Bài tập phương trình vô tỷ

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ I,CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI 1,Phương pháp biến đổi tương đương Ta sử dụng các phép bến đổi sau:.. Vậy x0 là nghiệm duy nhất của pt... 4, Phương pháp đánh giá Ta đán

BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VÔ TỶ I,CÁC PHƯƠNG PHÁP GIẢI

1,Phương pháp biến đổi tương đương

Ta sử dụng các phép bến đổi sau:

. f x( ) = g x( )⇔ f x( )=g x( ) 0≥ ( với điều kiện f(x), g(x) có nghĩa )

( ) 0, ( ) ( ) ( )

( ) ( )

f x g x

f x g x



=

. ( ) ( ) ( ) ( ) 0( ) 0

( ) ( ) 2 ( ) ( ) ( )

f x

f x g x h x g x

f x g x f x g x h x





2, Phương pháp đặt ẩn phụ

Ta lưu ý các phép đặt ẩn phụ thường gặp sau:

+ Nếu bài toán chứa f x và f(x) có thể đặt ( ) f x = t, đk tối thiểu t( ) ≥0, khi đó f(x) = t2

+ Nếu bài toán có chứa f x( ), g x và ( ) f x( ) g x( )= =k const có thể đặt f x = t với điều ( ) kiện tối thiểu là t ≥0; khi đó g x( ) k

t

=

+ Nếu bài toán chứa a2−x2 có thể đặt sin ,

; hoặc x= a cos , 0t ≤ ≤t π

+ Nếu bài toán có chứa x2−a2 có thể đặt ; ,0 0,

a

t

−

hoặc , 0, ,

a

cost

+ Nếu bài toán có chứa 2 2

x +a có thể đặt ; ;

2 2

x tant t= −π π 

Hoặc x= a cot ;α α∈(0,π)

+ Nếu bài toán có chứa a x

a x

+

− hoặc

a x

a x

− + có thể đặt x = a.cos2t

+Nếu bài toán có chứa (x a b x− )( − ) có thể đặt x = a + (b - a).sin2t

3, Phương pháp hàm số

Hướng 1:

+ Chuyển pt về dạng f(x) = k

+ Xét hsố y = f(x) Dùng lập luận chứng minh hsố là đơn điệu (gsử đồng biến)

+ Nhận xét

• Với x = x0 ⇔ f x( )= f x( )0 =k

• Với x > x0 ⇔ f x( )> f x( )0 =k, do đó phương trình vô nghiệm

• Với x < x0 ⇔ f x( )< f x( )0 =k, do đó phương trình vô nghiệm

Vậy x = x0 là nghiệm duy nhất

Hướng 2:

+ Chuyển pt về dạng f(x) = g(x)

+ Xét hsố y = f(x) và hsố y = g(x) Chứng minh hsố y = f(x) là đồng biến còn hsố y = g(x) là hàm hằng hoặc nghịch biến

+ Xác định x0 sao cho f(x0) = g(x0) Vậy x0 là nghiệm duy nhất của pt

4, Phương pháp đánh giá

Ta đánh giá 2 vế của pt dựa vào tính chất của bất đẳng thức để tìm nghiệm của pt

II,Bài tập

1, Giải các pt:

1, x− 2x+ =3 0

2, x+ −4 1− =x 1 2− x

3, 2 2

2(x −2 )x + x −2x− − =3 9 0

4, x− x2− +1 x+ x2− =1 2

1+ 1−x =x(1 2 1+ −x )

6, 3+ +x 6− −x (3+x)(6−x) 3=

7, 4x− +1 4x2− =1 1 (HVNH khối D – 2001)

8, x+ x2− + −x 1 x+ +1 x2+ + =x 1 1

9, 2

x − x+ + x− =

10, x−2 x− +1 x+ −3 4 x− =1 1

3− +x x − 2+ −x x =1 (ĐHNT-99)

3x− +2 x− =1 4x− +9 2 3x −5x+2 (HVKTQS-99)

13, 2 2

+ − = + − (NVNH-2000)

14, 3 2− = −x 1 x−1 (ĐHTCKT – 2000)

15, X3+ =1 2 23 X −1

2

( 1− +x 1+ −x 2).log (x − =x) 0 (ĐHQG – 98)

17, x− +1 2 x− −2 x− −1 2 x− =2 1 (ĐHSP Vinh khối D – 2000)

18, 2 2

11 31

x + x + =

(x+5)(2− =x) 3 x +3x

20, x−2 x− − −1 (x 1) x+ x2− =x 0