Ma trận_ Định thức pps

Tính chất 2: Nếu nhân tất cả các phần tử của một hàng hay một cột với số k thì định thức cũng Tính chất 3: Nếu đổi chỗ hai cột hoặc hai hàng cho nhau thì định thức đổi dấu.. Ma trận A

n n

a a a

a a a

a a a

2 22 21

1 12 11

đ-là các phần tử trên đờng chéo phụ Ta gọi tổng các phần tử trên đờng chéo chính đ-là Vet(A), vậy:

45104

0248

đều bằng 0 gọi là ma trận đơn vị cấp n, ký hiệu là I

Hai ma trận A,B đợc gọi là bằng nhau nếu chúng có cùng cấp và các phần tử tơng ứng bằng nhau,

ký hiệu A=B Nh vậy:

Nh vậy muốn cộng hai ma trận cùng cấp ta cộng các phần tử tơng ứng của hai ma trận với nhau

Các tính chất :Từ tính chất của phép cộng hai số ta có các tính chất sau của phép cộng ma trận

1 Tính giao hoán: A+B=B+A

Ta gọi tích của ma trận A=(aik)m ì n cấp mìn với ma trận B=(bkj)n ì p cấp nìp là một ma trận C=(cij)m ì p

cấp mìp ký hiệu: C=A.B mà các phần tử cij đợc xác định nh sau:

4321

(A+B).C=A.C+B.C A(B+C)=AB+AC

3 Với mọi ma trận vuông A cấp n thì

b Ak=A.A A (k lần)

Trong đó A0=I , còn I là ma trận đơn vị cùng cấp với A

Chúng ta chứng minh cho tính kết hợp: Giả sử các ma trận có các cấp tơng ứng là: A=(aik)m ì n,B=(bkl)n ì p, C=(clj)p ì q Đặt

p l

p l

n k

p

ik lj

Pn(A)=a0I+a1A+ +anAn

gọi là một đa thức trên A Hiển nhiên Pn(A) cũng là một ma trận vuông cấp n

41 Vậy

01

41

24

0

0 1

2 2 2

e

e e

e e e

g Tổ hợp tuyến tính của các cột hoặc các hàng

Cho ma trận A=(aij)m ì n, gọi các ma trận cấp mì1:

a m

12 22

a a a

n n

mn

1 2

là các véc tơ cột của A, với mỗi cặp k số x1,x2, ,xk (1≤ k≤n) gọi:

x1.a1+x2.a2+ +xk.ak =

= x1

a a

a m

11 21

a a

a m

12 22

a a a

k k

mk

1 2

a’m= ( am1 am2 amn)

là các véc tơ hàng của A, và với k số x1,x2, ,xk (1≤k≤m ) ta gọi biểu thức:

x1.a’1+x2a’2+ +xk.a’k

là một tổ hợp tuyến tính của k hàng tơng ứng của A

b Ma trận tam giác dới

Là ma trận vuông cấp nxn mà mọi phần tử nằm bên trên đờng chéo chính đều bằng 0, ký hiệu L,vậy:

00

0

0

0

k k

λ

λλ

00

0

0

0

0

2 1

00

0

0

0

00

0

10

0

01

là ma trận vô hớng hay nó giao hoán với mọi ma trận vuông cùng cấp trong phép nhân ma trận

d Ma trận đối xứng

Là ma trận vuông A cấp nxn mà: AT= A hay

aij = aji (i= n 1 ; j= n, 1 ).,

Nếu AT=-A hay aij =- aji(i= n 1 ; j= n, 1 ) thì A đợc gọi là ma trận phản đối xứng Hiển nhiên A phản,

đối xứng thì aii=0 (i= n1 ) Còn với mọi ma trận A, tích AA, T và ATA là ma trận đối xứng

0

0 1

2 2 2

e

e e

e e e

(i) Phân chia một ma trận thành ma trận khối

Các đờng thẳng đứng và các đờng nằm ngang sẽ chia một ma trận A thành các khối hình chữ nhật,

mà mỗi khối là một ma trận có cấp nhỏ hơn cấp của ma trận A, khi đó ta gọi A là ma trận khối

Ví dụ 2.7: Có thể phân ma trận A dới đây thành các khối nh sau:

Nh vậy mọi ma trận đều có thể xem là ma trận khối và có nhiều cách chia nó thành các khối

(ii) Các phép toán trên ma trận khối

1 Giả sử A=(Aij)nxp , B=(Bij)nxp nếu mỗi tổng Aij +Bij có thể thực hiện thìC=(Cij)nxp=A+B=(Aij+Bij)nxp

2 Giả sử A=(Aij)nxp , B=(Bij)pxm nếu mỗi tích Aik.Bkj có thể thực hiện và nếu: Cij= A B ik kj

Chú ý: Các phép toán trên ma trận khối rất có lợi trong việc giải phơng trình ma trận và có nhiều

ứng dụng trong kỹ thuật cơ khí và công trình Chẳng hạn nếu A,B,C,D,P,Q,X,Y là các ma trận có sốchiều tơng thích để các phép toán ma trận cần thiết thực hiện đợc thì hệ phơng trình ma trận:







=+

=+

Q DY CX

P BY AX

B A

2 1

(2_10)hay cho gọn:

Ví dụ 2.8: Với 3 số 1,2,3 ta lập đợc 3!=6 hoán vị:

2 1

1 2

1

δ

(2_14)bằng k phép đổi chỗ hai cột đứng cạnh nhau, trong đó ký hiệu δ−1(k)=δk−1

Trong đó tổng lấy theo mọi hoán vị δ={l1, ,ln} của {1, ,n}

Định thức của ma trận A đợc ký hiệu: det(A) hay A

Nh vậy định thức của ma trận A cấp n là tổng của n! số hạng, mỗi số hạng là tích của n phần tử của

A lấy trên n hàng và n cột khác nhau, với dấu là dấu của hoán vị lập thành từ các chỉ số cột

Vì det(A) là một số nên nó có thể khác hoặc bằng 0 Nếu det(A)≠0 ta nói rằng ma trận A khôngsuy biến, nếu det(A)=0 ta nói ma trận A suy biến

b Định thức của ma trận vuông cấp 3

1 Tích các phần tử trên đờng chéo phụ

2 Tích các phần tử trên tam giác có cạnh song song với

đờng chéo phụ

c Định thức của ma trận cấp 2 và cấp 1

Vì 1,2 chỉ có các hoán vị {1,2} với sgn{1,2}=1 và {2,1} với sgn{2,1}=-1 nên với:

21 12 22 11 22 21

12

a a

a a

−

= A=(a) có ∆= a

Chú ý : Do tính chất 1, mọi tính chất của định thức đúng cho hàng thì cũng đúng cho cột và ngợc

lại Vì vậy chúng ta sẽ chỉ chứng minh hoặc cho hàng hoặc cho cột

Tính chất 2: Nếu nhân tất cả các phần tử của một hàng (hay một cột) với số k thì định thức cũng

Tính chất 3: Nếu đổi chỗ hai cột (hoặc hai hàng) cho nhau thì định thức đổi dấu.

Nếu đổi chỗ hai cột cho nhau thì N(δ) sẽ tăng thêm hoặc giảm đi một số lẻ lần, do đó sign(δ) đổidấu với mọi δ, nh vậy mọi số hạng của (2_15) đều đổi dấu, vậy det(A) đổi dấu

Hệ quả 2: Nếu có hai cột (hoặc hai hàng) giống nhau thì định thức bằng 0.

Ma trận A có hai cột (hoặc hai hàng) giống nhau, nếu ta đổi chỗ hai cột đó cho nhau, theo tínhchất 3, det(A) đổi dấu, nhng vì hai cột giống nhau nên khi đổi chỗ cho nhau ta vẫn nhận đợc A do đó

Tính chất 4: Nếu mỗi phần tử của một hàng i (hoặc cột j) là tổng của hai số, thì định thức đã cho

bằng tổng của hai định thức, mà mỗi định thức nhận đợc từ định thức ban đầu bằng cách thay phần tửcủa hàng i (cột j) tơng ứng bằng một trong hai số đó

Tơng tự tính chất hai, ta chứng minh tính chất đối với hàng một Giả sử a1j=a’1j+a”1j Khi đó từ(2_15):

det(A)=∆= sgn( )(a'l a''l )a l a nl n

2 1

210022002

310002003

110022001

Tách cột một thành hai cột đợc:

∆=

210022000

310002000

110022000

+

210022

310003

110021

Định thức thứ hai có hai cột bằng nhau nên bằng 0 Đặt 2000 làm thừa số chung cho cột một ta đợc:

210021

310001

110021

Lần lợt lấy hàng hai và hàng ba trừ hàng một đợc:

=2000

100

220

110021

4 Khai triển định thức theo các phần tử của hàng (hoặc cột)

a Định thức con và phần phụ đai số

Cho ∆=det(A) Kí hiệu ∆ij là định thức nhận đợc từ ∆ bằng cách bỏ đi hàng i và cột j ( hàng vàcột chứa phần tử aij) và gọi là định thức con tơng ứng của phần tử aij, và gọi Aij=(-1)i+j∆ij là phần phụ

đại số của aij

b Khai triển định thức theo các phần tử của hàng (và cột)

Định lý 2.1: Với mỗi hàng i hoặc cột j ta luôn có:

i j

j

n j

i j

i

n i

Với mỗi i xác định, số hạng a a1l1 2l2 a nl n chứa đúng một thừa số là phần tử của hàng i Với j= n1,

đặt aij làm thừa số chung cho tất cả các số hạng chứa nó, và gọi Aij là hệ số của aij.Khi đó:

sgn(δ) a a l a nl

n

11 22 với δ={1,l2, ,ln} Gọi δ1={l2,l3, ,ln} hiển nhiên N(δ1)=N(δ) nên hệ số của a11 là:

A11= sgn( )a l a nl n

2 1

2 1

δ

δ

∑

Tổng lấy theo mọi hoán vị δ1 của {2,3, ,n}, vậy: A11= ∆11

là định thức cấp n-1 của ma trận nhận đợc từ ma trận A bằng cách bỏ đi hàng 1 và cột 1

Tính Aij, từ det(A)= ∆ ta hãy đổi chỗ liên tiếp cột j cho cột j-1, sau đó đổi cột j-1 cho cột j-2, Đổichỗ hàng i cho hàng i-1, sau đó đổi hàng i-1 cho hàng i-2, Làm nh vậy ta sẽ đổi cột j về cột 1, đổihàng i về hàng 1, thứ tự các hàng và các cột khác vẫn giữ nguyên Gọi định thức nhận đợc là ∆’, vì cói-1 lần đổi hàng và j-1 lần đổi cột nên:

∆= (-1)i-1(-1)j-1∆’=(-1)i+j∆’

Mà A’11=∆’11

trong đó ∆’11 là định thức cấp n-1 nhận đợc từ ∆’ bằng cách bỏ đi hàng 1 và cột 1, đó cũng chính là

định thức nhận đợc từ ∆ bằng cách bỏ đi hàng i cột j, hay ∆’11=∆ij Nh vậy ta đợc:

Ví dụ 2.11: Khai triển định thức cấp 3 theo hàng 1 ta đợc:

cũng là khai triển theo Xariut

Ví dụ 2.12: Liên tiếp khai triển theo cột 1 định thức tam giác trên:

Nh vậy định thức của ma trận tam giác trên bằng tích các phần tử trên đờng chéo chính

Tơng tự liên tiếp khai triển theo hàng một của định thức tam giác dới và định thức ma trận chéo ta

đợc:

nn n

0

00

0

0

0

0010

1111

0

2 2

0

001

e e

Lần lợt với i= 2n lấy hàng i-1 nhân với (-x, 1) rồi cộng vào hàng i ta đợc:

Wn=

)(

)(

0

)(

)(

0

1

11

1

2 1

2

2 2

1 1

2

x x x x

x x

x x x

x

n

n n n

2 2 2 4

4 4

3 3 3

2 2 2

7531

7531

7531

11117.5.3753

1

753

1

753

1

753

11

Đa a1-x từ cột 1,a2-x từ cột 2, ,an-x từ cột n làm thừa số chung

Vn=(a1-x)(a2-x) (an-x)

1

00

1

0

10

1

0

01

1

3 2

1 1

a

x x a

x x a

−

+

x x

a

x x a

a

n

2 1

1

Ví dụ 2.20: Tính định thức áp dụng các định thức đã biết:

Cn=

0

x x x

x x x

1

01

01

11

110

x x x

x x

x

x x x

Nếu x=0 khai triển theo cột n ta đợc Un=0

Nếu x≠0 nhân hàng 1 và nhân cột 1 với x đợc:

Un= 12

x

000

i i j j

A

1 1

)(

∆ (2_29)

Định lý 2.2:(Định lý Laplace)

Với mọi k mà 1≤k≤n và với các chỉ số hàng i1,i2, ,ik cố định

bất kỳ: 1≤i1<i2< ≤ik ta có:

k

k k

j j

j j i i

)1

k

i i j j

A

1 1

)(

k

i i j j

A

1 1

)(

Tổng lấy theo tất cả các bộ j1,j2, ,jk có thể thoả mãn: 1≤j1<j2< <jk≤n Công thức (2_30) gọi là công thức khai triển định thức theo k

hàng i1,i2, ,ik, nó cũng đúng cho khai triển theo k cột j1,j2, ,jk

Chứng minh: Chuyển hàng i1 về hàng 1 định thức đổi dấu i1-1 lần, chuyền hàng i2 về hàng 2 địnhthức đổi dấu i2-2 lần, , chuyển hàng ik về hàng k định thức đổi dấu ik-k lần, khi đó tổng số lần đổidấu của định thức sẽ là (i1-1)+ +(ik-k) lần Thực hiện đổi hàng nh vậy ta đa về chứng minh trờng hợp

i1=1,i2=2, ,ik=k, hay:

j j

j j

a a

a a

k j

n k

n k

nj nj

j k j

k

a a

a a

Dễ thấy (2_31) và (2_32) đều là tổng của n! số hạng, mỗi số hạng là tích của n phần tử trên n hàng

và n cột khác nhau của A cha kể dấu Vì vậy để chứng minh định lý ta chỉ cần chứng tỏ mỗi số hạngcủa (2_31) cũng là số hạng của (2_32)

Xét một số hạng của (2_31)

B=sgn(δ)a1l1 a kl k a k+1l k+1 a nl n (2_34) Trong đó:

n k

1

1 1

Gọi j1,j2, ,jk là k số sao cho 1≤j1<j2< <jk≤n và (l1,l2, ,lk) là một hoán vị của (j1,j2, ,jk)

Trong δ chuyển j1 về 1, chuyển j2 về 2, , chuyển jk về k để (l1,l2, ,lk) là một hoán vị của (1,2, ,k),khi đó sẽ sinh ra j1+j2+ +jk nghịch thế và δ trở thành:

1

1

n k

l l

n k

l l

k n

Trong đó δ1 là chỉ số mới của các cột (l1,l2, ,lk) của A trong A 1j k j k

1

)(

sgn(δ)=(−1)j1+ +j k sgn(δ1)sgn(δ2)

)sgn(

)sgn(

)1(− j1+ +j k δ1 δ3

=Nên

k n k

k

kl n l kl

l j

−

− +

+

−

=( 1) sgn( 1) 1' ' sgn( 3) 1" "

1 1

2 3

2 3 1

2 2

2

3 2

1

Với I là ma trận đơn vị, θ là ma trận không cấp n Xét định thức của ma trận khối:

B I

A

−

θ =

nn n n

n n

nn n

n

n n

b b b

b b b

b b b

a a a

a a a

a a a

1

00

0

10

0

01

0

00

0

00

0

00

2 1

2 22 21

1 12 11

2 1

2 22 21

1 12 11

−

−

−

Bằng khai triển Laplace n hàng đầu ta đợc: ∆=det(A)det(B)

Mặt khác, thực hiện phép biến đổi: Lấy cột 1 của B làm hệ số nhân cột 1 với b11, cột 2 với b21, ,cột n với bn1, rồi thêm tổ hợp tuyến tính của các cột đó vào cột n+1, (định thức không đổi)

Tơng tự, lấy cột i của B làm hệ số; nhân cột 1 với b1i, nhân cột 2 với b2i, ,nhân cột n với bni, rồi

thêm tổ hợp tuyến tính của n cột đó vào cột n+i Lần lợt thực hiện tơng tự với i= n2 ,

Khai triển Laplace kết quả cuối cùng theo n hàng đầu ta đợc:

A.AT=

m m m m

1 Định nghĩa

Cho A là ma trận vuông cấp n, và I là ma trận đơn vị cùng cấp Nếu có ma trận B sao cho:

A.B=B.A=I (2_38)thì B đợc gọi là ma trận đảo của ma trận A, ta cũng nói rằng A có nghịch đảo, và ký hiệu B=A-1

Từ (2_38) nếu B là nghịch đảo của A thì B cũng có nghịch đảo và nghịch đảo B-1=A

2 Điều kiện tồn tại và duy nhất

Định lý 2.4: Điều kiện cần và đủ để ma trận A có nghịch đảo là A không suy biến ( det(A)≠0) Điều kiện cần: Nếu A có nghịch đảo B, từ A.B=I ta có:

det(AB)=det(A)det(B)=det(I)=1

Vậy det(A)≠0 hay A không suy biến

Điều kiện đủ: Giả sử det(A)≠0, ta lập ma trận A* gọi là ma trận phụ hợp của A:

Trong đó Aij là phần phụ đại số tơng ứng của aij

Đặt

)det(

A a A

n k

jk ik

1)det(

.)det(

1

00

.)det(

1)

123

021

10

21

210

123

02

123

02

10

21

Tính A*

21

119

83151

Ví dụ 2.26: Tính ma trận đảo của

i i

i i

i

100

210

32

20

=0 A13=

00

10

=0

A21=

i

i i

32

=-1+3i A22=

i

i i

−

++10

31

=2

A23=

00

−

+

−21

32

=-5i

A32=

i

i i

−

++

−

20

31

=-3-I A33=

10

i i

i A

10

0

32

0

53

11

b a

32

1

Ta thấy ma trận phụ hợp A* nhận đợc từ A bằng cách đổi chỗ hai phần tử trên đờng chéo chính và

đổi dấu hai phần tử trên đờng chéo phụ

b Từ biểu thức đã cho ta đợc:

1

43

34

11

2 Mọi định thức con cấp r+1 và các định thức con cấp cao hơn đều bằng không

Khi đó ta gọi số r là hạng của ma trận A, ký hiệu r(A), hạng của ma trận θ quy định bằng 0

Định nghĩa 2.5: Nếu hạng của ma trận A bằng r ta gọi mọi định thức con cấp r khác 0 của A là

định thức con cơ sở, các hàng của A tham gia vào mỗi định thức con cơ sở là các hàng cơ sở , các cộtcủa A tham gia vào mỗi định thức con cơ sở là các cột cơ sở

Nh vậy theo định nghĩa, để tìm hạng của ma trận A ta lần lợt đi tính định thức con cấp k (1≤ k≤min (m,n)) của nó và chọn ra số r là cấp cao nhất của định thức con khác không Để tìm các hệ cột vàhàng cơ sở của A ta chọn ra mọi định thức con cấp r khác không của nó để xác định các hệ cột vàhàng cơ sở

Cách tìm hạng của ma trận và các hệ cột và hàng cơ sở của nó theo định nghĩa nh vậy rất phức tạp,vì vậy ta sẽ đa ra một cách tính đơn giản bằng các phép biến đổi sơ cấp của ma trận

2 Các phép biến đổi sơ cấp của ma trận

Các phép biến đổi sau gọi là các phép biến đổi sơ cấp của ma trận:

a Đổi chỗ hai hàng hoặc hai cột của ma trận cho nhau

b Nhân một hàng hoặc một cột với một số khác không

c Thêm vào một hàng hay một cột tổ hợp tuyến tính của các hàng hoặc các cột khác

Ngời ta cũng gọi các phép biến đổi sơ cấp là các phép biến đổi Gauss Dựa vào các tính chất của

do đó định thức con cơ sở không đổi mà chỉ làm thay đổi thứ tự các cột hoặc hàng trong định thứccon con sở

b Khi nhân một số khác không với các phần tử của hàng hoặc cột cơ sở thì định thức con cơ sở đợcnhân với số đó, nh vậy định thức con cơ sở đó không suy biến, vậy hạng ma trận không thay đổi

c Nếu cộng tổ hợp tuyến tính của các hàng hoặc cột cơ sở vào một hàng hoặc cột còn lại của địnhthức con cơ sở thì định thức con cơ sở không đổi Nếu cộng tổ hợp tuyến tính của hàng hoặc cột nào

đó của A vào hàng hoặc cột của một định thức con cơ sở mà làm cho nó bằng không, ta thay hàng(hoặc cột) đó bằng chính tổ hợp vừa cộng vào, ta sẽ đựoc một định thức khác không Vậy hạng Akhông đổi

3 Quy tắc tìm hạng của ma trận

Từ định lý 2.4 để tìm hạng ma trận ta dùng các phép biến đổi sơ cấp của ma trận đa ma trận ban

đầu về dạng đơn giản nhất, mà từ đó dễ dàng nhận ra định thức con cấp cao nhất khác không do đótìm đợc hạng của A Cụ thể:

(i) Nếu thực hiện các phép biến đổi sơ cấp của ma trận để đa ma trận về dạng có số các phần tử cóchỉ số hàng bằng chỉ số cột khác 0 nhiều nhất Khi đó hạng của A bằng số phần tử có chỉ số hàngbằng chỉ số cột khác 0(aii≠0).

(ii) Nếu chỉ dùng phép biến đổi thứ ba cho hàng khi đó hạng của A bằng số hàng khác không của

ma trận kết quả, hơn nữa từ ma trận kết quả ta dễ dạng nhận ra đợc các hệ cột cơ sở của A

(iii) Nếu chỉ dùng phép biến đổi thứ ba cho cột khi đó hạng của A bằng số cột khác không của matrận kết quả, hơn nữa từ ma trận kết quả ta dễ dạng nhận ra đợc các hệ hàng cơ sở của A

Giải: Nhân hàng 1 với (-2) rồi cộng vào hàng hai, cộng hàng một vào hàng ba ta đợc:

0772

0001

0001

Ta thấy các hệ hàng cơ sở là hàng (1,2), hàng (1,3), hàng (2,3)

Ví dụ 2.29: Tìm hạng của ma trận theo a:

A=

a a a a

10

00

010

0

0010

1113

a a a a

Nếu a≠-3 và a≠1 hạng của ma trận bằng 4 Nếu a=1 đợc: