Các đoạn thẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối diện đồng quy tại một điểm gọi là trọng tâm của tứ diện b.Bốn đoạn thẳng nối đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện đồng quy tại trọng tâm c
Trang 1Sở GD&ĐT Bắc Giang Kỳ thi olympic trờng thpt tứ sơn
lần I Trờng THPT Tứ Sơn
*************
Môn:Toán 11 Năm học 2007-2008
( Thời gian: 180 phút, không kể thời gian giao đề )
Đề bài Câu 1: ( 1 điểm )
1
2 2
u
=
Chứng minh rằng dãy số {un }là dãy số tăng và bị chặn trên
Tìm limn u n
Câu 2: ( 1 điểm )
Với mọi n∈N* , chứng minh rằng: Un= 1 1 5 1 5
5
+ −
ữ ữ − ữữ
N
∈
Câu 3: ( 2 điểm )
Cho tứ diện ABCD Chứng minh rằng:
a Các đoạn thẳng nối trung điểm các cặp cạnh đối diện đồng quy tại một điểm ( gọi là trọng tâm của tứ diện )
b.Bốn đoạn thẳng nối đỉnh với trọng tâm của mặt đối diện đồng quy tại trọng tâm của tứ diện
Câu 4: ( 1 điểm )
Giải phơng trình: cosx+ 2sin 2x− cos3x = + 1 2sinx− cos 2x.
Câu 5: ( 2 điểm )
a Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số khác nhau
b Có bao nhiêu số tự nhiên gồm 6 chữ số mà chữ số đứng sau lớn hơn chữ số đứng trớc
Câu 6: ( 1 điểm )
Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số :
2
1 1
x y
+
= + +
Câu 7: ( 1 điểm )
0
lim
x
x
→
Câu 8: ( 1 điểm )
Chứng minh rằng: a2 +ab b+ 2 + b2 + +bc c2 ≥ −a c ∀a b c R, , ∈ .
-Hết-Họ và tên thí sinh………Lớp………
Trang 2Đáp án
Câu 1: 1
* 1
2 2
u
=
* Chứng minh qui nạp theo n un bị chặn trên bởi 2
* Xét un+1-un = 2 +u n -un
= 2 2 (2 ) (1 )
n n
+ + + + >0 ∀ ∈n N*
suy ra un+1>un vậy dãy số un tăng và bị chặn trên bởi 2 nên có
giới hạn là a
*Từ công thức u n+1 = 2 +u n ta có a= 2+a=> a=2
0,5 0,25
0.25
Câu 2:
*Ta chứng minh: un+2=un+1+ un
*Qui nạp theo n
0,5 0,5
Câu 3:
a Dễ cm
b* Gọi G là trọng tâm của tứ diện và G1 là trọng tâm của tam
giác BCD
Ta có :
0 0
GA GB GC GD
G B G C G D
uuur uuur uuur uuur r
uuuur uuuur uuuur r suy ra GAuuur= − 3GGuuuur1
Vậy A,G,G1 thẳng hàng
* Tơng tự các đoạn thẳng nối các đỉnh với trọng tâm các mặt
đối diện cũng đi qua G
1 0,5
0,5
Câu 4:
*cosx+ 2sin 2x− cos3x = + 1 2sinx− cos 2x
1
C
A
B
D G1
G
Trang 3sin 2 (1 sin ) sin (1 sin )
3 sin
2
x x x
kết luận nghiệm
Câu 5:
a 9 5
9
A
b Mỗi số lập đợc là 1 tổ hợp chập 6 của 9 chữ số từ 1 đến 9 vậy số các chữ số lập đợc là : 6
9
C
1 1
Câu 6:
Câu 7:
3 2
x
+ − + + + − + suy ra ĐS: 1/2
1
Câu 8: a2 +ab b+ 2 + b2 + +bc c2 ≥ −a c
2 2
b
ur= +a b => =ur a +ab b+
3
2 2
b
vr= +c c => =vr b + +bc c
u v a cr r− = − =>u vr r− = −a c
Ta có:
a-c≤ − = − ≤ + =a c u vr r ur vr a2 +ab b+ 2 + b2 + +bc c2 (đpcm)
1
-Hết-A