Tài liệu Chương 1 Ma Trận - Định Thức doc

Một số mô hình tt trong phân tích kinh tếGiải hệ phương trình này ta tìm được: 1 1 a +b p b Thị trường nhiều hàng hóa Trong thị trường nhiều hàng hóa, giá của hàng hóa này có thể ảnh hưở

MỘT SỐ MA TRẬN ĐẶC BIỆT

Ma trận không: Là ma trận mà tất cả các phần tử đều bằng 0

Ma trận vuông : Khi m = n, bảng số thành hình vuông, ta có ma trận vuông

Phần tử chéo

MỘT SỐ MA TRẬN ĐẶC

BIỆT

Ma trận tam giác trên (dưới) : Là ma trận vuông mà các phần tử nằm phía dưới (trên) đường chéo chính bằng 0.

Ma trận tam giác trên

MỘT SỐ MA TRẬN ĐẶC

BIỆT

Ma trận đơn vị: Là ma trận chéo mà mọi phần tử nằm trên đường chéo chính đều bằng 1

CÁC PHÉP TOÁN TRÊN MA TRẬN

+ PHÉP CỘNG HAI MA TRẬN :

Cho A = [aij]m×n, B = [bij]m×n

A+B = [aij+bij]m×n+ PHÉP NHÂN MỘT SỐ VỚI MỘT MA TRẬN :

Cho A = [aij]m×n, k∈ R.

kA =[kaij]m×n

CÁC TÍNH CHẤT

i A + B = B + A (tính giao hoán)

ii (A+B) + C = A + (B + C) (tính kết hợp) iii A + 0 = A (0 được hiểu là 0mxn)





(i) Tính kết hợp: A(BC) = (AB)C

(ii) Tính phân bố: (A+B)C = AB + BC (iii) h(AB) = (hA)B = A(hB)

PHÉP NHÂN HAI MA TRẬN Chú ý:

i An = A.A… A (n lần) A là ma trận vuông

ii Để có thể nhân ma trận A với ma trận B,

số cột của A phải bằng số dòng của B

Với hai ma trận A, B cho trước, không nhất thiết tích AB tồn tại và khi tích AB tồn tại, không chắc tích BA tồn tại

iii Tích của hai ma trận nói chung không giao hoán, nghĩa là tổng quát AB ≠ BA

MA TRẬN BẬC THANG THEO DÒNG

Ma trận bậc thang theo dòng thỏa 2 điều kện:

• Các dòng không (dòng chứa toàn số hạng 0), nếu có, phải nằm phía dưới dòng khác 0 (có ít nhất một số hạng khác 0)

• Với hai dòng khác không bất kỳ, số hạng khác 0 đầu tiêncủa dòng dưới luôn luôn nằm bên phải số hạng khác 0 củadòng trên

CÁC PHÉP BĐSC TRÊN DÒNG

(i) Đổi chỗ hai dòng i và j: di = dj

(ii) Nhân dòng i với một số thực α ≠ 0: di = αdi

(iii) Thay dòng i bởi dòng i cộng với α lần dòng j:

di = di + αdj

đưa ma trận sau về ma trận đơn vị

1 1 1 a) A 1 2 1

Cho A M ∈ n Định thức của A, ký hiệu detA hay

|A|, là số thực được định nghĩa quy nạp theo n như sau:

Nhận xét

a a A

3 số hạng mang dấu âm trong định thức là tích các phần tử nằm trên ba đường song song với đường chéo phụ

1 2 3detA 3 4 0

Định thức của ma trận vuông không đổi khi ta khai triển theo 1 hàng hoặc 1 cột bất kỳ

Ví dụ

A  a A



  

với mọi 1  i0, j0  n (1) gọi là công thức khai triển theo hàng i0, (2) gọi là công thức khai triển theo cột j0.

(vi) |AB| =|A| × |B|

(ii) Nếu thì detB = detA (i≠j)

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Định nghĩa : Cho A là ma trận vuông cấp n Nếu tồn tại ma trận B cùng cấp sao cho A × B = B × A = In

thì chúng ta nói A là ma trận khả nghịch và B là ma trận nghịch đảo của ma trận A.

Chú ý: Ma trận nghịch đảo của A (nếu có) là duy nhất

TÌM MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO BẰNG PHÉP BĐCS

MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

Biến đổi (A | In)    BĐSC dòng ( In | B)

Khi phần chứa ma trận A trở thành ma trận đơn vị In

thì phần còn lại là ma trận nghịch đảo A-1 của A

Lưu ý: Khi biến đổi, nếu có 1 dòng bằng 0 ở một trong hai bảng thì dừng lại và kết luận: Ma trận A không khả nghịch

Ví dụ : Tìm ma trận nghịch đảo của ma trận sau

2 1 2 a) A 1 2 1

PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN

AX = B, trong đó A, B là các ma trận cho trước, X là ma trận ẩn số (chưa biết)

HẠNG CỦA MA TRẬN

Định nghĩa : Cho ma trận A M ∈ mxn Gọi k là một số nguyên dương không lớn hơn min {m, n}.

(i) Ma trận vuông cấp k suy ra từ A bằng cách bỏ đi

m – k dòng, n – k cột gọi là ma trận con cấp k của A

(ii) Định thức của ma trận con đó gọi là định thức con cấp k của A

(iii) Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của các định thức con khác 0 của A, ký hiệu rank(A) (r(A))

Tính chất:

i Hạng của ma trận không đổi qua các

phép biến đổi sơ cấp.

ii rank(A) = rank(AT).

iii Nếu A là ma trận bậc thang theo dòng thì

Chương 2

Hệ phương trình tuyến tính

 Hê phương trình tuyến tính

 Các phép biến đổi sơ cấp

n

x x

B

m

b b

hệ số

tự do

Ma trận ẩn

CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI SƠ CẤP

Định nghĩa : Hai hệ phương trình tuyến tính được gọi

là tương đương khi chúng có chung tất cả các nghiệm, nghiệm của hệ này cũng là nghiệm của hệ kia và ngược lại.

Phép biến đổi sơ cấp: Phép BĐSC trên dòng áp dụng lên một hệ pttt

(i) Đỗi chỗ hai phương trình: di = dj

(ii) Nhân một phương trình với một số khác 0: di = αdi

(iii) Cộng một phương trình vào một phương trình

khác: di =di + dj

(iv) Loại khỏi hệ phương trình, một phương trình mà tất cả các hệ số đều bằng 0.

HỆ CRAMER

Định nghĩa: Hệ Cramer là hệ phương trình tuyến tính có số phương trình bằng số ẩn và định thức của ma trận hệ số khác 0.

HỆ CRAMER

Khi đó hệ có nghiệm duy nhất detAi

, i=1,n detA

ĐỊNH LÝ KRONECKER - CAPELLI

Cho hệ phương trình tuyến tính gồm phương trình

theo ẩn số, với , ta cóAX = B A= A B 

rankA rankA n   rankA rankA n  

(i) Nếu thì hệ vô nghiệm

(ii) Nếu thì hệ có nghiệm duy nhất

(iii) thì hệ có vô số nghiệm .

Một số mô hình tt trong phân tích kinh tế

1 Mô hình cân bằng thị trường

a) Thị trường một loại hàng hóa

Sự phụ thuộc lượng cung, lượng cầu vào giá hàng hóa được biểu diễn thông qua hàm cung, hàm cầu Dạng

tuyến tính của hàm cung, hàm cầu như sau

Một số mô hình tt trong phân tích kinh tế

Giải hệ phương trình này ta tìm được:

1 1

a +b p

b) Thị trường nhiều hàng hóa

Trong thị trường nhiều hàng hóa, giá của hàng hóa này có thể ảnh hưởng đến lượng cung và lượng cầu của các hàng hóa khác

Qsi là lượng cung hàng hóa i

Qdi là lượng cầu hàng hóa i

pi là giá hàng hóa i

Một số mô hình tt trong phân tích kinh tế

Một số mô hình tt trong phân tích kinh tế

hàng hóa 2, với hàm cung và cầu như sau:

hàng hóa 2 và hàng hóa 3, với hàm cung và cầu như sau:

Một số mô hình tt trong phân tích kinh tế

2 Mô hình Input –Output của Leontief

Mô hình Input – Output, còn được gọi là mô hình I/O hay

mô hình cân đối liên ngành đề cập đến việc xác định tổng cầu đối với sản phẩm của mỗi ngành sản xuất trong tổng thể nền kinh tế.

• Trong mô hình I/O, khái niệm ngành được xem xét theo nghĩa thuần túy là sản xuất Các giả thiết được đặt ra như sau:

 Mỗi ngành sản xuất một loại hàng hóa hoặc sản xuất một số loại hàng hóa theo tỷ lệ nhất định.

 Các sản phẩm đầu vào (input – nguyên liệu) của sản xuất trong phạm vi một ngành được sử dụng theo một tỷ

lệ cố định

a) Khái niệm chung

Một số mô hình tt trong phân tích kinh tế

 Cầu trung gian từ phía nhà sản xuất sử dụng loại sản phẩm đó cho quá trình sản xuất.

 Cầu cuối từ phía những người sử dụng sản phẩm để tiêu dùng hoặc xuất khẩu

b) Mô hình I/O tổng quát

• Tổng cầu đối với đầu ra (output – sản phẩm) đối với mỗi ngành bao gồm:

Xét một nền kinh tế có n ngành sản xuất, ngành 1, ngành 2, …, ngành n Tổng cầu đối với sản phẩm hàng hóa của ngành i (i =1, 2, …, n) được tính theo công thức:

xi = xi1 + xi2 + …+ xin + bi.

Một số mô hình tt trong phân tích kinh tế

xi : Tổng cầu đối với hàng hóa ngành i

xik:giá trị hàng hóa ngành i mà ngành k cần sử dụng (cầu trung gian đối với sản phẩm ngành i từ phía ngành k).

bi : giá trị hàng hóa cần cho tiêu dùng và xuất khẩu ( cầu cuối) Đặt ik

Một số mô hình tt trong phân tích kinh tế

Hệ phương trình trên có thể viết lại dưới dạng:

Phần tử aik thuộc dòng i cột k của ma trận hệ số kỹ thuật

A là tỷ phần chi phí mà ngành k trả cho việc mua bán sản phẩm ngành i

Một số mô hình tt trong phân tích kinh tế

Phương trình (I – A)X = B cho phép xác định tổng cầu đối với sản phẩm của tất cả các ngành sản xuất, điều này có ý nghĩa quan trọng đối với việc lập kế hoạch sản xuất, đảm bảo cho nền kinh tế vận hành trôi chảy, tránh tình trạng dư thừa hoặc thiếu hụt hàng hóa Ma trận tổng cầu được xác định theo công thức: X = (I – A)-1B

Chẳng hạn, aik = 0,2 có nghĩa là để sản xuất ra $1 giá trị hàng hóa của mình (tính bình quân), ngành k phải sử dụng $0,2 hàng hóa ngành i.

Một số mô hình tt trong phân tích kinh tế

Ví dụ 1 : Quan hệ trao đổi sản phẩm giữa 3 ngành sản xuất

và cầu hàng hóa được cho bởi bảng sau (đơn vị tính : triệu USD)

Một số mô hình tt trong phân tích kinh tế

Ví dụ 2: Giả sử nền kinh tế có 3 ngành sản xuất: ngành 1, ngành 2, ngành 3 Cho biết ma trận hệ số kỹ thuật:

a) Giải thích ý nghĩa của con số 0,4 trong ma trận A.

b) Cho biết lượng cầu cuối đối với hàng hóa của các ngành 1, 2, 3 lần lượt là: 10; 5; 6 triệu USD Hãy xác định mức tổng cầu đối với mỗi ngành.

  



Tập V cùng với hai phép toán trên là một không gian vectơ

CÁC KHÁI NIỆM

2 Tổ hợp tuyến tính

Định nghĩa : Cho (V, +, ) là một kgvt và u1, u2,, …, un ∈ V; k1, k2, …, kn ∈ R, ta gọi

4 Không gian sinh bởi tập hợp

Hệ quả : Tập hợp tất cả các nghiệm của một hệ

phương trình tuyến tính thuần nhất theo n ẩn số là một không gian vectơ con của Rn

CÁC KHÁI NIỆM

Định nghĩa: Cho V là một không gian vectơ và hệ các vectơ

Ta nói S độc lập tuyến tính khi với mọi k1, k2, …, kn R, nếu ∈

k1e1 + k2e2 + … + knen = 0

thì k1 = k2 = …= kn = 0

5 Hệ vectơ độc lập tuyến tính, phụ thuộc tuyến tính

CƠ SỞ VÀ SỐ CHIỀU CỦA MỘT KGVT

2 B

T

n B

vvA

…v

• Lập ma trận A, với

Ví dụ: Trong R3 xét họ S = {v1, v2, v3, v4} với v1 =(1,3,0), v2

=(0,2,4), v3 =(1,5,4), v4 = (1,1,-4) Tìm rankS

ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

1 Định nghĩa Cho V và W là hai không gian vectơ Ánh

xạ f: V → W được gọi là một ánh xạ tuyến tính nếu:

ẢNH VÀ NHÂN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Định nghĩa Cho V và W là hai không gian vectơ Ánh

xạ f: V → W là ánh xạ tuyến tính

Tập hợp tất cả các phần tử của V có ảnh là 0 W ∈ gọi là hạt nhân của f, ký hiệu Kerf, nghĩa là

 

ẢNH VÀ NHÂN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Tập tất cả các phần tử của W gọi là ảnh của của f, ký hiệu Im f , nghĩa là:

a) Ker f là một không gian con của V,

b) Im f là một không gian con của W,

c) dim (Im f) + dim (Ker f) = dim V.

Chú ý: f: Rn → Rm là ánh xạ tuyến tính thì Ker f chính là không gian nghiệm của một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất và Im f là không gian các vectơ hệ số tự do sao cho một hệ phương trình tuyến tính có nghiệm

Ví dụ 2: Xét ánh xạ tuyến tính f : R3 →R2 xác định bởi

f x , x , x  x  2x + x , 2x + x  x

Tìm dim Ker f, dim Im f

ẢNH VÀ NHÂN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

MA TRẬN CỦA ÁNH XẠ TUYẾN TÍNH

Ví dụ 4: Xét toán tử tuyến tính f : R3 →R3 xác định bởi

f x , x , x  3x  x  x , 2x  2x  x , 2x  2x

Xác định ma trận của toán tử tuyến tính f

a) B ={e1, e2, e3} là một cơ sở chính tắc của R3

là một cơ sở khác của R3, trong đó

Nhận xét: Nếu f: V → V là toán tử tuyến tính, ứng với mỗi

cơ sở khác nhau thì ma trận của f cũng khác nhau.

Định lý: Cho f: V → V là toán tử tuyến tính và B, B/ là hai

,, khi biết ma trận của f đối với cơ sở

cũ, [f]B, và ma trận đổi cơ sở PB→ B/ Đặc biệt, khi V = Rn,

ta thường chọn B là cơ sở chính tắc Từ đó dễ dàng xác định ma trận [f]B, ma trận đổi cơ sở từ B sang B/ và suy ra

VECTƠ RIÊNG VÀ TRỊ RIÊNG

Định nghĩa: Cho toán tử f : V → V Vectơ v ∈ V, v ≠ 0,

được gọi là một vectơ riêng của f nếu tồn tại λ ∈ R sao cho

f(v) = λv Khi đó, λ được gọi là trị riêng của f tương ứng với

vectơ riêng v

Tập hợp Vλ = { v V | f(v) = ∈ λv} tạo thành một không gian vectơ con, gọi là một không gian con của f

CÁCH TÌM VECTƠ RIÊNG VÀ TRỊ RIÊNG

Tính det(A – λIn) = 0

Đẳng thức trên xác định một phương trình bậc n theo λ, gọi là phương trình đặc trưng , và det(A – λIn)

= 0 được gọi là đa thức của A (hay của f) Giải phương trình đặc trưng ta tìm được các trị riêng λ của ma trận A (hay của f) Ứng với mỗi trị riêng λ , ta được các không gian riêng tương ứng

Ví dụ: Cho f là một toán tử tuyến tính trên R3 với ma trận trong cơ sở chính tắc là Tìm các trị riêng và các vectơ riêng của f trong các trường hợp sau

i) A chéo hóa được

i i=1

B   B

CHÉO HÓA MA TRẬNGiải thuật chéo hóa ma trận

 thì A chéo hóa được Ma trận P chéo hóa

A chính là ma trận đổi từ cơ sở chính tắc B qua B/

KHÔNG GIAN EUCLIDE VÀ DẠNG TOÀN

PHƯƠNG TRÊN nĐịnh nghĩa:

i) Với u = (a1, a2, … , an) và v = (b1, b2, …, bn) R∈ n, ta định nghĩa

và gọi là tích vô hướng của hai vectơ u và v trong Rn

ii) Không gian vectơ Rn có trang bị thêm tích vô hướng được gọi là không gian Eclide

iii) u+u ,v u,v u ,v ,

u,v+v u,v u,v ,

      

      

iv) u,v    v,u 

KHÔNG GIAN EUCLIDE VÀ DẠNG TOÀN

PHƯƠNG TRÊNĐịnh nghĩa: (Chuẩn của một vectơ)

Với u = (a1, a2, … , an) R∈ n, ta đặt

u   u,u   a  a  a 

và gọi u là chuẩn của vectơ u R∈ n

Định nghĩa: (Khoảng cách giữa hai vectơ)

   1 1 2 2 22  n n 2

d u,v   u v  a b   a b    a b 

và gọi d(u, v) là khoảng cách của hai vectơ u và v

Hiển nhiên d(u, v) > 0 khi u ≠ v, d(u, v) = 0 khi u = v

Ví dụ: Cho hai vectơ u = (2, 3, 4) và v = (1, 2, 3)

CƠ SỞ TRỰC GIAO Định nghĩa:

i) Với u = (a1, a2, … , an), v = (b1, b2, …, bn) R∈ n, ta nói u và v

là hai vectơ trực giao, ký hiệu u v nếu   u,v   0

ii) Cho tập Ta nói S là tập trực giao nếu S là tập trực chuẩn nếu

Định nghĩa: Cho S = {e1, e2, …, en} là một cơ sở của Rn

i) Nếu S là tập trực giao, ta nói S là một cơ sở trực giao của Rn

ii) Nếu S là tập trực chuẩn, ta nói S là một cơ sở trực chuẩn của Rn

Ví dụ: Hệ S   e e e1, ,2 3  3, e1 1,0,0 ,  e2  0,1,0 ,  e3  0,0,1 

là hệ một cơ sở trực giao và cũng là một cơ sở trực chuẩn

Định lý: Qúa trình trực giao Gram – Schmidt)

CƠ SỞ TRỰC GIAO

Cho họ vectơ độc lập tuyến tính u1, u2, …, um (m≥2) trong không gian Eclide Rn Khi đó, tồn tại họ trực giao v1, v2, …, vm sao cho

Ví dụ: Trong R3, xét cơ sở S = {u1, u2, u3}, với u1 =(2,3,6),

u2 =(5,-3,8), u3 =(8,5,3)

CƠ SỞ TRỰC GIAO

CHÉO HÓA MA TRẬN ĐỐI XỨNG BẰNG

1 2 23

2 1 2A

ma trận trực giao P ∈ Mn làm chéo hóa A, nghĩa là P -1 AP

là ma trận chéo.

CHÉO HÓA MA TRẬN ĐỐI XỨNG BẰNG

Bước 2 Áp dụng quá trình trực giao hóa Gram – Schidt Từ

đó suy ra cơ sở trực chuẩn gồm những vectơ riêng của A

Bước 3 Lập ma trận P mà các cột là các vectơ cơ sở xây dựng ở bước 2 Ma trận P này sẽ làm chéo hóa trực giao ma trận A

Ví dụ: Hãy tìm ma trận trực giao P làm chéo hóa ma trận A

4 2 2 b) A 2 4 2

DẠNG TOÀN PHƯƠNG

thì A là ma trận đối xứng,

 1 2 n  T

q x ,x , ,x X AX 

Ma trận A được gọi là ma trận của dạng toàn phương q

Ví dụ: Cho dạng toàn phương trên R3

a

a A

thì đối với cơ sở này,

n

yyX

Cho dạng toàn phương trên Rn

Do A là ma trận đối xứng nên luôn tìm được ma trận trực giao P sao cho P-1 AP là ma trận chéo Giả sử

Đặt X = PY, với Ta có

     

T T

2 Thuật toán Lagrange

Đổi biến mới y1 sao cho , trong đó q1 chỉ phụ thuộc vào n -1 biến x2, x3, …, xn Đối với biến x1, bằng cách gom tất

Chú ý Trong trường hợp hệ số a11 = 0, nghĩa là không có thừa số trong q thì ta gom các số hạng chứa xx12 2 trước…

Nếu a11 = a22 = … = ann = 0, nghĩa là không có các số hạng thì ta xét một số hạng tích chéo, chẳng hạn x x12, 22, ,  x trong q x , x , …, x2n  x11x22 và dùng ẩn phụn 

BÀI TẬP

1 Trong không gian R3 cho cơ sở e1 = (1,2,3), e2 = (0,2,0)

e3 = (0,0,3) Hãy trực chuẩn hóa cơ sở này

2 Trong không gian R4 cho cơ sở e1 = (1,0,1,2),

e2 = (-1,0,-1,0), e3 = (0,0,2,1), e4 = (0,1,1,1) Hãy trực chuẩn hóa cơ sở này

3 Tìm ma trận trực giao đưa dạng toàn phương trên R3