 cách chọn vị trí chung

- Giai đoạn hai: Sau khi chọn xong vị trí chung, có 31 cách xếp chỗ cho 3 nam

Bài 12:

Có n nam và n nữ ngồi vào hai dãy n ghế đối diện nhau có bao nhiêu cáchxếp:

a Nam nữ ngồi tuỳ ý

b Nam nữ ngồi đối diện nhau

Giải :

a Có 2 cách chọn một dãy ghế

Tổng cộng 2n người thì có C cách chọn ra n người Xếp n người đó vàonn

một dãy ghế có n! cách và n người còn lại cũng có n! cách xếp vào dãy còn lại.Vậy có:

2 C n!.n! = 2.(2n)! cách.nn

b Bước 1: Xếp n nam vào một dãy thì có n! cách

Bước 2: Xếp n nữ vào dãy còn lại thì có n! cách

Bước 3: Đổi chỗ n cặp nam nữ đối diện thì có: 2.2.2…2 = 2n cách

Vậy có: (n!)22n cách xếp nam nữ ngồi đối diện nhau

Bài 13:

Có n nam và n nữ ngồi quanh một bàn tròn có 2n ghế Có bao nhiêu cáchxếp:

a Nam nữ ngồi tuỳ ý

b Không có hai học sinh cùng giới tính ngồi liền nhau

Giải :

a Tổng cộng có 2n học sinh ngồi vào 2n ghế nên có(2n)! hoán vị Nhưng vì bất

kỳ học sinh nào ngồi cũng làm chuẩn được tức là học sinh thứ nhất chỉ tính mộtcah1 ngồi trong số 2n ghế

b Theo đề bài thì n nam, n nữ ngồi xen kẽ

Ta xếp n nam vào n ghế, cách nhau một ghế trống thì có n! cách, tiếp đó xếp n

nữ vào n ghế trống còn lại thì có n! cách nhưng vì học sinh thứ nhất chỉ tính mộtcách ngồi trong n ghế nên thực sự có: n (n 1)!

n

!n

Giả sử X là một tập hợp gồm 6 điểm của mặt phẳng Trong đó không có 3điểm nào thẳng hàng.

a Hỏi có bao nhiêu đường thẳng đi qua hai điểm thuộc X

b Có bao nhiêu tam giác với các đỉnh thuộc X

!2

!26

!6

*6

!3

!36

!6

!3

!5

2

5

S

Số cạnh của ngũ giác lồi là S2 =5

Vậy số đường chéo là:S =S1 −S2 =10−5=5

b Tương tự ta có số đường chéo của n giác lồi là:

3nnn2

1nnn

!2

!2n

!nn

Trong mặt phẳng cho đa giác đều H có 20 cạnh Xét các tam giác có 3đỉnh được lấy từ các đỉnh của H

a Có tất cả bao nhiêu tam giác như vậy Có bao nhiêu tam giác có đúng 2cạnh là cạnh của H

b Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H Có bao nhiêu tamgiác không có cạnh nào là cạnh của H

Giải:

a Có C tam giác có 3 đỉnh được lấy từ các đỉnh của H: 320 3

20

C = 1140

Có 20 tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của H

b Ứng với mỗi cạnh ta có 16 tam giác thỏa đề bài

Vậy có 20.16 = 320 tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của H

Số tam giác không có cạnh nào là cạnh của H:

Gọi f(k) là số miền được chia bởi k đường thẳng

Đường thẳng thứ k + 1 sẽ được k đường thẳng trên chia làm k + 1 phần và tạothêm k + 1 miền mới

f1kfkf

n

1 k

n2 + +

Bài 6:

Cho một n giác lồi mà không có ba đường chéo nào đồng quy tại mộtđiểm khác đỉnh Hỏi các đường chéo chia phần bên trong của đa giác thành mấymiền

Giải:

Đặt f(k) là số miền bên trong của một k giác lồi A1A2A3…Ak

Ta có f(k) = f(k – 1) + T + N, trong đó T và N là số miền mới sinh ra bởi Ak ởbên trong và bên ngoài (k – 1) giác A1A2A3…Ak-1

Ta có T = 3

k

C , N = k – 2

12k6

)3k)(

2k)(

1k()1k

2n)(

1n()n(

f

118k17k6k6

1)3()1k()k(f)

n

(

2

n 4 k

2 3 n

4 k

−

=+

Mỗi p giác có thể tạo ra 2p chỉnh hợp n chập p khác nhau

p

1 p 3

1

p 1 p

2

1

AA

A

A

AA

A

A

AA

p 1 2 p 1 p

1 2 1 p p

AA

AA

AA

AA

AA

AAp

Vậy số p giác khác nhau tạo được là:

p2

AS

p n

=

Bài 8:

Cho p điểm trong mặt phẳng trong đó có q điểm thẳng hàng (2 < q < p).Nối p điểm đó lại với nhau, hỏi:

a Có bao nhiêu đường thẳng

b Có bao nhiêu tam giác

Số tổ hợp không tạo thành tam giác mới là:C3q

Vậy số tam giác tạo ra được là: 3q

3

p CC

S= −

Bài 9:

Trong mặt phẳng có 6 đường thẳng song song với nhau và 8 đường thẳngcũng song song với nhau đồng thời cắt 6 đường thẳng đã cho Hỏi có bao nhiêuhình bình hành được tạo nên bởi 14 đường thẳng đã cho?

5 Dạng 5: Các bài toán liên quan đến Pn, Akn, Ckn

Đối với dạng toán này cần sử dụng linh hoạt các công thức và xét đúngcác điều kiện

)!

1n()!

5n(5

!n)!

6

!n)5n(n)!

5n(5

!n)!

6n

6

)1n(n

−+

=

)!

5n(

6

)!

1n

)!

1n()!

5n(5

!n)!

P2

2P2

1

+

+++

2

k

+ + = + −

= kk1 k 1

2

P2P)2k

= kk2 kk 11

2

P2

P

− + + −

Do đó:

T = 2 2 3 n Pn 1

2

n

P2

22

P2

P(

)2

P2

P()2

2

n

1 n 1 n n 2 n 1

3 2

4 0

+

−+

−

=

+

− + +

Ta thường dùng biến đổi sai phân cho số hạng tổng quát rồi áp dụng

Bài 4:

Chứng minh:

a) C 2C C Cr , 2 r n

2 n 2 r n 1 r n r

n + − + − = + ≤ ≤