Phép nhân ma trận: Cho hai ma trận A và B có tính chất: Số cột của ma trận A bằng số dòng của ma trận B.. Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng viết tắt là BĐSCTD trên A là một trong ba
Trang 1
BAI GIANG TOM TAT
MON TOAN C2 (GV: Trần Ngọc Hội - 2009)
CHUONG 1
MA TRAN
HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
A MA TRẬN
§1 ĐỊNH NGHĨA VÀ KÝ HIỆU
1.1 Định nghĩa:
Một ma trận loại m x n trên R là một bảng chữ nhật gồm m dong, n cot với
mn hé số thực có dạng:
ii Aig Ain A= ai - Age Aon
ami &me Amn
Viết tắt: A= (aijmn hay A =(ai), trong đó aj c R
Ta gol:
aij : hệ số ở dòng ï, cột J của ma trận A;
m : số dòng của ma trận A;
n : số cột của ma trận A;
(aj, ajo Ain): dong tht i cua ma tran A;
- : cột thứ j cua ma tran A
inj
Ký hiệu: Mm„„ (R) là tập hợp tất cả những ma trận loai mxn trén R
1 2
c Mo.5 (R); B = 0 1 c Ms„; (R)
2 3
1 2 3
Vi du: a-(
0 1 2
1.2 Định nghĩa:
Cho hai ma trận cùng loại A = (aj)m„ và B = (b¡)m„ Ta nói A bằng B, ký hiệu A=B,nếu a¡ = bụ, VI <¡ <m, l<j<n
1.3 Định nghĩa:
() Ma trận không loại m x n, ký hiệu: 0„„n hay 0, là ma trận loại m x n mà tất
cả các hệ số đều bằng 0
(¡) Một ma trận vuông cấp n là một ma trận loại n x n (¡.e số dòng = số cột = n)
Trong mỗi ma trận vuông cấp có một đường chéo chính (gọi tắt là đường chéo) gồm các hệ số a¡, 1 < ¡ < n
đường chéo (chính)
Tập các ma trận vuông cấp n trên R được ký hiệu là M,(R)
(iii) Một mơ trận chéo cấp n là một ma trận vuông cấp n mà tất cả các hệ số
nằm ngoài đường chéo chính đều bằng 0
ai 0 0
A= 322
0 0 Ann (iv)Ma tran don vi cap n, ky hiéu I, hay I, là ma trận chéo cấp n mà tất cả các
hệ số nằm trên đường chéo chính đều bằng 1:
Trang 2
0 1
5 1 néu i=j
với ij = woo
9 0 nếu 1#]
(v) Một ma trận tam giác trên (tam giác dưới) cấp n là một ma trận vuông cấp n
mà tất cả các hệ số nằm phía dưới (phía trên) đường chéo chính đều bằng 0
Như vậy,
A = (a¡)n.n là ma trận tam giác trên
© a¡= 0, VI <J]<1<n, nghĩa là A có dạng:
B = (bijnxn 1A ma tran tam gide dudi
& bj = 0, V1 <i <j <n, nghia 1a B có dạng:
bạ 0 0
B bại bạ; 0 bại Đạa ban
§2 CÁC PHÉP TOÁN MA TRẬN
2.1 Phép lấy chuyển vị:
Cho A = (aj) là một ma trận loại mxn Ta gọi mơ trận chuyển vi cia A, ky
hiệu AT, là ma trận loại nxm, có được từ A bằng cách xếp các dòng của A thành
các cột tương ứng của AT, Nghĩa là:
311 31a Ain 311 ao, ami
a a we A a a wee A A= 21 22 2n => AT — 12 22 m2
Ami Ame Amn Ain Aan Amn
Như vậy, hệ số ở dong ¡, cột j của ma trận AT bằng hệ số ở dòng j, cột của ma
2.2 Phép nhân vô hướng:
Cho ma tran A = (a¡)m.„ và số thực œ e R Ta định nghĩa œA là ma trận có
từ A bằng cách nhân tất cả các hệ số của A cho œ, nghĩa là:
aA = (O8ij)mxn
3(3 4 1)_(6 8 2
0 1 -3) |0 9 -6
Ky hiéu: —A= (-1)A = (— Aij xn
Vi du:
Ta dé dang kiém tra duge các tính chất sau:
V6i A = (aj) va a, B € R;
(i) (aB)A = a(BA)
(ii) (@A)" = a AT
Œñ) 0.A = 0 và 1.ÀA= A
2.35 Phép cộng ma trận:
Cho hai ma trận cùng loại mxn: A = (aj)m.u và = (bụ)m.n Ta định nghĩa (ổng hai ma trận A và B, ký hiệu A + B, là ma trận loại mxn mà các hệ số có được
bằng cách lấy tổng của các hệ số tương ứng của A và B, nghĩa là:
A+B= (ai + Địj)m«n
Ta đễ dàng kiểm được các tính chất sau:
Với A, B, C e Mạa(R) và ơ, B e R ta có:
(i) A+B=B+ A (tính giao hoán);
Gi) (A+B)+C=A+(B+C) (ính kết hợp);
Gii) Onn +A=A+ Oman = A;
(iv) A+ (-A)=(-A) + A= 0na3 (v) (A+B) =AT+ B';
(vi) ofA +B)=caA+caB (vii) (a+ P)A=aA + BA;
(vill) (-aJA = a(—A) = -(œA)
Vi du:
Trang 3
Ky hiéu: A—- B=A+(B)= (ai — Địj)m«n
2.4 Phép nhân ma trận:
Cho hai ma trận A và B có tính chất: Số cột của ma trận A bằng số dòng của
ma trận B Cụ thé ma tran A = (a¿) loại mxn và ma trận B = (b¡) loại nxp Ta
định nghĩa (ích của hai ma tran A va B, ky hiéu AB, là ma trận C loại mxp định
bởi:
e Về loại: C có loại mxp
[Ghi nhớ bằng ký hiệu hình thức : (mxn)(nxp)= (mxp)]
e Về hệ số: C có hệ số dòng i, cột J được tính bởi công thức:
n
Ci = >» 8¡k Dị
k=l
Nói cách khác, hệ số ở dong i, cột J của AB có được bằng cách nhân các hệ số ở
dòng ¡ của ma trận A với các hệ số tương ứng ở cột j của ma trận B rồi lấy tổng
của chúng:
dtngi + a, ais
ny
cột j
Vi du: Vein -( s)B=|? 1 C= ( | ta 66:
3 -l
AB =| jBA= 5 5 0 |;BC=|l5 -3 sca =[
nhưng AC và CB không xác định
Phép nhân ma trận có các tính chất sau:
(i) Voi A là ma trận loại mxn, ta có:
TạA =A va AI, =A Suy ra với A là ma trận vuông cấp n, ta có
IA=AI,=A (ii) Voi A 1a ma tran loai mxn ta cé:
OpxmA = Opxn VA ADnxg = Omxq Suy ra với A là ma trận vuông cấp n, ta có:
OnnA = A.Onn = Onn
(ii) Phép nhân ma trận có tính kết hợp:
A e Mu (R); B e Mụ„(R); © e M,„„(R)
(AB)C = A(BC) nhưng không có tính giao hoán, nghĩa là thông thường AB # BA (có thể AB xác định nhưng BA lại không xác định)
(iv) Phép nhân ma trận có tính phân phối đối với phép cộng
A(B + C) = AB + AC;
(B+C)A=BA+CA
(v) (AB)' = BTAT
đi
0 (vi) Voi A = đạo là một ma trận chéo và k nguyên dương, ta có:
Aon
am
k
k 0
ak
nn
Chú ý: Nhiều tính chất quen thuộc của phép nhân giữa các số thực không còn đúng đối với phép nhân ma trận, chẳng hạn:
A?=0 »< A=0
AB=0 >» A=0hayB=0
tae = AC
B=C
A #0 >
Ví dụ: Với ^-[§ ›J2“[o ]€=9 [0 5) 8 cé A? = 0; AB = 0; AB =
AC, nhưng A, B đều khác 0 và B z €
Trang 4
ậ3 PHEP BIEN DOI SO CAP TREN DONG
3.1 Dinh nghia:
Cho A = (aj)mẤn Ta gọi phép biến đổi sơ cấp trên dòng (viết tắt là BĐSCTD)
trên A là một trong ba loại biến đổi sau:
1) Loạt 1: Ở Đỏi hai dòng cho nhau
Ký hiệu: d; <> dụ chỉ phép đổi hai dòng ¡ và k cho nhau
3) Loại 2: Nhân một dòng cho một số khác 0
Ký hiệu: dị: = Ủd;¡ chỉ phép nhân dòng thứ ¡ cho số Ủ #0
3) hoạt 3: Ở Cộng vào một dòng một bội của dòng khác
Ký hiệu: dj : = dj + Bd, chỉ phép cộng vào dòng thứ ¡ bội B (B c R) lần
cua dong k i
3.2 Định nghĩa:
Cho A và B là hai ma trận cùng loại Ta nói À tương đương dòng với B, ký
hiệu A ~ B, nếu B có được từ A qua hữu hạn (tùy ý) phép biến đổi sơ cấp trên
dong nao đó
Vay:
A ~ B cẹ dey, e@2, ề, ek: cde phép BDĐSCTD sao cho
AỞ% >A,Ở% >A, Ở >A, =B
Nhận xét: Ta thấy quan hệ tương đương dòng là một quan hệ tương đương,
nghĩa là các tắnh chất sau được nghiệm đúng:
Gi) A-~A;
ii) A~B>B~A
(iii) A~BvaB~C>A~C
3.3 Dinh nghĩa: (Ma trận dang bậc thang và dạng bậc thang rút gọn)
Cho A = (a¡) là một ma trận loại mxn trên R Ta nói:
) Ở A có dạng bậc thang nếu A có dạng sau:
QO a : aon, 2k Ain
trong đó kị < k; < < ky và a¡,,aay, ,aẤ #0, nghĩa là A thỏa hai tắnh chất
sau:
1) Các dòng khác 0 luôn luôn ở trên các dòng bằng 0 của A
2) Trên hai dòng khác 0 của A, hệ số khác 0 đầu tiên của dòng dưới bao giờ cũng ở bên phải cột chứa hệ số khác 0 đầu tiên của dòng trên
(ii) A c6 dạng bậc (hơng rút gọn (hay có dạng rút gọn theo dòng từng bậc) nếu
tắnh chất sau được thỏa:
1) A có dạng bậc thang
2) Các hệ số khác 0 đầu tiên trên các dòng khác 0 của R đều bằng 1
3) Trên các cột có chứa các số 1 là các hệ số khác không đầu tiên trên các dòng khác 0, tất cả các hệ số khác đều bằng 0 Nghĩa là R có dạng như trong (ỉ)
Va a}, =asƯ = =aẤ =1, hơn nữa, ngọai trừ các hệ số 1 này, trên các cột kị,
kạ, , ky tất cả các hệ số còn lại đều bằng 0
Vắ dụ: Xét các ma trận:
12 5 4 2 2.3 9 1
00 3 1 7
00 0 0 4 01 0 5
0 1 đả 0 0
0 0 0 1 2 0010 0
Ta thay:
e A có dạng bậc thang nhưng B không có dạng bậc thang
se Ạ có dạng bậc thang rút gọn nhưng D không có dạng bậc thang rút gọn (D chỉ có dạng bậc thang)
Trang 5
3.4, Dinh lý:
Cho A là một ma trận loại mxn trên R Khi đó tồn tại duy nhất một ma
trận bậc thang rút gon R sao cho A ~ R Ta gọi R là ma trận dạng bậc thang rút
gon cua A và số lượng dòng khác 0 của R là hạng của ma trận A, ký hiệu r(A)
Nhận xét: Hạng của ma trận A cũng bằng số lượng dòng khác 0 của bất kỳ
ma trận dạng bậc thang nào (không nhất thiết rút gọn) tương đương dòng với A
Ví dụ 1: Tìm một ma trận dạng bậc thang R tương đương dòng với ma trận:
1 7 1 8 0
1 7 -1 -2 -2
6 42 3 18 -8
Từ đó xác định hạng của A
17 1 3 0Ô
¿ 0 0 -2 -5 -2
Đáp số: A~R= Ma trận A có hạng là r(A) = 8
0 0 0 1 0
0 0 0 0 0
Ví dụ 2: Tìm ma trận dạng bậc thang R tương đương dòng với ma trận:
1 7 1 8 0
1 7 -1 -2 -2
l2 14 3 7 0
6 42 3 18 -8
1 7 0 0 -1
¿ 0 0 10 1
Đáp số:A ~ R=
0001 0
000 0 0
§4 MA TRAN KHA NGHICH
4.1 Định nghĩa:
Một ma trận A vuông cấp n được gọi là &hđ nghịch nếu có một ma trận B
vuông cấp n sao cho AB = BA = I¡ Khi đó ma trận B là duy nhất và được gọi là
ma trận nghịch đảo của A ky hiệu là A"'
1) Nếu ma trận A có một dòng hay một cột bằng 0 thì A không khả nghịch
Đảo lại không đúng
2) Ma trận đơn vị I khả nghịch và L' = 1
3) Với A, B là hai ma trận vuông cấp n ta có:
(A khả nghịch và A” = B) © AB = I„ © BA =1,
4) Nếu A khả nghịch và œơ e R, œ #0 thì ma trận œA cũng khả nghịch và
(GÀ)! = CA,
Qa
5) Nếu A khả nghịch thì A” cũng khả nghịch va
(Aty' = (a
6) Nếu A, B là hai ma trận khả nghịch có cùng cấp thì ma trận tích AB cũng khả nghịch và:
(AB)'=B'A”"
4.2 Định lý:
Cho A là một ma trận vuông cấp n Ta có các khẳng định sau tương đương:
1) A khả nghịch
2) r(A) = n
3) A~I,
4) Tôn tại các phép BDSCTD ej, eg, ., e, bién ma tran A thanh ma tran don
vi Ih
Hơn nữa, khi đó cũng qua chính các phép biến đổi e¡, eg, , ex, ma tran don
vị L„ sẽ biến thành ma trận nghịch đảo A'', nghĩa là:
Néu A—*>A,—* >A, —*—>.,.—*> A, =I
thi I, n > B, —“> B, —“\> —*>B, = A1,
Chú ý: Trong thực hành, để xét tính khả nghịch của ma trận A vuông cấp n
và tìm A' (nếu có), ta tiến hành như sau: Xếp I„ bên phải ma trận A: (A|I,) va
dùng các phép BĐSCTD để biến đổi ma trận này theo hướng đưa A về dạng bậc
thang rút gọn R:
10
Trang 6
(A|L,,)—>(A, |B, ) —2> (A, |B, ) —
Trong quá trình biến đổi có thể xảy ra hai trường hợp:
e Trường hợp 1: Tổn tại p sao cho trong dãy biến đổi trên, ma tran A, co it
nhất 1 dòng hay 1 cột bằng 0 Khi đó a không khả nghịch
e Trường hợp 2: Mọi ma trận A; trong dãy biến đổi trên đều không có dòng
hay cột bằng 0 Khi đó ma trận cuối cùng của dãy trên có dạng (I;,B) Ta có A
khả nghịch và A” = B (Thử lại AB = I)
Vi dụ: Xét tính khả nghịch của A và tìm A1 (nếu có)
3 7 8 12 3.0 2 1
4 8 14 19 4 =1 0 -3
Đáp số:
a) A khả nghịch và ma trận nghịch đảo của A là:
10 7 -9 1 aif? 3 4 4 1-3 3 -1
2 2 2 1
b) A không khả nghịch
4.3 Định lý:
Cho A là một ma trận vuông cấp 2:
"~
Ta có: A khả nghịch khi và chỉ khi:
b det A =|* J=aa-be+0,
ed
Khido: Atr=—t (¢ >
2 -—1
Vi du: Ma tran ^-[§ 1 có detA = 11 nên A khả nghịch và ta có:
11
§ð PHƯƠNG TRÌNH MA TRẬN
Cho các ma trận:
se A vuông cấp n, khả nghịch;
e B loại nxp;
e C loai mxn
Khi đó:
Ví dụ: Cho hai ma trận:
1 2 3 -2 1-1 0 0
2 -1 -2 -3 1 -1
3.2 -1 -5 0 0 1 -1
4 -3 1 -3 0 0 1 a) Chứng tỏ A khả nghịch va tim A‘
b) Tìm ma trận X thỏa AXA = AB
e) Tìm ma trận X thỏa A”XA” = ABA’
GIải:
a) Ta tìm được
47 81 -50 -29
3 5 -3 -2
2 3 -2 -1
29 50 -ð1 -18
Al=
44 76 -47 -27
1 2 -1 -1 -27 -47 29 17
29 59 -31 -18
b) AXA = AB & XA=B © X=BA'™=
47 34 -131 21
3 2 =8 1
2 1 -5 1
29 21 -81 13
c) A°XA? = ABA? S AX=Bo X=A'B=
12
Trang 7
B HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
§1 ĐỊNH NGHĨA VÀ KÝ HIỆU
1.1 Định nghĩa:
(1) Một hệ phương trình tuyến tính trên R gồm m phương trình, n ẩn số là
một hệ có dạng:
31IXỊ +81aXa + +8inXn = Đị 8øiXỊ +8aaXa + +8anXạ = de
¬ (1)
AmIXỊ + 8msXs + +8AmnXn =Pm
trong đó
s« au, bị c R: Các ẩn số;
® xị, Xa, , xa : Các ẩn số thực
e Mỗi bộ số (xị, Xas, , Xn) = (01, O2, , On) thoa tất cả các phương trình
trong (1) được gọi là một nghiém cua (1) Khi hệ có nghiệm ta còn nói hệ đó
tương thích
(ii) Ma trận
ii 312 Ain
ao, 3s2 đạn
A= (Aij)mxn =
Ami &me - Amn
được gọi là ma trận hệ số ở uế trái của hệ (1)
Ma tran
được gọi là ma trận hệ số ở uế phải của hệ (1)
Ma tran
được gọi là ma trận bổ sung (hay ma trận mở rộng) của hệ (1)
Khi đó, hệ (1) được viết dưới dạng ma trận như sau:
trong đó
an
x =|*? |: Ma trận cột các ẩn số
1.2 Định nghĩa:
Với các ký hiệu trong Định nghĩa 1.1, ta nói:
Œ) Hệ (1) và (2) là hệ phương trình tuyến tính (huần nhất nếu B = 0, nghĩa
là bị =ba= =bạ= 0
(ii) Hé (1) va (2) la hé phương trình tuyến tính không thuần nhất nếu có
1 <j<m sao cho b¡z 0, nghĩa là nếu B z0
1.5 Nhận xét:
Một hệ phương trình tuyến tính thuần nhất bất kỳ luôn luôn có nghiệm vì
nó nhận (0,0, ,0) làm một nghiệm, gọi là nghiệm tâm thường Điều này không đúng đối với các hệ không thuần nhất
§2 PHƯƠNG PHÁP GAUSS GIẢI HỆ PHƯƠNG TRÌNH TUYẾN TÍNH
Trong phần này ta sẽ đề cập đến phương pháp Gauss để giải hệ phương trình tuyến tính:
AX=B
trong dé A = (ajj)mxn3 B = ; X=
bn Xn
14
Trang 8
2.1 Nhận xét:
Khi giải một hệ phương trình tuyến tính, các phép biến đổi sau đây cho ta
các hệ tương đương:
e Hóan đổi hai phương trình cho nhau;
e Nhân hai vế của một phương trình cho một số khác 0
se Cộng vào một phương trình một bội của phương trình khác
Tương ứng với các phép biến đổi trên là các phép BĐSCTD đối với ma trận
bổ sung
Từ nhận xét trên ta có kết quả sau:
2.2 Định lý:
() Nếu A ~ R thì AX= 0© RX =0
(ii) Nếu (A|B) ~ (R|B') thì AX= B © RX=B
Dùng Định lý 2.2 ta tìm được phương pháp Gauss để giải các hệ phương
trình tuyến tính như sau:
2.3 Phương pháp Gauss:
Bước 1: Viết ma trận bổ sung (A|B) của hệ (sau khi viết các ẩn theo một
thứ tự nào đó)
Bước 9: Dùng các phép BĐSCTD biến đổi ma trận (A|B) cho đến khi A biến
thành ma trận dạng bậc thang (hay bậc thang rút gọn), nghĩa là
(A|B) > > (RIB)
Buéc 3: Viét lai hé phuong trinh tuyén tinh RX=B' ứng với ma trận bổ
sung (R|B') Sau đó giải hệ này bằng cách lần lượt tính các ẩn dựa vào các
phương trình từ phía dưới lên Nghiệm của hệ này chính là nghiệm của hệ đã
cho
2.2 Dinh ly (Kronecker - Capelli):
Xét hệ phương trình tuyến tính AX = B Đặt:
er, = r(A);
ero = r(AlB);
e n là số ẩn
Khi đó:
1) Nếu rị < ra thì hệ AX = B vô nghiệm
2) Nếu rị = ra = n thì hệ AX = B có duy nhất một nghiệm
3) Nếu rị = ra < n thì AX = B có vô số nghiệm với bậc tự do là n-r\, nghĩa là
có n-r¡ ẩn có thể nhận bất cứ các giá trị thực nào cho trước, goi la n—r, dn tu do,
và rị ẩn còn lại được tính theo các ẩn tự do trên
Chú ý: Có nhiều cách chọn ẩn tự do, nhưng thông thường, ta chọn các ẩn tự
do là các ẩn không đứng đầu trong các phương trình của hệ rút gọn RX = B' sau cùng
Độc giả có thể nghiên cứu phương pháp Gauss qua các ví dụ minh họa sau:
Ví dụ 1: Giải các hệ phương trình tuyến tính sau:
Xo + 2x, + 2x, + 3x, =6
X1 + 3X9 — 13x3 + 22x 4 = -]
b) ỞXI + DX9 +Xa — 2x4 = 5 2x1 + 3X9 + 4X5 — 7x4 =4
XK, — 2X9 + 8x3 —4xy4 = 2 3x, + 3X_ —5X3 +X, =—-3 C) |- 2x, +x» + 2x3 — 3x, =5 3x, + 3x3 —10x, =8
Đáp số:
a) Ta viết lại hệ phương trình dưới dạng:
Hệ đã cho tương đương với hệ sau:
X, + 2X, + 3x3 + 4x, =7 X=
Xa+ Xạ=2 Xa =ð
2X4 = —6 Xã — -3
16
Trang 9
Hệ có duy nhất một nghiệm là:
(x1, Xa; Xã; X4) — (2, 1, 5, —3)
b) Hệ đã cho tương đương với hệ sau:
X, + 2X, — 3x3 + 5x, =1
Chon x3 = a, x4 = ÿ, ta tính được:
x, =5-17a + 298
Xs =-2+10œ - 17B
Vậy hệ đã cho có vô số nghiệm với hai ẩn tu do:
(XỊ, Xa, Xs,X¿) = (5 — 17œ + 29B,—2 + 10g —17B, a, B) với ơ, B c R tùy ý
c) Hệ đã cho tương đương với hệ sau:
X, — 2X_ + 3x, — 4x, = 2
— 8X, + 8x, —llx, =9 10x, — 20x, =18
0=2
Hệ này vô nghiệm Do đó hệ đã cho ban đầu cũng vô nghiệm
Ví dụ 2: Giải và biện luận các hệ phương trình tuyến tính sau theo tham số
meR:
3X, + 5X, + 3X3 —4x, =1 ) 2X, + 3X, +X3 +X, =0
a
5X, + 9X_ + 6x3 —15x, = 2 13x, + 22x, + 13x, — 22x, = 2m
X, + Xy —X3 + 2x, =1
X, + 2X, — 3X, + 4x4 =2
b) 4x, X, —Xy +4xX3 + 3Xy —X3 +mxX, =m” -6m+4 -xX, =m
Đáp số:
a) Hệ đã cho tương đương với hệ sau:
17
X, + 2X, + 2x3 —5x, =1
—X, —3x, +11x, 2 3 4 =-2 (1)
0 =2m-4 s« 2m —- 4z0<© m z2: Hệ vô nghiệm
em = 2: Hệ có vô số nghiệm với một ẩn tự đo:
(X),X,X3,X4) =(1-21la,-1+140,1-a , a) b) Hệ đã cho tương đương với hệ sau:
Xị †Xạ—-Xaạ+2X¿ =Ì
Xa+X¿=m+l (m-7)x¿ =m”-7m
e m—7Zz0<€© mz7: Hệ đã cho có duy nhất một nghiệm là:
(XỊ, Xạ, Xạ, X;)=(-1, 3-2m, 1, m)
em = 7: Hệ đã cho có vô số nghiệm với một ẩn tự do:
(X,,X9,X3,X4) =(8+0,17 -—40,8-a, a)
18
