Cơ sở toán họcChương 2 Đối tượng điều khiển rất đa dạng.. Do đó cần có cơ sở toán học để phân tích, thiết kế các hệ điều khiển có bản chất vật lý khác nhau... Một cách tổng quát, quan hệ
Trang 1Chương 2
CƠ SỞ TOÁN HỌC
ThS NGUYỄN XUÂN NGUYÊN
Trang 2Cơ sở toán học
Chương 2
Đối tượng điều khiển rất đa dạng Do đó cần có cơ sở toán học để phân tích, thiết kế các hệ điều khiển có bản chất vật lý khác nhau
I Phương trình vi phân
R
C
o (t)
i
9 Xét mạch RC như hình vẽ.
0
v iR
v i = +
Ta có:
mà:
dt
dv C
dt dv
Trang 39 Xét hệ vật - lò xo - đệm như hình vẽ.
Theo định luật 2 Newton, ta có:
a m
FGh = G
mà:
2
2
dt
x
d dt
dv
dt
dx C Kx
F Cv
Kx F
nên:
2
2
dt
x
d m dt
dx C Kx
dt
dx C dt
x
d
I Phương trình vi phân
m F(t)
o
x
Trang 4Một cách tổng quát, quan hệ giữa tín hiệu vào và tín hiệu ra của hệ thống tuyến tính liên tục có thể được biểu diễn dạng phương trình vi phân:
Hệ TTLT
) t ( r
b dt
) t(
dr b
dt
) t(
r
d b dt
) t(
r
d b
) t(
c
a dt
) t(
dc a
dt
) t(
c
d a dt
) t(
c
d
a
m m
m
m m
m
n n
n
n n
n
+ +
+ +
= +
+ +
+
−
−
−
−
−
−
1 1
1 1
0
1 1
1 1
0
I Phương trình vi phân
Trang 59 Việc khảo sát hệ thống dựa vào phương trình vi phân bậc cao thường gặp nhiều khó khăn.
9 Phương pháp hàm truyền đạt mô tả hệ thống giúp cho việc khảo sát dễ dàng hơn bằng việc chuyển quan hệ phương trình vi phân thành quan hệ phân thức đại số nhờ phép biến đổi Laplace.
I Phương trình vi phân
Trang 6II Biến đổi Laplace
1 Định nghĩa
9 Cho f(t) xác định với mọi t ≥ 0, biến đổi Laplace của f(t) được xác định:
∫
+∞
−
=
=
0
dt e
).
t(
f )
s ( F )}
t(
f {
Trong đó
s = σ+jω là biến Laplace
L là toán tử Laplace
Trang 7II Biến đổi Laplace
2 Tính chất
9 Tính tuyến tính
) s ( bF )
s ( aF )}
t(
bf )
t(
af {
9 Định lý chậm trễ
) s ( F e
)}
t(
f { L e
)}
T t(
f {
Trang 8II Biến đổi Laplace
9 Ảnh của đạo hàm
) (
f )
s (
sF dt
) t(
df
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
0
9 Ảnh của tích phân
9 Định lý giá trị cuối
s
) s (
F dt
) t(
f
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
∫
0
0
Trang 9II Biến đổi Laplace
3 Biến đổi Laplace ngược
1
L− F s = f t
Cho hàm số phức F(s), biến đổi Laplace ngược của hàm số F(s) được ký hiệu là:
Thông thường để tìm biến đổi Laplace ngược, ta thực hiện biến đổi F(s) về dạng cơ bản, sau đo sử dụng bảng tra biến đổi Laplace
Trang 10II Biến đổi Laplace
4 Biến đổi Laplace của các hàm cơ bản
u(t)
t
O
1
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<
≥
=
0 0
0 1
t if
,
t if
, )
t(
u
s
)}
t ( u {
⇒
Trang 11II Biến đổi Laplace
∂(t)
t
O
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
=
∞
≠
=
0
0 0
t if ,
t if
, )
t (
δ
Và thoả hệ thức:
∫
+∞
∞
−
= 1
dt ) t (
δ
1
=
⇒ L { δ ( t )}
Trang 12II Biến đổi Laplace
r(t)
t
O
1
1
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<
≥
=
=
0 0
0
t if ,
t if ,
t )t
( tu )
t(
r
2
1 s
)}
t(
u t {
⇒
Dùng tính chất tích phân, chứng minh được:
1
+
n
s
!
n )}
t(
u t { L
Trang 13II Biến đổi Laplace
u(t)
t
O
1
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<
≥
=
=
−
−
0 0
0 t if
,
t if
,
e )
t ( u e )
t(
f
at at
a s
)}
t(
u e {
L at
+
=
Trang 14II Biến đổi Laplace
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<
≥
=
0 0
0
t if ,
t if
, t
sin )
t(
f
ω
2
2 ω
ω ω
+
=
⇒
s
)}
t(
u t {sin L
u(t)
t
O
1
Trang 15II Biến đổi Laplace
⎪
⎪
⎩
⎪⎪
⎨
⎧
<
≥
=
0 0
0
t if ,
t if
, t
cos )
t(
f
ω
2
ω
+
=
⇒
s
s )}
t ( u t {cos
L
u(t)
t
O
1