CÂU HỎI 5: 3.0 điểmTrong thư viện có 12 bộ sách gồm 3 bộ sách Toán giống nhau, 3 bộ sách Vật lý giống nhau, 3 bộ sách Hóa học giống nhau và 3 bộ sách Sinh học giống nhau được xếp thành m
Trang 1SỞ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO HẬU GIANG
TRƯỜNG THPT CHUYÊN VỊ THANH
KỲ THI OLYMPIC TRUYỀN THỐNG 30 - 4 LẦN THỨ XVI
ĐỀ THI ĐỀ NGHỊ MÔN: TOÁN; KHỐI: 10
ĐỀ THI
CÂU HỎI 1: ( 3.0 điểm)
Giải phương trình sau: 3 x 5 x 3 36 x 2 53 x 25
ĐÁP ÁN CÂU HỎI 1
Phương trình 3 x 5 8 x 3 36 x 2 53 x 25
33x 52x 33 x2 0.5 đ Đặt 2 y 3 3 x 5 2 y 33 x 5 1
Suy ra: x 33 x 2 y 3
x 33 x y 5 2 0.5 đ
Lấy 1 trừ 2 : 2y 33 2x 33 2x 2y 0.25 đ 2 y 2 x y 322 y 3 x 3 x 32 2 x 2 y 0.5 đ
Suy ra y 0.25 x
đ
Thay y vào x 1 ta được: 2 x 33 x 5
x 2 x 2 20 x 11 0 0.25 đ Phương trình có ba nghiệmx ; 2
4
3 5
x 0.25 đ Thử lại nhận thấy cả ba nghiệm đều thỏa 0.25 đ
Số phách
Số phách
Trang 2CÂU HỎI 2: (4.0 điểm)
Tìm tất cả các số nguyên dương n có tính chất sau: có thể chia tập hợp 6 số
n 2010 ; n 2011; n 2012; n 2013; n 2014; n 2015 thành hai tập hợp, sao cho tích
tất cả các số của tập hợp này bằng tích tất cả các số của tập hợp kia
ĐÁP ÁN CÂU HỎI 2:
Nhận thấy trong 5 số nguyên liên tiếp phải có một và chỉ một số chia hết cho 5 0.5 đ
Vì vậy nếu tập hợp 6 sốn 2010 ; n 2011; n 2012; n 2013; n 2014; n 2015
thỏa yêu cầu thì trong tập hợp đó phải có đúng hai số chia hết cho 5, hai số đó chỉ có thể
là n 2010 n 2015, còn các số n 2011 ; n 2012; n 2013; n 2014 không chia hết
cho 5 0.5 đ
Chý ý rằng: nếu trong 6 số của tập hợp trên có một số chia hết cho số nguyên tố
7
p thì trong 5 số còn lại sẽ không chia hết cho p khi đó tập hợp không có tính chất đã
nêu 0.5đ
Từ đây suy ra các số n 2011 ; n 2012; n 2013; n 2014 chỉ chứa thừa số nguyên
tố 2 và 3, 0.5 đ
tức là: n20112k1.3m1; n20122k2.3m2; n20132k3.3m3; n20142k4.3m4 trong đó k1 ;k2 ;k3 ;k4 ;m1 ;m2 ;m3 ;m4 là các số nguyên không âm
0.5đ
Nếu n 2011 3 khi đó n 2014 3 thì n 2012; n 2013 không chia hết cho 3, do
đó m2 m3 0 cho ta n 2012 2k2 ;n 2013 2k3
liên tiếp là số chẵn 0.5đ
Lập luận tương tự, ta thấy nếu n + 2012 chia hết cho 3 hoặc n + 2013 chia hết cho 3
thì ta vẫn gặp điều mâu thuẫn 0.5đ
Do đó không có số nguyên nào thỏa yêu cầu 0.5đ
Trang 3CÂU HỎI 3: ( 3.0 điểm) Cho tam giác ABC Gọi A’, B’, C’ là các điểm bất kỳ trên cạnh
BC, AC, AB sao cho các đường thẳng AA’ , BB’ CC’ đồng qui Tìm giá trị lớn nhất của biểu thức: T = AB’.CA’.BC’
ĐÁP ÁN CÂU 3:
Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm
BC, AC, AB
2
AB B C
AB B C AN AB B CAN 0.5 đ
Tương tự ta có:
2
2
' ' ' '
CA A B CM
BC C A BP
0.5 đ
2 (AB CA BC B C A B C A' ' ')( ' ' ' ) (AN CM BP )
AB CA BC
AB CA BC B C A B C A
8
abc
AB CA BC AN CM BP 0.5 đ Vậy T Max= (AB’.CA’.BC’ )Max=
8
abc
0.5 đ
Trang 4CÂU HỎI 4: (4.0 điểm)
Cho ba số dương a, b, c Chứng minh bất đẳng thức sau:
b a
c a c
b c b
a a c
c c b
b b a
a
ĐÁP ÁN CÂU HỎI 4:
Trước hết ta chứng minh rằng:
c b a
c a b a
a
1 0.5đ Thật vậy, do các số a, b, c đều dương nên 1 aa b c a ca b
a 2 ab ac a 2 ab ac bc đúng 0.25đ Tương tự ta có các bất đẳng thức sau:
a c b
a b c b
b
b a c
b c a c
c
Cộng vế theo vế 1 và hai bất đẳng thức trên, ta được:
c b a
c b a 2 a c
c c
b
b
b
a
a
2 0.5đ Mặt khác, áp dụng bất đẳng thức Cauchy ta có: a b c
2
1 c b
a 0.5đ
a b c
a 2 c
b a
1 a c b
a
Tương tự ta được hai bất đẳng thức sau:
c b a
b a
c
b
c b a
c 2 b a
c
0.5đ Cộng vế theo vế bất đẳng thức 3 và hai bất đẳng thức trên ta được:
c b a b a
c a c
b
c
b
a 4 0.5đ
Từ 2 , 4 suy ra bất đẳng thức cần chứng minh 0.25đ
Trang 5CÂU HỎI 5: (3.0 điểm)
Trong thư viện có 12 bộ sách gồm 3 bộ sách Toán giống nhau, 3 bộ sách Vật lý giống nhau, 3 bộ sách Hóa học giống nhau và 3 bộ sách Sinh học giống nhau được xếp thành một dãy sao cho không có ba bộ nào cùng một môn đứng kề nhau Hỏi có bao nhiêu cách xếp như vậy ?
ĐÁP ÁN CÂU 5:
Gọi A là tập hợp các cách xếp 12 bộ thành một dãy tùy ý
Gọi A1 là tập hợp các cách xếp 3 bộ sách Toán đứng kề nhau
Gọi A2 là tập hợp các cách xếp 3 bộ sách Lý đứng kề nhau
Gọi A3 là tập hợp các cách xếp 3 bộ sách Hóa đứng kề nhau
Gọi A4 là tập hợp các cách xếp 3 bộ sách Sinh đứng kề nhau
Gọi A * là tập hợp các cách xếp thỏa yêu cầu đề bài 0.5đ
1
* \
i i
A A
A 0.5 đ
4 1
*
i i A A
A 0.5đ
) 3 (
! 12
4
A 0.5đ
60936 )
3 (
! 4 )
3 (
! 6 )
3 (
! 8 )
3 (
! 10
0
4 4 1
3 4 2
2 4 3
1 4 4
1
C C
C C
A
i
i
308664 60936
369600
A 0.5đ
Trang 6CÂU HỎI 6: (3.0 điểm)
Cho tam giác ABC, các đường trung tuyến và phân giác kẻ từ A theo thứ tự cắt cạnh BC tại M, N Từ N kẻ đường vuông góc với NA, đường này cắt MA và AB tường ứng tại Q
và P Từ P kẻ đường vuông góc với BA, đường này cắt NA tại O Chứng minh rằng OQ BC
ĐÁP ÁN CÂU HỎI 6:
Ta chọn hệ trục tọa độ vuông góc như sau: gốc tọa độ là N, NO là trục hoành và PN
là trục tung 0.25đ
Khi đó phương trình đường thẳng AB có dạng: y ax b 0.25 đ
Vì trục hoành Ox là phân giác trong của góc A nên đường thẳng AC đối xứng với AB qua trục hoành, do vậy AC: y ax b 0.25
đ
Theo giả thiết PO ABvà nhận thấy P0; b nên PO: y 1x b 0.25đ
Trang 7Gọi BC: y cx Ta tìm được
bc
; a c
b C
; a c
bc
; a c
b B
0.5đ
2 2 2
abc
; a c
ab
0.25đ
Từ phương trình của các đường thẳng AB, PO cho ta
; 0 a
b
A ; Oab ; 0
0.25đ
a
c a
b x
0.25đ
c
ab 0
0.25đ
Hệ góc cuả đường thẳng BC là c và của đường thẳng OQ là
c
1
nên OQ BC
0.5đ