SKKN phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua một số bài tập phương trình vô tỷ

Theo đó, Chương trình giáo dục phổ thông 2018 được xây dựng theo định hướng phát triển phẩm chất và năng lực của học sinh; tạo môi trường học tập và rèn luyện giúp học sinh phát triển hà

1

PHẦN I: ĐẶT VẤN ĐỀ

Định hướng đổi mới căn bản và toàn diện giáo dục nước ta trong giai đoạn hiện nay là “chuyển mạnh quá trình giáo dục từ chủ yếu trang bị kiến thức sang phát triển toàn diện năng lực và phẩm chất người học” Theo đó, Chương trình giáo dục phổ thông 2018 được xây dựng theo định hướng phát triển phẩm chất và năng lực của học sinh; tạo môi trường học tập và rèn luyện giúp học sinh phát triển hài hoà về thể chất và tinh thần, trở thành người học tích cực, tự tin, biết vận dụng các phương pháp học tập tích cực để hoàn chỉnh các tri thức và kĩ năng nền tảng, có ý thức lựa chọn nghề nghiệp và học tập suốt đời; có những phẩm chất tốt đẹp và năng lực cần thiết để trở thành người công dân có trách nhiệm, người lao động có văn hoá, cần cù, sáng tạo

Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo từ lâu đã được xác định là một trong những mục tiêu quan trọng của giáo dục.Theo Chương trình giáo dục phổ thông 2018, năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo là một trong những năng lực cốt lõi cần phải bồi dưỡng và phát triển cho người học Năng lực giải quyết vấn

đề và sáng tạo là một khái niệm mới Do vậy, việc làm rõ khái niệm cũng như nghiên cứu khả năng dạy học môn Toán nhằm góp phần phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo là rất cần thiết

Phương trình vô tỷ có nhiều dạng và các phương pháp giải khác nhau Nó thường xuất hiện trong các kỳ thi học sinh giỏi Hiện nay, có rất nhiều tài liệu, sách tham khảo viết về phương trình vô tỷ Tuy nhiên, các tài liệu, sách tham khảo phần lớn dừng lại ở việc phân dạng phương trình vô tỷ, nêu phương pháp giải và lấy ví

dụ minh họa Rất ít tài liệu, sách tham khảo viết theo hướng phát triển năng lực học sinh

Trong dạy học môn Toán, chúng tôi cho rằng, có thể phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua việc sử dụng các bài toán về phương trình vô tỷ

Hiện nay, có nhiều nghiên cứu về phát triển năng lực giải quyết vần đề và sáng tạo cho học sinh thông qua các chủ đề, các bài toán trên nhiều lĩnh vực khác nhau của toán học…Tuy nhiên, chưa có nghiên cứu nào về phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua các bài toán về phương trình vô tỷ

Vì những lý do trên, tác giả chọn đề tài: “Phát triển năng lực giải quyết vấn

đề và sáng tạo cho học sinh thông qua một số bài tập phương trình vô tỷ” để

nghiên cứu

ở đó không có sẵn quy trình, thue tục, giải pháp thông thường” [2; tr216] Trần Việt Dũng (2013), “năng lực sáng tạo là khả năng tạo ra cái mới có giá trị của cá nhân dựa trên tổ hợp các phẩm chất độc đáo của cá nhân đó” [3; tr162] Tuy nhiên, việc đưa vào khái niệm năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo trong chương trình giáo dục phổ thông - Chương trình tổng thể là một cách đưa sáng tạo, có tính mới Theo đó, năng lực giải quyết vấn đề và năng lực sáng tạo thể hiện ở cấp THPT

có thể được mô tả như sau:

-Nhận ra ý tưởng mới: Biết xác định và làm rõ thông tin, ý tưởng mới và phức tạp từ các nguồn thông tin khác nhau; biết phân tích các nguồn thông tin độc lập để thấy được khuynh hướng và độ tin cậy của ý tưởng mới

- Phát hiện và làm rõ vấn đề: Phân tích được tình huống trong học tập, trong

cuộc sống; phát hiện và nêu được tình huống có vấn đề trong học tập, trong cuộc

sống

- Hình thành và triển khai ý tưởng mới: Nêu được nhiều ý tưởng mới trong học tập và cuộc sống; suy nghĩ không theo lối mòn; tạo ra yếu tố mới dựa trên những ý tưởng khác nhau; hình thành và kết nối các ý tưởng; nghiên cứu để thay đổi giải pháp trước sự thay đổi của bối cảnh; đánh giá rủi ro và có dự phòng

- Đề xuất, lựa chọn giải pháp: Biết thu thập và làm rõ các thông tin có liên

quan đến vấn đề; biết đề xuất và phân tích được một số giải pháp giải quyết vấn đề;

lựa chọn được giải pháp phù hợp nhất

+ Đánh giá được hiệu quả của giải pháp và hoạt động

- Tư duy độc lập: Biết đặt nhiều câu hỏi có giá trị, không dễ dàng chấp nhận thông tin một chiều; không thành kiến khi xem xét, đánh giá vấn đề; biết quan tâm tới các lập luận và minh chứng thuyết phục; sẵn sàng xem xét, đánh giá lại vấn đề

3

Trong đề tài này, chúng tôi quan niệm năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo trong môn Toán là khả năng huy động, tổng hợp kiến thức, kĩ năng và các thuộc tính cá nhân nhằm giải quyết một nhiệm vụ học tập môn Toán, trong đó có biểu hiện của sự sáng tạo Sự sáng tạo trong quá trình giải quyết vấn đề được biểu hiện trong một bước nào đó, có thể là một cách hiểu mới về vấn đề, hoặc một hướng giải quyết mới cho vấn đề, hoặc một sự cải tiến mới trong cách thực hiện giải quyết vấn

đề, hoặc một cách nhìn nhận đánh giá mới

Nói riêng, trong dạy học môn Toán, Chương trình giáo dục phổ thông môn Toán cũng nêu rõ định hướng nội dung giáo dục toán học góp phần hình thành và phát triển cho học sinh các phẩm chất chủ yếu, năng lực chung và năng lực toán học (bao gồm: NL tư duy và lập luận toán học, NL mô hình hóa toán học, NL giải quyết vấn đề toán học, NL giao tiếp toán học, NL sử dụng công cụ, phương tiện toán học)[4; tr 9]

Như vậy, có thể thấy được mối quan hệ giữa việc phát triển các năng lực thành phần của năng lực toán học và năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo Cũng

do phân tích ở trên, chúng tôi cho rằng, giáo viên có thể phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua việc tập trung rèn luyện cho học sinh thực hiện các hoạt động như là các “năng lực thành phần” của năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo như đã trình bày ở trên

2 Cơ sở thực tiễn

Trong giai đoạn hiện nay, chúng ta đang dạy học theo chương trình giáo dục phổ thông hiện hành (chương trình sách giáo khoa năm 2006) được xây dựng theo hướng tiếp cận nội dung Chuyên đề phương trình vô tỷ trong chương trình sách giáo khoa đại số lớp 10 có thời lượng không nhiều, số lượng bài tập ít, thiếu tính đa dạng Thực tế cho thấy, phương trình vô tỷ rất đa dạng và phong phú, có nhiều phương pháp giải khác nhau, có nhiều bài toán khó, phức tạp Để giải nó, đòi hỏi học sinh phải nắm vững các phương pháp giải, có tư duy sáng tạo, linh hoạt và thành thạo các kỹ năng biến đổi

Về phương pháp, hình thức tổ chức dạy học hiện nay chúng ta thấy có nhiều thay đổi Phương pháp dạy học tích cực được các nhà trường chỉ đạo quyết liệt để giáo viên áp dụng vào giảng dạy Tuy nhiên, vẫn còn có giáo viên ngại đổi mới phương pháp dạy học, không linh hoạt trong giảng dạy Do đó, việc phát triển phẩm chất, năng lực người học còn nhiều hạn chế Khi dạy chuyên đề phương trình vô tỷ, một số giáo viên chỉ biết sưu tầm các bài tập có trong sách giáo khoa, sách tham khảo khác nhau và dạy cho học sinh, không phân tích, hướng dẫn, đưa ra những câu hỏi, tình huống có vấn đề để khích thích tính tò

mò, sáng tạo cho học sinh nên không tạo hứng thú cho học sinh khi học chuyên

đề này

Hiện nay, việc phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh trong dạy học còn gặp một số khó khăn Có nhiều yếu tố ảnh hưởng tới điều này, chúng ta có thể kể đến là: về chất lượng đội ngũ giáo viên, nội dung chương trình,

4

cơ sở vật chất, cách tiếp cận phương pháp dạy học mới Song, để tiếp cận với Chương trình giáo dục phổ thông 2018, chắc chắn người dạy, người học cần phải thay đổi về nhận thức và phương pháp dạy và học

II PHÁT TRIỂN NĂNG LỰC GIẢI QUYẾT VẤN ĐỀ VÀ SÁNG TẠO CHO HỌC SINH THÔNG QUA MỘT SỐ BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH VÔ

TỶ

Để phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh, nội dung của đề tài tập trung vào rèn luyện tư duy sáng tạo giải phương trình vô tỷ Trên cơ

sở lời giải một số bài toán phương trình vô tỷ, đi ngược lại quy trình, chúng tôi nêu

ra các phương pháp sáng tạo ra bài toán mới

Trước hết chúng ta bước vào phần rèn luyện tư duy sáng tạo giải phương trình vô tỷ

1 Rèn luyện tư duy sáng tạo giải phương trình vô tỷ

1.1 Phương pháp giải phương trình vô tỷ

1.1.1 Phương pháp biến đổi tương đương, chuyển phương trình đã cho về phương trình cơ bản dạng:

 2

( ) 0 ( ) ( )

Kỹ năng 1 Đặt một ẩn phụ, chuyển phương trình đã cho về phương trình mới

Kỹ năng 2 Đặt hai ẩn phụ, chuyển phương trình đã cho về phương trình mới

Kỹ năng 3 Đặt hai ẩn phụ, chuyển phương trình đã cho về hệ phương trình

Kỹ năng 4 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

1.1.3 Phương pháp đánh giá

1.1.4 Phương pháp lượng giác hóa

1.1.5 Phương pháp biển đổi tương đương, chuyển phương trình đã cho về dạng 2

( ) 0

f x  hoặc 2 2

( ) ( ) 0

f x g x   hoặc f n( )x g n( )x 1.1.6 Phương pháp hàm số

1.2 Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua rèn luyện tư duy sáng tạo giải một số bài tập phương trình vô tỷ

Ví dụ 1 Giải phương trình sau: 2 3

2(x  3x  2) 3 x  8 (1)

Phân tích: Quan sát, chúng ta thấy phương trình (1) có dạng phương trình cơ

bản f x( ) g x( )

5

Sau khi thực hiện phép biến đổi

 2

( ) 0 ( ) ( )

  

 

 



Vậy nghiệm phương trình là: x  3 13;x  3 13

Tiếp tục phân tích, ta thấy:

x   x x  x Bây giờ ta nghĩ tới việc biến đổi x2  3x 2 theo x 2 và x2  2x 4

Để thực hiên ý độ đó, ta chỉ cần làm như sau:

x x

Nếu để ý, ta thấy lời giải 2 thực chất là biến đổi tương đương phương trình đã cho

về dạng tích Từ đó, ta có thêm lời giải sau:

Vậy nghiệm phương trình là: x  3 13;x  3 13

Sử dụng một trong những lời giải nêu trên, ta sẽ giải được các bài tập phương trình vô tỷ sau:

Bình luận: Ở ví dụ 1, để phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học

sinh, chúng tôi đã đưa ra những phân tích, nhận xét để rèn luyện cho học sinh tư duy sáng tạo tìm tòi lời giải và giúp học sinh trả lời câu hỏi “vì sao lại nghĩ ra lời giải này” Chúng tôi cũng đưa ra các dạng phương trình tổng quát để học sinh nhận dạng và ghi nhớ cách giải

Ở các ví dụ tiếp theo, chúng tôi không nặng về phân tích, nhận xét để giúp học sinh tư tuy tìm tòi lời giải Chúng tôi chỉ tập trung vào định hướng và giải bài toán bằng nhiều cách khác nhau để giúp học sinh nắm sâu hơn về các phương pháp giải phương trình vô tỷ và linh hoạt trong việc tiếp cận một bài bài toán ở nhiều

2

1 85 3

x x

x x

Lời giải 4 Nhân biểu thức liên hợp

3x  3x  2 (x 6) 3x  2x  3 (x 6) 3x  2x   3 5 3x  2x 28

2

2 2

Đến đây ta giải tương tự như lời giải 2

Lời giải 4 Biến đổi phương trình đã cho về dạng 2 2

Đến đây ta giải tương tự như lời giải 1

Lời giải 5 Đặt ẩn phụ không hoàn toàn

Đến đây ta giải tương tự như lời giải 1

Lời giải 6 Nhân biểu thức liên hợp

12

2 2

2 1

1 1

2

2 2

P S

P P

sin t cos t 2 sin cost t (sint cos )t  3sin cos (sint t t cos )t  2 sin cost t 0(1)

Đặt sin cos sin cos 2 1

13

Nhận xét: Trong phương trình có chứa 2

1 x giúp ta liên tưởng đến công thức lượng giác 2

 , đặt

3 , (0; ) \

x x

x x

x x

Suy ra phương trình (3) có nghiệm x 5

Vậy nghiệm của phương trình là: x 5

Lời giải 4 Đặt ẩn phụ chuyển về phương trình

x   x x  x    x x  x  x

Vậy nghiệm của phương trình là: x 5

Lời giải 5 Đặt ẩn phụ chuyển về hệ phương trình

3 0(3) 2

( )

b x x  pxq Khi đó: 2

Ta có lời giải sau:

Lời giải 5 Đặt hai ẩn phụ chuyển về hệ phương trình đối xứng loại 2

3 145 2

 đây là hệ phương trình đối xứng loại 2

Trừ vế theo vế phương trình (1) cho phương trình (2), ta có:

21

Thông qua các ví dụ điển hình nêu trên, chúng ta thấy, trong quá trình dạy học chuyên đề phương trình vô tỷ, người giáo viên không chỉ phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua việc phát triển tư suy sáng tạo giải bài toán phương trình vô tỷ mà còn phải giúp học sinh trả lời câu hỏi “các bài tập đó ở đâu mà có? Ai là người nghĩ ra bài tập đó ? ” Để tìm hiểu sâu về vấn đề này, chúng ta tiếp tục nghiên cứu nội dung tiếp theo

2 Phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh thông qua việc sáng tạo bài toán phương trình vô tỷ

2.1 Sáng tạo phương trình vô tỷ từ các nghiệm chọn sẵn và nhân biểu thức liên hợp

Việc sáng tạo phương trình vô tỷ dựa trên phương pháp này là ta chỉ cần chọn sẵn một nghiệm, sau đó xây dựng các biểu thức thỏa mãn đẳng thức xẩy ra

cos 3t sint  4 cos t 3cost 1 cos  t

Đặtx cost , ta có bài toán sau

sin (sint t 20sin t  5) cost 4 2 2

(16cos t 12cos t 1) 1 cos t cost(*)

Đặt x cost, ta có bài toán sau:

2 tan 2 tan (1 tan )

5sin t 2sint  3 0 có nghiệm sin 3 tan 3

26

Ta có:

3 3

2

sin sin 6 cos 3sin 2 4sin 2

x x

x x

(1  cot )(1 cot )t  t  4có nghiệm , 3 (0; )

x x

x x





Khi đó: a b c abc ab bc ca        1 0

2

1 1

x x

x x

x x

x a

35

Ta có bài toán:

2x  3x  1 1 3  x  2 x  1Chọn

t

x x

( ) ( ) ( ) ( )(3) ( ) ( ) ( ) ( )(4)

(x 3)  (2x 3) (2x 3)(x   3) (x 7)   (x 7)  x  7x 16  (2x 3) 2x  2x 16

(2 x) x 3 2  x   x 7x  17x 15

Ví dụ 9 Xuất phát từ bất đẳng thức u   v u v Đẳng thức xẩy ra u và v cùng hướng

Chọn u (2 ;1),x v  (2 2 ; 2)x Xuất phát từ bất đẳng thức u   v u v , ta có bài toán:

Giải phương trình: 2 2

4x   1 2 x  2x  2 13

2.7 Sáng tạo phương trình vô tỷ từ hàm số đơn điệu

Dựa vào kết quả:

Cho hàm số y f t( ) đơn điệu trên khoảng ( ; )a b ; u v,  ( ; )a b

 suy ra f t( ) đồng biến trên (;0)và (0;  )

Đề tài có những điểm mới sau:

- Phát triển khả năng tìm tòi, xem xét một vấn đề cụ thể dưới nhiều góc độ khác nhau; rèn luyện tư duy sáng tạo giải phương trình vô tỷ, cách tìm ra lời giải bài toán; đa dạng về quy trình,cách sáng tạo bài toán mới một cách lôgic, khoa học; tạo cho học sinh hứng thú khi học toán, góp phần tích cực vào việc phát triển năng lực giải quyết vấn đề và sáng tạo cho học sinh

- Trình bày các phương pháp giải một cách khoa học, dễ hiểu, dễ áp dụng

Hệ thống bài tập đa dạng; có nhiều bài toán hay và khó trong các kỳ thi học sinh giỏi và kỳ thi đại học

3 Tính thực tiễn

- Đề tài có thể vận dụng để dạy và học chuyên đề phương trình vô tỷ cho giáo viên và học sinh, đặc biệt là học sinh khá, giỏi; làm tài liệu tham khảo cho giáo viên ôn thi và ra đề thi cho các kỳ thi học sinh giỏi Nó góp phần đổi mới phương pháp dạy học theo hướng phát triển năng lực của học sinh

- Sau khi áp dụng những kết quả nghiên cứu của đề tài, qua khảo sát cho thấy: có trên 80% các em học sinh có hứng thú với bài học và trên 50% trong số đó biết cách tìm tòi, sáng tạo và xây dựng những bài toán mới từ những bài toán gốc, những giả thiết mà giáo viên gợi ý

4 Một số kinh nghiệm rút ra

4.1 Đối với giáo viên

Việc dạy học toán không chỉ giúp học sinh tìm ra cách giải đúng mà còn phải tạo cho học sinh những kỹ năng biến đổi có quy trình; biết cách tìm tòi, tư duy sáng tạo giải quyết bài toán theo nhiều cách giải khác nhau; biết cách xây dựng , sáng tạo bài toán mới từ những bài toán gốc hoặc từ những suy luận lôgic

4.2 Đối với học sinh

Thông qua việc rèn luyện tư duy sáng tạo giải phương trình vô tỷ và sáng tạo phương trình vô tỷ, học sinh sẽ lĩnh hội tri thức, phát huy tính sáng tạo và khả năng tìm lời giải cho dạng toán tương tự khi gặp phải