tai lieu thi tot nghiep

Bựi Văn Lưu Gv toỏn THPT B Bỡnh Lục Hà NamKhảo sát hàm số, các bài toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm và đồ thị hàm số TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 1...  Chú ý: Hàm số f có thể đạt cực trị

Bựi Văn Lưu Gv toỏn THPT B Bỡnh Lục Hà Nam

Khảo sát hàm số, các bài toán liên quan đến ứng dụng đạo hàm và đồ thị hàm số

TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ

1 Haứm soỏ ủụn ủieọu:

— Haứm soỏ f ủ/bieỏn treõn K neỏu x , x1 2∈K, x1<x2 ⇒f (x ) f (x )1 < 2 .

— Haứm soỏ f n/bieỏn treõn K neỏu x , x1 2∈K, x1<x2 ⇒f (x ) f (x )1 > 2 .

2 ẹieàu kieọn caàn ủeồ haứm soỏ ủụn ủieọu:

— Neỏu haứm soỏ f ủoàng bieỏn treõn I thỡ f '(x) 0, x I≥ ∀ ∈ .

— Neỏu haứm soỏ f nghũch bieỏn treõn I thỡ f '(x) 0, x I≤ ∀ ∈ .

3 ẹieàu kieọn ủuỷ ủeồ haứm soỏ ủụn ủieọu:

* Giaỷ sửỷ haứm soỏ f coự ủaùo haứm treõn khoaỷng I

— Neỏu f '(x) 0, x I≥ ∀ ∈ vaứ f '(x) 0= chổ taùi moọt soỏ hửừu haùn ủieồm cuỷa I thỡ haứm soỏ ủoàng bieỏn treõn I.

— Neỏu f '(x) 0, x I≤ ∀ ∈ vaứ f '(x) 0= chổ taùi moọt soỏ hửừu haùn ủieồm cuỷa I thỡ haứm soỏ nghũch bieỏn treõn I.

— Neỏu f '(x) 0, x I= ∀ ∈ thỡ haứm soỏ f khoõng ủoồi treõn I.

Chỳ ý

— Neỏu f ' x( ) laứ tam thửực baọc hai hay cuứng daỏu vụựi tam thửực baọc 2

ẹ/k ủeồ haứm soỏ luoõn luoõn ủoàng bieỏn laứ: f ' x( )Ê 0∀ x ⇔ a 0

(Trửụứng hụùp a coự chửựa tham soỏ thỡ xeựt theõm trửụứng hụùp a= 0 )

— Neỏu f ' x( ) laứ tam thửực baọc hai hay cuứng daỏu vụựi tam thửực baọc 2

ủ/k ủeồ haứm soỏ luoõn luoõn ủoàng bieỏn laứ: f ' x( )³ 0∀ x ⇔ a 0

(Trửụứng hụùp a coự chửựa tham soỏ thỡ xeựt theõm trửụứng hụùp a= 0 )

Lý thuyết: Quy tắc xột tớnh đơn điệu của hàm số y= f x( )

1 Tỡm tập xỏc định

2 Tớnh đạo hàm y′= f x′( ) Giải phương trỡnh f x′( ) =0 để tỡm cỏc nghiệm x i i( =1, 2 ,n)

3 Sắp xếp cỏc nghiệm x i theo thứ tự tăng dần từ trỏi sang phải và lập bảng biến thiờn của hàm số.

4 Kết luận (hàm số đồng biến trờn khoảng mà f x′( ) >0 và ngược lại)

Vớ dụ: Xột chiều biến thiờn của hàm số y= 4−x2

Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHTN): Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y x= 4−8x2+2.

Câu 3 (Đề TN 2007, Lần 2, Ban KHXH): Xét sự đồng biến, nghịch biến của hàm số y x= 3−3x+1

Đáp số: Câu 2: H/số đồng biến trên các khoảng (−2;0 , 2;) ( +∞)

H/số nghịch biến trên các khoảng (−∞ −; 2 , 0;2) ( )

Câu 3: H/số đồng biến trên các khoảng (−1;1)

Điểm cực tiểu được định nghĩa tương tự

2 Điều kiện cần để hàm số đạt cực trị:

 Nếu hàm số f đạt cực trị tại điểm x0 và hàm số f có đạo hàm tại điểm x0 thì f’(x0) = 0

 Chú ý: Hàm số f có thể đạt cực trị tại một điểm mà tại đó nó không có đạo hàm.

3 Điều kiện đủ hàm số đạt cực trị:

a) Giả sử hàm số f liên tục trên khoảng (a;b) chứa điểm x0 và có đạo hàm trên các khoảng (a;x0) và (x0;b) Khi đó:

— Nếu f’(x) < 0 với ∀ ∈x (a; x )0 và f’(x) > 0 với ∀ ∈x (x ;b)0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0

— Nếu f’(x) > 0 với ∀ ∈x (a; x )0 và f’(x) < 0 với ∀ ∈x (x ;b)0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0

 Chú ý: Không cần xét hàm số f có hay không có đạo hàm tại điểm x = x0

b) Giả sử hàm số f có đạo hàm cấp một trên (a;b) chứa điểm x0,

f’(x0) = 0 và f có đạo hàm cấp hai khác 0 tại điểm x0 Khi đó:

— Nếu f”(x0) < 0 thì hàm số f đạt cực đại tại điểm x0

— Nếu f”(x0) > 0 thì hàm số f đạt cực tiểu tại điểm x0

Dạng 1: Tìm m để hàm số y= f x m( , ) đạt cực đại (hoặc cực tiểu)

tại x x= 0

Cách giải:

• Tính y′= f x m′( , )

• Điều kiện cần để hàm số đạt cực đại (hoặc cực tiểu) tại x x= 0 là y x′( )0 = f x m′( 0, ) =0

Giải phương trình này tìm được m.

• Thử lại (Điều kiện đủ)

Với giá trị của m tìm được, ta tính y x′′( )0 .

- Nếu y x′′( )0 >0 thì hàm số đạt cực tiểu tại x x= 0

- Nếu y x′′( )0 <0 thì hàm số đạt cực đại tại x x= 0

Căn cứ vào yêu cầu đề để chọn giá trị của m thỏa mãn.

Dạng 2: Chứng minh hàm số y= f x m( , ) luơn cĩ cực trị với mọi giá trị của tham số m.

Cách giải:

Chứng tỏ f x m( , ) =0 luơn cĩ nghiệm và đổi dấu khi x chạy qua các nghiệm đĩ

- Với hàm số bậc ba, chứng tỏ y′ cĩ delta dương;

- Với hàm số bậc bốn (trùng phương) cần theo yêu cầu đề để tìm m để y′ cĩ 1 nghiệm, hoặc 3

Suy ra y′ =0 cĩ hai nghiệm phân biệt và y′ đổi dấu (cĩ thể lập bảng xét dấu với hai nghiệm x x1, 2) khi x

đi qua hai nghiệm đĩ

• Vậy hàm số luơn cĩ một cực đại, một cực tiểu với mọi m.

y'(x ) 0y''(x ) 0

y'(x ) 0y''(x ) 0

y'(x ) 0y''(x ) 0

=





4/ Điều kiện để hàm bậc 3 có cực trị (có cực đại,cực tiểu):

y’= 0 có hai nghiệm phân biệt ⇔ a 0

5/ Điều kiện để hàm hữu tỉ b2/b1 có cực trị (có cực đại,cực tiểu):

y’= 0 có hai nghiệm phân biệt khác nghiệm của mẫu

6/ Điều kiện để hàm bậc 4 có 3 cực trị : y/ = 0 có 3 nghiệm phân biệt

Bài tập:

Câu 1 (Đề TN 2006, KPB): Cho hàm số y x= 3−6x2+9x cĩ đồ thị (C) Với giá trị nào của tham số m,

đường thẳng y x m= + 2−m đi qua trung điểm của đoạn thẳng nối hai điểm cực đại và cực tiểu của đồ thị (C)

Câu 2: Tìm m để hàm số 3 2 2

53

Gợi ý – đáp số:

Câu 1: Tìm tọa độ hai cực trị của hàm số A( )3;0 , B( )1;4

Trung điểm hai cực trị M( )2;2 Cho M( )2;2 thuộc đường thẳng y x m= + 2−m , ta có

x y

−

=

− trên đoạn [ ]0;2

Câu 4 (Đề TN 2008, L2, Ban KHTN): Tìm GTLN, GTNN của hàm số y= −2x4+4x2+3 trên đoạn

KHẢO SÁT SỰ BIẾN THIÊN VÀ VẼ ĐỒ THỊ CỦA MỘT SỐ HÀM

Sơ đồ khảo sát

1 TXĐ

2 Sự biến thiên:

 Chiều biến thiên

— Tìm y’

— Cho y’= 0 tìm nghiệm và giá trị y’ không xác định

— Kết luận: Khoảng đồng biến, nghịch biến và cực trị

Vậy để viết được PT tiếp tuyến tại M x y( 0; 0) chúng ta cần đủ ba yếu tố sau:

- Hồnh độ tiếp điểm: x0

- Tung độ tiếp điểm: y0 {Nếu đề chưa cho ta phải tính bằng cách thay x0 vào hàm số y0 = f x( )0 }

x = − , y0 =9 ở tọa độ của M (đề đã cho).

Ví dụ 2: Viết p/trình tiếp tuyến với độ thị hàm số 1

1

x y x

−

=+

a) Tại điểm có hoành độ bằng 2.

b) Tại điểm có tung độ bằng 3.

x

=+

Gọi tọa độ tiếp điểm là (x y0; 0) Theo giả thiết có x0 =2

• Tung độ tiếp điểm: 0 0

0

1 2 1 3

x y x

x y x

−

=+ và tính đạo hàm, suy ra hệ số góc của t/tuyến

x

=+

Gọi tọa độ tiếp điểm là (x y0; 0) Theo giả thiết có y0 =3

• Vậy 0 0

0

131

- Tiếp tuyến vuông góc với đường thẳng ( )d ax by c: + + =0

Tính hệ số góc của tiếp tuyến k (theo các dấu hiệu trên)

• Gọi (x y0; 0) là tọa độ tiếp điểm

• Hệ số góc của t/tuyến k = y x′( )0

- Giải ph/trình này tìm được x0

- Thay vào y0 = f x( )0 để tính tung độ tiếp điểm

• Viết p/trình t/tuyến

Ví dụ 3: Viết p/trình t/tuyến với đồ thị hàm số 2

1

x y x

2

21

4

1 2 1

x y

Lưu ý: Hệ số góc của t/tuyến k = y x′( )0 = −2 (đề cho).

b) T/tuyến song song với ( )d nên hệ số góc của t/tuyến bằng hệ số góc của ( )d , bằng k = −12

• Gọi (x y0; 0) là tọa độ tiếp điểm, ta có hệ số góc tiếp tuyến tại (x y0; 0) bằng ( )

0

21

21

63

2

x y

21

2

x y

9

k

Đến đây làm tương tự như câu a) hoặc câu b)

• Đáp số: Có hai tiếp tuyến có p/trình là

=+ tại điểm thuộc đồ thị có hoành độ x0 = −3.

Câu 2 (Đề TN 2007, Bổ túc): Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) hàm số y x= 3−3x+2 tại điểm A(2;4)

Câu 3 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban):

Cho hàm số 1

2

x y x

−

=+ , gọi đồ thị của hàm số là (C)

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại giao điểm của (C) với trục tung

Câu 4 (Đề TN 2008, Lần 2, Phân ban):

Cho hàm số 3 2

1

x y x

−

=+ , gọi đồ thị của hàm số là (C).

1 Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số đã cho

2 Viết phương trình tiếp tuyến với đồ thị (C) tại điểm có tung độ bằng y0 = −2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị (C) của hàm số đã cho

2) Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị (C), biết hệ số góc của tiếp tuyến bằng – 5.

Dạng 1: Dựa vào đồ thị hàm số y= f x( ) để biện luận theo m số nghiệm của phương trình f x( ) =m

Ví dụ: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C của hàm số y x= 3−3x Dựa vào đồ thị ( )C , biện luận theo m số nghiệm của phương trình x3−3x+ − =1 m 0 (1).

Gợi ý giải:

• Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị ( )C (2 điểm)

Học sinh tự làm • Đồ thị (xem hình)

x y

3

- 3

-2 -1

2

0 1

• Viết lại (1) dưới dạng

(1) ⇔ x3−3x m= −1 (2)

Đây là PT hoành độ giao điểm của đồ thị ( )C của hàm số y x= 3−3x với đường thẳng ( )d :y m= −1

(song song với trục hoành) nên số nghiệm của (2) bằng số giao điểm của ( )d và ( )C

• Dựa vào đồ thị ta có kết quả biện luận sau:

* Với m< −1 hoặc m>3, p/trình (1) vô nghiệm

* Với m= −1 hoặc m=3, p.trình (1) có hai nghiệm

* Với − < <1 m 3, p/trình (1) có 3 nghiệm phân biệt

  ≠0 và kết luận (1) luôn có hai nghiệm phân

biệt Suy ra ( )d cắt ( )C tại hai điểm phân biệt.

- Tương tự, kết luận cho tr.hợp ∆ < ∆ =0; 0

Ví dụ: (Bài 11/tr46-SGK GT12, Cơ bản) Chứng minh rằng với mọi giá trị thực của m, đường thẳng

( )d : y=2x m+ luôn cắt đồ thị ( )C của hàm số 3

1

x y x

+

=+ tại hai điểm phân biệt M, N

Gợi ý giải:

• P/trình hoành độ giao điểm của ( )d và ( )C là

321

x

x m

∆ = − + = − + >0 với mọi m. (a)

Mặt khác, thay x= −1 vào vế trái của (2) ta được

( ) (2 )

2 1− − +1 m + − = − ≠m 3 2 0 với mọi m (b)

• Kết hợp (a) và (b) suy ra p/trình (2) luôn có hai nghiệm phân biệt thỏa x≠ −1 Do đó (1) luôn có hai nghiệm phân biệt

Vậy đ/thẳng ( )d luôn cắt đồ thị ( )C tại hai điểm phân biệt với mọi giá trị của m.

Ví dụ (Bài 8.b/tr44- GT12, cơ bản) Tìm m để đồ thị ( )C m của hàm số y x= 3+(m+3) x2+ −1 m cắt trục hoành tại điểm có hoành độ x= −2.

• Phân tích bài toán:

- Nhưng điểm nằm trên trục hoành thì có tung độ y=0

- Vậy ( )C m cắt trục hoành tại điểm ( ) (x y; = −2;0)

- Điểm này thuộc ( )C m nên tọa độ của nó thỏa mãn p/trình ( )C m

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2) Biện luận theo m số nghiệm thực của phương trình

2x +3x − =1 m

Câu 2 (Đề TN 2008, L2, KPB):

Cho hàm số y x= 3−3x2

1) Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

2) Tìm m để phương trình sau có ba nghiệm phân biệt

x − x − =m

Câu 3 (Đề TN 2006, Phân ban):

1 Khảo sát và vẽ đồ thị (C) của hàm số y= − +x3 3x2

2 Dựa vào đồ thị (C), biện luận theo m số nghiệm của phương trình− +x3 3x2− =m 0

3 Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị (C) và trục hoành

5 Điểm đặc biệt của đồ thị hàm số.

Lý thuyết:

Một số dạng bài toán: Tìm điểm trên đồ thị có tọa độ nguyên;

Ví dụ: Tìm các điểm trên đồ thị hàm số 3

1

x y x

−

=+ có tọa độ là những số nguyên.

x

+ ¢ ⇔ +x 1 là các ước số nguyên của 4.

Các trường hợp xảy ra:

- Xác định giao điểm với trục hoành: Cho y=0, tìm x.

- Xác định giao điểm với trục tung: Cho x=0, tìm y.

- Cho thêm một số điểm đặc biệt (Chú ý đến tính đ/xứng của đồ thị: Hàm bậc ba đ/x qua tâm là trung

điểm hai cực trị; hàm bậc bốn (trùng phương) đ/x qua trục tung; hàm hữu tỷ đ/x qua giao điểm 2 t/cận)

*****************************************

Hµm sè, ph¬ng tr×nh, bÊt ph¬ng tr×nh mò vµ l«garÝt

• Kết luận, nghiệm của (1)

Ví dụ: Giải các phương trình sau

t = − < (loại)

- Nếu 0< <a 1, ta có f x( ) ≥loga c (Đổi chiều BPT)

Vậy BPT đã cho có tập nghiệm T =[ ]1;2

Vì cơ số a= >2 1 nên 2x2−3x ≤2−2 ⇔ x2−3x≤ −2 (hai BPT có cùng chiều) Để giải BPT

Ghi nhớ: Với 0< ≠a 1,b>0,c>0 khi đó

Tính toán: loga aα =α ; loga bα =αloga b

1logaα b loga b

a

b b

Chú ý: log10a=loga=lga; loge a=lna.

Dạng 1: Biến đổi về phương trình loga f x( ) =loga g x( )Cách giải:

- Dùng các công thức tính toán, cộng trừ logarit để biến đổi

- Cần chú ý đến đ/k với các biểu thức dưới dấu logarit

Giải p/trình này dược x=6 (thỏa đ/k); x= −1 (không thỏa đ/k)

• Vậy, p/trình đã cho có nghiệm duy nhất x=6

Dạng 2: P/trình bậc hai chứa lôgarit

Điều kiện xác định: ( )

( )

00

{ Cơ số a= >2 1 nên có BPT cùng chiều}

• Vậy tập nghiệm của bất p/trình đã cho 1 1

a= < nên BPT đổi chiều}

• Vậy tập nghiệm của bất p/trình đã cho 1

;32

T =  ÷

Bài tập:

Câu 1 (Đề TN 2007, Lần 1, Phân ban):

Giải phương trình log4x+log 42( )x =5

Câu 2 (Đề TN 2008, Lần 2, Phân ban):

Giải phương trình log3(x+ +2) log3(x− =2) log 53 (x∈¡ )

Câu 3: Giải các bất phương trình

1

22

3

1

22

2 0

1

I = ∫ f t dt hoặc 1 cos ( )

cos

b a

I = ∫ f t dt

b

x x a

1 22

t t

∫

Ta viết lại 2

0

1.cos

• Đặt t =sinx, ta có dt d= (sinx) (= sinx dx)′ =cosxdx

• Đổi cận: Với x=0, ta có t =sin 0 0=

Ghi chú: Với bài này có thể đặt t = +3 sinx

Ta có dt d= (3 sin+ x) (= +3 sinx dx)′ =cosxdx

dt J t

Ghi nhớ: Trong quá trình tính tích phân dạng ln

b

b a a

du

u

u =

∫ cần vận dụng vi phân để tính nhanh Chẳng hạn dx d x m= ( + ) với mọi m là hằng số.

I =∫ f x xdx; 3 ( ).

b

x a

I =∫ f x e dx Cách giải: Đặt u= f x( ) ⇒du= f x dx′( )

• Giải ph/trình : f x( ) =0 tìm các nghiệm x x1; ; ;2 x n thuộc đoạn [ ]a b; (Nghiệm không thuộc, ta loại bỏ)

{Đưa dấu giá trị tuyệt đối ra ngoài dấu tích phân}

Ví dụ: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y x= 3−x, trục hoành và các đường thẳng

Nhận xét: Các em nên dùng máy tính cầm tay để tính và kiểm tra đáp án nhé !

Nếu em nào có kỹ năng xét dấu, có thể lập bảng xét dấu để khử dấu giá trị tuyết đối của x3−x trên đoạn [ ]0;2 .

Dạng 2: Diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị các hàm số y= f x( ) và y g x= ( )

−

Câu 3 (Đề TN 2007, L2, Ban KHXH): Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường y= − +x2 6x,

π

sin 2

π π

Câu 1 (Đề TN 2008, L1, Phân ban):

Tính giá trị của biểu thức ( ) (2 )2

2 Căn bậc hai của số thực âm

Lý huyết

• Căn bậc hai của số thực âm: Căn bậc hai của số thực a<0 gồm hai số −i a và i a

Ví dụ: Căn bậc hai của −28 gồm −i 28= −2 7i và 2 7i

Ghi nhớ: Chúng ta không viết −28, mà chúng ta chỉ nói là các căn bậc hai của −28.

Bài tập:

Tìm các căn bậc hai của −27; −45

3 Phương trình bậc hai không có nghiệm thực

Câu 1 (Đề TN 2006, Phân ban): Giải phương trình sau trên tập số phức 2x2−5x+ =4 0

Câu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Phân ban): Giải phương trình sau trên tập số phức x2−6x+25 0=

Cõu 3 (Đề TN 2008, Lần 2, Phõn ban): Giải phương trỡnh sau trờn tập số phức x2−2x+ =2 0.

******************************************

Hình học không gian ( Giải bằng phơng pháp tổng hợp )Tớnh diện tớch, Tớnh thể tớch.

.3cầu

Thể tớch khối lăng trụ VL/trụ =Sđáy.h

Thể tớch khối nún trũn xoay : 1 2.

3nón

Thể tớch khối trụ trũn xoay: Vtrụ =πR h2

• Diện tớch xung quanh của hỡnh nún trũn xoay: SXq-nón =πR l

Diện tớch xung quanh của hỡnh trụ trũn xoay: SXq-trụ =2πR l

Một số hỡnh cần chỳ ý:

- Hỡnh chúp đều cú đỏy là tam giỏc, hỡnh vuụng

- Hỡnh chúp cú một cạnh vuụng gúc với đỏy (hỡnh chữ nhật, hỡnh vuụng, tam giỏc vuụng)

- Hỡnh nún trũn xoay, biết chiều cao, hoặc đường sinh, bỏn kớnh đường trũn đỏy, gúc phẳng ở đỉnh.

- Hỡnh nún bị cắt bởi mặt phẳng qua đỉnh giao với đường trũn đỏy tại hai điểm A, B, biết AB và giả thiết khỏc.

Yờu cầu: Giải lại cỏc bài toỏn trong SGK HH12 cú dạng trờn, ghi nhớ cỏch tớnh cỏc yếu tố cần thiết và

mối quan hệ giữa cỏc yếu tố dựa vào hỡnh vẽ, tớnh chất của hỡnh.

Bài tập:

Cõu 1 (Đề TN 2006, Phõn ban) : Cho hỡnh chúp S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh a, cạnh bờn SA

vuụng gúc với đỏy, cạnh bờn SB bằng a 3

1 Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABCD

2 Chứng minh trung điểm của cạnh SC là tõm mặt cầu ngoại tiếp hỡnh chúp S.ABCD

Cõu 2 (Đề TN 2007, Lần 2, Phõn ban): Cho hỡnh chúp tứ giỏc S.ABCD cú đỏy ABCD là hỡnh vuụng cạnh

bằng a, cạnh bờn SA vuụng gúc với đỏy và SA =AC Tớnh thể tớch của khối chúp S.ABCD.

Cõu 3 (Đề TN 2008, Lần 1, Phõn ban):

Cho hỡnh chúp tam giỏc đều S.ABC cú cạnh đỏy bằng a, cạnh bờn bằng 2a Gọi I là trung điểm

của cạnh BC

1) Chứng minh SA vuụng gúc với BC

2) Tớnh thể tớch khối chúp S.ABI theo a

Cõu 4 (Đề TN 2008, L2, Phõn ban):

Cho hỡnh chúp S.ABC cú đỏy là tam giỏc ABC vuụng tại B, đường thẳng SA vuụng gúc với mặt phẳng (ABC) Biết AB=a, BC= a 3 và SA=3a

1 Tớnh thể tớch khối chúp S.ABC theo a

2 Gọi I là trung điểm của cạnh SC, tớnh độ dài đoạn thẳng BI theo a

Cõu 5 (Đề TN 2009):

Cho hỡnh chúp S.ABC cú mặt bờn SBC là tam giỏc đều cạnh a, cạnh bờn SA vuụng gúc với mặt phẳng đỏy

Biết ãBAC 120= 0, tớnh thể tớch của khối chúp S.ABC theo a.

Phơng pháp toạ độ trong không gian

1 Tọa độ của điểm, vectơ.

Lý huyết