Ma trận- Định thức pps

• Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng hay hai cột của một định thức ta được một định thức mới bằng định thức cũ đổi dấu... ĐỊNH THỨC• Tính chất 3: Một định thức có hai hàng hay hai cột như nha

m 1

m

n 2 22

21

n 1 12

11

a

aa

aa

a

aa

A

• aij là phần tử của ma trận A ở hàng i cột j

m 1

n

n 2 22

21

n 1 12

11

a

aa

aa

a

aa

A

• a11,a22,…ann được gọi là các phần tử chéo.

n 1 12

11

a

00

a0

a

aa

n 1 12

a

a

aa

aa

0

0a

a

A

00

a0

0

0a

a

10

0

01

I

00

0

00

1.1.4 Ma trận bằng nhau: A=B

1) A=[aij]m x n; B=[bij]m x n

11

2819

2015

13

2416

1814

9

3027

1512

10

A

22

31

23

1

5

41

35

02

13

21

pj ip 2j

i2 1j

03

01

12

13

21

02

3

11

2

Ví dụ: Tính tích 2 ma trận sau:

• Phép nhân nói chung không có tính giao hoán

• A=[aij]n x n => I.A = A.I = A

Vật liệuVL1 VL2 VL3 VL4 VL5

12 11

aa

a

aA

thì det(A) = a11a22 – a12a21

m 1

n

n 2 22

21

n 1 12

11

a

aa

aa

a

aa

2 ĐỊNH THỨC

Ví dụ: Sử dụng định nghĩa hãy tính định thức:

98

7

65

4

32

1A

j 1 n

1

j 1j 1j

)Adet(

a)

1(C

a)

A

det(

• Tính chất 2: Đổi chỗ hai hàng (hay hai cột) của một định thức ta được một định thức mới bằng định thức

cũ đổi dấu

2 ĐỊNH THỨC

• Tính chất 3: Một định thức có hai hàng (hay hai cột) như nhau thì bằng không

• Tính chất 4: Một định thức có một hàng (hay một

cột) toàn là số không thì bằng không

• Tính chất 5: Khi nhân các phần tử của một hàng

(hay một cột) với cùng một số k thì được một định

thức mới bằng định thức cũ nhân với k

Hệ quả: Khi các phần tử của một hàng (hay một cột)

có một thừa số chung, ta có thể đưa thừa số chung

đó ra ngoài định thức

2 ĐỊNH THỨC

• Tính chất 7: Dòng thứ i nào đó có aij = a’ij + a”ij

thì det(A) = det(A’) + det(A”)

, 1 i

n 2 22

21

n 1 12

11

,

a

a

a

aa

a

aa

"

1 i

n 2 22

21

n 1 12

11

"

a

a

a

aa

a

aa

A

• Tính chất 6: Một định thức có hai hàng (hay hai cột)

tỷ lệ thì bằng không

75

4

31

2)

A

2 ĐỊNH THỨC

• Tính chất 10: Các định thức của ma trận tam giá bằng tích các phần tử chéo

nn 22

11 nn

n 2 22

n 1 12

11

a

aa

a

00

a0

a

aa



nn 22

11

22 21

11

a

a

a

0

aa

0

0a



2 ĐỊNH THỨC

2.3 CÁC PHƯƠNG PHÁP TÍNH ĐỊNH THỨC:

• Phương pháp 1: Dùng định nghĩa

• Phương pháp 2: Sử dụng các biến đổi sơ cấp

Nhân một hàng với một số k≠0 Định thức nhân với k TC 5

2 ĐỊNH THỨC

84

32

18

90

43

21

87

65

)A

Ví dụ: Tính định thức bằng hai phương pháp:

= I thì B được gọi là ma trận nghịch đảo của A

nghịch.

• Ký hiệu: B = A-1, nghĩa là ta có AA-1 = A-1A = I

3.3 Sự duy nhất của ma trận nghịch đảo:

2 n

1

2 n 22

12

1 n 21

11 T

1

C

CC

CC

C

CC

A

1C

A

1A

• Trong đó Cij là phần bù đại số của phần tử aij

3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO3.5 Phương pháp tìm ma trận nghịch đảo:

2 n

1

2 n 22

12

1 n 21

11 T

1

C

CC

CC

C

CC

A

1C

A

1A

3A

Ví dụ: tìm ma trận nghịch đảo của ma trận:

3 MA TRẬN NGHỊCH ĐẢO

3.5.1 Phương pháp dùng phép biến đổi sơ cấp

của Gauss - Jordan:

1 Nhân một dòng nào đó của ma trận với một số thực khác không

2 Cộng vào một dòng của ma trận một dòng khác đã nhân với một số thực

3 Đổi chỗ hai dòng của ma trận cho nhau

Để tìm ma trận nghịch đảo dùng các phép biến

đổi sơ cấp sau cho: [A│I] = [I│A-1]

22

1

21

1A

4 HẠNG CỦA MA TRẬN

4.1 Ma trận con: ma trận A cấp m x n, gọi p là một số nguyên dương, p<min(m,n)

• Định nghĩa: Ma trận vuông cấp p suy ra từ A bằng cách bỏ đi m-p hàng và n-p cột gọi là ma trận con cấp

31

A

4 HẠNG CỦA MA TRẬN4.2 Hạng của ma trận:

• Định nghĩa: Hạng của ma trận A là cấp cao nhất của định thức con khác không của A

Nếu r là hạng của ma trận nếu:

4 HẠNG CỦA MA TRẬN4.3 Ma trận bậc thang:

khác 0 tuỳ ý của A, phần tử chính của dòng dưới luôn nằm bên phải cột chứa phần tử chính của dòng trên

2 1

1 D

4 HẠNG CỦA MA TRẬN

4.3.3 Thuật toán đưa một ma trận về ma trận dạng bậc thang

cột đầu tiên so với p phần tử chính ở các dòng khác

chính của dòng đầu tiên đều bằng 0

4 HẠNG CỦA MA TRẬN

4.4 Các phương pháp tìm hạng ma trận.

4.4.1 Phương pháp 1: Sử dụng định nghĩa.

Bước 1: Tính các định thức con cấp p cao nhất có trong A:

bằng cấp của định thức đó.

Bước 2: Tính các định thức con cấp p-1 có trong A:

bằng cấp của định thức đó.

67

111

31

52

A

41

12

24

31

A

Ví dụ: Tìm hạng của ma trận