5 các dạng toán về phương trình bậc hai và hệ thức vi et tiết 2

Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1; x2 phân biệt b.. Tìm m để phương trình có một nghiệm là -3 b.. Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt d.. Tìm m để phương trình

"Cácthầytoáncóthểlàm video vềtoán 10 nângcaophầnlượnggiác dc ko ạ"

họcsinhcógửinguyệnvọngđến page

Bài 1 Cho parabol (P) yx2

(d) y2x m 3 a) Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt nằm về 2 phía trục tung

b) Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt cùng nằm về phía bên phải Oy

Giải: Xét pt hoành độ giao điểm của (P) và (d)

2 2

a) có (d) cắt (P) tại 2 điểm pb nằm về 2 phía Oy

 Pt (*) có 2 nghiệm phân biệt trái dấu1.(m 3)      0 m 3 0 m 3

b) x22x  m 3 0 (*)

(d) cắt (P) tại 2 điểm pb cùng nằm về bên phải Oy pt (*) có 2 nghiệm dương pb

2









    

   

Vậy 3 m 4

Bài 2 Cho (P) y x

(d) ymx 1

a) CMR (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm phân biệt với mọi m

b) Gọi x ; x là hoành độ giao điểm của (d) và (P) Tìm m để 1 2 2 2

x x x x x x 3

Giải: Xét pt hoành độ giao điểm của (d) và (P)

2

2

CÁC DẠNG TOÁN VỀ PHƯƠNG TRÌNH BẬC 2 VÀ HỆ THỨC VI-ÉT (TIẾT 2)

CHUYÊN ĐỀ: CÁC DẠNG TOÁN VỀ HỆ THỨC VI-ÉT

MÔN TOÁN: LỚP 9

THẦY GIÁO: NGUYỄN CAO CƯỜNG

2 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử -

a) CMR (d) luôn cắt (P) với mọi m

     

Ta có m2 0 Vm

2

 (*) luôn có 2 nghiệm phân biệt V m

 (d) luôn cắt (P) tại 2 điểm pb

 

1 2 1 2 1 2

Áp dụng hệ thức vi-ét cho (*)

1 2

1 2

  



  

 ** ( 1).( m) ( 1) 3 0

      

   

 

Vậy m=2

Bài 3 Cho (P) yx2

(d) y(2m 1)x 2m

Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt A(x ; y ) ; B x ; y1 1  2 2 t/m Ty1y2x x1 2 nhỏ nhất

Giải: Xét pt hoành độ giao điểm của (d) và (P)

  2

2

*) (d) cắt (P) tại 2 điểm pb

 (*) có 2 nghiệm phân biệt

 

 

2 2

2

2

0

1

2

  

     

       

Ta có 2 2

yx y x

2

2

Áp dụng hệ thức vi-ét cho (*)

1 2

1 2



 2

2

2

2

2

T (2m) 2.2m

   

   

Ta có

2 1

2

   

2

    

3

4

1 2m 2 1

4

4



Bài 4 Cho (P) yx2

(d) y2(m 1)x 3 2m  

Tìm m để (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ giao điểm là độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông

có cạnh huyền bằng 10

Giải:

4 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử -

Xét pt hoành độ giao điểm của (d) và (P)

 

 

2

2

   

Ta có 1 ( 2m 2) (2m 3)     0

(*) có 2 nghiệm là x1 1

x2 2m 3 (d) cắt (P) tại 2 điểm phân biệt có hoành độ giao điểm là độ dài 2 cạnh góc vuông của tam giác vuông có cạnh huyền bằng 10

 

1

2

2

2

m 2 (1)

3

2





 



 





 





Áp dụng hệ thức vi-ét cho (*)

 

1 2

1 2

     





 

 2  

2

2





  



Kết hợp điều kiện (1); (2) có m3

Vậy m = 3

BÀI TẬP ÁP DỤNG:

Ví dụ 1: Giải các phương trình sau

a 2x2 + 5x – 1 = 0 b -4x2 + √ x + 1 = 0

c.x2 + 8x + 12 = 0 d -2x2 + 6x + 1 = 0

e 7x2 – 2010 x + 2003 = 0 g 5x2 + 2009x + 2004 = 0

h 3x2 + 18x + 28 = 0

Lời giải

a 2x2 + 5x – 1 = 0 có = 52 – 4.2(-1) = 33, √ √

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = √ x2 = √

b -4x2 + √ x + 1 = 0 có = (√ 2 – 4(-4).1 = 18, √ √ √ √

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = √ √ √ x2 = √ √ √

c x2 + 8x + 12 = 0 có = 42 – 1.12 = 4 √ =2

Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = = - 6; x2 =

d -2x2 + 6x + 1 = 0 có = 32

– (-2).1 = 11 √ = √ Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1 = √ √

x2 = √ √

e 7x2 – 2010 x + 2003 = 0

a+ b+ c = 7 – 2010 + 2003 = 0 phương trình có 2 nghiệm x1 = 1; x2 =

g.a – b + c = 5 – 2009 + 2004 = 0 phương trình có hai nghiệm: x1 = -1;

x2 =

h 3x2 + 18x + 28 = 0 có = 92

– 3.28 = -3 < 0 phương trình vô nghiệm

Ví dụ 2: Cho phương trình 2x2 – 10x + 1 = 0

a Chứng minh rằng phương trình luôn có hai nghiệm x1; x2 phân biệt

b Không sử dụng công thức nghiệm, hãy tính giá trị của các biểu thức sau:

A = + B =

C = (x1 – 2) (x2 -2) D =

+

G = | | Hướng dẫn:

a Sử dụng biểu thức

b Sử dụng định lý Vi ét biến đổi biểu thức theo x1 + x2; x1 x2

Lời giải

a = (-5)2

– 2.1 = 23 > 0 Phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2

b Áp dụng định lý Vi ét ta có

x1 + x2 = , x1 x2 =

A = +

B = = ( 2 - 2 = 52 – 2 = 24

C = (x1 -2)(x2 – 2) = - 2( +4 =

6 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử -

D = = ( (

= ( [( 2 - 3 ]

= 5 (52 – 3 ) =

E = + = ( ( ( ( ( (

= ( = ( ( = ( ( (

=

Ví dụ 3: Cho phương trình x2

– x – 1 = 0 có hai nghiệm phân biệt x1, x2 Tính giá trị của biểu thức Hướng dẫn: Sử dụng định lý Vi ét

Lời giải

Ta có = = ( 2 - 2 = 12 – 2 (-1) = 3

= ( (

= ( [( 2 - 3 ]

= 1 (12 – 3.(-1) ] = 4

= ( )( ) -

= ( ( ( (-1)2

1 = 11

Chú ý: Ta có thể tính tổng các lũy thừa bậc cao của một phương trình bậc hai thông qua các lũy thừa bậc nhỏ

hơn

Với m = ( )( ) -

= ( )( ) – ( n ( + )

Ví dụ 4: Cho phương trình x2

– 6x + 2m + 1 = 0

a Tìm m để phương trình có một nghiệm là -3

b Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 Tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức A = (x1 -1)2 + (x2 -1)2

c Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt

d Tìm m để phương trình có nghiệm kép

e Tìm m để phương trình có hai nghiệm cùng dấu

f Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu thỏa mãn:

( ( = 68

i Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn 2x1 – x2 = 15

j Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn = x2 -4

k Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 khác 0 thỏa mãn:

| |

l Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 thỏa mãn < 72

m Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 khác 0 thỏa mãn:

= 8

Lời giải

a Phương trình có một nghiệm là -3 (-3)2

– 6(-3) + 2m + 1 = 0 2m + 29 = 0 m = -

b = 9 – (2m +1) = 8 – 2m Phương trình có hai nghiệm x1; x2

8 – 2m m

Áp dụng định lý Vi ét ta có x1 + x2 = 6, x1.x2 = 2m + 1

A = (x1 -1)2 + (x2 – 1)2 = - 2(x1 + x2) + 2 = 62 – 2(2m +1) – 2.6 + 2 = 24 – 4m

Vì m nên 24 – 4m

Dấu “=” xảy ra khi và chỉ khai m = 4

Vậy A đạt giá trị nhỏ nhất bằng 8 khi m = 4

c Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi:

> 0 8 – 2m < 0 m < 4

d Phương trình có nghiệm kép khi và chỉ khi 8 – 2m = 0

e Phương trình có nghiệm cùng dấu khi và chỉ khi

{

{ {

f Phương trình có hai nghiệm trái dấu khi và chỉ khi P < 0 m <

i.Phương trình có hai nghiệm x1; x2 khi và chỉ khi

Áp dụng định lý Vi ét ta có : { ( (

( ( = + +

( + ( 2 – 2 = 6(2m+1) + 62 – 2(2m+1)

= 8m + 40

( ( = 68 8m + 40 = 68 8m = 28

j Ta có hệ { { {

Thay x1 = 7, x2 = -1 vào đẳng thức ta có

2m + 1 = 7(-1) m = -4 (thỏa mãn đk m )

k Ta có hệ { { {

[

Thay vào (2) ta có x1.x2 = 2m + 1 5 = 2m + 1 m = 2 ( thỏa mãn đk m

Thay vào (2) ta có: x1.x2 = 2m + 1 -16 = 2m + 1

8 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử -

m = - (thỏa mãn đk m )

Vậy m = 2 hoặc m = -

l Ta có | | = | | | |

| |

Áp dụng định lý Vi ét ta có: { ( (

| | √

| | (m )

25(8-2m) = 4(4m2 + 4m +1) 200 – 50 m = 16m2

+ 16m +16 16m2 + 66m – 184 = 0 8m2

+ 33m – 92 = 0 [ (

= ( [( 2 - 3 ]

= 6 [62 – 3(2m +1)] = 6(33 – 6m) = 18(11-2m)

< 72 18 (11 -2m) < 72

Kết hợp điều kiện ta có < m

n Phương trình có hai nghiệm x1; x2 0 {

{ {

- = ( )2 -

= (

)2 -

= (

(

Suy ra = 8 32m2

+ 32m + 8 = 34 – 4m 32m2 + 36m – 26 = 0 16m2

+ 18m – 13 = 0

m = hoặc m = (TM)

Ví dụ 5: Cho phương trình x2 + 2(m +1)x + m2 -1 = 0

a Tìm m để phương trình có hai nghiệm dương

b Tìm m để phương trình có hai nghiệm âm

c Tìm m để phương trình có hai nghiệm trái dấu

d Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 Tìm hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm không phụ thuộc vào

m

Hướng dẫn: Sử dụng định lý Vi et

Lời giải

= (m+1)2

– (m2 -1) = 2m + 2, S = 2(m +1), P = m2 -1

a Phương trình có hai nghiệm dương

{

{

( {

{ | | {*

m > 1

b Phương trình có hai nghiệm âm

{

{ ( {

không có m thỏa mãn

c Phương trình có hai nghiệm trái dấu

ac < 0 | | < 1

d Phương trình có hai nghiệm x1; x2 2(m+1) m -1

Áp dụng định lý vi et ta có:

{ ( {

(

– 1

= ( + ( ( - ( ) = 0

Ví dụ 6: Tìm m để phương trình x2

– 5x + m + 3 = 0 có hai nghiệm dương x1; x2 thỏa mãn:

a √ + √ = 5 b √ + √ = 3 c √ + √ = √

Hướng dẫn: Sử dụng định lý Vi ét

Lời giải

x2 – 5x + m + 3 = 0, S = 5, P = m + 3, = 52

– 4(m+3) = 13 – 4m Điều kiện để phương trình có hai nghiệm dương là:

{

{

{ -3 < m

x1 + x2 = 5; x1 x2 = m + 3

a √ + √ =

√ =

√

10 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử -

√ + √ √ √ = 1 m + 3 = 1 m = -2 (Tm)

b Ta có (√ + √ )2 = x1 + x2 + 2 √ = 5 + 2√

√ + √ = √ √ √ + √

√ √ = 3 √

√ = 2 m + 3 = 4 m = 1 (thỏa mãn) c (√ + √ )2

= x1 +2+ x2 + 2+2 √ √

= x1 + x2 + 4 + 2 √( (

= x1 + x2 + 4 + 2√ ( = 5 + 4 + 2√

= 9 + 2 √

√ + √ = √ √ √ = √

√ = 17 √ = 8 √ = 4

m + 17 = 16 m = -1 (thỏa mãn) Ví dụ 7: Cho phương trình (m+1)x2 – 2 (m-1)x + m + 3 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm x1; x2 Tìm hệ thức liên hệ giữa x1; x2 không phụ thuộc vào m Hướng dẫn : Sử dụng định lý Vi ét Lời giải Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1; x2 là: { {( ( (

{ (

{ {

{ {

Áp dụng định lý Vi ét ta có: x1 + x2 = (

x1 + x2 =

(

x1 + x2 + 2 x1 x2 = 2 - ( )

Ví dụ 8: Cho phương trình (

a Giải phương trình với m = 2

b Tìm m để phương trình có hai nghiệm phân biệt x1; x2 thoả mãn

x1 (x1 -2) + x2(x2 -2) = 0

Hướng dẫn: Sử dụng định lý Vi ét

Lời giải

(

( điều kiện x

a Xét m = 2 ta có phương trình

( (

Vậy phương trình có nghiệm duy nhất là x = 3 b ( {(

{(

Phương trình ( có hai nghiệm phân biệt khi và chỉ khi phương trình (

có hai nghiệm phân biệt khác 1 khi và chỉ khi thoả mãn hệ điều kiện: {

(

(

{

{

( )

{

(

{

Khi đó áp dụng định lý Vi ét ta có: x1 + x2 = ; x1 x2 =

x1 (x1 -2) + x2(x2 -2) = ( ( (

= ( ( ( ( (

x1 (x1 -2) + x2(x2 -2) = 0 ( (

Ví dụ 9: Cho phương trình x2 - √ + 1 = 0 có hai nghiệm x1; x2 ; phương trình x2 - √ + 1 = 0 có hai nghiệm x3; x4

Chứng minh rằng (x1 – x3) (x2 – x3) (x1 + x4)(x2 + x4) = 1

Hướng dẫn : Sử dụng định lý Vi ét

Lời giải

Áp dụng định lý Vi ét ta có:

x1 + x2 = √ ; x1 x2 = 1; x3 + x4 = √ ; x3 x4 = 1

(x1 – x3) (x2 – x3) (x1 + x4)(x2 + x4) = [(x1 – x3) (x2 + x4)][ (x2 – x3) (x1 + x4)]

(x1 – x3) (x2 + x4) = x1 x2 – x2 x3 + x1 x4 – x3 x4 = 1 – x2 x3 + x1 x4 -1 = x1 x4 – x2 x3

(x2 – x3) (x1 + x4) = x1 x2 – x1 x3 + x2 x4 – x3 x4 = 1 – x1 x3 + x2 x4 -1 = x2 x4 – x1 x3

(x1 – x3) (x2 + x4)(x2 – x3) (x1 + x4) = (x1 x4 – x2 x3)( x2 x4 – x1 x3)

12 Truy cập trang http://tuyensinh247.com để học Toán – Lý – Hóa – Sinh – Văn – Anh – Sử -

= (x1 x2) (x3 x4) - (x3 x4) + (x1 x2) =

= ( + ) – ( ( x3 + x4 )2 - 2 x3 x4 ]- [(x1 + x2)2 - 2 x1 x2]

= [(√ 2 – 2] – [(√ 2

-2] = 2012 – 2011 = 1 Chú ý : Trong biểu thức vế trái ta nhóm các nhân tử để xuất hiện nhiều tích có giá trị bằn 1; khi đó việc biến đổi trở nên đơn giản

Ví dụ 10: Cho phương trình x2

– 8x + 5m + 2 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này gấp ba lần nghiệm kia

Hướng dẫn: Sử dụng định lý Vi ét

Lời giải

(-4)2

– (5m + 2) = 14 – 5m

Điều kiện để phương trình có hai nghiệm x1; x2 là

Theo định lý Vi ét ta có x1 + x2 = 8 (1); x1x2 = 5m + 2 (2)

Giả sử x1 = 3x2 (1) 3x2 + x2 = 8 x2 = 2 x1 = 6

(2) 5m + 2 = 6.2 5m = 10 m = 2 ( thoả mãn đk)

Vậy m = 2

Chú ý bằng cách giải sử dụng định lý Vi ét học sinh có thể chứng minh được kết quả tổng quát sau: Cho các số

a, b, c, k (a Điều kiện để phương trình ax2

+ bx + c = 0 có hai nghiệm mà nghiệm này gấp k lần nghiệm kia là kb2 = (k+1)2ac

Ví dụ 11: Cho phương trình x2

– mx + 8 = 0 Tìm m để phương trình có hai nghiệm mà nghiệm này bằng bình phương của nghiệm kia

Lời giải

m2

– 32 Điều kiện để phương trình có hai nghiệm là:

m2 – 32 | | √

Giả sử phương trình có hai nghiệm x1; x2 thoả mãn x1 =

Theo định lý Vi ét ta có: { {

{

Giá trị m = 6 thoả mãn điều kiện để phương trình có nghiệm

Vậy m = 6

Ví dụ 12: Cho hai phương trình x2

+ 2 x – m = 0 (1), x2 + 2mx – 1 = 0 (2)

a Tìm điều kiện để hai phương trình có nghiệm

b Tìm m để hai phương trình có nghiệm chung

Lời giải

a Phương trình (1) có 1 = 1 + m (1) có nghiệm 1

Phương trình (2) có 2 = m2 + 1 > 0 suy ra (2) luôn có nghiệm

Kết luận

b Giả sử hai phương trình có nghiệm chung là x0 Ta có:

x02 + 2x0 – m = 0, x02 + 2mx0 – 1 = 0 (x02 + 2mx0 – 1) –( x02 + 2x0 –m) =0

2mx0 - 2x0 + m -1 = 0 (m-1) (2x0 + 1) = 0 hoặc x0 = -

Xét m = 1 hai phương trình đã cho trở thành phương trình x2

+ 2x – 1 = 0 hai phương trình đã cho có hai nghiệm chung là -1 + √ √

Xét x0 = - hai phương trình có nghiệm chung x0 = -

Kết luận m = hoặc m =1

Ví dụ 13: Tìm điều kiện của a, b để hai phương trình sau tương đương

x2 + 2ax – b + 4 = 0 (1); x2 + 2bx + a = 0 (2)

Lời giải

Phương trình (1) có 1 = a2 + b – 4 Phương trình (2) có 2 = b2 – a

Hai phương trình tương đương khi và chỉ khi các số a, b thoả mãn một trong hai trường hợp sau:

Trường hợp 1: hai phương trình vô nghiệm { {

Trường hợp 2: hai phương trình có nghiệm là { {

Gọi x1;x2 là hai nghiệm của (1); S1 = x1 + x2 = - 2a; P1 = x1.x2 = -b + 4

Gọi x3; x4 là hai nghiệm của (2): S2 = x3 + x4 = -2b; P2 = x3x4 = a

Hai phương trình có cùng tập nghiệm khác rỗng {

{

{

{

Kết luận {

hoặc {

Ví dụ 14: Chứng minh rằng các phương trình sau luôn có hai nghiệm phân biệt

a x2 + (2m +6)x + m + 2 = 0

b x2 – 2m2x + m2 + 4m – 5 = 0

Hướng dẫn: Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ

Lời giải