Chủ đề bám sát.Phân tích đa thức thành nhân tử Mục tiêu: + Sau khi học xong chủ đề này, học sinh có khả năng: + Hiểu thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử + Hiểu các phơng pháp phân
Trang 1Chủ đề bám sát.
Phân tích đa thức thành nhân tử
Mục tiêu:
+ Sau khi học xong chủ đề này, học sinh có khả năng:
+ Hiểu thế nào là phân tích đa thức thành nhân tử
+ Hiểu các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử thờng dùng
+ Vân dụng đợc các phơng pháp đó để giải các bài toán về phân tích đa thức thành nhân tử, tìm nghiệm của đa thức, chia đa thức, rút gọn phân thức
Các tài liệu:
Sách GK + SGV toán 8 tập 1
Sách bồi dỡng toán 8 tập 1
Nội dung:
HS: trả lời …
HS: khác nhận xét
GV: nhận xét tóm tắt
GV: Có những phơng pháp nào để
phân tích đa thức thành nhân tử đã
học
HS trả lời …
GV: phân tích đa thức thành nhân
tử bằng phơng pháp đạt nhân tử
chung dựa trên tính chất nào của
các phép toán về đa thức ?
HS trả lời …
GV: phơng pháp dùng HĐT là gì?
GV: treo bảng phụ ghi 7 HĐT
1/ Thế nào là phân tích 1 đa thức thành nhân tử:
Phân tích 1 đa thức thành nhân tử là biến đổi đa thức đã cho thành tích của những đơn thức (đa thức) với đa thức khác
2/ Những phơng pháp thờng dùng để phân tích đa thức:
03 phơng pháp a/ Phơng pháp đặt nhân tử chung:
* Kiến thức cần nhớ:
+ Dựa trên t/c phân phối của phép nhân
đối với phép cộng + Tổng quát: AB + AC = A(B+C)
* Ví dụ: 3x2 + 12xy = 3x(x+4y) b/ Phơng pháp dùng hằng đẳng thức: Kiến thức cần nhớ:
Nếu đa thức đã cho là 1 vế ở dạng tổng của 1 trong các HĐT đáng nhớ
Trang 2( dùng HĐT (A- B)2
Nội dung cơ bản của phơng pháp
nhóm nhiếu hạng tử là gì ?
HS: trả lời …
GV: nhận xét -> tóm tắt
GV: nhóm (1) với (2); (3) với (4)
Rồi phân tích đa thức thành nhân tử
Cách khác?
GV: Tách hạng tử nào?
GV: nhận xét =>cách giải
GV: Cần thêm hạng tử nào vào đa
thức để giữa các nhóm xuất hiện
nhân tử chung
Chú ý : thêm vào hạng tử nào thì
bớt đi chính hạng tử đó để giá trị
nào đó thì ta có thể dùng HĐT đó
để biểu diễn đa thức này thành 1 tích các đa thức khác
Ví dụ: x2 -4x + 4 = (x-2)2
c/ Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử: Nhóm nhiều hạng tử của 1 đa thức một cách thích hợp để có thể đặt đợc nhân
tử chung hoặc dùng đợc HĐT đáng nhớ
Ví dụ: x2 – 2xy + 5x – 10y Cách 1:
= (x2 – 2xy) +(5x-10y) = x(x-2y) + 5(x-2y) = (x-2y)(x+5)
Cách 2:
x2 – 2xy + 5x – 10y
= (x2 + 5x) – (2xy + 10y)
= x(x +5) – 2y(x + 5) = (x+ 5)(x – 2y)
3/ Các phơng pháp khác:
a/ Phơng pháp tách 1 hạng tử thành nhiều hạng tử:
Cần chọn hạng tử nào đó có thể tách thành 2 hạng tử
Ví dụ:phân tích đa thức thành nhân tử : 2x2 – 3x +1
= 2x2 -2x –x +1
= 2x(x-1) – (x-1)
=(x-1)(2x-1) b/ phơng pháp thêm bớt cùng 1 hạng tử:
Ví dụ: phân tích đa thức thành nhân
tử :
a2 - b2 = a2 +ab – ab – b2
= (a2 +ab) – (ab+b2) = a(a+b) – b(a+b) = (a+b)(a- b)
Trang 3của đa thức không thay đổi
GV: Cách nào là phân tích đa thức
thành nhân tử ? Giải thích?
HS: trả lời…
HS khác nhận xét
GV: tóm tắt, kết luận
GV: Ta nên dùng phơng pháp nào
để phân tích đa thức thành nhân
tử ?
HS: trả lời ………
GV: ( phơng pháp đặt nhân tử
chung)
GV: Ta nên dùng phơng pháp nào
để phân tích đa thức thành nhân
tử ?
( phơng pháp dùng HĐT)
II Luyện tập:
Bài 1: Trong các cách biến đổi sau
đây, cách nào là phân tích đa thức thành nhân tử :
2x2 + 5x – 3 = x(2x+5) -3 (1) = x(2x + 5) -3x (2) = 2(x2 + 52x) - 3x (3) = (2x – 1)( x+3) (4) 2(x - 12)(x + 3) (5)
Đáp: 3 cách biến đổi 3; 4; 5 là phân tích đa thức thành nhân tử
Bài 2 : Phân tích đa thức thành nhân
tử:
a 5x(y + 1) – 2(y+1)
b 12xy – 4x2y + 8xy2
c 25x2(y – 1) – 5x3(1 – y) Giải:
a 5x(y + 1) – 2(y+1)
= (y + 1)(5x – 2)
b 12xy – 4x2y + 8xy2
= 4xy(3 – x + xy)
c 25x2(y – 1) – 5x3(1 – y)
= (y – 1)(25x2 – 5x3)
= (y -1)5x2(5 – x)
= 5x2 (y -1) (5 – x)
Bài 3: Phân tích đa thức thành nhân tử
a a2 – 2a + 1
b 8x3 + 27y3
c 9x2 –(x – y)2
Giải:
a a2 – 2a + 1 = (a- 1)2
b 8x3 + 27y3 = (2x)3 +(3y)3
= (2x + 3y)[(2x)2 – (2x)(3y)+(3y)2]
Trang 4GV: Ta nên dùng phơng pháp nào
để phân tích đa thức thành nhân
tử ?
( cần phối hợp các phơng pháp :
Nhóm nhiều hạng tử + dùng HĐT
+ Đặt nhân tử chung)
= (2x + 3y)(x2 – 6x3y+9y2)
c 9x2 –(x – y)2 = (3x)2 – (x-y)2
=[ 3x – (x – y) ][3x+(x – y)]
=(3x – x + y) (3x+x – y)
Bài 4: Phân tích đa thức thành nhân tử
a 4x2 - 9y2 + 4x – 6y
b x(2x – 3y) – 6y2 + 4xy
c 8x3 + 4x2 – y3 – y2
Giải
a 4x2 - 9y2 + 4x – 6y
= [(2x)2 –(3y)2] + (4x – 6y)
= (2x + 3y)(2x – 3y) + 2(2x – 3y) (2x – 3y)(2x + 3y + 2)
b x(2x – 3y) – 6y2 + 4xy
= x(2x – 3y) + (4xy – 6y2)
= x(2x – 3y) + 2y(2x – 3y)
= (2x – 3y)(x + 2y)
c 8x3 + 4x2 – y3 – y2
= (8x3 – y3 ) + (4x2 – y2)
= [(2x)3 – y3] + [(2x)2 –y2]
= (2x – y)[(2x)2+ (2x)y + y2]+ (2x- y) (2x+ y)
= (2x – y)(4x2 + 2xy + y2)+(2x – y) (2x + y)
=(2x- y)(4x2+ 2xy + y2+ 2x + y)
Bài 5: Phân tích đa thức thành nhân tử
a a3 – a2b –ab2 +b3
b ab2c3 + 64ab2
c 27x3y – a3b3y Giải
a a3 – a2b –ab2 +b3
= a2(a- b) - b2(a- b)
= (a- b)(a2 – b2)
= (a- b)(a- b)(a + b)
= (a- b)2(a+ b)
b ab2c3 + 64ab2 = ab2(c3 + 64)
= ab2(c2 – 4c + 16)
c 27x3y – a3b3y
= y(27x3 – a3b3) = y[(3x)3 –(ab)3]
= y[(3x- ab)[(3x)2 + 3xab +(ab)2]
Trang 5GV: Ta nên dùng phơng pháp nào
để phân tích đa thức thành nhân
tử ?
Hóy phõn tớch cỏc phương trỡnh đó
cho về dạng tớch rồi giải?
Hóy phõn tớch phương trỡnh đó cho
về dạng tớch cỏc phương trỡnh bậc
nhất rồi giải?
= y(3x – ab)(9x2 +3xab +a2b2) Bài 6:phân tích đa thức thành nhân tử
a 2x2 – 3x + 1
b x4 +x2y2 + y4
c x3 + 3x– 4 Giải
a 2x2 – 3x + 1 = 2x2 – 2x – x + 1
= 2x(x- 1) –(x- 1)
= (x- 1)(2x – 1)
b x4 +x2y2 + y4
= x4 + 2x2y2 +y4 – x2y2
= (x2 + y2)2 – (xy)2
= (x2 +y2 + xy)(x2+y2- xy)
b x3 + 3x– 4
= (x3 – 3x2 + 3x – 1) + (3x2 – 3)
= (x – 1)3 +3(x2-1)
=(x- 1)[(x – 1)2 +3(x+1)]
= (x- 1)(x2 +x + 4)
dụng
Bài 7: Giải phơng trình:
a/ 2(x + 3) – x(x+3) = 0
x+3 = 0 ⇔x = - 3
2 – x = 0 ⇔x = 2 Vậy phơng trình có 2 nghiệm:
X1 = -3 và x2 = 2 b/ x2 + 5x = 6
⇔x2 + 5x -6 = 0
x - 1 = 0 ⇔x = 1
⇔ x+ 6 = 0 ⇔x = - 6 Vậy phơng trình có 2 nghiệm:
x1 = 1 và x2 = -6
⇔
⇔
Trang 6Hãy phân tích các đa thức bị chia
đã cho về dạng tích các biểu thức
trong đó có chứa đa thức chia rồi
chia?
Hãy phân tích tử và mẫu của phân
thức đã cho về dạng tích các biểu
thức trong đó tử và mẫu thức có
chứa nhân tử chung chia rồi chia cả
tử và mẫu cho nhân tử chung đó?
c/ x3 + 27+(x+3)(x- 9) = 0
⇔(x+3)(x2 - 3x + 9 + x – 9) = 0
⇔(x + 3)(x2 – 2x) = 0
x = 0
x – 2 = 0 ⇔ x = 2
Bµi 8: Thùc hiÖn phÐp chia ®a thøc sau
®©y b»ng c¸ch ph©n tÝch ®a thøc bÞ chia thµnh nh©n tö:
a/ (x5 + x3 +x2 +1): (x3 +1)
= [x3(x2 + 1) + (x2+1)] : (x3+1)
= (x2+1)(x3 +1) :(x3+1) = x2+1 b/ (x3 + x2 +4) : (x+2)
= (x3 + 2x2 – x2 +4) : (x+ 2)
=[x2(x+ 2) – (x2 – 4)] : (x+2)
=[x2(x+ 2) – (x+ 2) (x– 2)] : (x+2)
= (x+ 2)(x2- x + 2) : (x+ 2)
=x2 – x + 2 Bµi 9: Rót gän c¸c ph©n thøc a/ x yy −xy x
−
−
2
) 3 2 )(
(
=
x y x x y x
y y x y x y
− −
= =
−
b/
2
=
=
2
=
− +
Cñng cè:
Nh¾c l¹i néi dung c¸c ph¬ng ph¸p ph©n tÝch
Trang 7Nêu lợi ích của việc phân tích đa thức thành nhân tử vào giải 1 số bài tập
Vận dụng: Hoạt động nhóm:
Nhóm 1: Viết bảy HĐT đáng nhớ
Nhóm 2: Rút gọn nbiểu thức sau:
Nhóm 3: Phân tích đa thức sau thành nhân tử:
– 5)
Nhóm 4: Làm tính chia:
Kiểm tra Câu 1: Điền dấu X vào ô trống thích hợp:
Câu 2: phân tích đa thức thành nhân tử
a/ x3 – 3x2 + 1 – 3x
b/ 3x2 – 6x + 3y2 -12z2
Câu 3: Tính nhanh giá trị biểu thức sau:
532 + 472 + 94 53
Đáp án và biểu điểm
1 (x- 1)2 = 1 – 2x + x2
2 (x+2)2 = x2 +2x +4
3 (a- b)(b- a) = (b- a)2
7 -(x -5)2 = (- x+ 5)2
8 (x – 1)3 = x3 – 9x2 +27x
– 27
9 (x3- 1) : (x – 1) = x2 + 2x +
1
10 (X3 +8 ) : (x2 – 2x + 4) = (x
+2)
Trang 8C©u 1: 5 ® Mçi ph¬ng ¸n 0,5 ®iÓm
§óng gåm c¸c ph¬ng ¸n sau: 1; 2; 4; 8; 10 ( 2,5 ®)
Sai gåm c¸c ph¬ng ¸n cßn l¹i (2,5 ®)
C©u 2: 3 ® Mçi 1,5 ®
a/ x3 – 3x2 + 1 – 3x
= (x3 + 1) – (3x2 + 3x)
= (x + 1)(x2 –x +1) – 3x(x + 1)
b/ 3x2 – 6x + 3y2 -12z2
= 3(x2 – 2x + y2 – 4z2)
C©u 3: 2 ®
532 + 472 + 94 53
= 532 + 2 53.47 + 472
= (53+47)2
= 1002 = 10000