Sáng kiến kinh nghiệm: Phát huy tính tích cực của học sinh qua việc giải toán phân tích đa thức thành nhân tử

Bộ môn toán trong trờng trung học cơ sở, nhất là bộ môn đại số 8 là một bộ môn rèn luyện tính t duy nhạy bén của học sinh, nó đòi hỏi ngời học phải nhìn nhận vấn đề dới mọi góc độ phải l

Trờng đại học s phạm hà nội - 

 -Đề tài khoa học

Phát huy tính tích cực học tập của học sinh qua việc dạy giải toán phân tích đa thức

thành nhân tử.

Ngời hớng dẫn: T.S Nguyễn Văn Khải Ngời thực hiện: Trần Văn Chung

Trờng : THCS Tân Trào.

Hải dơng 2005

I Đặt vấn đề

Với xu thế phát triển của xã hội nói chung và sự phát triển của khoa học nói riêng, con ngời cần phải có một tri thức, một t duy nhạy bén để nắm bắt và sử dụng những tri thức đó trong cuộc sống hàng ngày Muốn có những tri thức đó con ngời cần phải học, nhà trờng là một trong những nơi cung cấp những hành trang đó Bộ môn toán trong trờng trung học cơ

sở, nhất là bộ môn đại số 8 là một bộ môn rèn luyện tính t duy nhạy bén của học sinh, nó đòi hỏi ngời học phải nhìn nhận vấn đề dới mọi góc độ phải liên hệ giữa bài toán đã giải,những kiến thức đã biết để giải quyết.vì vậy ngời thầy phải cho học sinh nắm đợc các dạng toán cơ bản và các h-ớng mở rộng của bài toán đó Từ đó để học sinh phát triển t duy và hình

thành kĩ năng giải toán Muốn đạt đợc điều đó phải đòi hỏi tính tích cực, tính t duy của ngời học nhng phơng pháp của ngời thầy cũng rất quan trọng,làm cho học sinh học một nhng có thể làm đợc hai ba Từ bài toán

đơn giản mở rộng lên bài khó

Khi tính toán các phép tính đối với đa thức,nhiều khi cần thiết phải biến

đa thức đó trở thành một tích.Việc phân tích đa thức thành nhân tử đợc áp dụng vào : Rút gọn biểu thức,giải phơng trình, quy đồng mẫu thức các phân thức,biến đổi đồng nhất biểu thức hữu tỉ, tìm giá trị của biến để biểu thức nguyên, tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất Để phân tích đa thức thành nhân tử, có nhiều phơng pháp, ngoài ba phơng pháp cơ bản nh : Đặt nhân

tử chung, nhóm nhiều hạng tử, dùng hằng đẳng thức ta còn có các phơng pháp khác nh tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử, thêm bớt cùng một hạng tử, đặt ẩn phụ ( đổi biến), hệ số nhất định, xét giá trị riêng Phân tích đa thức thành nhân tử có nhiều phơng pháp khác nhau do đó khi giảng dạy ngời giáo viên giúp học sinh lựa chọn phơng pháp phù hợp để phát huy đợc trí lực của học sinh, phát triển đợc t duy toán học

Khi dạy phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử, giáo viên cần bồi dỡng thêm cho học sinh các phơng pháp khác ngoài sách giáo khoa Đặc biệt đối với học sinh khá, giỏi Giúp các em biết lựa chọn các phơng pháp thích hợp để giải quyết các bài toán khó Vì vậy, tôi cũng nêu ra phơng pháp phát huy trí lực của học sinh qua việc dạy, giải bài tập áp dụng

ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử

B Nội Dung

1 Các phơng pháp cơ bản

a Phơng pháp

- Tìm nhân tử chung là những đơn,đa thức có mặt trong tất cả các hạng tử

- Phân tích mỗi hạng tử thành tích các nhân tử chung và một nhân tử khác

- Viết nhân tử chung ra ngoài dấu ngoặc, viết các nhân tử còn lại của mỗi hạng tử vào trong dấu ngoặc ( kể cả dấu của chúng )

b Ví dụ:

15a2b2 - 9a3b + 3a2b = 3a2b ( 5b - 3a - b2 )

2x (y - z ) + 5y (z - y ) = 2x(y -z ) - 5y(y -z ) = (y- z)(2x - 5y)

xm + 3 + xm( x3 + 1) = xm(x + 1) (x2 - x + 1)

2.Phơng pháp dùng hằng đẳng thức

a Phơng pháp:

- Dùng các hằng đẳng thức đáng nhớ để phân tích đa thức thành nhân tử

b Ví dụ:

9x2 - 4 = (3x)2 - 22 = (3x-2)(3x+2)

8 -27a3b6 = 23 - (3ab2)3 = (2-3ab2)(4+6ab2+9a2b4)

25x4 - 10x2y+y2 = (5x2-y)2

3.Phơng pháp nhóm nhiều hạng tử.

a Phơng pháp

- Kết hợp các hạng tử thích hợp thành từng nhóm

- áp dụng tiếp tục các phơng pháp đặt nhân tử chung hoặc dùng hằng

đẳng thức

b Ví dụ:

2x3 - 3x2 + 2x - 3 = (2x3 + 2x) - (3x2 + 3)

= 2x(x2 +1) - 3(x2 +1)

= (x2 +1) (2x - 3)

x2 - 2xy + y2 - 16 = (x -y )2 - 42 = (x - y - 4) (x - y + 4)

4 Phối hợp nhiều phơng pháp

a Phơng pháp: - Chọn các phơng pháp theo thứ tự u tiên

+ Đặt nhân tử chung

+ Dùng hằng đẳng thức

+ Nhóm nhiều hạng tử

b Ví dụ:

3xy2 - 12xy + 12x =3x( y2 - 4y + 4)

=3x (y -2 )2

3x3y - 6x2y - 3xy3 - 6axy2 - 3a2xy +3xy

=3xy(x2 - 2x - y2 - 2ay - a2 + 1)

=3xy 2 2 2

=3xy  2  2

=3xy x 1    y a      x 1    y a  

=3xy( x-1 - y - a)(x - 1 + y +a )

5 Phơng pháp tách một hạng tử thành hai hay nhiều hạng tử.

a Phơng pháp:

Tách một hạng tử thành hai hạng tử để đa thức có nhiều hạng tử hơn rồi

dùng Phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung.

b Ví dụ:

Phân tích đa thức x2 - 6x + 8 thành nhân tử

* Cách 1: x2- 6x + 8 = x2 - 2x - 4x + 8

= x (x - 2) - 4(x -2) = (x - 2) (x - 4)

* Cách 2: x2 - 6x + 8 = x2 - 6x + 9 - 1

= ( x - 3)2 - 1

=( x -3 - 1)( x- 3 + 1)

= (x - 4)(x -2)

* Cách 3: x2 - 6x + 8 = x2 - 4 - 6x + 12

=(x - 2)(x+2) - 6(x - 2) = x - 4)(x -2)

* Cách 4: x2 - 6x + 8 = x2 - 16 - 6x + 24 =( x - 4)(x + 4 ) - 6 (x - 4) =(x - 4)(x + 4 - 6) = (x - 4)(x -2)

* Cách 5: x2 - 6x + 8 = x2 - 4x + 4 -2x + 4 = (x - 2)2 - (x - 2)

=( x -2)(x- 2- 2) = (x - 4)(x -2)

Tuy rằng có nhiều cách tách nhng thông dụng nhất là hai cách sau:

*Cách 1: Tách hạng bậc nhất thành hai hạng tử rồi dùng phơng pháp nhóm các hạng tử và đặt nhân tử chung mới

áp dụng trong khi phân tích tam thức bậc hai ax2 + bx + c thành nhân tử

ta làm nh sau:

- Tìm tích ac

- Phân tích tích ac thành tích của hai thừa số nguyên bằng mọi cách

- Chọn hai thừa số có tổng bằng b

Khi đó hạng tử bx đã đợc tách thành hai hạng tử bậc nhất

Ví dụ: 4x2 - 4x - 3

- Tích ac là 4.(- 3) = - 12

- Phân tích -12 = -1 12 = 1.(-12) =-2 6 = -3 4 =3 (-4)

- Chọn 2 thừa số có tổng là : - 4 đó là 2 và (- 6)

4x2 - 4x - 3 = 4x2 + 2x - 6x - 3 = 2x( 2x+ 1) - 3 (2x + 1)

=(2x + 1)(2x - 3)

* Cách 2: Tách hạng tử không đổi thành hai hạng tử rồi đa đa thức về dạng hiệu hai bình phơng

Ví dụ: 4x2 - 4x - 3 = 4x2 - 4x +1 - 4 = ( 2x - 1)2 - 22

= (2x - 1 - 2)(2x - 1 +2) = (2x + 1)(2x-3)

3x2 - 8x + 4 = 4x2- 8x + 4 - x2 = (2x - 2 )2 - x2

= ( 2x - 2 - x)(2x -2 + x ) = (x - 2 )(3x -2)

6 Phơng pháp thêm bớt cùng một hạng tử.

a Phơng pháp : Thêm bớt cùng một hạng tử để đa đa thức về dạng hằng

đẳng thức hoặc nhóm nhiều hạng tử Thông thờng hay đa về dạng

a2- b2 sau khi thêm bớt

b Ví dụ:

4x2 + 81 = 4x4 + 36x2 + 81 - 36x2

=( 2x2 + 9)2 - (6x)2

= (2x2 + 9 - 6x)(2x2 + 9 + 6x)

x7 + x2 +1= x7 - x + x2 + x + 1 = x(x6 - 1) + (x2+ x + 1)

= x(x3 - 1)(x3 + 1) +(x2 + x + 1)

= x(x3 +1)(x -1)(x2 + x + 1) + (x2 + x + 1)

= (x2 + x + 1)(x5 - x4 - x2 + 1)

II Các ph ơng pháp khác:

1 Phơng pháp đổi biến số( Đặt ẩn phụ )

a Phơng pháp:

Đặt ẩn phụ đa về dạng tam thức bậc hai rồi sử dụng các phơng pháp cơ bản

b Ví dụ:

* Phân tích đa thức 6x4 - 11x2 + 3thành nhân tử

đặt x2 = y ta đợc 6y2 - 11y + 3 = ( 3y + 1)(2y + 3)

Vậy: 6x4 - 11x2 + 3 = ( 3x2 - 1 )(2x2 - 3)

* Phân tích đa thức (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 thành nhân tử

đặt x2 + x = y ta đợc y2 + 4y + 2 = (y +1)(y+2)

Vậy: (x2 + x)2 + 3(x2 + x) +2 = ( x2 + x + 1)( x2 + x +2)

2 Phơng pháp hệ số bất định

a Phơng pháp:

Phân tích thành tích của hai đa thức bậc nhất hoặc bậc hai hay một đa thức bậc nhất,một đa thức bậc hai dạng( a + b)( cx2 + dx +m) rồi biến đổi cho đồng nhất hệ số của đa thức này với hệ số của đa thức kia

b.Ví dụ:

Phân tích đa thức x3 - 19x - 30 thành nhân tử

Nếu đa thức này phân tích đợc thành nhân tử thì tích đó phải có dạng x(x2 + bx + c) = x + (a+b)x2 + (ab + c)x +ac

Vì 2 đa thức này đồng nhất nên:

a+ b = 0

ab + c = -19

ac =-30

Chọn a = 2, c = -15

Khi đó b = -2 thoả mãn 3 điều kiện trên

Vậy : x3 - 19x - 30 =(x + 2)(x2- 2x - 15)

3 Phơng pháp xét giá trị riêng.

a Phơng pháp:

Xác định dạng các thừa số chứa biến của đa thức, rồi gán cho các biến giá trị cụ thể xác định thừa số còn lại

b.Ví dụ

P = x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) thay x bởi y thì thấy

P = y2 ( y- z) + y2 (z - y) = 0 nh vậy P chứa thừa số (x -y)

Vậy nếu thay x bởi y, thay y bởi z, thay z bởi x thì P không đổi ( đa thức P

có thể hoán vị vòng quanh) Do đó nếu P đã chứa thừa số (x - y) thì cũng chứa thừa số (y - z), (z - x ) Vậy P có dạng k(x - y)(y - z)(z - x)

Ta thấy k phải là hằng số vì P có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y, z còn tích (x - y)(y - z)(z - x) cũng có bậc ba đối với tập hợp các biến x, y,z Vì đẳng thức x2(y - z) + y2(z - c) + z(x - y) = k(x - y)(y - z)(z - x)

đúng với mọi x, y, z Nên ta gán cho các biến x, y, z các giá trị riêng chẳng hạn: x = 2, y = 1, z = 0

ta đợc: 4.1 + 1.(-2) + 0 = k.1.1.(-2)

 k =-1

Vậy P = - (x - y)(y - z)(z - x) = (x - y)(y - z)(x - z)

c)Ngoài ra ta còn có nhận xét: Giả sử phải phân tích biểu thức

F(a,b,c) thành nhân tử,trong đó a,b,c có vai trò nh nhau trong biểu thức đó.Nếu F(a,b,c) = 0 khi a=b thì F(a,b,c) sẽ chứa nhân tử a-b,b-c,c-a Nếu F(a,b,c) là biểu thức đối xứng của a,b,c nhng F(a,b,c) ≠ 0 khi a = b thì ta thử xem khi a= -b, F(a,b,c) có triệt tiêu không,nếu thoả mãn thì F(a,b,c) chứa nhân tử a+b và từ đó chứa các nhân tử b+c, c+a.

c 1)Ví dụ 1: Phân tích thành nhân tử

F(a,b,c) = a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b)

- Khi a= b ta có F(a,b,c) = a2(a-c)+a2(c-a) = 0,do đó F(a,b,c) có chứa nhân tử (a-b)

Tơng tự F(a,b,c) chứa các nhân tử (b-c) và (c-a) Vì F(a,b,c) là biểu thức bậc ba do đó F(a,b,c) = k(a-b)(b-c)(c-a) Cho a= 1,b=0,c= -1 ta có

1+1 = k.1.1.(-2)  k = -1

Vậy F(a,b,c) = -(a-b)(b-c)(c-a)

c 2)Ví dụ 2:Phân tích đa thức thành nhân tử

F(x,y,z) = (xy+xz+yz)(x+y+z) - xyz

- Khi x = -y thì F(x,y,z)= -y2z + y2z = 0 nên F(x,y,z) chứa nhân tử x+y Lập luận tơng tự ví dụ 1,ta có F(x,y,z) = (x+y)(y+z)(z+x).

4 Phơng pháp tìm nghiệm của đa thức:

a Phơng pháp:

Cho đa thức f(x), a là nghiệm của đa thức f(x) nếu f(x) = 0 Nh vậy nếu đa thức f(x) chứa nhân tử (x - a )thì phải là nghiệm của đa thức Ta đã biết rằng nghiệm nguyên của đa thức nếu có phải là ớc của hệ số tự do

Ví dụ: x3 + 3x - 4

Nếu đa thức trên có nghiệm là a (đa thức có chứa nhân tử (x - a)) thì nhân

tử còn lại có dạng (x2 + bx + c)

 -ac = - 4  a là ớc của - 4

Vậy trong đa thức với hệ số nguyên,nghiệm nguyên nếu có phải là ớc của hạng tử không đổi

Ước của (- 4 ) là (- 1), 1,(-2), 2, (- 4), 4 Sau khi kiểm tra ta thấy 1 là nghiệm của đa thức  đa thức chứa nhân tử ( x - 1) Do vậy ta tách các hạng tử của đa thức làm xuất hiện nhân tử chung ( x - 1)

*Cách 1: x3 + 3x - 4 = x3 - x2 + 4x2 - 4 = x2 (x -1) + 4(x -1)(x +1) = (x - 1)(x2 + 4x + 4) =(x -1)(x + 2)2

*Cách 2: x3 + 3x - 4 =x3 - 1 + 3x2 - 3 = (x3- 1) + 3(x2 - 1)

= ( x - 1)(x2 + x +1 +3(x2+ - 1)

= ( x - 1)(x + 2)2

Chú ý:

- Nếu đa thức có tổng các hệ số bằng không thì đa thức chứa nhân tử (x-1) -Nếu đa thức có tổng các hệ số của hạng tử bậc chẵn bằng tổng các hạng

tử bậc lẻ thì đa thức có chứa nhân tử ( x + 1)

Ví dụ:

* Đa thức: x2 - 5x + 8x - 4 có 1 - 5 + 8 - 4 = 0

 Đa thức có nghiệm là 1 hay đa thức chứa thừa số ( x - 1)

*Đa thức: 5x3 - 5x2 + 3x + 9 có -5 + 9 =1 + 3

 Đa thức có nghiệm là (-1) hay là đa thức chứa thừa số ( x + 1)

+ Nếu đa thức không có nghiệm nguyên nhng đa thức có thể có nghiệm hữu tỷ Trong đa thức với hệ số nguyên nghiệm hữu tỷ nếu có phải có

q trong đó p là ớc của hạng tử không đổi, q là ớc dơng của hạng tử cao nhất

Ví dụ: 2x3 - 5x2 + 8x - 3

Nghiệm hữu tỷ nếu có của đa thức trên là: (-1), 1, ( 1

2



), 1

2, (

3 2



),(3

2)

(- 3), Sau khi kiểm tra ta thấy x= a là nghiệm nên đa thức chứa nhân tử (x - a) hay (2x - 1) Do đó ta tìm cách tách các hạng tử của đa thức để xuất hiện nhân tử chung ( 2x - 1)

2x3 - 5x2 + 8x - 3 = 2x3- x2 - 4x2 + 2x + 6x - 3

= x2(2x - 1) - 2x(2x - 1) + 3(2x -1)

= (2x - 1)(x2 - 2x + 3)

5 Phơng pháp tính nghiệm của tam thức bậc hai

Nếu b2 - 4ac là bình phơng của một số hữu tỷ thì có thể phân tích tam thức thành thừa số bằng một trong các phơng pháp đã biết

Nếu b2 - 4ac không là bình phơng của số hữu tỷ nào thì không thể phân tích tiếp đợc nữa

b Ví dụ: 2x2 - 7x + 3

a =2, b = -7, c = 3

xét b2 - 4ac = 49 - 4.2.3 = 25 = 52

 phân tích đợc thành nhân tử : 2x2 - 7x + 3 = (x - 3)(2x -1)

hoặc có thể phân tích bằng cách để ra bình phơng đủ

2x2 - 7x + 3 = 2(x2- 7

3

2)

= 2 (x2 - 2.7

4x +

49 25

16 16 )

= 2    

4 4 4 4 = 2(x-3)(x-1

2)

Chú ý: P(x) = x2 + bx = c có hai nghiệm x1, x2 thì:

P(x) = a(x - x1)(x - x2)

Phần 2: Giải các bài toán phân tích đa thức

1 Bài toán rút gọn biểu thức.

a Ví dụ: Cho

A = 2 x 3 x 2 2 x

a1) Rút gọn A

a2) Tính giá trị của A với x = 998

a3).Tìm giá trị của x để A > 1

b Đờng lối giải: Dựa trên cơ sở tính chất cơ bản của phân thức đại số,

phân tích tử thức và mẫu thức thành nhân tử nhằm xuất hiện nhân tử chung rồi rút gọn, đồng thời tìm tập xác định của biểu thức thông qua các nhân tử nằm dới mẫu

Với học sinh: Rèn luyện kỹ năng vận dụng các phơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử vào loại bài toán rút gọn, giúp học sinh thấy đợc sự liên hệ chặt chẽ giữa các kiến thức phát triển trí thông minh

b Ví dụ 2: (Các bài toán tơng tự )Rút gọn biểu thức :

A = 4 4 3 3 2 1

B = a b c2( )2 b c a2(2 3) c a b22( )

ab ac b bc

C =

3 3 3

3

Đờng lối giải :Để rút gọn các phân thức trên:

- Bớc 1: ta phải phân tích cả tử thức và mẫu thức thành nhân tử

- Bớc 2: chia cả tử thức và mẫu thức cho nhân tử chung

2.Bài toán giải phơng trình:

a.Đờng lối giải: Với các phơng trình bậc hai trở lên việc áp dụng các

ph-ơng pháp phân tích đa thức thành nhân tử rất quan trọng, vì sau khi phân tích vế chứa ẩn thì đợc dạng phơng trình tích A.B = 0 khi và chỉ khi A =

0 hoặc B = 0

b Ví dụ: Giải phơng trình

(4x + 3)2 - 25 = 0

Giải: áp dụng phơng pháp phân tích đa thức vế trái thành nhân tử đa phơng trình về dạng

8(2x - 1)(x +2) = 0  x = 1

2 hoặc x = -2

3 Bài toán giải bất phơng trình

a Đờng lối giải: Với các bất phơng trình bậc cao hoặc các bất phơng

trình có chứa ẩn ở mẫu thì việc rút gọn biểu thức và phơng trình thành đa thức, tử và mẫu thành nhân tử đóng vai trò rất quan trọng khi đa bất phơng trình về dạng bất phơng trình tích (A.B < 0 hoặc A.B > 0 ) hay bất phơng trình thờng

b Ví dụ: Giải các bất phơng trình

b1) 2

x

x  x > 1  2

(x 2)(x 3)



  > 0 Nhận xét: vì (- 2) < 0  (x- 2)(x - 3) < 0  2 < x< 3

b2) 3x2 - 10x - 8 > 0

(3x+ 2)( x- 4) > 0

Ta lập bảng xét dấu tích Kết quả x < 2

3



hoặc x > 4

4 Bài toán chứng minh về chia hết

a Đờng lối giải: Biến đổi đa thức đã cho thành một tích trong đó xuất

hiện thừa số có dạng chia hết

b Ví dụ:

b1) Chứng minh rằng x  ta có biểu thức

P = (4x+3)2 - 25 chia hết cho 8

Phân tích : P = 8(2x-1)(x+1) chia hết cho 8

b2)Chứng minh rằng biểu thức :

2 3

  là số nguyên n 

Biến đổi biểu thức về dạng 2 3 2 3

6

n n n

và chứng minh (2n+3n2+n3) chia hết cho 6

Ta có 2n+3n2+n3 = n(n+1)(n+2) là tích của ba số nguyên liên tiếp,vì vậy

có ít nhất một thừa số chia hết cho 2,một thừa số chia hết cho 3 mà

(2;3)=1 nên tích này chia hết cho 6.Vậyn  thì

2 3

  là số nguyên

5 Bài toán tìm giá trị lớn nhất, nhỏ nhất.

a)Đờng lối giải : Ta tìm cách phân tích đa thức về dạng hằng đẳng thức

A2 + m , A2 - m ,A2+B2 (m là hằng số) rồi nhận xét để đi đến kết quả cuối cùng

b Ví dụ 1 :Chứng tỏ x2+x+1 > 0 x

Ta viết : x2+x+1 = x2+2.1

1 3

4 4 = (x+

1

2)

2 + 3

4 ≥

3

4>0 x.

Ví dụ 2 : Tìm giá trị lớn nhất (hoặc nhỏ nhất) của đa thức