Dai so to hop , xac suat

4/ Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số gồm có 3 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số này chia hết cho 9... Hỏi 1/ Có bao nhiêu cách chọn từ đó ra một ban đại diện gồm 7 ngời trong đ

Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải

Phần i phơng trình , bất phơng trình , hệ phơng trình chứa P n , k

Tiến hành theo các bớc sau :

• ớc 1 B : Đặt điều kiện cho các biểu thức Pn , k

n

A , Ckn

+ Đối với : Pn thì điều kiện : n là số nguyên dơng (n ≥ 1 , n ∈ N)

+ Đối với : Akn và Ckn thì điều kiện : 0 k n

• ớc 3 B : Sau khi rút gọn ta đa về phơng trình , bất phơng trình , hệ phơng trình

đã biết cách giải Giải và tìm nghiệm thích hợp với điều kiện

Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải

• Sau khi biến đổi , ta đợc nghiệm của phơng trình : n = 12

Bài 2 : Giải các phơng trình sau :

§ç §×nh Qu©n THPT Nam TiÒn H¶i

Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải

x y

+ Nghiệm : x = 4 ; y = 23/ x = 5 ; y = 4

phần II Nhị thức newton

và các dạng toán liên quan I/ Lý thuyết chung

1/ Dạng khai triển :

(a + b)n = C a + C a b + + C a b + + C a.b + C b0n n 1n n-1 kn n-k k n-1n n-1 nn n

2/ Một số nhận xét trong khai triển nhị thức Newton

*/ Trong khai triển có n + 1 số hạng

*/ Trong khai triển số mũ của a giảm dần từ n xuống 0 , số mũ của b tăng

dần từ 0 đến n nhng luôn đảm bảo tổng số mũ của a và b trong mỗi số

2 + 1 trong khai triển là số hạng đứng giữa

*/ Tổng các hệ số trong khai triển (ax + b)n là : (a + b)n với a , b ∈ R

§ç §×nh Qu©n THPT Nam TiÒn H¶i

1 + x x

n+1 n+1 n+4 n+3

C - C = 7(n +3)

(n = 12 ; k = 8)2/ T×m sè h¹ng kh«ng chøa x trong khai triÓn

1 + x x

5/ T×m c¸c sè h¹ng chøa x3 trong khai triÓn

§ç §×nh Qu©n THPT Nam TiÒn H¶i

• Sè h¹ng thø k + 1 trong khai triÓn : Uk+1 = C19k xk ( 0 ≤ k ≤ 19)

• HÖ sè cña x7 øng víi k = 7 ⇒ HÖ sè cña x7 lµ C197

Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải

• Mỗi số hạng có dạng C a bk k n - kn hoặc C ak n - k kn b ⇒ Chọn khai triển (x + b)n , sau đó chọn x = a

• Đặc biệt khi mỗi số hạng có dạng C ak kn hoặc C bk n - kn ⇒ Chọn khai triển (x + 1)n sau đó chọn x = a

Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải

• Khi trong tổng có một thành phần hệ số tăng đều hoặc giảm đều thì ta dùng đạo hàm cấp một

• Khi trong tổng có một thành phần hệ số là tích của hai số nguyên dơng liên tiếp thì ta dùng đạo hàm cấp hai ; hoặc tổng đó mất Con hoặc C1n

2/ Phơng pháp

• ớc 1 B : Chọn khai triển (x + b)n khi mỗi số hạng trong tổng có dạng k.C akn k - 1.bn - k

• ớc 2 B : Lờy đạo hàm cấp 1 , cấp 2

Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải

+ Giai đoạn A1 có n1 cách thực hiện

+ Giai đoạn A2 có n2 cách thực hiện

+ Giai đoạn A3 có n3 cách thực hiện

…

+ Giai đoạn Ak có nk cách thực hiện

Với mỗi cách thực hiện ở giai đoạn này không trùng với bất cứ cách thực hiện nào ở giai đoạn còn lại

Khi đó số cách thực hiện công việc A là : (n1 n2 n… k) cách

Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải

• Chú ý : Với bài toán phải chia ra các trờng hợp thì sau khi xét các trờng hợp ta phải dùng quy tắc cộng

1/ Khái niệm : Cho một tập hợp X gồm n phần tử ( n ≥ 1) Khi đó một chỉnh hợp chập k của n phần tử (0 ≤ k ≤ n ,

k ∈ N) là một bộ sắp thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử của X

1/ Khái niệm : Cho một tập hợp X gồm n phần tử ( n ≥ 1) Khi đó một tổ hợp chập k của n phần tử (0 ≤ k ≤ n , k ∈

N) là một tập con gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần tử của X

• Hoán vị là sắp thứ tự toàn bộ các phần tử của tập X

• Chỉnh hợp là lấy ra một vài phần tử của X và sắp thứ tự

• Tổ hợp là chỉ lấy ra một vài phần tử của X không sắp thứ tự

Dạng 1 : Bài toán tập hợp số

A Một số chú ý

1/ Số chẵn : Chữ số tận cùng là : 0 ; 2 ; 4 ; 6 ; 8

2/ Số lẻ : Chữ số tận cùng là : 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9

3/ Dấu hiệu chia hết cho 3 : Tổng các chữ số chia hết cho 3

4/ Dấu hiệu chia hết cho 9 : Tổng các chữ số chia hết cho 9

5/ Dấu hiệu chia hết cho 5 : Số tận cùng là 0 ; 5

6/ Dấu hiệu chia hết cho 6 : Số đó đồng thời chia hết cho 2 và 3

7/ Dấu hiệu chia hết cho 4 : Hai số tận cùng chia hết cho 4

8/ Dấu hiệu chia hết cho 8 : Ba số tận cùng chia hết cho 8

9/ Dấu hiệu chia hết cho 10 : Số tận cùng là 0

Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải

• Giả sử số phải lập có dạng : N = a a a a a1 2 3 4 n Khi chọn các chữ số a1 , a2 , , a… n ta chọn những chữ số bị ràng buộc trớc

1/ Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau ? Tính tổng các số này

2/ Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số chẵn gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau

3/ Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số lẻ gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau

4/ Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số gồm có 3 chữ số đôi một khác nhau sao cho các số này chia hết cho 9

Bài 4 : Với các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một khác nhau trong đó luôn

có mặt chữ số 5

Bài 5 : Có bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau tạo thành từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 mà các số đó nhỏ hơn 345

Bài 6 : Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5 Có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó chữ số 5 lặp lại 3 lần , các

1/ (Dùng phơng pháp loại trừ ) Có 594 số thoả mãn bài toán

2/ a5 ≠ 4 Có 504 số thoả mãn bài toán

Bài 12 : Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập đợc bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau đôi một thoả mãn không chia hết

cho 3

Đáp số

• Dùng phơng pháp loại trừ (Tìm số các số chia hết cho 3 trớc )

• Có 60 số thoả mãn bài toán

Bài 13 : Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau đôi một thoả mãn :

1/ Luôn có mặt chữ số 6 và chữ số hàng trăm là 4

2/ Một trong hai số đầu tiên là 3 và số đó chia hết cho 5

Đáp số

Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải

1/ Có 52 số cần tìm

2/ Có 76 số cần tìm

Bài 14 :

1/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó chữ số đứng đầu tiên là số lẻ

2/ Có bao nhiêu số tự nhiên chẵn gồm 6 chữ số đôi một khác nhau trong đó có đúng 3 chữ số lẻ và 3 chữ số chẵn (chữ số đầu tiên phải khác 0)

Đáp số

Ta lấy các chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

1/ Có 42000 số thoả mãn

2/

• Chọn bất kì 3 số lẻ trong 5 số lẻ là một tổ hợp chập 3 của 5 : C35

• Chọn bất kì 3 số lẻ trong 5 số chẵn là một tổ hợp chập 3 của 5 : C35

Mỗi lần hoán vị 6 chữ số đã chọn ta sẽ có 6! Số mới

⇒ Có C35.C35.6! số có 3 chữ số chẵn và 3 chữ số lẻ

• Khi ta hoán vị nh trên thì có trờng hợp có số 0 nhảy lên đứng đầu Xét trờng hợp này có C35.C24.5! số

Vậy có : C35.C35.6! - C35.C24.5! = 64800 số thoả mãn bài toán

Bài 15 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số đồng thời thoả mãn các tính chất sau :

1/ Chữ số ở vị trí thứ 3 là một số chẵn

2/ Chữ số ở vị trí cuối cùng không chia hết cho 5

3/ Các chữ số ở vị trí thứ 4 , thứ 5 và thứ 6 đôi một khác nhau

Đáp số Có 10.10.5.A103 8 = 2.880.000 số thoả mãn bài toán

Dạng 2 : Bài toán chọn ngời Bài 1 : Một lớp học có 10 học sinh nam và 15 học sinh nữ Hỏi

1/ Có bao nhiêu cách chọn từ đó ra một đội gồm 12 ngời

2/ Chọn ra một đội văn nghệ gồm 13 ngời trong đó có ít nhất 10 nữ và phải có cả nam và nữ

Bài 2 : Một lớp học có 8 học sinh nam và 12 học sinh nữ Hỏi

1/ Có bao nhiêu cách chọn từ đó ra một đội gồm 6 ngời có cả nam và nữ

2/ Chọn ra một nhóm gồm 10 ngời trong đó có ít nhất 2 nam

Bài 3 : Một lớp học có 6 học sinh nam và 9 học sinh nữ trong đó có Bình Hỏi

1/ Có bao nhiêu cách chọn từ đó ra một ban đại diện gồm 7 ngời trong đó luôn có mặt của Bình

2/ Chọn ra một nhóm gồm 8 ngời trong đó có một tổ trởng còn lại là thành viên biết rằng không có Bình trong đó

Bài 4 : Một lớp có 20 học sinh trong đó có Nam

1/ Chọn ra một tổ trực nhật có 8 bạn , trong đó có một tổ trởng và còn lại là thành viên Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu Nam luôn có mặt trong tổ

2/ Chọn ra một đội văn nghệ 10 ngời trong đó có 1 tổ trởng , 1 th kí và các thành viên Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu Nam nhất thiết phải có mặt

Bài 5 : Một lớp có 20 học sinh trong đó có 2 cán bộ lớp Hỏi có bao nhiêu cách chọn 3 ngời đi dự đại hội sinh viên của trờng sao cho trong 3 ngời đó có ít nhất một cán bộ lớp

Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải

Vậy theo quy tắc cộng có : C12.C182 + C22.C182 = 324 cách chọn

Bài 6 : Một đội văn nghệ có 20 ngời trong đó có 10 nam và 10 nữ

Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 ngời sao cho :

1/ Trong tổ phải có cả nam và nữ

2/ Trong tổ phải có 1 tổ trởng , 5 tổ viên hơn nữa Thanh và Thơ không đồng thời có mặt trong tổ

1.1 Khái niệm : Phép thử ngẫu nhiên (phép thử ) là một thí nghiệm hay hành động mà :

- Kết quả của nó không đoán trớc đợc

- Có thể xác định đợc tập hợp các kết quả có thể sảy ra của phép thử đó

1.2 Kí hiệu

Phép thử ngẫu nhiên hay kí hiệu là : T

1.3 Ví dụ

•Ví dụ 1 : “ Gieo một con súc sắc ” Khi đó :

- Không đoán đợc số chấm trên mặt xuất hiện

Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải

- Xác định đợc tập hợp các kết quả có thể sảy ra là : Xuất hiện mặt 1 chấm , 2 chấm , 3 chấm , 4 chấm , 5 chấm , 6 chấm

Vậy hành động gieo một con súc sắc trên là một phép thử ngẫu nhiên

•Ví dụ 2 : “ Gieo một đồng xu ” Khi đó :

- Không đoán đợc mặt xuất hiện

- Xác định đợc tập hợp các kết quả có thể sảy ra là : Đồng xu lật ngửa hoặc lật sấp

Vậy hành động gieo một đồng xu trên là một phép thử ngẫu nhiên

2/ Không gian mẫu của phép thử

2.1 Khái niệm : Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép phép thử gọi là không gian mẫu của phép thử

đó

2.2 Kí hiệu

Không gian mẫu đợc kí hiệu là : Ω ( Đọc là ômêga)

2.3 Ví dụ : Xác định không gian mẫu của phép thử ở hai ví dụ trên

•Ví dụ 1 : “ Gieo một con súc sắc ” Khi đó : Ω = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}

•Ví dụ 2 : “ Gieo một đồng xu ” Khi đó : Ω = {S , N} ( N : lật ngửa , S : lật sấp )

b/ Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra gọi là một kết quả thuận lợi cho A Tập hợp các kết quả thuận lợi

cho A kí hiệu là : ΩA Khi đó ta nói biến cố A đợc mô tả bởi tập ΩA

• Không gian mẫu của T là : Ω = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}

• Xét biến cố A : “ Số chấm trên mặt xuất hiện là một số lẻ ” Khi đó :

- Nếu kết quả của phép thử T là xuất hiện mặt 2 chấm (hoặc 4 , 6 chấm ) thì rõ ràng biến cố A không xảy ra

- Nếu kết quả của phép thử T là xuất hiện mặt 1 chấm (hoặc 3 , 5 chấm ) thì rõ ràng biến cố A xảy ra

Vậy có 3 kết quả thuận lợi cho A là : mặt 1 , 3 , 5 chấm xuất hiện

⇒ΩA = {1 ; 3 ; 5}

• Xét biến cố B : “ Số chấm trên mặt xuất hiện là một số nguyên dơng ≤ 6 ”

Thì rõ ràng biến cố B luôn xảy ra Khi đó B là biến cố chắc chắn và B đợc mô tả bởi không gian mẫu Ω

• Xét biến cố C : “ Số chấm trên mặt xuất hiện là một số nguyên dơng > 7 ”

Thì rõ ràng biến cố C không bao giờ xảy ra vì số chấm của một con súc sắc nhiều nhất là 6 chấm Khi đó biến cố

Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải

- Khi đó xác suất của A là một số , kí hiệu P(A) , đợc xác định bởi công thức :

Trong đó

+ΩA là số phần tử của ΩA

+Ω là số phần tử của Ω

Vậy để tính xác suất của biến cố A của phép thử T ta làm theo các bớc sau :

- Xác định không gian mẫu Ω và đếm số phần tử của nó ( số kết quả có thể xảy ra của phép thử T )

- Xác định số kết quả thuận lợi cho A ( là số phần tử của ΩA )

- áp dụng công thức (1)

2/ Chú ý

• 0 ≤ P(A) ≤ 1

• P(Ω) = 1 , P(∅) = 0

• Xác suất là một số dơng nhỏ hơn 1 , xác suất của biến cố chắc chắn bằng 1 , xác

suất của biến cố không thể bằng 0

3/ Ví dụ

Ví dụ 1 :

“ Gieo một con súc sắc cân đối đồng chất ”

a/ Mô tả không gian mẫu

b/ Tính xác suất để số chấm trên mặt xuất hiện là một số chẵn

b/ Tính xác suất để số chấm trên mặt xuất hiện là một số nguyên tố

( Chú ý : Số nguyên tố là số nguyên dơng chỉ có hai ớc là 1 và chính nó và số 2 là số nguyên tố nhỏ nhất ) Giải

a/ Không gian mẫu : Ω = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}

⇒ Số phần tử của không gian mẫu : Ω = 6

b/

• Gọi A là biến cố : “Số chấm trên mặt xuất hiện là một số chẵn ”

• Tập mô tả A là : ΩA = {2 , 4 , 6} ⇒ Số kết quả thuận lợi cho A là : ΩA = 3

⇒ Xác suất của A là : P(A) = 3

6 =

1

2 = 0,5

c/

• Gọi B là biến cố : “Số chấm trên mặt xuất hiện là một số nguyên tố ”

• Tập mô tả B là : ΩB = {2 , 3 , 5} ⇒ Số kết quả thuận lợi cho B là : ΩB = 3

“ Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối đồng chất ” Tính xác suất để :

a/ Số chấm trên mặt xuất hiện trên của hai con súc sắc là những số chẵn

b/ Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc là một số 7

Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải

⇒ Xác suất của A là : P(A) = 8

36 =

2 9

b/

• Gọi B là biến cố : “Tổng số chấm trên mặt xuất hiện của hai con súc sắc là một số 7 ”

• Tập mô tả A là : ΩA = {(1,6) ; (6,1) ; (2,5) ; (5,2) ; (3,4) ; (4,3) }

⇒ Số kết quả thuận lợi cho A là : ΩA = 6

⇒ Xác suất của A là : P(A) = 6

36 =

1 6

Bài tập áp dụng Bài 1: Chọn ngẫu nhiên một số nguyên dơng nhỏ hơn 9 Tính xác suất để :

⇒ Số kết quả thuận lợi cho A là : ΩA = 4

⇒ Xác suất của A là : P(A) = 4

Bài 2 : Gieo đồng thời hai con súc sắc cân đối đồng chất Tính xác suất để :“ ”

a/ Tổng số chấm trên mặt xuất hiện trên của hai con súc sắc ≤ 7

b/ Có đúng một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm

c/ Có ít nhất một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm

⇒ Số kết quả thuận lợi cho A là : ΩA = 21

⇒ Xác suất của A là : P(A) = 21

36 =

7 12

b/

• Gọi B là biến cố : “Có đúng một con súc sắc xuất hiện mặt 6 chấm”

Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải

+ Có một con xuất hiện mặt 6 chấm

+ Cả hai con xuất hiện mặt 6 chấm

• Gọi A là biến cố : “ 5 ngời đợc chọn có số thứ tự không lớn hơn 10 ”

⇒ Số kết quả thuận lợi cho A là số cách chọn 5 trong 10 ngời có số thứ tự từ 1 đến 10

Vậy ΩA = C105

Khi đó xác suất của A là : P(A) =

5 10 5 20

• Tổng số quả cầu trong hộp là : 10 quả

• Số kết quả có thể xảy ra của phép thử là số cách chọn ngẫu nhiên 4 quả trong 10 quả

Vậy : Ω = C104

• Gọi A là biến cố : “ Bốn quả đợc chọn ra có cả đỏ và xanh ”

Ta tìm số kết quả thuận lợi cho A tức là số cách chọn ra 4 quả có cả đỏ và xanh

Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải

Đáp số P(A) = 213

6 =

7 72

Bài 6 : Ba cửa hàng bán xe máy nh nhau Có 3 ngời khách A 1 , A 2 , A 3 độc lập nhau chọn ngẫu nhiên một cửa hàng để mua xe Tính xác suất để :

1/ Ba ngời vào cùng một cửa hàng

2/ Hai ngời khách cùng vào một cửa hàng , ngời kia vào cửa hàng kia

1/ Gọi A là biến cố : “ Ba ngời vào cùng một cửa hàng ” ⇒ Số kết quả thuận lợi cho A là : ΩA = 3 ( Có 3 khả năng là (1,1,1) ; (2,2,2) ; (3,3,3) )

⇒ P(A) = 3

27 =

1

9

2/ Gọi B là biến cố : “Hai ngời khách cùng vào một cửa hàng , ngời kia vào cửa hàng kia” Số kết quả thuận lợi cho

B chính là số cách chọn hai ngời vào cùng một cửa hàng và ngời còn lại vào cửa hàng kia

Ta chia các trờng hợp sau :

• ờng hợp 1 Tr : (1,1,2) tức là 2 ngời vào cửa hàng 1 , một ngời vào cửa hàng 2

Có 3 cách chọn trờng hợp này

+ A1 , A2 vào của hàng 1 và A3 vào cửa hàng 2

+ A1 , A3 vào của hàng 1 và A2 vào cửa hàng 2

+ A2 , A3 vào của hàng 1 và A1 vào cửa hàng 2

1/ Hai ngời trúng tuyển là nam

2/ Hai ngời trúng tuyển đều là nữ

3/ Hai ngời trúng tuyển có ít nhất 1 nữ

III.Biến cố đối

1/ Định nghĩa

Cho A là một biến cố Khi đó biến cố “ không xảy ra A ”, kí hiệu là A , đợc gọi là biến cố đối của A

Ví dụ : “ Gieo một đồng xu”

- Xét biến cố A : “ Mặt ngửa xuất hiện ”

⇒ Biến cố đối của A là : “ Mặt ngửa không xuất hiện ”

2/ Nhận xét

Đỗ Đình Quân THPT Nam Tiền Hải

• Gọi Ω là không gian mẫu

• Gọi ΩA là tập kết quả thuận lợi cho A

Khi đó tập kết quả thuận lợi cho A là :

Vậy AB là biến cố : “ Cả A và B cùng xảy ra ”

b/ Nhận xét : Gọi ΩA và ΩB lần lợt là tập hợp các kết quả thuận lợi cho A và B thì tập hợp các kết quả thuận lợi cho biến cố giao AB là : ΩAB = ΩA∩ΩB

c/ Ví dụ

Chọn ngẫu nhiên một em học sinh trong lớp

- Gọi A là biến cố : “ Bạn đó là học sinh giỏi Toán ”

- Gọi B là biến cố : “ Bạn đó là học sinh giỏi Văn ”

⇒ Biến cố giao của A và B là “ Bạn đó học giỏi cả Văn và Toán”

Tổng quát

Cho k biến cố A 1 , A 2 , , A… k Khi đó biến cố giao của k biến cố là : Tất cả k biến cố A“ 1 , A 2 , , A… k đều xảy

ra , kí hiệu : A” 1 A 2…A k

2/ Hai biến cố độc lập

a/ Khái niệm : Hai biến cố A và B gọi là độc lập với nhau nếu việc xảy ra hay không xảy ra của biến cố này không

làm ảnh hởng tới xác suất xảy ra của biến cố kia

b/ Ví dụ

Xét phép thử T là : “ Gieo hai đồng xu cùng một lúc ”

- Gọi A là biến cố : “ Đồng xu thứ nhất xuất hiện mặt sấp ”

- Gọi B là biến cố : “ Đồng xu thứ hai xuất hiện mặt ngửa ”

Khi đó rõ ràng A và B chẳng liên quan gì đến nhau A và B là hai biến cố độc lập

• Nếu A và B là hai biến cố độc lập với nhau thì :

• Nếu A1 ; A2 ; A3 là ba biến cố đôi một độc lập với nhau thì :

Bài tập áp dụng Bài 1: Xác suất bắn trúng hồng tâm của một ngời bắn cung là 0,2 Tính xác suất để trong ba lần bắn độc lập :

P(AB) = P(A).P(B) P(A1 A2 A3) = P(A1).P(A2).P(A3)