Đại số tuyến tính - Chương 2: Định thức ppsx

Định nghĩa định thức bằng qui nạp... Tính chất của định thức -Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm trên đường chéo... Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng hay

Trường Đại học Bách khoa tp Hồ Chí Minh

n n

ij 



)

Bù đại số của phần tử aij là đại lượng

Định nghĩa bù đại số của phần tử aij

Định nghĩa định thức bằng qui nạp

2)

1()3

(43

0

2)

1(

24

2

0

3)

1(

3

03

2

32

1

A

Ví dụ

Giải

22

5

31

2

3

1)

1(

40

04

22

5

31

3)

1(

40

04

22

5

31

3

1 3 1

II Tính chất của định thức

-Định thức của ma trận tam giác bằng tích các phần tử nằm

trên đường chéo

1201

45)3(2

10

00

0

94

00

0

82

50

0

17

630

40

312

II Tính chất của định thức

-Bước 1 Chọn 1 hàng (hoặc một cột) tùy ý;

Bước 2 Chọn một phần tử khác không tùy ý của hàng (hay cột)

ở bước 1 Dùng biến đổi sơ cấp, khử tất cả các phần tử khác

Bước 3 Khai triển theo hàng (hay cột) đã chọn

Nguyên tắc tính định thức sử dụng biến đổi sơ cấp

1 2

2 6

2 3

0 5

3 2

1 2

1 1

A

15 0

4

1 0

1

2 1

3 0

1 0

1 0

2 1

1 0

1 2

1 1

1 2

2 6

2 3

0 5

3 2

1 2

1 1

3

1 0

1

2 1

1 )

1 (

4

1

1 )

1 (

1 4

2 4

1 3

0 2

3 2

1 1

2 3

A

2 5

3

2 3

2 )

1 (

1 1

0 2

5 3

0 2

3 2

1 1

2 3







1 3

1 4

2 4

1 3

0 2

3 2

1 1

2 3

II Tính chất của định thức

-det (AT) = det (A)

det(AB) = det(A) det(B)

Ma trận có một hàng (cột) bằng không, thì det (A) = 0

Ma trận có hai hàng (cột) tỉ lệ nhau, thì det (A) = 0

Chú ý: det(A+B) det(A) + det(B).

n A

Giả sử det(A) 0 Khi đó 

det(AA-1) = det (I) det(A).det(A-1) = 1 det(A) 0 

1 1

1

j j

j

j j

j

a a

a

a a

a B





| |, ,

1

1 1

1

i i

i

j j

j

a a

a

a a

a A





n A

13

2

11

Ví dụ Viết ptrình đường thẳng qua hai điểm A x y ( ,A A), ( , B x yB B)

Giả sử phương trình đường thẳng (d): ax by c    0

A, B thuộc đường thẳng: axA  byA   c 0; axB  byB   c 0

Ta có hệ:

0 0 0

Định thức của ma trận hệ số bằng 0:

1

1 0 1

Ví dụ Viết phương trình đường thẳng qua hai điểm A(2,3), B(-1,4).Định thức của ma trận hệ số bằng 0:

0 1

Vdụ Viết ptrình đường tròn qua 3 điểm A (1,7), (6,2), (4,6) B C

Vdụ Phương trình tổng quát của đường cônic

a x a xy a y a x a y a  Bằng cách chia cho một hệ số, ta có ptrình phụ thuộc 5 hệ số Cần xác định 5 ẩn, suy ra cần biết 5 điểm trong mặt phẳng Lập luận tương tự, ta có phương trình:

0 1

1 1

Vdụ Nhà du hành vũ trụ muốn xác định quỹ đạo của tiểu hành tinh

của hệ mặt trời Xét hệ trục toạ độ Đề các với gốc toạ độ là mặt trời

Một đơn vị thiên văn = khoảng cách từ trái đất đến mặt trời =

= 149,637 triệu km

Theo định luật thứ nhất của Kepler: Quỹ đạo cần tìm phải là ellipse

Để tìm quỹ đạo, nhà du hành vũ trụ cần xác định 5 vị trí của mình tại

5 thời điểm khác nhau và tính khoảng cách từ đó đến mặt trời

Giả sử có bảng số liệu: (8.025,8.310); (10.170,6.355); (11.202,3.212) (10.736,0.375); (9.092,-2.267)

2 2 386.799x 102.896xy 446.026y 2476.409x 1427.971y 17109.378 0

mặt trời

111

Khẳng định nào sau đây đúng?

Ví dụ 3

2 3

Giải phương trình, với a, b, c là các số thực.

0 1

Khai triển theo hàng 1, ta cóGiải ví dụ Dn  7 A11  5 A12

năm (cần 25! , khoảng 1.5x1025 phép toán).

Phần lớn các máy tính sử dụng biến đổi sơ cấp để tính

det (A).

Các phép biến đổi sơ cấp cần (n 3 +2n-3)/3 phép nhân và

chia Bất kể máy tính nào cũng có thể tính định thức cấp 25

trong vòng phần của 1 giây, chỉ cần khoảng 5300 phép toán