MA TRẬN_ ĐỊNH THỨC ppsx

Chứng minh rằng tập các ma trận tam giác trên và tập các ma trận tam giác dới cấp nxn đóng đối với các phép toán cộng,nhân ma trận và nhân một số với một ma trận.. Tính chất 3: Nếu hàng

Ch¬ng 2

Ma trËn_ §Þnh thøc

n n

a a a

a a a

a a a

2 22 21

1 12 11

Cho đa thức Pn(x)=a0+a1x+ +anxn

và ma trận vuông A cấp m, khi đó:

A đối xứng nếu: AT=A, phản đối xứng nếu: AT=-A

Ma trận vuông đối xứng thực A=(aij)nxn gọi là xác định dơngnếu ∀x=(xi)nx1 ta có xTAx≥0, dấu = xảy ra khi và chỉ khi x=θ

d Ma trận khối

Các đờng thẳng đứng và các đờng nằm ngang sẽ chia một

ma trận A thành các khối hình chữ nhật, mà mỗi khối là một ma trận có cấp nhỏ hơn cấp của ma trận A, khi đó ta gọi A là ma trậnkhối

Các phép toán trên ma trận khối thực hiện nh những ma trậnthờng, hoặc có thể thực hiện theo các quy tắc ma trận khối

B Bài tập

1 Thực hiện các phép nhân ma trận sau

10

000

00

100

00

010

Tìm Cm

8 Cho A,B là các ma trận vuông cùng cấp và A.B=B.A Chứng

minh rằng

a a (A+B)(A-B)=A2-B2

b An+1-Bn+1=(An+An-1B+ +ABn-1+Bn)(A-B)

9 Chứng minh rằng, nếu AB=BA (A0=B 0=I )thì:

a (A+B) 2 =A2+2.A.B+B2 b (A+B) n = C A n k n k B k

13

10 Chứng minh rằng không tồn tại A,B thoả mãn đẳng thức:

Dùng quy nạp toán học tìm biểu thức của Ak.

15 Thực hiện nhân hai ma trận sau bằng cả hai cách, dùng ma

16 Chứng minh rằng tập các ma trận tam giác trên và tập các

ma trận tam giác dới cấp nxn đóng đối với các phép toán cộng,nhân ma trận và nhân một số với một ma trận

17 Nếu ma trận vuông A cấp nxn phân tích đợc thành tích:A=L.U trong đó L là ma trận tam giác dới , U là ma trận tamgiác trên, thì ta nói A có một phân tích L.U Giả sử A một phântích LU, tìm biểu thức liên hệ giữa aij với lij và uij

19.Chứng minh rằng nếu A là ma trận vuông đối xứng xác

định dơng cấp n thì tồn tại duy nhất một ma trận tam giác dới L

mà A có phân tích A=L.LT, tìm biểu diễn các phần tử của L quacác phần tử của A.

C Lời giải, đáp số hoặc hớng dẫn

010

3

551

1016

41

01

41

24

161

11

01

12

11

01

12

11

01

12

11

ϕ(A)=− 

−

79

32

  cossinx x −cossinx x

= cos cos sin sin cos sin sin cos

sin cos cos sin sin sin cos cos

 11 11  cossinx x −cossinx x

= cos( ) cos sin( ) sin cos( ) sin sin( ) cos

sin( ) cos cos( ) sin sin( ) sin cos( ) cos

−+

x x

x x

x x

x x

x x

x x

3cos2cos2cos23

sin2sin2sin

)3sin2sin2(sin3

cos2cos2cos

000

1

000

0

10

0

0

01

(A+B)m=(A+B)m-1(A+B)=( C m k A m k B k

=

−

m k

k k m k

Đặt các ma trận tơng ứng là A,B,C ta có :A=B+C với B

là ma trận đờng chéo Do BC=CB, áp dụng a đợc

n n

An=(B+C) n= Bn +n Bn-1 C

= 3 0

n n

n n

1

Từ đó Vet(AB-BA)=0 còn Vet(I)=n nên AB-BA≠I

c a

01

a

b a

2 b≠0

12 Ta có:

1 1

1

B Vet A Vet b a

b a B

=+

13 Dùng quy nạp và khai triển (Bn-I)=(Bn-1+Bn-2+ +B+I)(B-I)

14 Quy nạp và khai triển (Bn-I)=(Bn-1+Bn-2+ +B+I)(B-I):

B I B C

B

k k

1)(

10

12

20

232

104

233

313

52721

16 Giả sử A=(aij) và B=(bij) là hai ma trận tam giác trên, khi

đó: aij=bij=0 khi (j<i:1≤j<i≤n) do đó: cij=aij+bij=0 (j<i:1≤j<i≤n),vậy C=A+B là ma trận tam giác trên

i k khi a

Tơng tự cho ma trận tam giác dới

17 Giả sử A có phân tích A=L.U, hay

n n

a a

a

a a

a

a a

21

1 12

l

l l l

0

0

0

2 1

22 21 11

u

u u

u u

u

00

0

2 22

1 12 11

Khi đó theo quy tắc nhân ma trận ta có:

1

n j i u

l

k

kj ik

k i khi l

kj

ik

00

Nên ta có: (, 1, )

) min(

1

n j i u l a

j k kj ik

ta có:

l11u11=0 , l11u12=1 suy ra l11≠0 và u11=0

l21u11=1 suy ra u11≠0 vô lý

19 Giả sử A có phân tích A=L LT , hay

n

n n

a a

a

a a

a

a a

2 22 21

1 12 11

l

l l l

0

0

0

2 1

22 21 11

l

l l

l l l

00

0

2 22

1 21 11

Vì A xác định dơng nên các lii đều khác 0 Xét các phần tửtrên cột j=1, vì A xác định dơng nên a11>0, ta có:

2 11 11 11

11 l l l

a = = nên l11 = a11

1 11

1i l l i

a = nên

11

1 11

1 1

l

a l

21 22

l

l l a

i

−

j k jk jj

j k

kj jk

j k jk jj

j k ik jk ij

jj j

k

ik jk

k ik jk ji

23 22 21

13 12 11

a a a

a a a

a a a

=a11a22a33+a12a23a31+a13a21a32

-a11a23a32-a12a21a33-a13a22a31

Trong đó các thừa số và dấu đợc tính theo quy tắc Xariut

a11 a12 a13 a11 a12 a13a21 a22 a23 a21 a22 a23a31 a32 a33 a31 a32 a33 Các số hạng dấu + Các số hạng dấu -

b Định thức của ma trận cấp 2 và cấp 1

detA=

22 21

12 11

a a

a a

Tính chất 2: Nhân tất cả các phần tử của một hàng (hay một

cột) với số k thì định thức cũng đợc nhân với số k, hay thừa sốchung của một hàng hoặc cột có thể đa ra ngoài dấu định thức

Tính chất 3: Nếu hàng i (hay cột j) có: aij=a’ij+a”ij, thì:

Tính chất 5: Nếu cộng thêm vào một cột (hoặc một hàng) một

tổ hợp tuyến tính của các cột khác(của các hàng khác) thì địnhthức không đổi

Chú ý: Các tính chất nói trên đợc dùng để tính định thức.

4 Khai triển định thức theo các phần tử của hàng hoặc cột

Cho ∆=det(A) Kí hiệu ∆ij là định thức nhận đợc từ ∆ bằngcách bỏ đi hàng i và cột j ( hàng và cột chứa phần tử aij) và gọi là

định thức con tơng ứng của phần tử aij, và gọi Aij=(-1)i+j∆ij làphần phụ đại số của aij

Khi đó với mỗi hàng i hoặc cột j ta luôn có:

i j

ij ij ij ij j

n j

i j

ij ij ij ij i

n i

5 Khai triển định thức dùng công thức Laplace

Cho ma trận vuông cấp n: A=(aij)nìn và một số k: 1≤ k ≤n.Với các số nguyên: 1≤ i1<i2< <ik≤n và 1≤ j1<j2< <jk≤n, kýhiệu định thức con cấp k của ma trận nhận đợc bằng cách lấycác phần tử nằm trên các hàng i1,i2, ,ik, và các cột j1,j2, ,jk của

ma trận A là: ∆( )A j i j i

k k

1

1 ; định thức con cấp n-k của ma trận nhận

đợc từ ma trận A bằng cách bỏ đi các hàng i1,i2, ,ik và các cộtj1,j2, ,jk là: k

k

i i j j

A

1 1

)(

j j

j j i i

)1

k

i i j j

A

1 1

)(

k

i i j j

A

1 1

)(

∆ det(A)=∑ − + + + + +

k

k k

i i

j j i i

)1

k

i i j j

A

1 1

)(

k

i i j j

A

1 1

)(

u

u u

u u

1 12 11

=∏

=

n i ii u

1, ∆=

nn n

l

l l l

0

0

0

2 1

22 21 11

=∏

=

n i ii l

1

Khi tính định thức, thờng hay dùng các tính chất của định thứcbiến đổi đa chúng về dạng tam giác trên hoặc tam giác dới rồi ápdụng kết quả trên

2

2

e e

e e

i tÝnh ∆=

111

2

2 2

e e

e e

e e

2 2

2 2

a c ac a c

c b bc c b

b a ab b a

++

++

++

d d

2 2 2

2 2 2

3 3 3

2 2 2

b a d c

c d a b

d c b a

b

2100

0

12

00

0

00

21

0

00

12

1

00

01

++

9 áp dụng các tính chất của định thức đa các định thức sau về

dạng tam giác trên rồi tính

11

01

01

11

110

x x x

x x

x

x x x

e c Cn=

0

x x x

x x x

n

+

++

321

22

1

311

321

−+

++

n x

n x

n x

n

a x a

a

a a x

a

a a a

y

x x

y

x x

x

k

1 3 2

1 1

2 1

a a a

a a

a

n n

2 2

2

3 2

n n

n k k

k k

n k k

k k

n

c c

c c

c c

c c

b a b a b a b a

b a b a b a b a

1

1 13

12 11

3 2

1

1 3 1 2 1 1 1

+ +

+ +

++

++

++

++

=0

16 Tính định thức của A2 với:

19 Dãy Fibonaceri là dãy số 1,2,3,5,8,13, ; trong đó mỗi số

đều là tổng của hai số đứng liền trớc và hai số đầu tiên là 1 và 2.Chứng tỏ rằng số hạng thứ n của dãy Fibonaceri bằng định thứccấp n sau

11

0000

11

0000

00

1110

00

0111

00

0011

−

−

−

20 Cho A là ma trận vuông cấp n phản đối xứng, tức là AT

=-A Chứng minh rằng nếu n lẻ thì A suy biến

21 A là ma trận vuông phức sao cho a ij =a ji Chứng minhrằng det(A) là một số thực

22 A là ma trận vuông cấp n≥2, A* là ma trận phụ hợp của A.Chứng minh rằng det(A*)={det(A)}n-1

C Lời giải, đáp số hoặc hớng dẫn

1.a ∆=16 b ∆=4 c ∆=0 d ∆=30

2 áp dụng tính chất 3

3 Lấy hàng 1 nhân với -e cộng vào hàng hai

∆=

01

10

2

2

e e

e e

e

=

0

001

10

2

e e

b b

5 Lấy hàng hai nhân với -x rồi cộng vào hàng thứ nhất, sau đó

khai triển theo hàng thứ nhất ta đợc

0010

1111

8 a.Định thức Wandermon (Dùng công thức truy toán)

Lần lợt với i=n,n-1, ,2 lấy hàng i-1 nhân với (-x1) rồi cộngvào hàng i ta đợc:

i

j x x

1

)(

f b Khai triển theo hàng 1: ∆n = 2.∆n−1 −∆n−2 , truy toán ∆n −∆n−1 =∆n−1 −∆n−2 = =∆2 −∆1 =1

Với ∆1 =2 do đó ∆n =n+1

c Dùng quy nạp Với n=2 ta có: ∆2=

b a

ab b a

+

+

b a

−

3

Giả sử với mọi k<n ta có: ∆k=

b a

9 Tính định thức đa về dạng tam giác trên

a Lần lợt nhân cột cuối với -a1,-a2, ,-an rồi cộng tơng ứng vàocác cột 1,2, ,n :

Vn=(a1-x)(a2-x) (an-x)

1

00

1

0

10

1

0

01

1

3 2

1 1

a

x x a

x x a

−

+

x x

a

x x a

a

n

2 1

1

10 Viết định thức dới dạng:

Qn=

n x n

n x

n x

n x

n −++

++

+

−++

+

++

−++

++

+

−+

030

20

1

0

33

020

1

0

0322

01

0

030

211

3 2

0

20

0

211

= [(x1-1) (xn-n)] 1 1

1

22

a Nếu x=0 khai triển theo cột n ta đợc Un=0

Nếu x≠0 nhân hàng 1 và nhân cột 1 với x, áp dụng Cn đợc: Un= 12

đa thừa số chung ra ngoài, lấy các hàng trừ đi hàng đầu ta đa

định thức về dạng tam giác trên

c áp dụng Vn với a1=a2= =an=0 ta đợc: Cn=(n-1)(-1)n-1.xn Cũng có thể thực hiện: Cộng các cột vào cột một, sau đó lấycác hàng trừ đi hàng một, ta đa định thức về dạng tam giác trên.Thay x=cost-i.sint ta đợc:

x (Cộng các cột vào cột 1, đặt ∑

=

i i a x

1rồi lấy các hàng trừ hàng 1)

d ∆n=(x-1) n-1 (lấy các hàng trừ hàng 1)

e Thực hiện các bớc sau:

η 1 Cộng từ hàng 2 đến hàng n-1 vào hàng 1, từ hàng 3 đếnhàng n-1 vào hàng 2, cộng hàng n-1 vào hàng n-2

ι 2 Đặt ak làm thừa số chung cho cột k (k= n1 ).,

ϕ 3 Cộng các cột vào cột n.Ta đợc

n

n n

n n

n

a

a a

a a

a a

1

1

00

0

0

0

02 1

n n

n

a a

a a

a a

11

1

11

10

10

10

10

10

01

1 2

a a

1 2

1

11

h ∆n= ∏

=+

i i

1)1()1

( (lấy cột1 cộng vào cột 2, đợc cột 2cộng vào cột 3, )

i Tách cột n thành tổng đợc:

x y y

y

x y

x x

0

0

0

+

x y y

x y

x x

1

0

1

01

y y y

x y

x x x

0

0

0

1

y y

y

y x y

y x y x y x

−

−

−+

∆

x y

x y

1 3 2

1 1

2 1

a a a

a a a

n n

n

−

1 1 2

1 1

2 1

1

11

−

−

n n n

n

x x x

x x x

=

)(

)()

(

)(

)()

(

)(

)()

(

1 2

1 2 1

1

1

2 2 1 1

2 1

n

n n n

n

n n n

x f x x f x x f x

x f x x

f x x f

x

x f x

f x

1 1

2 1

1

11

−

−

n n n

n

x x x

x x

15 Với k=3, áp dụng tính chất 3 ta có:

17 Giả sử B là ma trận cấp k, khai triển Laplace theo k hàng

đầu (hoặc n-k hàng cuối)

18 Tính cho n=3 rồi khai triển Laplace cấp k=3 (tơng tự 15).

19 Khai triển theo hàng 1 ta đợc: ∆n =∆n−1+∆n−2 với1

1 =

11

11

21 Giả sử det(A)=a+ib Thay tất cả các phần tử của A bằng

số phức liên hợp của nó ta đợc ma trận A’, do liên hợp của tổngbằng tổng các liên hợp, liên hợp của tích bằng tích các liên hợp,

ta có det(A’)=a-ib Nhng do A’=AT nên det(A’)=det(AT) =det(A)hay a+ib=a-ib , do đó b=0

B =

hay 1= 1 * ⇒ * = n−1

A A

2.3 Ma trận đảo

A Tóm tắt lý thuyết

a Định nghĩa 2.3: Cho A là ma trận vuông cấp n, và I là ma

trận đơn vị cùng cấp Nếu có ma trận B sao cho:

A.B=B.A=I thì B=A-1 gọi là nghịch đảo của ma trận A Hiển nhiên B-1=A

b Điều kiện tồn tại: A có nghịch đảo A-1⇔ det(A)≠0)

c Tính ma trận đảo dùng ma trận phụ hợp

Giả sử det(A)≠0, khi đó

A-1 =

)det(

trong đó Aij là phần phụ đại số tơng ứng của aij

d ứng dụng ma trận đảo giải phơng trình ma trận

Ma trận A có hạng bằng r, ta gọi mọi định thức con cấp r kháckhông của A là định thức con cơ sở, các hàng của A tham gia vàomỗi định thức con cơ sở là các hàng cơ sở , các cột của A thamgia vào mỗi định thức con cơ sở là các cột cơ sở

2 Các phép biến đổi sơ cấp của ma trận

Các phép biến đổi sau gọi là các phép biến đổi sơ cấp hay cácphép biến đổi Gauss của ma trận:

a Đổi chỗ hai hàng hoặc hai cột của ma trận cho nhau.

Hệ quả : Nếu D1 là định thức con cấp k khác không của ma

trận A và mọi định thức con cấp k+1 của A bao D1 đều bằngkhông thì hạng của A bằng k

3 Quy tắc tìm hạng của ma trận

Từ các hệ quả trên ta có quy tắc chung tìm hạng ma trận:(i) Dùng các phép biến đổi sơ cấp của ma trận đa ma trậnban đầu về dạng hình thang trên, đổi các cột để số các phần tửtrên đờng chéo chính khác 0 nhiều nhất

(ii) Tìm định thức con cấp cao nhất khác 0 bằng cách đếmcác phần tử khác không trên đờng chéo chính Ta thấy hạng của

ma trận chính bằng số các phần tử khác 0 trên đờng chéo chínhcủa ma trận kết quả.

4 Khử Gauus_Jordan giải phơng trình ma trận và tính ma trận đảo

i i

11

21

i

2

21

−

++

i i

i i

13

321

123

021

i i

i i

i

100

210

32

−+

11

2

02

1

00

1

i i

i i

7 Với a.b.c.d≠0, tìm ma trận đảo của các ma trận sau

a

b c

ma trận tam giác dới

9 Tìm ma trận đảo của các ma trận tam giác sau:

10 Cho A là ma trận không suy biến cấp nxn và u,v∈Rn Tìm

điều kiện cần và đủ cho u và v sao cho ma trận A u

12 Cho A là ma trận phản đối xứng cấp n :AT=-A

a Chứng minh rằng các phần tử trên đờng chéo bằng 0

b Chứng minh rằng xTAx =0 với mọi x ∈Rn

c Cho A là ma trận vuông, ta định nghĩa:

13 Chứng minh rằng ma trận vuông A cấp n trên mỗi hàng và

mỗi cột chỉ có duy nhất một phần tử khác không thì A là ma trậnkhông suy biến

14 Giải phơng trình ma trận, tìm ma trận X

031

12

1

11

7

56

8

23

112

011

3210

1021

7210

031

21 a.Chứng minh rằng nếu A là ma trận không suy biến có

phân tích LU và lii=1 (i=1,2, ,n) thì L và U là duy nhất

b Chứng minh rằng nếu mọi định thức con cấp k:

k k

1

211

t t

b

t

t t t

51

2

211

k k

k

d

111

29 Ta gọi t là một phép biến đổi sơ cấp trên ma trận Cho A

là ma trận cấp mxn và I là ma trận đơn vị cấp m, gọi At và It là

ma trận nhận đợc từ cùng phép biến đổi sơ cấp t cho A và I.Chứng minh rằng

a Phép biến đổi sơ cấp t cho hàng của A là phép nhân ma trận:

It A=At

b Nếu ma trận A đa về ma trận B bằng những phép biến đổi

sơ cấp t1,t2, ,tm trên hàng, khi đó: Q= Itm I t1 thì Q cónghịch đảo và QA=B

30 Cho A là ma trận cấp mxn và I là ma trận đơn vị cấp n, At

và It là ma trận nhận đợc từ cùng phép biến đổi sơ cấp t cho A và

I Chứng minh rằng

a Phép biến đổi sơ cấp t cho cột của A là phép nhân ma

trận: A.It=At

b Nếu ma trận A đa về ma trận B bằng những phép biến

đổi sơ cấp t1,t2, ,tm trên hàng, khi đó: Q= It1 I tm thì Q cónghịch đảo và AQ=B

C Lời giải, đáp số hoặc hớng dẫn

1 A có nghịch đảo khi và chỉ khi det(A)=ad-bc≠0 Ma trậnphụ hợp của A là: A*=

c d

c d

cossin

sincos

21

i i

i i

1

211

i i

5311

7951261

i i

25151638

10401412

5444

2

411

17250

7

56

8

23

13

1110

9

31

1191

20

=0 A13=

00

10

=0

A21=

i

i i

−

++

10

31

=2,A23=

00

−

++

−

20

31

=-3-i,A33=

10

i i

i A

10

0

32

0

53

11

2

11

36

02

31

00

55

11

i i

i i

1111

1111

1111

2100

7210

381131

43

1931

00

23

00

12

c a

1000

00

10

0

100

0001

00

10

0

100

1000

a b c d

8 a Giải: Vì các phần tử trên đờng chéo chính của U khác 0

nên U không suy biến do đó U có nghịch đảo U-1 Để U-1 códạng tam giác trên ta chỉ cần chứng tỏ U* có dạng tam giáctrên, hay ∆ij =0(1< j<i≤n) Ta có:

00

000

0

0

0000

0

0000

0000

00

1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1

1 1 1 1 1 1

1 1 1 1 11

=

=

∆

+ + + +

− +

−

−

−

+ + +

− + + +

− +

−

−

− +

−

nn

m j j j

jn jj

n j j j j j

n i j i j i i i

n i j i j i i

i i i i i

n j

j i

i i

ij

u

u u

u u

u u

u

u u

u u

u u

u u

u u

u u

u u

u u

u

vì là định thức của một ma trận tam giác trên cấp n-1 có j-i phần

tử trên đờng chéo chính bằng 0

b Tơng tự nh a.