Hot Dai so to hop , xac suat

Do đó 3 đỉnh của tam giác không thể nằm trên một đờng thẳng.. Giải tích tổ hợp – Xác suất3/ Tam giác chứa đúng một cạnh của đa giác là tam giác có hai đỉnh thuộc một cạnh của đa giác và

Tiến hành theo các bớc sau :

 B ớc 1 : Đặt điều kiện cho các biểu thức P , n k

n

A , k

n

C+ Đối với : P thì điều kiện : n là số nguyên dơng (n ≥ 1 , n  N)n

 B ớc 3 : Sau khi rút gọn ta đa về phơng trình , bất phơng trình , hệ phơng trình

đã biết cách giải Giải và tìm nghiệm thích hợp với điều kiện

 Sau khi biến đổi , ta đợc nghiệm của phơng trình : n = 12

Bài 2 : Giải các phơng trình sau :

2423

Giải tích tổ hợp – Xác suất

Vậy nghiệm của hệ pt là : 5

2

x y

Đáp số

1/ x = 5 , y = 2

2/ Gợi ý : + ĐK : x ≥ 2 ; x ≥ y ; x , y  N+ u = A ; v = yx 2

x

C+ Nghiệm : x = 4 ; y = 23/ x = 5 ; y = 4

2/ Một số nhận xét trong khai triển nhị thức Newton

*/ Trong khai triển có n + 1 số hạng

*/ Trong khai triển số mũ của a giảm dần từ n xuống 0 , số mũ của b tăng

dần từ 0 đến n nhng luôn đảm bảo tổng số mũ của a và b trong mỗi số

1 + xx

biÕt C - C = 7(n +3)n+1n+4 n+1n+3(n = 12 ; k = 8)

2/ T×m sè h¹ng kh«ng chøa x trong khai

1 + xx

Gi¶i tÝch tæ hîp – X¸c suÊt

3/ T×m sè h¹ng chøa x2 trong khai triÓn

19 3 2

triÓn

n 3 4

11/ Cho khai triÓn (x+1)(x+2)15 = a0 + a1x + a2x2 + …n + a16x16

T×m hÖ sè a10 (a10 = C 2 +C 2 )159 6 1015 5

5/ T×m c¸c sè h¹ng chøa x3 trong khai triÓn

(x+2)4(x+1)5 = a0 + a1x + a2x2 + …n + a9x9

T×m hÖ sè a6

Gi¶i

1/

 Sè h¹ng thø k + 1 trong khai triÓn : Uk+1 = C x19k k ( 0  k  19)

 HÖ sè cña x7 øng víi k = 7  HÖ sè cña x7 lµ C197

n , sau đó chọn x = 2 3/ S = C + 7C + 25C + + (3 -2)C là một số chính phơng  S = (21n 2n 3n n nn n - 1)2

tính tổng và chứng minh đẳng thức

tổ hợp

 B ớc 1 : Chọn khai triển (x + b)n khi mỗi số hạng trong tổng có dạng k.C akn k - 1.bn - k

 B ớc 2 : Lờy đạo hàm cấp 1 , cấp 2

3 n

1C

4 n

1C

5 + +

n n

1C

1

C

3 n

1C

4 n

1C

5 + +

n + 1 n n

Các quy tắc đếm cơ bản Hoán vị – Chỉnh hợp – Tổ hợp Chỉnh hợp – Chỉnh hợp – Tổ hợp Tổ hợp

I – Chỉnh hợp – Tổ hợp Các quy tắc đếm cơ bản

1/ Quy tắc cộng

Một công việc A đợc chia ra k công việc A1 , A2 , …n , Ak để thực hiện ; mỗi công việc

độc lập không liên quan đến nhau Trong đó :

Giải tích tổ hợp – Xác suất

+ Giai đoạn A1 có n1 cách thực hiện

+ Giai đoạn A2 có n2 cách thực hiện

+ Giai đoạn A3 có n3 cách thực hiện

…n

+ Giai đoạn Ak có nk cách thực hiện

Với mỗi cách thực hiện ở giai đoạn này không trùng với bất cứ cách thực hiện nào ở giai đoạn còn lại

Khi đó số cách thực hiện công việc A là : (n1 n2 …n nk) cách

 Chú ý : Với bài toán phải chia ra các trờng hợp thì sau khi xét các trờng hợp ta phải

dùng quy tắc cộng

II – Chỉnh hợp – Tổ hợp Hoán vị

1/ Khái niệm : Cho một tập hợp X gồm n phần tử ( n ≥ 1) Khi đó mỗi cách sắp thứ tự n

phần tử của X gọi là một hoán vị của n phần tử

2/ Công thức tính số các hoán vị của n phần tử

Pn = n! = 1.2.3…nn

III – Chỉnh hợp – Tổ hợp Chỉnh hợp

1/ Khái niệm : Cho một tập hợp X gồm n phần tử ( n ≥ 1) Khi đó một chỉnh hợp chập

k của n phần tử (0  k  n , k  N) là một bộ sắp thứ tự gồm k phần tử khác nhau lấy từ

1/ Khái niệm : Cho một tập hợp X gồm n phần tử ( n ≥ 1) Khi đó một tổ hợp chập k

của n phần tử (0  k  n , k  N) là một tập con gồm k phần tử khác nhau lấy từ n phần

 Hoán vị là sắp thứ tự toàn bộ các phần tử của tập X

 Chỉnh hợp là lấy ra một vài phần tử của X và sắp thứ tự

 Tổ hợp là chỉ lấy ra một vài phần tử của X không sắp thứ tự

A Một số chú ý

Dạng 1 : Bài toán tập hợp số

Giải tích tổ hợp – Xác suất

2/ Số lẻ : Chữ số tận cùng là : 1 ; 3 ; 5 ; 7 ; 9

3/ Dấu hiệu chia hết cho 3 : Tổng các chữ số chia hết cho 3

4/ Dấu hiệu chia hết cho 9 : Tổng các chữ số chia hết cho 9

5/ Dấu hiệu chia hết cho 5 : Số tận cùng là 0 ; 5

6/ Dấu hiệu chia hết cho 6 : Số đó đồng thời chia hết cho 2 và 3

7/ Dấu hiệu chia hết cho 4 : Hai số tận cùng chia hết cho 4

8/ Dấu hiệu chia hết cho 8 : Ba số tận cùng chia hết cho 8

9/ Dấu hiệu chia hết cho 10 : Số tận cùng là 0

 Giả sử số phải lập có dạng : N =

1 2 3 4 n

a a a a a Khi chọn các chữ số a1 , a2 , …n , an ta chọn những chữ số bị ràng buộc trớc

Theo quy tắc nhân có : 7.6.5.4.3 = 2520 số thoả mãn

Bài 2 : Cho tập A có các phần tử 0,1,2,3,4,5,6,7 Có bao nhiêu số có năm chữ số đôi

Giải tích tổ hợp – Xác suất

2/ Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số chẵn gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau

3/ Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số lẻ gồm có 5 chữ số đôi một khác nhau

4/ Từ tập A có thể lập đợc bao nhiêu số gồm có 3 chữ số đôi một khác nhau sao cho các

số này chia hết cho 9

Theo quy tắc cộng có : 6 + 6 = 12 số thoả mãn

Bài 4 : Với các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số tự nhiên có 4 chữ số đôi một

khác nhau trong đó luôn có mặt chữ số 5

- Nếu a2 = 1 thì a3 có 4 cách chọn (2,4,5,6)  Có 4 số dạng 31a thoả mãn 3

- Nếu a2 = 2 thì a3 có 4 cách chọn (1,4,5,6)  Có 4 số dạng 32a thoả mãn 3

- Nếu a2 = 4 thì a3 có 2 cách chọn (1,2)  Có 2 số dạng 34a thoả mãn 3

 Có 4 + 4 + 2 = 10 số dạng 3a a thoả mãn 2 3

Vậy theo quy tắc cộng có : 20 + 20 + 10 = 50 số thoả mãn bài toán

Bài 6 : Cho các chữ số 0,1,2,3,4,5 Có thể lập đợc bao nhiêu số gồm 8 chữ số trong đó

Ví dụ : Số 10355564 thì khi ta hoán vị 3 chữ số 5 vẫn đợc số đó

Bài 7 : Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6 thiết lập tất cả các số có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ

số 1 và 6 không đứng cạnh nhau

Giải

 Số các số có 6 chữ số đôi một khác nhau là : P6 = A = 6! = 720 số 66

 Bây giờ ta tìm số các số có 6 chữ số mà hai chữ số 1 và 6 đứng cạnh nhau

- Hai chữ số 1 và 6 đứng cạnh nhau ta xem nh một số a thống nhất Vậy bây giờ còn cácchữ số : 2,3,4,5,a  Có A = 5! = 120 số 55

- Mỗi lần ta hoán vị hai chữ số 1 và 6 trong a ta đợc 2! Số mới

Giải tích tổ hợp – Xác suất

Vậy số các số có 6 chữ số khác nhau mà hai chữ số 1 và 6 không đứng cạnh nhau là :

720 – 240 = 480 số

Bài 8 : Từ 10 chữ số 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9 có thể lập đợc bao nhiêu số có 6 chữ số đôi một

khác nhau sao cho trong các số đó luôn có mặt chữ số 0 và 1

 Có 4 A số dạng 84 a 1a a a a thoả mãn bài toán 1 3 4 5 6

 Nếu a3 = 1 hoặc a4 = 1 hoặc a5 = 1 hoặc a6 = 1 thì cũng tơng tự nh a2 = 1

Vậy theo quy tắc cộng có : 5 A + 5.(4 84 4

8

A ) = 8400 + 33600 = 42000 số thoả mãn bài toán

Bài tập tự giải Bài 9 : Tìm tất cả các số tự nhiên lẻ gồm 5 chữ số khác nhau và lớn hơn 70.000

Đáp số

 Các chữ số lấy là : 0,1,2,3,4,5,6,7,8,9

 Có 4386 số thoả mãn

Bài 10 : Từ các chữ số 1,2,3,4,5,6,7 có thể lập đợc bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau

đôi một sao cho số vừa tìm đợc lớn hơn 300 và nhỏ hơn 600

1/ (Dùng phơng pháp loại trừ ) Có 594 số thoả mãn bài toán

2/ a5 ≠ 4 Có 504 số thoả mãn bài toán

Bài 12 : Từ các số 0,1,2,3,4,5 có thể lập đợc bao nhiêu số có 3 chữ số khác nhau đôi một

thoả mãn không chia hết cho 3

Đáp số

 Dùng phơng pháp loại trừ (Tìm số các số chia hết cho 3 trớc )

 Có 60 số thoả mãn bài toán

Bài 13 : Từ các số 0,1,2,3,4,5,6 có thể lập đợc bao nhiêu số có 4 chữ số khác nhau đôi

 Chọn bất kì 3 số lẻ trong 5 số lẻ là một tổ hợp chập 3 của 5 : C35

 Chọn bất kì 3 số lẻ trong 5 số chẵn là một tổ hợp chập 3 của 5 : C35

Mỗi lần hoán vị 6 chữ số đã chọn ta sẽ có 6! Số mới

C 5! = 64800 số thoả mãn bài toán

Bài 15 : Có bao nhiêu số tự nhiên có 7 chữ số đồng thời thoả mãn các tính chất sau :

1/ Chữ số ở vị trí thứ 3 là một số chẵn

2/ Chữ số ở vị trí cuối cùng không chia hết cho 5

3/ Các chữ số ở vị trí thứ 4 , thứ 5 và thứ 6 đôi một khác nhau

Đáp số Có 10.10.5.A 8 = 2.880.000 số thoả mãn bài toán 103

Bài 1 : Một lớp học có 10 học sinh nam và 15 học sinh nữ Hỏi

1/ Có bao nhiêu cách chọn từ đó ra một đội gồm 12 ngời

2/ Chọn ra một đội văn nghệ gồm 13 ngời trong đó có ít nhất 10 nữ và phải có cả nam và nữ

Giải

1/

 Tổng số học sinh của lớp là : 10 + 15 = 25 học sinh

 Chọn 12 ngời bất kì trong 25 ngời có C cách chọn 1225

2/ Ta chia ra các trờng hợp sau

Bài 2 : Một lớp học có 8 học sinh nam và 12 học sinh nữ Hỏi

1/ Có bao nhiêu cách chọn từ đó ra một đội gồm 6 ngời có cả nam và nữ

2/ Chọn ra một nhóm gồm 10 ngời trong đó có ít nhất 2 nam

- Chọn ra 6 ngời bất kì trong 20 ngời có C cách 620

- Chọn ra 6 ngời toàn là nam trong 8 nam có C cách68

- Chọn ra 6 ngời toàn là nữ trong 12 nữ có C cách126

Bài 3 : Một lớp học có 6 học sinh nam và 9 học sinh nữ trong đó có Bình Hỏi

1/ Có bao nhiêu cách chọn từ đó ra một ban đại diện gồm 7 ngời trong đó luôn có mặt của Bình

2/ Chọn ra một nhóm gồm 8 ngời trong đó có một tổ trởng còn lại là thành viên biết rằng không có Bình trong đó

Giải

1/ Tổng số học sinh của lớp là : 6 + 9 = 15 học sinh

 Vì ban đại diện luôn có mặt của Bình nên ta chỉ cần chọn 6 ngời trong 14 bạn còn lại Vậy có C cách chọn ban đại diện 146

2/ Chọn ra một đội văn nghệ 10 ngời trong đó có 1 tổ trởng , 1 th kí và các thành viên Hỏi có bao nhiêu cách chọn nếu Nam nhất thiết phải có mặt

Giải

1/ Ta chia ra các trờng hợp sau :

 Tr ờng hợp 1 : Nam là tổ trởng  Chỉ cần chọn 7 bạn còn lại trong 19 ngời còn lại 

Có C cách chọn 197

 Tr ờng hợp 2 : Nam không là tổ trởng

- Chọn một tổ trởng trong 19 ngời còn lại có C cách chọn 119

- Chọn 6 thành viên trong 18 ngời còn lại có C cách chọn 186

 Tr ờng hợp 1 : Nam là tổ trởng

- Chọn một th kí trong 19 ngời có C cách chọn 119

C = 324 cách chọn

Bài tập tự giải Bài 6 : Một đội văn nghệ có 20 ngời trong đó có 10 nam và 10 nữ

Hỏi có bao nhiêu cách chọn ra 5 ngời sao cho :

1/ Trong tổ phải có cả nam và nữ

2/ Trong tổ phải có 1 tổ trởng , 5 tổ viên hơn nữa Thanh và Thơ không đồng thời có mặt trong tổ

Đáp số

C 2 10

C + 2

15

C 1 5

C 2 10

C2/ C 152 1

C 3 10

C

Bài 1 : Tính số đờng chéo của một đa giác lồi n cạnh

Giải

 Nối hai đỉnh bất kì của đa giác ta đợc một đờng chéo hoặc một cạnh

 Vậy số đờng chéo và số cạnh của đa giác là : C 2n

 Số cạnh của đa giác là n

 Số đờng chéo của đa giác là : C - n = 2n n(n 3)

2



Bài 2 : Trên một đờng tròn cho 10 điểm Hỏi có bao nhiêu tam giác nhận các điểm

 Số tam giác phải tìm là : C = 120 103

Bài 3 : Cho hai đờng thẳng song song Trên đờng thứ nhất có 10 điểm , trên đờng thứ hai có 15 điểm Hỏi có bao nhiêu tam giác tạo bởi các điểm đã cho

Dạng 3 : Bài toán đếm số điểm ,

số đa giác , số cạnh

Giải tích tổ hợp – Xác suất

 Để tạo một tam giác cần có 3 điểm

không thẳng hàng Do đó 3 đỉnh của tam

giác không thể nằm trên một đờng thẳng

 Tr ờng hợp 1 : Tam giác tạo bởi một điểm

trên đờng thẳng thứ nhất và hai điểm trên

đờng thẳng thứ hai Ta có

10.C tam giác thoả mãn 152

 Tr ờng hợp 2 : Tam giác tạo bởi một điểm

trên đờng thẳng thứ hai và hai điểm trên

Bài 4 : Trong mặt phẳng cho đa giác đều n cạnh Hỏi

1/ Có bao nhiêu tam giác tạo thành từ các đỉnh của đa giác đó

2/ Có bao nhiêu tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của đa giác

3/ Có bao nhiêu tam giác có đúng một cạnh là cạnh của đa giác

4/ Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác

2/ Tam giác có 3 đỉnh liên tiếp của đa giác

là tam giác có chứa hai cạnh của đa giác

Các tam giác bắt đầu là : A1A2A3 ,

A2A3A4 , …n , An-2An-1An , An-1AnA1 ,

AnA1A2

 Có n tam giác (để ý chỉ số in đậm chạy

từ 1 đến n )

Giải tích tổ hợp – Xác suất

3/ Tam giác chứa đúng một cạnh của đa

giác là tam giác có hai đỉnh thuộc một

cạnh của đa giác và đỉnh thứ 3 đối diện với

cạnh đã chọn Nh vậy ứng với một cạnh có

n – 4 đỉnh thoả mãn ( trừ đi 2 đỉnh thuộc

cạnh đó và hai đỉnh liền kề với hai đỉnh

đó ) Đa giác có n cạnh

 Có n.(n – 4) tam giác thoả mãn

4/ Số tam giác không có cạnh nào là cạnh

của đa giác là : C - n – n(n – 4)3n

Bài 5 : Trong mặt phẳng cho đa giác đều 20 cạnh Xét các tam giác có 3 đỉnh đợc lấy từ 3 đỉnh của đa giác Hỏi

1/ Có tất cả bao nhiêu tam giác nh vậy ? Có bao nhiêu tam giác có đúng 2 cạnh là cạnh của đa giác

2/ Có bao nhiêu tam giác có đúng 1 cạnh là cạnh của đa giác ? Có bao nhiêu tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác

Đáp số

1/

 C = 1140 tam giác có 3 đỉnh là đỉnh của đa giác 320

 Có 20 tam giác có đúng hai cạnh là cạnh của đa giác

2/

 Có 16.20 = 320 tam giác có đúng một cạnh là cạnh của đa giác

 Có 800 tam giác không có cạnh nào là cạnh của đa giác

Bài 6 : Cho đa giác lồi n cạnh Kẻ tất cả các đờng chéo của đa giác đó biết rằng không

có 3 đờng chéo nào đồng quy Có bao nhiêu giao điểm của hai đờng chéo nằm trong đa giác

Giải

 Mỗi giao điểm của hai đờng chéo tơng ứng duy nhất với một tứ giác lồi có các đỉnh là

đỉnh của đa giác

 Do đó có bao nhiêu tứ giác lồi thì có bấy nhiêu giao điểm của hai đờng chéo nằm trong đa giác

 Vậy số giao điểm phải tìm là : C 4n

Bài 7 : Cho đa giác đều A1A2…nA2n ( n ≥ 3) nội tiếp trong đờng tròn (O) Biết rằng số tam giác có đỉnh là 3 trong 2n điểm A1 , A2 , …n , A2n nhiều gấp 20 lần số hình chữ nhật

có các đỉnh là 4 trong 2n điểm A1 , A2 , …n , A2n Tìm n

đỉnh của đa giác là C 2n

Theo giả thiết ta có : C = 2032n 2

1.1 Khái niệm : Phép thử ngẫu nhiên (phép thử ) là một thí nghiệm hay hành động mà :

- Kết quả của nó không đoán trớc đợc

- Có thể xác định đợc tập hợp các kết quả có thể sảy ra của phép thử đó

1.2 Kí hiệu

Phép thử ngẫu nhiên hay kí hiệu là : T

1.3 Ví dụ

 Ví dụ 1 : “ Gieo một con súc sắc ” Khi đó :

- Không đoán đợc số chấm trên mặt xuất hiện

- Xác định đợc tập hợp các kết quả có thể sảy ra là : Xuất hiện mặt 1 chấm , 2 chấm , 3 chấm , 4 chấm , 5 chấm , 6 chấm

Vậy hành động gieo một con súc sắc trên là một phép thử ngẫu nhiên

 Ví dụ 2 : “ Gieo một đồng xu ” Khi đó :

- Không đoán đợc mặt xuất hiện

- Xác định đợc tập hợp các kết quả có thể sảy ra là : Đồng xu lật ngửa hoặc lật sấp

Vậy hành động gieo một đồng xu trên là một phép thử ngẫu nhiên

2/ Không gian mẫu của phép thử

2.1 Khái niệm : Tập hợp tất cả các kết quả có thể xảy ra của phép phép thử gọi là

không gian mẫu của phép thử đó

2.2 Kí hiệu

Không gian mẫu đợc kí hiệu là :  ( Đọc là ômêga)

2.3 Ví dụ : Xác định không gian mẫu của phép thử ở hai ví dụ trên

 Ví dụ 1 : “ Gieo một con súc sắc ” Khi đó :  = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}

 Ví dụ 2 : “ Gieo một đồng xu ” Khi đó :  = {S , N} ( N : lật ngửa , S : lật sấp )

3/ Biến cố của phép thử

3.1 Khái niệm

Cho phép thử T

a/ Biến cố A liên quan đến phép thử T là một sự kiện mà việc xảy ra hay không xảy ra

của A phụ thuộc vào kết quả của phép thử T

Phần 4 : Xác suất

Giải tích tổ hợp – Xác suất

b/ Mỗi kết quả của phép thử T làm cho A xảy ra gọi là một kết quả thuận lợi cho A

Tập hợp các kết quả thuận lợi cho A kí hiệu là : A Khi đó ta nói biến cố A đợc mô tả bởi tập A

3.2 Chú ý

- Biến cố của một phép thử ta hay kí hiệu là : A , B , C , D …n hoặc A1 , A2 , …n

- Ta luôn có : A  

- Biến cố chắc chắn là biến cố luôn xảy ra khi thực hiện phép thử T Biến cố chắc chắn

đợc mô tả bởi tập  là không gian mẫu của phép thử T

- Biến cố không thể là biến cố không bao giờ xảy ra khi thực hiện phép thử T Biến cố không thể đợc mô tả bởi tập rỗng 

3.2 Ví dụ

Xét phép thử T : Gieo một con súc sắc “ ”

 Không gian mẫu của T là :  = {1 , 2 , 3 , 4 , 5 , 6}

 Xét biến cố A : “ Số chấm trên mặt xuất hiện là một số lẻ ” Khi đó :

- Nếu kết quả của phép thử T là xuất hiện mặt 2 chấm (hoặc 4 , 6 chấm ) thì rõ ràng biến

 Xét biến cố B : “ Số chấm trên mặt xuất hiện là một số nguyên dơng  6 ”

Thì rõ ràng biến cố B luôn xảy ra Khi đó B là biến cố chắc chắn và B đợc mô tả bởi

không gian mẫu 

 Xét biến cố C : “ Số chấm trên mặt xuất hiện là một số nguyên dơng > 7 ”

Thì rõ ràng biến cố C không bao giờ xảy ra vì số chấm của một con súc sắc nhiều nhất

là 6 chấm Khi đó biến cố C là biến cố không thể và đợc mô tả bởi tập rỗng 

II Xác suất của biến cố

Vậy để tính xác suất của biến cố A của phép thử T ta làm theo các bớc sau :

- Xác định không gian mẫu  và đếm số phần tử của nó ( số kết quả có thể xảy ra của